Главная > Документ

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Магический, или волшебный квадрат - это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M.

Наименьшая магическая константа волшебного квадрата 3х3 равна 15, квадрата 4х4 равна 34, квадрата 5х5 равна 65,

Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

Построение волшебного квадрата 3 х 3 с наименьшей

магической константой

Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 3х3

1 способ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

М = 15.

Число, записанное посередине 15 : 3 = 5

Определили, что посередине, записано число 5.

где n – число строк

Если можешь построить один магический квадрат, то нетрудно построить их любое количество. Поэтому запомним приёмы построения

магического квадрата 3х3 с константой 15.

1 способ построения. Расставь сначала по углам чётные числа

2,4,8,6 и посередине 5. Остальной процесс простая арифметика

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 способ решения

Используя найденный волшебный квадрат с константой 15, можно задавать множество разноплановых заданий:

Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 3 х 3

Решение.

Сложив каждое число волшебного квадрата, или умножив его на одно и тоже число, получим новый волшебный квадрат.

Пример 1. Построить магический квадрат 3 х 3, у которого число, расположенное посередине, равно 13.

Решение.

Построим знакомый волшебный

квадрат с константой 15.

Найдём число, которое находится в

середине искомого квадрата

13 – 5 = 8.

К каждому числу волшебного

квадрата прибавим по 8.

Пример 2. Заполнить клетки волшебных

квадратов, зная магическую константу.

Решение. Найдём число,

записанное посередине 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

задания для самостоятельного решения

Примеры. 1. Заполнить клетки волшебных квадратов с магической

константой М =15.

1) 2) 3)

2. Найди магическую константу волшебных квадратов.

1) 2) 3)

3. Заполнить клетки волшебных квадратов, зная магическую константу

1) 2) 3)

М = 24 М = 30 М = 27

4 . Построить волшебный квадрат 3х3, зная, что магическая константа

равна 21.

Решение. Вспомним, как строится волшебный 3х3 квадрат по наименьшей

константе 15. По крайним полям записываются чётные числа

2, 4, 6, 8, а в середине число 5 (15: 3).

По условию надо построить квадрат по магической константе

21. В центре искомого квадрата должно быть число 7 (21: 3).

Найдём, насколько больше каждый член искомого квадрата

каждого члена с наименьшей магической константой 7 – 5 = 2.

Строим искомый волшебный квадрат:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Построить волшебные квадраты 3х3, зная их магические константы

М = 42 М = 36 М = 33

М = 45 М = 40 М = 35

Построение волшебного квадрата 4 х 4 с наименьшей

магической константой

Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 4х4

и числа, расположенного посередине этого квадрата.

1 способ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 х 8 = 136

136: 4= 34.

где n – число строк n = 4.

Сумма чисел на любой горизонтали,

вертикали и диагонали равна 34.

Эта сумма также встречается во всех

угловых квадратах 2×2, в центральном

квадрате (10+11+6+7), в квадрате из

угловых клеток (16+13+4+1).

Для построения любых волше́бных квадратов 4х4 надо: построить один

с константой 34.

Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 4 х 4.

Решение.

Сложив каждое число найденного

волшебного квадрата 4 х 4 или

умножив его на одно и тоже число,

получим новый волшебный квадрат.

Пример. Построить магический

квадрат 4 х 4, у которого магическая

константа равна 46.

Решение. Построили знакомый волшебный

квадрат с константой 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

К каждому числу волшебного квадрата

прибавим по 3.

Прежде чем приступить к решению более сложных примеров на волшебных квадратах 4 х 4 ещё раз проверь свойства, которыми он обладает, если М=34.

Примеры. 1. Заполнить клетки волшебного квадрата с магической

константой М =38.

Н =38-(10+7+13)=8 д =38-(17+4+11)=6 в =38-(17+4+14)=3

е = 38-(12+7+8)=11 п =38-(17+6+10)=5 с =38-(3+12+8)=15

б =38-(11+7+16)=4 г =38-(5+7+12)=14 к =38-(6+11+12)=9

свойство 1,3,1 свойства 2,1,1 т =38-(14+9+13)=2

свойства 1,1,1,1

Ответ.

