Определение
1. Последовательностьназываетсяубывающей
(невозрастающей
),
если для всех
выполняется неравенство
.
Определение
2. Последовательность
называетсявозрастающей
(неубывающей
),
если для всех
выполняется неравенство
.
Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.
Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.
Пример
1. Последовательность
возрастает,не
убывает,
убывает,
не возрастает,
– немонотонная последовательность.
Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая
Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Доказательство
. Пусть последовательность
не убывает и ограничена сверху, т.е.
и множество
ограничено сверху. По теореме 1 § 2
существует
.
Докажем, что
.
Возьмем
произвольно. Посколькуа
– точная
верхняя граница, существует номерN
такой, что
.
Так как последовательность неубывающая,
то для всех
имеем,
т.е.
,
поэтому
для всех
,
а это и означает, что
.
Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно ). Теорема доказана.
Замечание . Теорему 1 можно сформулировать иначе.
Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.
Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.
Условие монотонности не является
необходимым для сходимости
последовательности, так как сходящаяся
последовательность не обязательно
монотонна. Например, последовательность
не монотонная, однако сходится к нулю.
Следствие
. Если последовательность
возрастает (убывает) и ограничена сверху
(снизу), то
(
).
Действительно, по теореме 1
(
).
Определение
4. Еслии
при
,
то последовательностьназываетсястягивающейся системой
вложенных отрезков
.
Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас , принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Доказательство
. Докажем, что точкас
существует. Поскольку
,
то
и, следовательно, последовательность
не убывает, а последовательность
не возрастает. При этом
и
ограничены, так как.
Тогда по теореме 1 существуют
и
,
но так как
,
то
=
.
Найденная точкас
принадлежит всем
отрезкам системы, так как по следствию
теоремы 1
,
,
т.е.
для всех значенийn
.
Покажем теперь, что точка с
–
единственная. Предположим, что таких
точек две:с
иd
и пусть для определенности
.
Тогда отрезок
принадлежит всем отрезкам
,
т.е.
для всехn
, что
невозможно, так как
и, значит, начиная с некоторого номера,
.
Теорема доказана.
Отметим, что здесь существенно то, что
рассматриваются замкнутые промежутки,
т.е. отрезки. Если рассмотреть систему
стягивающихся интервалов, то принцип,
вообще говоря, неверен. Например,
интервалы
,
очевидно, стягиваются в точку
,
однако точка
не принадлежит ни одному интервалу этой
системы.
Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.
1) Число е .
Рассмотрим теперь последовательность
.
Как она себя ведет? Основание
степени
,
поэтому
?
С другой стороны,
,
а
,
поэтому
?
Или предел не существует?
Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим
вспомогательную последовательность
.
Докажем, что она убывает и ограничена
снизу. При этом нам будет нужна
Лемма
. Если
,
то для всех натуральных значенийn
имеем
(неравенство Бернулли).
Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции.
Если
,
то
,
т.е. неравенство верно.
Предположим, что оно верно для
и докажем его справедливость для
+1.
Верно
.
Умножим это неравенство на
:
Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn . Лемма доказана.
Покажем, что последовательность
убывает. Имеем
׀неравенство
Бернулли׀
,а это и означает, что
последовательность
убывает.
Ограниченность снизу следует из
неравенства
׀неравенство
Бернулли׀
для всех натуральных значенийn
.
По теореме 1 существует
,
который обозначают буквойе
. Поэтому
.
Число е иррационально и трансцендентно,е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.
Замечания
. 1) Неравенство Бернулли
можно использовать для доказательства
того, что
при
.
Действительно, если
,
то
.
Тогда, по неравенству Бернулли,при
.
Отсюда при
имеем
,
то есть
при
.
2) В рассмотренном выше примере основание
степени
стремится к 1, а показатель степениn
– к,
то есть имеет место неопределенность
вида.
Неопределенность такого вида, как мы
показали, раскрывается с помощью
замечательного предела
.
2)
(*)
Докажем, что эта последовательность
сходится. Для этого покажем, что она
ограничена снизу и не возрастает. При
этом воспользуемся неравенством
для всех
,
которое является следствием неравенства
.
Имеем
см.
неравенство выше
,
т.е. последовательность ограничена
снизу числом
.
Далее,
так
как
,
т.е. последовательность не возрастает.
По теореме 1 существует
,
который обозначимх
. Переходя в
равенстве (*) к пределу при
,
получим
,
т.е.
,
откуда
(берем знак «плюс», так как все члены
последовательности положительны).
Последовательность (*) применяется при
вычислении
приближенно. Заберут любое положительное число.
Например, найдем
.
Пусть
.
Тогда
,.
Таким образом,
.
3)
.
Имеем
.
Поскольку
при
,
существует номерN
,
такой, что для всех
выполняется неравенство
.
Таким образом, последовательность
,
начиная с некоторого номераN
,
убывает и ограничена снизу, так как
для всех значенийn
.
Значит, по теореме 1 существует
.
Поскольку
,
имеем
.
Итак,
.
4)
,
справа –n
корней.
Методом математической индукции покажем,
что
для всех значенийn
.
Имеем
.
Пусть
.
Тогда,
отсюда получаем утверждение по принципу
математической индукции. Используя
этот факт, находим,
т.е. последовательность
возрастает и ограничена сверху. Поэтому
существует,
так как
.
Таким образом,
.
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Любая монотонная ограниченная последовательность {
x n }
имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {
x n }
для неубывающей и точной нижней границе, inf {
x n }
для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.
Доказательство
1) неубывающей ограниченной последовательностью .