Задания для самостоятельного решения

Заполнить клетки волшебного квадрата с если известна магическая

константа

К = 46 К = 58 К = 62

Познакомься с волшебными квадратами 5х5 и 6х6

Существует несколько различных классификаций магических квадратов

пятого порядка, призванных хоть как-то их систематизировать. В книге

Мартина Гарднера [ГМ90, сс. 244-345] описан один из таких способов –

по числу в центральном квадрате. Способ любопытный, но не более того.

Сколько существует квадратов шестого порядка, до сих пор неизвестно, но их примерно 1.77 х 1019 . Число огромное, поэтому нет никаких надежд пересчитать их с помощью полного перебора, а вот формулы для подсчёта магических квадратов никто придумать не смог.

Как составить магический квадрат?

Придумано очень много способов построения магических квадратов. Проще всего составлять магические квадраты нечётного порядка . Мы воспользуемся методом, который предложил французский учёный XVII века А. де ла Лубер (De La Loubère). Он основан на пяти правилах, действие которых мы рассмотрим на самом простом магическом квадрате 3 х 3 клетки.

Правило 1. Поставьте 1 в среднюю колонку первой строки (Рис. 5.7).

Рис. 5.7. Первое число

Правило 2. Следующее число поставьте, если возможно в клетку, соседнюю с текущей по диагонали правее и выше (Рис. 5.8).

Рис. 5.8. Пытаемся поставить второе число

Правило 3. Если новая клетка выходит за пределы квадрата сверху , то запишите число в самую нижнюю строку и в следующую колонку (Рис. 5.9).

Рис. 5.9. Ставим второе число

Правило 4. Если клетка выходит за пределы квадрата справа , то запишите число в самую первую колонку и в предыдущую строку (Рис. 5.10).

Рис. 5.10. Ставим третье число

Правило 5. Если в клетке уже занята , то очередное число запишите под текущей клеткой (Рис. 5.11).

Рис. 5.11. Ставим четвёртое число

Рис. 5.12. Ставим пятое и шестое число

Снова выполняйте Правила 3, 4, 5, пока не составите весь квадрат (Рис.

Не правда ли, правила очень простые и понятные, но всё равно довольно утомительно расставлять даже 9 чисел. Однако, зная алгоритм построения магических квадратов, мы сможем легко перепоручить компьютеру всю рутинную работу, оставив себе только творческую, то есть написание программы.

Рис. 5.13. Заполняем квадрат следующими числами

Проект Магические квадраты (Magic)

Набор полей для программы Магические квадраты совершенно очевиден:

// ПРОГРАММА ДЛЯ ГЕНЕРИРОВАНИЯ

// НЕЧЕТНЫХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

// ПО МЕТОДУ ДЕ ЛА ЛУБЕРА

public partial class Form1 : Form

//макс. размеры квадрата: const int MAX_SIZE = 27; //var

int n=0; // порядок квадрата int [,] mq; // магический квадрат

int number=0; // текущее число для записи в квадрат

int col=0; // текущая колонка int row=0; // текущая строка

Метод де ла Лубера годится для составления нечётных квадратов любого размера, поэтому мы можем предоставить пользователю возможность самостоятельно выбирать порядок квадрата, разумно ограничив при этом свободу выбора 27-ью клетками.

После того как пользователь нажмёт заветную кнопку btnGen Генерировать! , метод btnGen_Click создаёт массив для хранения чисел и переходит в метод generate :

//НАЖИМАЕМ КНОПКУ "ГЕНЕРИРОВАТЬ"

private void btnGen_Click(object sender, EventArgs e)

//порядок квадрата:

n = (int )udNum.Value;

//создаем массив:

mq = new int ;

//генерируем магический квадрат: generate();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Здесь мы начинаем действовать по правилам де ла Лубера и записываем первое число – единицу – в среднюю клетку первой строки квадрата (или массива, если угодно):

//Генерируем магический квадрат void generate(){

//первое число: number=1;

//колонка для первого числа - средняя: col = n / 2 + 1;

//строка для первого числа - первая: row=1;

//заносим его в квадрат: mq= number;

Теперь мы последовательно пристраиваем по клеткам остальные числа – от двойки до n * n:

//переходим к следующему числу:

Запоминаем на всякий случай координаты актуальной клетки

int tc=col; int tr = row;

и переходим в следующую клетку по диагонали:

Проверяем выполнение третьего правила:

if (row < 1) row= n;

А затем четвёртого:

if (col > n) { col=1;

goto rule3;

И пятого:

if (mq != 0) { col=tc;

row=tr+1; goto rule3;

Как мы узнаем, что в клетке квадрата уже находится число? – Очень просто: мы предусмотрительно записали во все клетки нули , а числа в готовом квадрате больше нуля . Значит, по значению элемента массива мы сразу же определим, пустая клетка или уже с числом! Обратите внимание, что здесь нам понадобятся те координаты клетки, которые мы запомнили перед поиском клетки для следующего числа.

Рано или поздно мы найдём подходящую клетку для числа и запишем его в соответствующую ячейку массива:

//заносим его в квадрат: mq = number;

Попробуйте иначе организовать проверку допустимости перехода в но-

вую клетку!

Если это число было последним , то программа свои обязанности выполнила, иначе она добровольно переходит к обеспечению клеткой следующего числа:

//если выставлены не все числа, то if (number < n*n)

//переходим к следующему числу: goto nextNumber;

И вот квадрат готов! Вычисляем его магическую сумму и распечатываем на экране:

} //generate()

Напечатать элементы массива очень просто, но важно учесть выравнивание чисел разной «длины», ведь в квадрате могут быть одно-, дву- и трёхзначные числа:

//Печатаем магический квадрат void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Color .Black;

string s = "Магическая сумма = " + (n*n*n +n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// печатаем магический квадрат: for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

for (int j= 1; j <= n; ++j){

if (n*n > 10 && mq < 10) s += " " ; if (n*n > 100 && mq < 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); }//writeMQ()

Запускаем программу – квадраты получаются быстро и на загляденье (Рис.

Рис. 5.14. Изрядный квадратище!

В книге С.Гудман, С.Хидетниеми Введение в разработку и анализ алгорит-

мов , на страницах 297-299 мы отыщем тот же самый алгоритм, но в «сокращённом» изложении. Он не столь «прозрачен», как наша версия, но работает верно.

Добавим кнопку btnGen2 Генерировать 2! и запишем алгоритм на языке

Си-шарп в метод btnGen2_Click :

//Algorithm ODDMS

private void btnGen2_Click(object sender, EventArgs e)

//порядок квадрата: n = (int )udNum.Value;

//создаем массив:

mq = new int ;

//генерируем магический квадрат: int row = 1;

int col = (n+1)/2;

for (int i = 1; i <= n * n; ++i)

mq = i; if (i % n == 0)

if (row == 1) row = n;

if (col == n) col = 1;

//построение квадрата закончено: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Кликаем кнопку и убеждаемся, что генерируются «наши» квадраты (Рис.

Рис. 5.15. Старый алгоритм в новом обличии

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №41»

Магические квадраты

Руководитель: ,

учитель математики

г. Новоуральск, 2012 год.

Введение 3

1. Общие сведения о магических квадратах 4

1.1. Понятие магического квадрата 4

1.2. Из истории магических квадратов 4

1.3. Виды магических квадратов 6

2. Решение магических квадратов 6

2.1. Решение магических квадратов (метод Баше де Мезирака) 7

2.2. Постановка задачи 8

2.3. Алгоритм решения магических квадратов 8

2.4. Доказательство алгоритма (в алгебраической форме) 9

2.5. Пример решения магического квадрата по алгоритму 10

3. Использование магических квадратов 11

3.1. Разные случаи обобщения магических квадратов 11

3.2. Применение латинских квадратов 12

4. Общие выводы 13

5. Заключение 14

6. Список литературы 15

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Введение

На занятиях математического кружка мы столкнулись с задачами, связанными с заполнением клеток квадрата по особым правилам. Предложенные числа надо было вписать так, чтобы результат удовлетворял сразу нескольким условиям:

Если сложить все числа в каждой строке,

Если сложить все числа в каждом столбце,

Если сложить все числа в двух диагоналях,

то все эти суммы окажутся равными одному и тому же числу.

Несмотря на то, что задачи отличались исходными числами, порядком чисел, заданностью суммы, все они были подобными, а решения – однотипными.

Возникла идея не просто решить каждое задание, но и придумать общий алгоритм решения, а также найти в литературе исторические сведения о задачах подобного типа.

Выяснилось, что интересующие нас фигуры называются магическими квадратами, известными с древних времён. О них и пойдёт речь в работе.

Цель работы: систематизировать сведения о магических квадратах, разработать алгоритм их решения.

Задачи :

1. Изучить историю возникновения магических квадратов.

2. Выявить виды магических квадратов.

3. Узнать способы решения магических квадратов.

4. Разработать и доказать свой алгоритм решения.

5. Определить применение магических квадратов.

1.Общие сведения о магических квадратах

1.1. Понятие магического квадрата

Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты. Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны. Самым известным считается магический квадрат, изображённый на гравюре немецкого художника А. Дюрера «Меланхолия» (приложение 1).

1.2. Из истории магических квадратов

Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Уже несколько тысяч лет назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов. При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат был разделён на девять маленьких квадратиков, в каждом из которых были написаны числа от 1 до 9. Замечательно, что суммы всех чисел в любой вертикали, горизонтали и диагонали были равны одному и тому же числу 15 (рисунок 1).

Рисунок 1.

В средние века магические квадраты были очень популярны. Один из магических квадратов изображен на гравюре знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера, «Меланхолия». В 16 клетках квадрата размещены цифры от 1 до 16, а сумма чисел по всем направлениям равна 34. Любопытно, что два числа в середине нижней строки указывают на год создания картины – 1514 г. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43x43, содержащий числа от 1 до 1849, причём обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, ещё и многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера. Известно, и это вы можете легко показать сами, что магических квадратов размером 2x2 не существует, магических квадратов 3x3 ровно один, остальные такие квадраты получаются из него поворотами и симметриями. Магических квадратов 4x4 уже 800, а количество квадратов 5x5 близко к четверти миллиона.

1.3. Виды магических квадратов

Магический (волшебный квадрат) n 2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

Полумагический квадрат - это квадратная таблица nxn, заполненная n 2 числами таким образом, что суммы чисел равны только в строках и столбцах.

Нормальный – магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n 2.

Ассоциативный (симметричный) - магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n 2 + 1.

Дьявольский (пандиагональный) магический квадрат - магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию - торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата (рисунок 2).

Рисунок 2.

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными . Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов.

2.Решение магических квадратов

2.1Решение магических квадратов (метод Баше де Мезирака)

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Найти все магические квадраты порядка n удается только для n ≤ 4.

Для решения нормальных магических квадратов сколь угодно большого размера воспользуемся методом, описанным в 1612 г. французским математиком Клодом Баше де Мезираком. Русский перевод его книги был издан в Петербурге в 1877 г. под названием «Игры и задачи, основанные на математике».

Магический квадрат удобно строить на бумаге в клетку. Пусть n-нечётное число, и нужно построить квадрат nхn с числами от 1 до n2 , действуем поэтапно.

1. Все числа от 1 до n2 записываем в клетки по диагонали (по n чисел в ряд), чтобы образовался диагональный квадрат.

2. Выделяем в его центре квадрат nхn. Это и есть основа (ещё не все клетки заполнены) будущего магического квадрата.

3. Каждый находящийся вне центрального квадрата числовой «уголок» аккуратно переносим внутрь - к противоположной стороне квадрата. Числа этих уголков должны заполнить все пустые клетки. Магический квадрат построен.

Приведём пример заполнения квадрата 3х3 числами от 1 до 9. Для этого к квадрату пририсуем дополнительные клетки, чтобы получить диагонали. Сначала заполним диагональные клетки числами от 1 до 9 (рисунок 3), потом в пустые клетки квадрата «загнём уголки» внутрь к противоположной стороне (рисунок 4).

Рисунок 3. Рисунок 4.

2.2. Постановка задачи.

Опишем свой способ решения магических квадратов. Остановимся на изучении математической модели магических квадратов 3x3.

Общая формулировка задачи.

Имеются девять чисел. Необходимо расставить их в клетки квадрата размера 3x3, так чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали суммы чисел были равны.

2.3. Алгоритм решения магического квадрата

Словесное описание алгоритма

1. Упорядочить числа по возрастанию.

2. Найти центральное число (пятое по порядку).

3. Определить пары по правилу: 1 пара - первое число и девятое,

2 пара - второе число и восьмое,

3 пара - третье число и седьмое,

4 пара – четвёртое число и шестое.

4. Узнать сумму чисел (S), которая должна получиться при сложении чисел по каждой вертикали, горизонтали, диагонали: сложить самое маленькое, центральное, самое большое число, т. е. числа 1 пары с центральным числом.

5. Поставить в центр квадрата центральное число.

6. По центральной горизонтали (или вертикали) в свободные клетки вписать первую пару чисел.

7. По любой диагонали записать вторую пару чисел (так чтобы большее число первой пары оказалось в столбике с меньшим числом второй пары).

8. Вычислить число, которое надо записать в один из крайних столбиков, по правилу:

из S вычесть сумму двух чисел, содержащихся в клетках столбика, получить число.

9. По диагонали к полученному числу записать второе число его пары.

10. Вписать в оставшиеся клетки последнюю пару чисел по правилу: большее число из пары вписать в строку с меньшим, а меньшее в оставшуюся пустую клетку.

2.4. Доказательство правильности заполнения магического квадрата

(Решение задачи в общем виде)

Докажем, что суммы чисел, находящихся по вертикалям, горизонталям и диагоналям квадрата в результате выполнения алгоритма, получатся равные.

Пусть после упорядочения каждое последующее число отличается от предыдущего на постоянную величину х . Выразим все числа через а1 (наименьшее число) и х :

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+ х =a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

a 9 = a 1 +8 x .

Найдем сумму S и выразим ее через числа а1 и х : S = a 1 + a 5 + a 9 =3 a 1 +12 x .

Пусть магический квадрат заполнен по предложенному алгоритму.

Докажем, что суммы чисел, расположенных по горизонтали, вертикали и диагонали квадрата, равны S .

По вертикали:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

По горизонтали:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

По диагонали:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3 а 1 +12x=S

Получили одинаковые суммы. Утверждение доказано.

Примечание.

Числа, организованные таким образом, образуют арифметическую прогрессию. В этой последовательности (после упорядочения) а1 – это первый член арифметической прогрессии, х – это разность арифметической прогрессии. Для чисел, не составляющих арифметическую прогрессию, алгоритм не действует.

2.5. Пример решения магических квадратов

Даны числа:5,2,4,8,1,3,7,9,6. Заполнить магический квадрат данными числами.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Получили центральное число 5.

3. Пары:1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6.

4. S = 5+1+9=15 – сумма.

8. 15-(9+2)=4

Данный алгоритм существенно отличается от метода Баше де Мезириака. С одной стороны он требует дополнительных вычислений (недостаток метода), с другой стороны в нашем методе не нужны дополнительные построения (диагональный квадрат). Более того, метод применим не только к последовательным натуральным числам от 1 до 9, но и к любым девяти числам, являющимися членами арифметической прогрессии, в чём мы видим его преимущества. Кроме того, автоматически определяется магическая константа – сумма чисел по каждой диагонали, вертикали, горизонтали.

3. Использование магических квадратов

3.1. Разные случаи обобщения магических квадратов

Задачи составления и описания магических квадратов интересовали математиков с древнейших времён. Однако полного описания всех вех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. С увеличением размеров (числа клеток) квадрата быстро растёт количество возможных магических квадратов. Среди квадратов больших размеров есть квадраты обладающими интересными свойствами. Например, в квадрате на рисунке № 5 равны между собой не только суммы чисел в строках столбцах и диагоналях, но и суммы пятёрок по «разломанным» диагоналям, связанными на рисунке цветными линиями.

Рисунок 5. Рисунок 6.

Латинским квадратов называется квадрат n x n клеток, в которых написаны числа 1, 2, …, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На (рисунке 6) изображены два таких латинских квадрата 4x4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными. Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадёров и кроме того поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причём каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6x6 так, чтобы в любой колонне встречались офицеры всех рангов?» (приложение 2).

Л. Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует.

3.2. Применение латинских квадратов

Магические и латинские квадраты близкие родственники. Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения, как в самой математике, так и в её приложениях. Приведём такой пример. Пусть мы хотим испытать два сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причём хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьём квадратный участок на 16 равных частей (рисунок 7). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт посадим на четырёх делянках, соответствующих следующей полосе и т. д. (на рисунке сорт обозначен цветом.)

Сельское хозяйство" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">сельском хозяйстве , физике, химии и технике.

4. Общие выводы

В ходе выполнения работы я познакомился с различными видами Магических квадратов, узнал способ решения нормальных магических квадратов методом Баше де Мезирака. Так как наше решение магических квадратов 3х3 отличалось от указанного метода, но позволяло каждый раз правильно заполнить клетки квадрата, то возникло желание разработать собственный алгоритм. Этот алгоритм подробно описан в работе, доказан в алгебраической форме. Оказалось, что он применим не только к нормальным квадратам, но и к квадратам размером 3х3, где числа составляют арифметическую прогрессию. Нам удалось также найти примеры применения магических и латинских квадратов.

Я научился: решать некоторые магические квадраты, разрабатывать и описывать алгоритмы, доказывать утверждения в алгебраической форме. Я узнал новые понятия: арифметическая прогрессия, магический квадрат, магическая константа, изучил виды квадратов.

К сожалению, ни мой разработанный алгоритм, ни метод Баше де Мезирака не позволяют решать магические квадраты размера 4х4. Поэтому мне захотелось в дальнейшем составить алгоритм решения для таких квадратов.

5. Заключение

В данной работе изучались магические квадраты, рассматривалась история их происхождения. Были определены виды магических квадратов: магический или волшебный квадрат, полумагический квадрат, нормальный, ассоциативный, дьявольский магический квадрат, совершенный.

Среди существующих способов их решения выбран метод Баше де Мезириака, он апробирован на примерах. Кроме того, для решения магических квадратов 3х3 предложен собственный алгоритм решения, приведено математическое доказательство в алгебраической форме.

Предложенный алгоритм существенно отличается от метода Баше де Мезириака. С одной стороны, он требует дополнительных вычислений (недостаток метода), с другой стороны, не нужны дополнительные построения. Метод применим не только к последовательным натуральным числам от 1 до 9, но и к любым девяти числам, являющимися членами арифметической прогрессии, в чём мы видим его преимущества. Кроме того, автоматически определяется магическая константа – сумма чисел по каждой диагонали, вертикали, горизонтали.

В работе представлено обобщение магических квадратов – латинские квадраты и описано их практическое применение.

Данная работа может быть использована на уроках математики в качестве дополнительного материала, а также на занятиях кружка и в индивидуальной работе с учащимися.

6. Список литературы

1. Загадки мира чисел / Сост. – Д.: Сталкер, 1997.-448с.

2. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. – М.: Педагогика, 1989 –352с.: ил.

3. Энциклопедия для детей. Т11. Математика / Глав. ред. – М.: Аванта+, 2000 – 688с.: ил.

4. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. – и др. – М.: АСТ, 1996. – 480с.: ил.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а ), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б . В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии , а затем в Японии , где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1 . Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n 2 клеток и называется квадратом n -го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n (n 2 + 1)/2. Доказано, что n і 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3). Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б ). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в ) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n , то можно построить квадрат порядка m ґ n . Суть этого способа показана на рис. 6. Здесь m = 3 и n = 3. Более крупный квадрат 3-го порядка (с числами, помеченными штрихами) строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1ў (центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9, также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2ў (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18; в клетку с числом 3ў – квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получим квадрат 9-го порядка. Такие квадраты называются составными.

Введение

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

Цель настоящего реферата - знакомство с различными магическими квадратами, латинскими квадратами и изучение областей их применения.

Магические квадраты

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2х2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3х3, так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:

9+5+1
9+4+2
8+6+2
8+5+2
8+4+3
7+6+2
7+5+3
6+5+4

В магическом квадрате 3х3 магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.

Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой-то клетке, примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому пишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом, опять - таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х3 доказывает его единственность.

Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6),

дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 305 224 магических квадратов порядка 5. Причем, квадраты 5х5 были известны еще в средние века. Мусульмане, например, очень благоговейно относились к таким квадратом с цифрой 1 в середине, считая его символом единства Аллаха.

Магический квадрат Пифагора

Великий ученый Пифагор, основавший религиозно - философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере. А чтобы убедиться, что результаты подсчета действительно соответствуют реальному характеру той или иной личности, вначале я проверю его на себе. Для этого я буду делать расчет по своей дате рождения. Итак, моя дата рождения 20.08.1986. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 2+8+1+9+8+6=34. Далее складываем цифры результата: 3+4=7. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 34-4=30. И вновь складываем цифры последнего числа:

3+0=3. Осталось сделать последние сложения - 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 34+30=64, 7+3=10. Получили числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

и составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки - в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом:

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 - целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 - законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.
11 - характер, близкий к эгоистическому.
111 - «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.
1111 - люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных - профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.
11111 - диктатор, самодур.
111111 - человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой - то идеи.

Ячейка 2 - биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет - открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 - обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.
22 - относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.
222 - знак экстрасенса.

Ячейка 3 - точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

Ячейка 4 - здоровье. Это связано с экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 - здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.
44 - здоровье крепкое.
444 и более - люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 - интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет - канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто

ошибаются.

5 - канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.
55 - сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии - юрист, следователь.
555 - почти ясновидящие.
5555 - ясновидящие.

Ячейка 6 - заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет - этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 - могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.
66 - люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.
666 - знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.
6666 - эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть

девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

Ячейка 7 - количество семерок определяет меру таланта.

7 - чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.
77 - очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.
777 - эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.
7777 - знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 - карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет - у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 - натуры ответственные, добросовестные, точные.
88 - у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.
888 - знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.
8888 - эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.

Ячейка 9 - ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 - эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.
99 - эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.
999 - очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.
9999 - этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка - природа.

Латинские квадраты

Не смотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.

Латинским квадратом называется квадрат nхn клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.3 изображены два таких квадрата 4х4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.

Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: “ Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и кроме того поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 х 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?”

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, то есть если число n при делении на 4 даст в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6 6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты 10х10, потом 14х14, 18х18, 22х22. А затем было показано, что для любого n , кроме 6, существуют ортогональные квадраты nхn.

Магические и латинские квадраты - близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число n(a - 1)+b, где а - число в такой клетке первого квадрата, а b - число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для того разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис.4). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт - на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т. д. (на рисунке сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают:

первая - количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на этот участок, а вторая - количество вносимого удобрения второго вида. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

квадрат магический пифагор латинский

Заключение

В настоящем реферате рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

Ближайшие родственники магических квадратов - латинские квадраты нашли многочисленные применения как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В реферате приведен пример постановки такого эксперимента.

В реферате также рассмотрен вопрос о квадрате Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности.

Список литературы