(1.1)
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную верхнюю границу
.
Это означает, что:
- для всех n
,
(1.2) ; - для любого положительного числа ,
существует такой номер ,
зависящий от ε
,
так что
(1.3) .
.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.
2)
Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью
:
(2.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:
- для всех n
выполняются неравенства:
(2.2) ; - для любого положительного числа ,
существует такой номер ,
зависящий от ε
,
для которого
(2.3) .
.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.
Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3)
Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью
.
Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n
выполняются неравенства:
(3.1)
.
Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(3.2)
.
Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).
.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.
4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .
Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(4.2)
.
Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.
Итак, для любого числа M
существует такое натуральное число ,
зависящее от M
,
так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.
Пример решения задачи
Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
,
,
. . . ,
,
. . .
После чего найти ее предел.
Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.
Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1)
.
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть .
Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.
Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2)
.
Поскольку ,
то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.
Найдем этот предел. Обозначим его через a
:
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .
Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .
Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .
Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности
x 1 , x 2 , … x n , …
с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .
Пример 1 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
задана с помощью формулы общего члена
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .
x 1 , x 2 , … x n , …
называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n
x n + 1 > x n
Пример 3 . Последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, … n , …
является возрастающей последовательностью .
Определение 2. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
x n + 1 < x n
Пример 4 . Последовательность
заданная формулой
является убывающей последовательностью .
Пример 5 . Числовая последовательность
1, - 1, 1, - 1, …
заданная формулой
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 4. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 5. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 6. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
m < x n < M
Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .
Пример 6 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
заданная формулой
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .
Пример 7 . Последовательность
заданная формулой
является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов |
Элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Пусть имеется множество X {\displaystyle X} , на котором введено отношение порядка .
Последовательность элементов множества X {\displaystyle X} называется неубывающей , если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.
{ x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - неубывающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}}Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется невозрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.
{ x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - невозрастающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}}Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется возрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.
{ x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - возрастающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n < x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется убывающей , если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.
{ x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - убывающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}}монотонной , если она является неубывающей, либо невозрастающей.
Последовательность называется строго монотонной , если она является возрастающей, либо убывающей.
Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.
Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» - в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.
Промежутки монотонности
Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , а лишь для номеров из некоторого диапазона
I = { n ∈ N ∣ N − ⩽ n < N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n(здесь допускается обращение правой границы N + {\displaystyle N_{+}} в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I {\displaystyle I} , а сам диапазон I {\displaystyle I} называется промежутком монотонности последовательности.
Определение. Последовательность {x n } называется ограниченной , если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Например, последовательности 2 0), 3 0), 4 0), 5 0) – ограниченные, а последовательность 1 0) – неограниченная.
Непосредственно из определения ограниченной последовательности и определения предела последовательности следует теорема:
Теорема. Если x n ® a, то последовательность {x n } ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность не имеет предела, хотя
Определение. Последовательность {x n }называется ограниченной сверху , если для любого n существует такое число М, что x n £ M.
Пример. {x n } = 3n – ограничена снизу {3, 6, 9, … }.
Монотонные последовательности.
Определение. 1) Если x n +1 > x n для всех n, то последовательность возрастающая.
2) Если x n +1 ³ x n для всех n, то последовательность неубывающая.
3) Если x n +1 < x n для всех n, то последовательность убывающая.
4)Если x n +1 £ x n для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .
Пример. {x n } = 1/n – убывающая и ограниченная
{x n } = n – возрастающая и неограниченная.
Пример. Доказать, что последовательность {x n }= монотонная возрастающая.
Решение. Найдем член последовательности {x n +1 }=
Найдем знак разности: {x n }-{x n +1 }=
, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.
Таким образом, x n +1 > x n . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность
Решение. Найдем . Найдем разность
Т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность
х 1 £ х 2 £ х 3 £ … £ х n £ x n +1 £ …
Эта последовательность ограничена сверху: x n £ M, где М – некоторое число.
Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.
Т.к. {x n }- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < x N £ x n ,
Отсюда a - e < x n < a + e
E < x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.
Теорема доказана.
§3. Число е .
Рассмотрим последовательность {x n } = .
Если последовательность {x n } монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.
По формуле бинома Ньютона:
Или, что то же самое
Покажем, что последовательность {x n } – возрастающая. Действительно, запишем выражение x n +1 и сравним его с выражением x n:
Каждое слагаемое в выражении x n +1 больше соответствующего значения x n , и, кроме того, у x n +1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x n } возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x n < 3.
Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е .
Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x n } все члены, начиная с четвертого, имеем:
переходя к пределу, получаем
Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.
Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…
Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:
Предположим:
Число е является основанием натурального логарифма.
Выше представлен график функции y = lnx.
Связь натурального и десятичного логарифмов.
Пусть х = 10 у, тогда lnx = ln10 y , следовательно lnx = yln10
у = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.
§4. Понятие предела функции .
4.1. Предел функции в точке.
y f(x)
0 a - D a a + D x
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что
ïx - aï < D
верно неравенство ïf(x) - Aï< e.
То же определение может быть записано в другом виде:
Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Запись предела функции в точке:
Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. , где С = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.
Теорема 2.
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
Теорема 3.
Следствие.
Теорема 4. при
Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.
Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .
Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï
Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.
Доказательство. Пусть , т.е. , тогда
Где М = e + ïАï
Теорема доказана.
4.2. Односторонние пределы.
Определение. Если f(x) ® A 1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева , а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа .
у
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы А 1 и А 2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).
4.3.Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство