হোম > নথি

জাদু বর্গ

ম্যাজিক বা ম্যাজিক বর্গ হল একটি বর্গাকার সারণী যাতে সংখ্যাগুলি এমনভাবে ভরা হয় যাতে প্রতিটি সারিতে, প্রতিটি কলাম এবং উভয় কর্ণের সংখ্যার যোগফল একই হয়।

প্রতিটি সারি, কলাম এবং তির্যক সংখ্যার যোগফলকে ম্যাজিক ধ্রুবক বলা হয়, এম।

একটি 3x3 ম্যাজিক বর্গক্ষেত্রের ক্ষুদ্রতম জাদু ধ্রুবক হল 15, একটি 4x4 বর্গ হল 34, একটি 5x5 বর্গ হল 65,

যদি বর্গক্ষেত্রে সংখ্যার যোগফল শুধুমাত্র সারি এবং কলামে সমান হয়, তাহলে তাকে আধা-জাদু বলে।

সবচেয়ে ছোট দিয়ে একটি 3 x 3 ম্যাজিক স্কোয়ার তৈরি করা

জাদু ধ্রুবক

3x3 ম্যাজিক বর্গক্ষেত্রের ক্ষুদ্রতম জাদু ধ্রুবকটি খুঁজুন

1 উপায়

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15।

মাঝখানে লেখা সংখ্যা 15 : 3 = 5

ঠিক করে মাঝখানে 5 নম্বর লেখা আছে।

যেখানে n হল সারির সংখ্যা

আপনি যদি একটি ম্যাজিক স্কোয়ার তৈরি করতে পারেন, তবে তাদের কোনও সংখ্যা তৈরি করা কঠিন নয়। অতএব, নির্মাণ কৌশল মনে রাখবেন

ধ্রুবক 15 সহ 3x3 ম্যাজিক বর্গ।

1 উপায়নির্মাণ. জোড় সংখ্যাগুলি প্রথমে কোণায় রাখুন

মাঝখানে 2,4,8,6 এবং 5। বাকি প্রক্রিয়াটি সহজ পাটিগণিত।

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

২টি পথসমাধান

15 এর ধ্রুবক সহ পাওয়া ম্যাজিক স্কোয়ার ব্যবহার করে, আপনি অনেকগুলি বিভিন্ন কাজ সেট করতে পারেন:

উদাহরণ।নতুন বিভিন্ন জাদু স্কোয়ার 3 x 3 তৈরি করুন

সিদ্ধান্ত.

ম্যাজিক বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি সংখ্যা যোগ করলে বা একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে আমরা একটি নতুন ম্যাজিক বর্গ পাই।

উদাহরণ 1একটি 3 x 3 ম্যাজিক বর্গ তৈরি করুন যার মাঝখানে 13 নম্বর।

সিদ্ধান্ত.

আসুন একটি পরিচিত জাদু তৈরি করি

ধ্রুবক 15 সহ বর্গক্ষেত্র।

যে নম্বর আছে তা খুঁজুন

পছন্দসই বর্গক্ষেত্রের মাঝখানে

13 – 5 = 8.

প্রতিটি জাদু সংখ্যা

8 বর্গক্ষেত্র যোগ করুন।

উদাহরণ 2জাদুর খাঁচা ভর্তি

স্কোয়ার, যাদু ধ্রুবক বুদ্ধিমান.

সিদ্ধান্ত.চলুন নম্বর খুঁজে বের করা যাক

মাঝখানে লেখা 42:3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

স্বাধীন সিদ্ধান্তের জন্য কাজ

উদাহরণ। 1. জাদু দিয়ে জাদু স্কোয়ারের ঘরগুলি পূরণ করুন

ধ্রুবক M = 15।

1) 2) 3)

2. ম্যাজিক স্কোয়ারের জাদু ধ্রুবক খুঁজুন।

1) 2) 3)

3. যাদু ধ্রুবক জেনে, যাদু স্কোয়ারের ঘর পূরণ করুন

1) 2) 3)

M=24 M=30 M=27

4 . ম্যাজিক ধ্রুবকটি জেনে একটি 3x3 জাদু বর্গ তৈরি করুন

21 এর সমান।

সিদ্ধান্ত. মনে করুন কিভাবে একটি ম্যাজিক 3x3 বর্গক্ষেত্র ক্ষুদ্রতম অনুযায়ী নির্মিত হয়

ধ্রুবক 15. জোড় সংখ্যাগুলি চরম ক্ষেত্রে লেখা হয়

2, 4, 6, 8 এবং মাঝখানে 5 নম্বর (15 : 3).

শর্ত অনুসারে, যাদু ধ্রুবক অনুসারে একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করা প্রয়োজন

21. পছন্দসই বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রে 7 নম্বর (21 : 3).

কাঙ্খিত বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি সদস্য কত বেশি তা খুঁজে বের করা যাক

ক্ষুদ্রতম ম্যাজিক ধ্রুবক 7 - 5 = 2 সহ প্রতিটি পদ।

আমরা প্রয়োজনীয় ম্যাজিক বর্গ তৈরি করি:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. তাদের জাদু ধ্রুবক জেনে 3x3 জাদু স্কোয়ার তৈরি করুন

M = 42 M = 36 M = 33

M=45 M=40 M=35

সবচেয়ে ছোট দিয়ে একটি 4 x 4 ম্যাজিক স্কোয়ার তৈরি করা

জাদু ধ্রুবক

একটি 4x4 ম্যাজিক বর্গক্ষেত্রের ক্ষুদ্রতম জাদু ধ্রুবক খুঁজুন

এবং সংখ্যাটি এই বর্গক্ষেত্রের মাঝখানে অবস্থিত।

1 উপায়

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

যেখানে n হল সারির সংখ্যা n = 4।

যেকোনো অনুভূমিক সংখ্যার যোগফল,

উল্লম্ব এবং তির্যক হল 34।

এই পরিমাণ এছাড়াও সব ঘটে

কেন্দ্রে কোণার স্কোয়ার 2×2,

বর্গ (10+11+6+7), থেকে বর্গ

কোণার কোষ (16+13+4+1)।

যেকোনো 4x4 ম্যাজিক স্কোয়ার তৈরি করতে, আপনাকে এটি করতে হবে: একটি তৈরি করুন

ধ্রুবক 34 সহ।

উদাহরণ।নতুন বিভিন্ন 4 x 4 ম্যাজিক স্কোয়ার তৈরি করুন।

সিদ্ধান্ত.

পাওয়া প্রতিটি সংখ্যা যোগ করা

ম্যাজিক বর্গ 4 x 4 বা

একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করা,

একটি নতুন জাদু বর্গ পেতে.

উদাহরণ।একটি জাদুকরী গড়ে তুলুন

একটি 4 x 4 বর্গক্ষেত্র যাতে একটি জাদু আছে

ধ্রুবক হল 46।

সিদ্ধান্ত.একটি পরিচিত জাদু নির্মাণ

ধ্রুবক 34 সহ বর্গ।

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

যাদু বর্গ প্রতিটি সংখ্যা

3 যোগ করা যাক।

4 x 4 ম্যাজিক স্কোয়ারে আরও জটিল উদাহরণ সমাধানের জন্য এগিয়ে যাওয়ার আগে, M = 34 হলে এর বৈশিষ্ট্যগুলি আবার পরীক্ষা করুন।

উদাহরণ। 1. ম্যাজিক স্কোয়ারের ঘরগুলিকে জাদু দিয়ে পূরণ করুন

ধ্রুবক M =38।

H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

সম্পত্তি 1,3,1 বৈশিষ্ট্য 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

বৈশিষ্ট্য 1,1,1,1

উত্তর.

স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ

ম্যাজিক স্কোয়ারের ঘরগুলি পূরণ করুন যদি জাদুটি জানা থাকে

ধ্রুবক

K = 46 K = 58 K = 62

5x5 এবং 6x6 ম্যাজিক স্কোয়ারের সাথে দেখা করুন

ম্যাজিক স্কোয়ারের বিভিন্ন শ্রেণীবিভাগ আছে।

পঞ্চম ক্রম, কোনভাবে তাদের পদ্ধতিগত করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। বইয়ে

মার্টিন গার্ডনার [GM90, pp. 244-345] এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি বর্ণনা করে -

কেন্দ্রীয় বর্গক্ষেত্রের সংখ্যা অনুযায়ী। পদ্ধতিটি কৌতূহলী, তবে আর কিছুই নয়।

ষষ্ঠ ক্রমটির কতগুলি বর্গ বিদ্যমান তা এখনও অজানা, তবে প্রায় 1.77 x 1019 রয়েছে৷ সংখ্যাটি বিশাল, তাই সম্পূর্ণ অনুসন্ধান ব্যবহার করে তাদের গণনা করার কোন আশা নেই, তবে কেউ জাদু স্কোয়ার গণনা করার জন্য একটি সূত্র নিয়ে আসতে পারেনি।

কিভাবে একটি জাদু বর্গক্ষেত্র করতে?

জাদু স্কোয়ার নির্মাণের অনেক উপায় আছে। ম্যাজিক স্কোয়ার তৈরি করার সবচেয়ে সহজ উপায় বিজোড় আদেশ. আমরা 17 শতকের ফরাসি বিজ্ঞানী দ্বারা প্রস্তাবিত পদ্ধতি ব্যবহার করব A. de la Louber (De La Loubère)।এটি পাঁচটি নিয়মের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, যার অপারেশনটি আমরা সবচেয়ে সহজ ম্যাজিক স্কোয়ার 3 x 3 কোষে বিবেচনা করব।

নিয়ম 1. প্রথম সারির মাঝের কলামে 1 রাখুন (চিত্র 5.7)।

ভাত। ৫.৭। প্রথম সংখ্যা

নিয়ম 2. পরবর্তী সংখ্যাটি, যদি সম্ভব হয়, বর্তমানের সংলগ্ন কক্ষে ডানদিকে এবং উপরে তির্যকভাবে রাখুন (চিত্র 5.8)।

ভাত। 5.8। দ্বিতীয় নম্বর বসানোর চেষ্টা করছি

নিয়ম 3. যদি নতুন ঘরটি উপরের বর্গক্ষেত্রের বাইরে যায়, তাহলে সংখ্যাটি খুব নীচের লাইনে এবং পরবর্তী কলামে লিখুন (চিত্র 5.9)।

ভাত। ৫.৯। আমরা দ্বিতীয় সংখ্যা রাখি

নিয়ম 4. যদি ঘরটি ডানদিকে বর্গক্ষেত্রের বাইরে যায়, তাহলে সংখ্যাটি প্রথম কলামে এবং পূর্ববর্তী লাইনে লিখুন (চিত্র 5.10)।

ভাত। 5.10। আমরা তৃতীয় সংখ্যা রাখি

নিয়ম 5. যদি ঘরটি ইতিমধ্যেই দখল হয়ে থাকে, তাহলে বর্তমান ঘরের নিচে পরবর্তী সংখ্যাটি লিখুন (চিত্র 5.11)।

ভাত। 5.11। আমরা চতুর্থ সংখ্যা রাখি

ভাত। 5.12। আমরা পঞ্চম এবং ষষ্ঠ সংখ্যা রাখি

যতক্ষণ না আপনি পুরো বর্গটি সম্পূর্ণ না করেন ততক্ষণ আবার নিয়ম 3, 4, 5 অনুসরণ করুন (চিত্র।

এটা কি সত্য নয়, নিয়মগুলি খুব সহজ এবং পরিষ্কার, কিন্তু এখনও 9 সংখ্যার ব্যবস্থা করা বেশ ক্লান্তিকর। যাইহোক, ম্যাজিক স্কোয়ার নির্মাণের অ্যালগরিদম জেনে, আমরা সহজেই কম্পিউটারকে সমস্ত রুটিন কাজের দায়িত্ব দিতে পারি, নিজেদেরকে শুধুমাত্র সৃজনশীল কাজ ছেড়ে দিতে পারি, অর্থাৎ একটি প্রোগ্রাম লেখা।

ভাত। 5.13। নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি পূরণ করুন

প্রজেক্ট ম্যাজিক স্কোয়ার (জাদু)

প্রোগ্রামের জন্য মাঠ সেট ম্যাজিক স্কোয়ারবেশ সুস্পষ্ট:

// প্রজন্মের জন্য প্রোগ্রাম

// বিজোড় ম্যাজিক স্কোয়ার

// দে লা লুবার্ট পদ্ধতি দ্বারা

পাবলিক আংশিক ক্লাস ফর্ম 1 : ফর্ম

//সর্বোচ্চ বর্গাকার মাত্রা: const int MAX_SIZE = 27; //var

intn=0; // বর্গ ক্রম int [,] mq; // জাদু বর্গ

int সংখ্যা = 0; // বর্তমান সংখ্যা থেকে বর্গক্ষেত্র

intcol=0; // বর্তমান কলাম int row=0; // বর্তমান লাইন

De la Louber-এর পদ্ধতিটি যেকোনো আকারের বিজোড় স্কোয়ার তৈরির জন্য উপযুক্ত, তাই আমরা ব্যবহারকারীকে বর্গক্ষেত্রের ক্রম বেছে নেওয়ার সুযোগ দিতে পারি, যুক্তিসঙ্গতভাবে পছন্দের স্বাধীনতাকে 27টি ঘরে সীমিত করে।

ব্যবহারকারী কাঙ্ক্ষিত বোতাম টিপানোর পর btnGen জেনারেট করুন! , btnGen_Click পদ্ধতিটি সংখ্যা সংরক্ষণ করার জন্য একটি অ্যারে তৈরি করে এবং জেনারেট পদ্ধতিতে পাস করে:

// "জেনারেট" বোতাম টিপুন

ব্যক্তিগত অকার্যকর btnGen_Click(অবজেক্ট প্রেরক, EventArgs e)

//বর্গক্ষেত্রের ক্রম:

n = (int)udNum.Value;

// একটি অ্যারে তৈরি করুন:

mq = নতুন int;

//জেনারেট ম্যাজিক স্কোয়ার: জেনারেট();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

এখানে আমরা দে লা লাউবারের নিয়ম অনুযায়ী কাজ শুরু করি এবং প্রথম সংখ্যা লিখি - এক - বর্গক্ষেত্রের প্রথম সারির মাঝের ঘরে (বা অ্যারে, যদি আপনি চান):

// ম্যাজিক স্কোয়ার ভ্যায়েড জেনারেট ()( জেনারেট করুন

//প্রথম সংখ্যা: সংখ্যা=1;

// প্রথম সংখ্যার জন্য কলাম - মধ্যম: col = n / 2 + 1;

//প্রথম সংখ্যার জন্য লাইন - প্রথমটি: সারি=1;

//বর্গ এটি: mq= সংখ্যা;

এখন আমরা ক্রমানুসারে কোষের অবশিষ্ট কোষগুলি যোগ করি - দুই থেকে n * n পর্যন্ত:

// পরবর্তী সংখ্যায় যান:

আমরা মনে রাখি, কেবল ক্ষেত্রে, প্রকৃত কক্ষের স্থানাঙ্কগুলি

int tc=col; int tr = সারি;

এবং তির্যকভাবে পরবর্তী কোষে যান:

আমরা তৃতীয় নিয়মের বাস্তবায়ন পরীক্ষা করি:

যদি (সারি< 1) row= n;

এবং তারপর চতুর্থ:

যদি (কল > n) ( col=1;

goto rule3;

এবং পঞ্চম:

যদি (mq != 0) ( col=tc;

সারি=tr+1; goto rule3;

আমরা কিভাবে জানি যে বর্গক্ষেত্রের ঘরে ইতিমধ্যে একটি সংখ্যা আছে? - খুব সহজ: আমরা বিচক্ষণতার সাথে সমস্ত কক্ষে শূন্য লিখেছি এবং সমাপ্ত বর্গক্ষেত্রের সংখ্যাগুলি শূন্যের চেয়ে বেশি। সুতরাং, অ্যারের উপাদানের মান দ্বারা, আমরা অবিলম্বে নির্ধারণ করব যে ঘরটি খালি আছে নাকি ইতিমধ্যে একটি সংখ্যা আছে! অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে এখানে আমাদের সেই সেল স্থানাঙ্কগুলির প্রয়োজন যা আমরা পরবর্তী সংখ্যার জন্য ঘরটি অনুসন্ধান করার আগে মনে রেখেছিলাম।

শীঘ্রই বা পরে, আমরা নম্বরটির জন্য একটি উপযুক্ত ঘর খুঁজে পাব এবং এটি সংশ্লিষ্ট অ্যারে ঘরে লিখব:

এটি বর্গক্ষেত্র: mq = সংখ্যা;

পরিবর্তনের গ্রহণযোগ্যতার চেক সংগঠিত করার জন্য অন্য উপায় চেষ্টা করুন

বাহ সেল!

যদি এই সংখ্যাটি শেষ হয়, তবে প্রোগ্রামটি তার বাধ্যবাধকতাগুলি পূরণ করেছে, অন্যথায় এটি স্বেচ্ছায় নিম্নলিখিত নম্বর সহ সেল সরবরাহ করতে এগিয়ে যায়:

//যদি সব সংখ্যা সেট করা না থাকে, তাহলে যদি (সংখ্যা< n*n)

//পরবর্তী নম্বরে যান: nextNumber যান;

এবং এখন বর্গ প্রস্তুত! আমরা এর ম্যাজিক যোগফল গণনা করি এবং এটি স্ক্রিনে মুদ্রণ করি:

) //জেনারেট()

একটি অ্যারের উপাদানগুলি মুদ্রণ করা খুব সহজ, তবে বিভিন্ন "দৈর্ঘ্য" এর সংখ্যাগুলির সারিবদ্ধকরণটি বিবেচনায় নেওয়া গুরুত্বপূর্ণ কারণ একটি বর্গক্ষেত্রে এক-, দুই- এবং তিন-সংখ্যার সংখ্যা থাকতে পারে:

// ম্যাজিক স্কোয়ার ভ্যায়েড রাইটএমকিউ() প্রিন্ট করুন

lstRes.ForeColor = রঙ .কালো;

স্ট্রিং s = "ম্যাজিক যোগ = " + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(গুলি);

lstRes.Items.Add("");

// ম্যাজিক স্কোয়ার প্রিন্ট করুন: for (int i=1; i<= n; ++i){

s="" ;

জন্য (int j = 1; j<= n; ++j){

যদি (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(গুলি);

lstRes.Items.Add(""); )//writeMQ()

আমরা প্রোগ্রামটি চালু করি - স্কোয়ারগুলি দ্রুত প্রাপ্ত হয় এবং চোখের জন্য ভোজ হয় (চিত্র।

ভাত। 5.14। বেশ বর্গক্ষেত্র!

S. Goodman, S. Hidetniemi এর বইতেঅ্যালগরিদমগুলির বিকাশ এবং বিশ্লেষণের ভূমিকা

mov , পৃষ্ঠা 297-299-এ আমরা একই অ্যালগরিদম পাব, কিন্তু একটি "হ্রাস" উপস্থাপনায়। এটি আমাদের সংস্করণের মতো "স্বচ্ছ" নয়, তবে এটি সঠিকভাবে কাজ করে।

একটি বোতাম যোগ করুন btnGen2 জেনারেট 2! এবং ভাষায় অ্যালগরিদম লিখুন

btnGen2_Click পদ্ধতিতে C-sharp:

//অ্যালগরিদম ODDMS

ব্যক্তিগত অকার্যকর btnGen2_Click(অবজেক্ট প্রেরক, EventArgs e)

//বর্গক্ষেত্রের ক্রম: n = (int )udNum.Value;

// একটি অ্যারে তৈরি করুন:

mq = নতুন int;

// ম্যাজিক স্কোয়ার তৈরি করুন: int সারি = 1;

int col = (n+1)/2;

জন্য (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; যদি (i % n == 0)

যদি (সারি == 1) সারি = n;

if (col == n) col = 1;

//বর্গ সম্পন্ন: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

আমরা বোতামটি ক্লিক করি এবং নিশ্চিত করি যে "আমাদের" স্কোয়ারগুলি তৈরি হয়েছে (চিত্র।

ভাত। 5.15। একটি নতুন ছদ্মবেশে পুরানো অ্যালগরিদম

পৌর শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "জিমনেসিয়াম নং 41"

ম্যাজিক স্কোয়ার

কর্মকর্তা: ,

গণিত শিক্ষক

নভোরাল্স্ক, 2012

ভূমিকা 3

1. ম্যাজিক স্কোয়ার সম্পর্কে সাধারণ তথ্য 4

1.1। ম্যাজিক বর্গ ধারণা 4

1.2। ম্যাজিক স্কোয়ারের ইতিহাস থেকে 4

1.3। ম্যাজিক স্কোয়ারের প্রকারভেদ 6

2. ম্যাজিক স্কোয়ার সমাধান করা 6

2.1। ম্যাজিক স্কোয়ার সমাধান করা (ব্যাচেট ডি মেজিরাকের পদ্ধতি) 7

2.2। সমস্যা বিবৃতি 8

2.3। ম্যাজিক স্কোয়ার সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম 8

2.4। অ্যালগরিদমের প্রমাণ (বীজগণিত আকারে) 9

2.5। অ্যালগরিদম 10 ব্যবহার করে একটি ম্যাজিক স্কোয়ার সমাধানের একটি উদাহরণ

3. ম্যাজিক স্কোয়ার ব্যবহার করে 11

3.1। ম্যাজিক স্কোয়ারের সাধারণীকরণের বিভিন্ন ক্ষেত্রে 11

3.2। ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের প্রয়োগ 12

4. সাধারণ উপসংহার 13

5. উপসংহার 14

6. তথ্যসূত্র 15

পরিশিষ্ট 1

পরিশিষ্ট 2

অ্যানেক্স 3

ভূমিকা

গাণিতিক বৃত্তের পাঠে, আমরা বিশেষ নিয়ম অনুসারে বর্গক্ষেত্রের ঘরগুলি পূরণ করার সাথে সম্পর্কিত সমস্যার সম্মুখীন হয়েছি। প্রস্তাবিত সংখ্যাগুলি প্রবেশ করাতে হয়েছিল যাতে ফলাফলটি একবারে বেশ কয়েকটি শর্ত পূরণ করে:

আপনি যদি প্রতিটি লাইনে সমস্ত সংখ্যা যোগ করেন,

আপনি যদি প্রতিটি কলামে সমস্ত সংখ্যা যোগ করেন,

আপনি যদি দুটি কর্ণে সমস্ত সংখ্যা যোগ করেন,

তাহলে এই সমস্ত যোগফল একই সংখ্যার সমান হবে।

সমস্যাগুলি প্রাথমিক সংখ্যায় ভিন্ন হওয়া সত্ত্বেও, সংখ্যার ক্রম, প্রদত্ত যোগফল, সেগুলি সব একই রকম ছিল এবং সমাধানগুলি একই ধরণের ছিল।

ধারণাটি কেবল প্রতিটি কাজের সমাধান করার জন্য নয়, একটি সাধারণ সমাধান অ্যালগরিদম নিয়ে আসা, সেইসাথে সাহিত্যে এই ধরণের সমস্যাগুলি সম্পর্কে ঐতিহাসিক তথ্য খুঁজে বের করার জন্যও উদ্ভূত হয়েছিল।

দেখা গেল যে আমাদের আগ্রহের পরিসংখ্যানগুলিকে ম্যাজিক স্কোয়ার বলা হয়, যা প্রাচীন কাল থেকে পরিচিত। সেগুলো নিয়ে আলোচনা হবে কাজে।

উদ্দেশ্য:ম্যাজিক স্কোয়ার সম্পর্কে তথ্য সুশৃঙ্খল করুন, তাদের সমাধানের জন্য একটি অ্যালগরিদম বিকাশ করুন।

কাজ:

1. ম্যাজিক স্কোয়ারের উত্থানের ইতিহাস অধ্যয়ন করুন।

2. জাদু স্কোয়ারের প্রকারগুলি সনাক্ত করুন।

3. জাদু স্কোয়ার সমাধান কিভাবে শিখুন.

4. আপনার সমাধান অ্যালগরিদম বিকাশ করুন এবং প্রমাণ করুন।

5. ম্যাজিক স্কোয়ারের ব্যবহার নির্ধারণ করুন।

1. ম্যাজিক স্কোয়ার সম্পর্কে সাধারণ তথ্য

1.1। একটি জাদু বর্গ ধারণা

ম্যাজিক স্কোয়ার আজও খুব জনপ্রিয়। এগুলি হল বর্গক্ষেত্র, যার প্রতিটি কক্ষে সংখ্যাগুলি খোদাই করা আছে যাতে যেকোনো অনুভূমিক, যেকোনো উল্লম্ব এবং যেকোনো তির্যক বরাবর সংখ্যার যোগফল সমান হয়। জার্মান শিল্পী A. Dürer "Melancholia" (পরিশিষ্ট 1) এর খোদাইতে চিত্রিত ম্যাজিক স্কোয়ারটি সবচেয়ে বিখ্যাত।

1.2। ম্যাজিক স্কোয়ারের ইতিহাস থেকে

সংখ্যাগুলি একজন ব্যক্তির জীবনে এতটাই প্রবেশ করেছে যে তারা তাদের সমস্ত ধরণের যাদুকরী বৈশিষ্ট্যগুলিকে দায়ী করতে শুরু করেছে। ইতিমধ্যে কয়েক হাজার বছর আগে প্রাচীন চীনে, তারা যাদু স্কোয়ার আঁকার মাধ্যমে দূরে নিয়ে গিয়েছিল। চীন ও ভারতে প্রত্নতাত্ত্বিক খননের সময় বর্গাকার তাবিজ পাওয়া গেছে। বর্গক্ষেত্রটিকে নয়টি ছোট বর্গক্ষেত্রে বিভক্ত করা হয়েছিল, যার প্রতিটিতে 1 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যা লেখা ছিল। এটি লক্ষণীয় যে যেকোন উল্লম্ব, অনুভূমিক এবং তির্যক সমস্ত সংখ্যার যোগফল একই সংখ্যা 15 (চিত্র 1) এর সমান ছিল।

ছবি 1.

মধ্যযুগে ম্যাজিক স্কোয়ার খুব জনপ্রিয় ছিল। বিখ্যাত জার্মান শিল্পী আলব্রেখ্ট ডুরারের "মেলাঞ্চোলিয়া" খোদাইতে একটি জাদু স্কোয়ার চিত্রিত হয়েছে। বর্গক্ষেত্রের 16 টি কক্ষে 1 থেকে 16 পর্যন্ত সংখ্যা রয়েছে এবং সমস্ত দিকের সংখ্যার যোগফল হল 34। কৌতূহলজনকভাবে, নীচের লাইনের মাঝখানে দুটি সংখ্যা নির্দেশ করে যে ছবিটি তৈরি হয়েছিল - 1514। ম্যাজিক স্কোয়ার পাওয়া গণিতবিদদের মধ্যে একটি জনপ্রিয় বিনোদন ছিল, বিশাল স্কোয়ার তৈরি করা হয়েছিল, উদাহরণস্বরূপ, 43x43, 1 থেকে 1849 পর্যন্ত সংখ্যা রয়েছে এবং যাদু বর্গগুলির নির্দেশিত বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও, তাদের অনেক অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যও রয়েছে। যে কোনো আকারের ম্যাজিক স্কোয়ার নির্মাণের উপায় উদ্ভাবন করা হয়েছে, কিন্তু এখন পর্যন্ত এমন কোনো সূত্র খুঁজে পাওয়া যায়নি যার সাহায্যে প্রদত্ত আকারের ম্যাজিক স্কোয়ারের সংখ্যা বের করা যায়। এটি পরিচিত, এবং আপনি সহজেই এটি নিজেই দেখাতে পারেন যে কোনও 2x2 ম্যাজিক স্কোয়ার নেই, ঠিক একটি 3x3 ম্যাজিক স্কোয়ার রয়েছে, এই ধরনের বাকি স্কোয়ারগুলি ঘূর্ণন এবং প্রতিসাম্য দ্বারা এটি থেকে প্রাপ্ত হয়। ইতিমধ্যে 800টি 4x4 ম্যাজিক স্কোয়ার রয়েছে এবং 5x5 স্কোয়ারের সংখ্যা এক মিলিয়নের এক চতুর্থাংশের কাছাকাছি।

1.3। ম্যাজিক স্কোয়ারের প্রকারভেদ

মায়াবী(জাদু বর্গ) n 2টি সংখ্যা এমনভাবে যাতে প্রতিটি সারিতে, প্রতিটি কলাম এবং উভয় কর্ণের সংখ্যার যোগফল সমান হয়।

আধা-জাদু বর্গক্ষেত্রএকটি এনএক্সএন বর্গাকার টেবিল ভরা n 2 সংখ্যা এমনভাবে যাতে সংখ্যার যোগফল শুধুমাত্র সারি এবং কলামে সমান হয়।

স্বাভাবিক 1 থেকে পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভরা একটি ম্যাজিক বর্গ n 2.

সহযোগী (প্রতিসম) -ম্যাজিক বর্গ, যেটিতে বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রে প্রতিসমভাবে অবস্থিত যেকোনো দুটি সংখ্যার যোগফল সমান n 2 + 1.

শয়তান (প্যান্ডিয়াগোনাল) ম্যাজিক স্কোয়ার- একটি ম্যাজিক বর্গ, যেখানে ভাঙা তির্যক বরাবর সংখ্যার যোগফল (বর্গকে টরাসে ভাঁজ করা হলে যে কর্ণগুলি গঠিত হয়) উভয় দিকেও যাদু ধ্রুবকের সাথে মিলে যায়।

48 4x4 ডেভিল ম্যাজিক স্কোয়ার আছে, ঘূর্ণন এবং প্রতিফলনের জন্য সঠিক। যদি আমরা তাদের অতিরিক্ত প্রতিসাম্য - টরিক সমান্তরাল অনুবাদগুলিকেও বিবেচনা করি, তবে শুধুমাত্র 3টি মূলত ভিন্ন স্কোয়ার থাকবে (চিত্র 2)।

চিত্র ২.

চতুর্থ ক্রমে প্যান্ডিয়াগোনাল বর্গক্ষেত্রে অনেকগুলি অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যার জন্য তাদের বলা হয় প্রতিশ্রুতিবদ্ধ. বিজোড় ক্রম নিখুঁত বর্গ বিদ্যমান নেই. 4 এর উপরে ডবল প্যারিটির প্যান্ডিয়াগোনাল বর্গগুলির মধ্যে নিখুঁতগুলি রয়েছে।

পঞ্চম ক্রমটির 3600টি প্যান্ডিয়াগোনাল বর্গ রয়েছে৷ টরিক সমান্তরাল অনুবাদের হিসাব নিলে, 144টি বিভিন্ন প্যান্ডিয়াগোনাল বর্গ রয়েছে৷

2. ম্যাজিক স্কোয়ারের সমাধান

2.1 ম্যাজিক স্কোয়ারের সমাধান (বাচার ডি মেজিরাকের পদ্ধতি)

বর্গের ক্রম বিজোড়, বিজোড় সংখ্যার দ্বিগুণ বা বিজোড় সংখ্যার চার গুণের সমান কিনা তার উপর নির্ভর করে ম্যাজিক স্কোয়ার নির্মাণের নিয়ম তিনটি বিভাগে পড়ে। সমস্ত বর্গক্ষেত্র নির্মাণের সাধারণ পদ্ধতি অজানা, যদিও বিভিন্ন স্কিম ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। শুধুমাত্র n ≤ 4 এর জন্য n অর্ডারের সমস্ত ম্যাজিক বর্গ খুঁজে পাওয়া সম্ভব।

নির্বিচারে বড় আকারের সাধারণ জাদু স্কোয়ারগুলি সমাধান করতে, আমরা 1612 সালে ফরাসী গণিতবিদ ক্লদ ব্যাচেট ডি মেজিরাক দ্বারা বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করি। তাঁর বইয়ের একটি রাশিয়ান অনুবাদ 1877 সালে সেন্ট পিটার্সবার্গে "গণিতের উপর ভিত্তি করে গেমস এবং সমস্যা" শিরোনামে প্রকাশিত হয়েছিল।

বর্গাকার কাগজে একটি জাদু বর্গক্ষেত্র তৈরি করা সুবিধাজনক। ধরুন n একটি বিজোড় সংখ্যা, এবং আপনাকে 1 থেকে n2 পর্যন্ত সংখ্যা সহ একটি nxn বর্গক্ষেত্র তৈরি করতে হবে, আমরা ধাপে ধাপে কাজ করি।

1. আমরা 1 থেকে n2 পর্যন্ত সমস্ত সংখ্যাগুলিকে কক্ষে তির্যকভাবে লিখি (এক সারিতে n সংখ্যাগুলি) একটি তির্যক বর্গক্ষেত্র তৈরি করি।

2. এর কেন্দ্রে একটি nxn বর্গক্ষেত্র নির্বাচন করুন। এটি ভবিষ্যতের ম্যাজিক স্কোয়ারের ভিত্তি (সব কক্ষ এখনও পূর্ণ হয়নি)।

3. কেন্দ্রীয় বর্গক্ষেত্রের বাইরে অবস্থিত প্রতিটি সংখ্যাসূচক "কোণ" সাবধানে ভিতরের দিকে স্থানান্তরিত হয় - বর্গক্ষেত্রের বিপরীত দিকে। এই কোণার সংখ্যা সব খালি ঘর পূরণ করা উচিত. জাদু চত্বর নির্মিত হয়.

1 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যা দিয়ে একটি 3x3 বর্গ পূরণ করার একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। এটি করার জন্য, কর্ণ পেতে বর্গক্ষেত্রে অতিরিক্ত ঘর যোগ করুন। প্রথমে, 1 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যা সহ তির্যক কোষগুলি পূরণ করুন (চিত্র 3), তারপর বর্গের খালি ঘরগুলিতে "কোণাগুলি ভাঁজ করুন" বিপরীত দিকের দিকে (চিত্র 4)।

চিত্র 3. চিত্র 4।

2.2। সমস্যা প্রণয়ন.

আসুন ম্যাজিক স্কোয়ার সমাধানের আমাদের নিজস্ব উপায় বর্ণনা করি। আসুন আমরা 3x3 ম্যাজিক স্কোয়ারের গাণিতিক মডেলের অধ্যয়নের বিষয়ে চিন্তা করি।

সমস্যার সাধারণ গঠন।

নয়টি সংখ্যা আছে। একটি 3x3 বর্গক্ষেত্রের কক্ষে তাদের সাজানো প্রয়োজন, যাতে যেকোনো উল্লম্ব, অনুভূমিক এবং তির্যক রেখা বরাবর সংখ্যার যোগফল সমান হয়।

2.3। ম্যাজিক স্কয়ার অ্যালগরিদম

অ্যালগরিদমের মৌখিক বর্ণনা

1. ক্রমবর্ধমান ক্রমে সংখ্যা সাজান।

2. কেন্দ্রীয় সংখ্যা খুঁজুন (ক্রম অনুসারে পঞ্চম)।

3. নিয়ম অনুযায়ী জোড়া নির্ধারণ করুন: 1 জোড়া - প্রথম সংখ্যা এবং নবম,

2 জোড়া - দ্বিতীয় সংখ্যা এবং অষ্টম,

3 জোড়া - তৃতীয় সংখ্যা এবং সপ্তম,

4 জোড়া - চতুর্থ সংখ্যা এবং ষষ্ঠ সংখ্যা।

4. প্রতিটি উল্লম্ব, অনুভূমিক, তির্যক বরাবর সংখ্যা যোগ করে সংখ্যার যোগফল (S) বের করুন: ক্ষুদ্রতম, কেন্দ্রীয়, বৃহত্তম সংখ্যা, অর্থাৎ কেন্দ্রীয় সংখ্যার সাথে জোড়ার সংখ্যা 1 যোগ করুন।

5. বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রে কেন্দ্রীয় সংখ্যা রাখুন।

6. মুক্ত কক্ষের কেন্দ্রীয় অনুভূমিক (বা উল্লম্ব) উপর, সংখ্যার প্রথম জোড়া লিখুন।

7. যেকোনো তির্যক বরাবর সংখ্যার দ্বিতীয় জোড়া লিখুন (যাতে প্রথম জোড়ার বড় সংখ্যাটি দ্বিতীয় জোড়ার ছোট সংখ্যার সাথে কলামে থাকে)।

8. নিয়ম অনুসারে চরম কলামগুলির একটিতে যে সংখ্যাটি লিখতে হবে তা গণনা করুন:

S থেকে কলামের ঘরে থাকা দুটি সংখ্যার যোগফল বিয়োগ করুন, সংখ্যাটি পান।

9. তির্যকভাবে ফলিত সংখ্যার সাথে, এর জোড়ার দ্বিতীয় সংখ্যাটি লিখুন।

10. নিয়ম অনুযায়ী অবশিষ্ট কক্ষে সংখ্যার শেষ জোড়া লিখুন: ছোট একটির সাথে লাইনে জোড়া থেকে বড় সংখ্যাটি এবং অবশিষ্ট খালি ঘরে ছোট সংখ্যাটি প্রবেশ করান৷

2.4। ম্যাজিক বর্গ পূরণের সঠিকতার প্রমাণ

(সাধারণ আকারে সমস্যার সমাধান)

আমরা প্রমাণ করব যে অ্যালগরিদমের ফলস্বরূপ বর্গক্ষেত্রের উল্লম্ব, অনুভূমিক এবং কর্ণ বরাবর অবস্থিত সংখ্যার যোগফল সমান হবে।

ধরুন অর্ডার করার পরে, প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা একটি ধ্রুবক মান দ্বারা পূর্ববর্তী সংখ্যা থেকে পৃথক এক্স. এর পরিপ্রেক্ষিতে সব সংখ্যা প্রকাশ করা যাক a1(সবচেয়ে ছোট সংখ্যা) এবং এক্স:

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+এক্স=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

ক9 = ক1 +8 এক্স.

যোগফল খুঁজে বের করা যাক এসএবং সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে এটি প্রকাশ করুন a1এবং এক্স: এস= ক1 + ক5 + ক9 =3 ক1 +12 এক্স.

প্রস্তাবিত অ্যালগরিদম অনুযায়ী জাদু বর্গ পূর্ণ করা যাক।

আসুন প্রমাণ করি যে বর্গক্ষেত্রের অনুভূমিক, উল্লম্ব এবং তির্যক বরাবর অবস্থিত সংখ্যার যোগফল সমান এস.

উল্লম্বভাবে:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

অনুভূমিকভাবে:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

তির্যকভাবে:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3ক1 +12x=S

আমরা একই পরিমাণ পেয়েছি। দাবী প্রমাণিত হয়েছে।

বিঃদ্রঃ.

এইভাবে সংগঠিত সংখ্যা একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করে। এই ক্রমানুসারে (ক্রম করার পরে), a1 হল পাটিগণিতের অগ্রগতির প্রথম সদস্য, x হল পাটিগণিতের অগ্রগতির পার্থক্য। সংখ্যার জন্য যেগুলি একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করে না, অ্যালগরিদম কাজ করে না।

2.5। ম্যাজিক স্কোয়ার সমাধানের একটি উদাহরণ

প্রদত্ত সংখ্যা: 5,2,4,8,1,3,7,9,6। প্রদত্ত সংখ্যা দিয়ে ম্যাজিক বর্গ পূরণ করুন।

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. কেন্দ্রীয় নম্বর 5 পেয়েছে।

3. দম্পতি: 1 এবং 9, 2 এবং 8, 3 এবং 7, 4 এবং 6।

4.S=5+1+9= 15 - যোগফল।

8. 15-(9+2)=4

এই অ্যালগরিদমটি Bachet de Meziriac পদ্ধতি থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা। একদিকে, এটির জন্য অতিরিক্ত গণনার প্রয়োজন (পদ্ধতির একটি অসুবিধা), অন্যদিকে, আমাদের পদ্ধতিতে অতিরিক্ত নির্মাণের প্রয়োজন নেই (তির্যক বর্গক্ষেত্র)। তদুপরি, পদ্ধতিটি শুধুমাত্র 1 থেকে 9 পর্যন্ত পরপর স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই প্রযোজ্য নয়, যে কোনও নয়টি সংখ্যার জন্যও প্রযোজ্য যা একটি গাণিতিক অগ্রগতির সদস্য, যেখানে আমরা এর সুবিধাগুলি দেখতে পাই। উপরন্তু, একটি জাদু ধ্রুবক স্বয়ংক্রিয়ভাবে নির্ধারিত হয় - প্রতিটি তির্যক, উল্লম্ব, অনুভূমিক বরাবর সংখ্যার যোগফল।

3. ম্যাজিক স্কোয়ার ব্যবহার করে

3.1। ম্যাজিক স্কোয়ারের সাধারণীকরণের বিভিন্ন ক্ষেত্রে

ম্যাজিক স্কোয়ার সংকলন এবং বর্ণনা করার সমস্যাগুলি প্রাচীনকাল থেকেই গণিতবিদদের আগ্রহের বিষয়। যাইহোক, সম্ভাব্য জাদু স্কোয়ারের সমস্ত মাইলফলকের একটি সম্পূর্ণ বিবরণ আজ পর্যন্ত পাওয়া যায়নি। বর্গক্ষেত্রের আকার (কোষের সংখ্যা) বৃদ্ধির সাথে সাথে সম্ভাব্য ম্যাজিক স্কোয়ারের সংখ্যা দ্রুত বৃদ্ধি পায়। বড় বর্গক্ষেত্রগুলির মধ্যে আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য সহ বর্গক্ষেত্র রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র নং 5 এর বর্গক্ষেত্রে, সারি, কলাম এবং কর্ণের সংখ্যার যোগফলই একে অপরের সমান নয়, তবে রঙিন রেখা দ্বারা চিত্রে সংযুক্ত "ভাঙা" কর্ণ বরাবর পাঁচের যোগফলও।

চিত্র 5. চিত্র 6।

ল্যাটিন বর্গ হল n x n কোষের একটি বর্গ, যাতে সংখ্যা 1, 2, ..., n লেখা হয়, উপরন্তু, এমনভাবে যাতে এই সমস্ত সংখ্যা প্রতিটি সারিতে এবং প্রতিটি কলামে একবার ঘটে। (ছবি 6) এই ধরনের দুটি ল্যাটিন স্কোয়ার 4x4 দেখানো হয়েছে। তাদের একটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে: যদি একটি বর্গক্ষেত্র অন্যটির উপর চাপানো হয়, তবে ফলাফলের সংখ্যাগুলির সমস্ত জোড়া আলাদা হতে পারে। ল্যাটিন স্কোয়ারের এই ধরনের জোড়াকে অর্থোগোনাল বলা হয়। অর্থোগোনাল ল্যাটিন স্কোয়ারগুলি খুঁজে বের করার কাজটি প্রথম এল. অয়লার দ্বারা সেট করা হয়েছিল, এবং এইরকম একটি বিনোদনমূলক ফর্মুলেশনে: “36 জন অফিসারের মধ্যে সমানভাবে ল্যান্সার, ড্রাগন, হুসার, কুইরাসিয়ার, অশ্বারোহী রক্ষী এবং গ্রেনেডিয়ার রয়েছে এবং উপরন্তু, সমানভাবে জেনারেল, কর্নেল, মেজর, ক্যাপ্টেন, লেফটেন্যান্ট এবং সেকেন্ড লেফটেন্যান্ট এবং প্রতিটি সার্ভিস শাখায় ছয়টি পদের কর্মকর্তারা প্রতিনিধিত্ব করেন। এই অফিসারদের 6x6 বর্গক্ষেত্রে সাজানো কি সম্ভব যাতে সমস্ত পদের অফিসাররা যে কোনও কলামে মিলিত হয়? (পরিশিষ্ট 2)।

এল অয়লার এই সমস্যার সমাধান খুঁজে পাননি। 1901 সালে এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে এই জাতীয় সমাধানের অস্তিত্ব নেই।

3.2। ল্যাটিন স্কোয়ারের প্রয়োগ

ম্যাজিক এবং ল্যাটিন স্কোয়ারগুলি ঘনিষ্ঠ আত্মীয়। ল্যাটিন স্কোয়ারের তত্ত্বটি গণিত এবং এর প্রয়োগ উভয় ক্ষেত্রেই অসংখ্য অ্যাপ্লিকেশন খুঁজে পেয়েছে। একটা উদাহরণ নেওয়া যাক। ধরুন আমরা একটি প্রদত্ত এলাকায় উৎপাদনশীলতার জন্য দুটি জাতের গমের পরীক্ষা করতে চাই, এবং আমরা ফসলের বিরলতার মাত্রা এবং দুই ধরনের সারের প্রভাবকে বিবেচনায় নিতে চাই। এটি করার জন্য, আমরা বর্গক্ষেত্রটিকে 16টি সমান অংশে ভাগ করি (চিত্র 7)। আমরা নীচের অনুভূমিক স্ট্রিপের সাথে সম্পর্কিত প্লটে প্রথম জাতের গম রোপণ করব, আমরা পরবর্তী জাতটি পরবর্তী স্ট্রিপের সাথে সম্পর্কিত চারটি প্লটে রোপণ করব, ইত্যাদি। (চিত্রে, জাতটি রঙ দ্বারা নির্দেশিত।)

কৃষি" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">কৃষি, পদার্থবিদ্যা, রসায়ন এবং প্রযুক্তি৷

4. সাধারণ উপসংহার

কাজের সময়, আমি বিভিন্ন ধরণের ম্যাজিক স্কোয়ারের সাথে পরিচিত হয়েছি, ব্যাচেট ডি মেজিরাক পদ্ধতি ব্যবহার করে কীভাবে সাধারণ ম্যাজিক স্কোয়ারগুলি সমাধান করতে হয় তা শিখেছি। যেহেতু আমাদের 3x3 ম্যাজিক স্কোয়ারের সমাধানটি নির্দিষ্ট পদ্ধতির থেকে আলাদা ছিল, কিন্তু প্রতিবার এটি আমাদেরকে সঠিকভাবে বর্গক্ষেত্রের ঘরগুলি পূরণ করার অনুমতি দেয়, আমাদের নিজস্ব অ্যালগরিদম বিকাশ করার ইচ্ছা জাগে। এই অ্যালগরিদমটি কাজটিতে বিশদভাবে বর্ণনা করা হয়েছে, বীজগণিত আকারে প্রমাণিত। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে এটি শুধুমাত্র সাধারণ বর্গক্ষেত্রেই নয়, 3x3 বর্গক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যেখানে সংখ্যাগুলি একটি গাণিতিক অগ্রগতি গঠন করে। আমরা ম্যাজিক এবং ল্যাটিন স্কোয়ার ব্যবহারের উদাহরণও খুঁজে বের করতে পেরেছি।

আমি শিখেছি কিভাবে: কিছু ম্যাজিক স্কোয়ার সমাধান করা, অ্যালগরিদমগুলি বিকাশ এবং বর্ণনা করা, বীজগণিত আকারে বিবৃতিগুলি প্রমাণ করা। আমি নতুন ধারণা শিখেছি: পাটিগণিতের অগ্রগতি, জাদু বর্গ, যাদু ধ্রুবক, বর্গের প্রকার অধ্যয়ন করেছি।

দুর্ভাগ্যবশত, আমার উন্নত অ্যালগরিদম বা ব্যাচেট ডি মেজিরাকের পদ্ধতি 4x4 ম্যাজিক স্কোয়ারের সমাধান করতে পারে না। অতএব, আমি এই জাতীয় স্কোয়ারগুলি সমাধান করার জন্য আরও একটি অ্যালগরিদম বিকাশ করতে চেয়েছিলাম।

5. উপসংহার

এই কাজে, যাদু স্কোয়ারগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল, তাদের উত্সের ইতিহাস বিবেচনা করা হয়েছিল। জাদু স্কোয়ারের প্রকারগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল: যাদু বা জাদু স্কোয়ার, আধা-জাদু স্কোয়ার, স্বাভাবিক, সহযোগী, শয়তান জাদু বর্গ, নিখুঁত।

তাদের সমাধানের জন্য বিদ্যমান পদ্ধতিগুলির মধ্যে, Basche de Meziriac পদ্ধতিটি বেছে নেওয়া হয়েছিল, এটি উদাহরণের উপর পরীক্ষা করা হয়েছিল। উপরন্তু, 3x3 ম্যাজিক স্কোয়ার সমাধানের জন্য, একটি নিজস্ব সমাধান অ্যালগরিদম প্রস্তাব করা হয়, এবং একটি গাণিতিক প্রমাণ বীজগণিত আকারে দেওয়া হয়।

প্রস্তাবিত অ্যালগরিদমটি Bacher de Meziriac পদ্ধতি থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক। একদিকে, এটির জন্য অতিরিক্ত গণনা প্রয়োজন (পদ্ধতির একটি অসুবিধা), অন্যদিকে, কোনও অতিরিক্ত নির্মাণের প্রয়োজন নেই। পদ্ধতিটি শুধুমাত্র 1 থেকে 9 পর্যন্ত পরপর স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই নয়, যে কোনো নয়টি সংখ্যার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য যা একটি গাণিতিক অগ্রগতির সদস্য, যেখানে আমরা এর সুবিধাগুলি দেখতে পাই। উপরন্তু, একটি জাদু ধ্রুবক স্বয়ংক্রিয়ভাবে নির্ধারিত হয় - প্রতিটি তির্যক, উল্লম্ব, অনুভূমিক বরাবর সংখ্যার যোগফল।

কাগজটি ম্যাজিক স্কোয়ারের একটি সাধারণীকরণ উপস্থাপন করে - ল্যাটিন স্কোয়ার এবং তাদের ব্যবহারিক প্রয়োগ বর্ণনা করে।

এই কাজটি গণিত পাঠে একটি অতিরিক্ত উপাদান হিসাবে, সেইসাথে শ্রেণীকক্ষে এবং ছাত্রদের সাথে ব্যক্তিগত কাজে ব্যবহার করা যেতে পারে।

6. তথ্যসূত্র

1. সংখ্যার জগতের ধাঁধা / Comp. - ডি.: স্টলকার, 1997.-448s।

2. একজন তরুণ গণিতবিদ/কম্পের বিশ্বকোষীয় অভিধান। - এম।: শিক্ষাবিদ্যা, 1989 - 352 পিপি।: অসুস্থ।

3. শিশুদের জন্য বিশ্বকোষ। T11। গণিত / অধ্যায়। এড - এম.: অবন্ত +, 2000 - 688s.: অসুস্থ।

4. আমি বিশ্ব জানি: শিশুদের বিশ্বকোষ: গণিত / Comp. - এবং অন্যান্য - M.: AST, 1996. - 480s.: অসুস্থ।

জাদু বর্গ,পূর্ণসংখ্যার একটি বর্গাকার সারণী যেখানে যেকোনো সারি, যেকোনো কলাম এবং দুটি প্রধান কর্ণের যেকোনো একটির সাথে সংখ্যার যোগফল একই সংখ্যার সমান।

ম্যাজিক স্কোয়ারটি প্রাচীন চীনা বংশোদ্ভূত। কিংবদন্তি অনুসারে, সম্রাট ইউ এর রাজত্বকালে (আনুমানিক 2200 খ্রিস্টপূর্ব), হলুদ নদীর জল থেকে একটি পবিত্র কচ্ছপ আবির্ভূত হয়েছিল, যার খোলে রহস্যময় হায়ারোগ্লিফগুলি খোদাই করা হয়েছিল (চিত্র 1, ক), এবং এই চিহ্নগুলি লো-শু নামে পরিচিত এবং ডুমুরে দেখানো জাদু বর্গক্ষেত্রের সমতুল্য। এক, খ. 11 শতকে তারা ভারতে এবং তারপরে জাপানে, যেখানে 16 শতকে জাদু স্কোয়ার সম্পর্কে শিখেছিল। ম্যাজিক স্কোয়ারগুলি একটি বিস্তৃত সাহিত্যের বিষয় হয়ে উঠেছে। তিনি 15 শতকে ইউরোপীয়দের জাদু স্কোয়ারের সাথে পরিচয় করিয়ে দেন। বাইজেন্টাইন লেখক ই. মোসখোপোলোস। একজন ইউরোপীয় দ্বারা আবিষ্কৃত প্রথম বর্গ হল এ. ডুরারের বর্গ (চিত্র 2), তার বিখ্যাত খোদাইতে চিত্রিত বিষাদ ঘ. খোদাইয়ের তারিখ (1514) নীচের লাইনের দুটি কেন্দ্রীয় কক্ষের সংখ্যা দ্বারা নির্দেশিত হয়। বিভিন্ন রহস্যময় বৈশিষ্ট্য যাদু স্কোয়ারের জন্য দায়ী করা হয়েছিল। 16 শতকে কর্নেলিয়াস হেনরিক আগ্রিপা 3য়, 4র্থ, 5ম, 6ম, 7ম, 8ম এবং 9ম অর্ডারের স্কোয়ার তৈরি করেছিলেন, যেগুলি 7টি গ্রহের জ্যোতিষশাস্ত্রের সাথে যুক্ত ছিল। একটি বিশ্বাস ছিল যে রূপোর উপর খোদাই করা একটি জাদু বর্গ প্লেগ থেকে সুরক্ষিত। আজও, ইউরোপীয় সুথসেয়ারদের গুণাবলীর মধ্যে, কেউ জাদু স্কোয়ার দেখতে পারে।

19 এবং 20 শতকে জাদু স্কোয়ারের প্রতি আগ্রহ নতুন করে প্রাণবন্ত হয়ে ওঠে। উচ্চতর বীজগণিত এবং কর্মক্ষম ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করে তারা তদন্ত করা শুরু করে।

ম্যাজিক বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি উপাদানকে একটি কোষ বলা হয়। একটি বর্গক্ষেত্র যার পাশ nকোষ, ধারণ করে n 2 কোষ এবং একটি বর্গক্ষেত্র বলা হয় n-ম আদেশ। বেশিরভাগ জাদু স্কোয়ার প্রথম ব্যবহার করে nক্রমাগত প্রাকৃতিক সংখ্যা। সমষ্টি এসপ্রতিটি সারিতে, প্রতিটি কলামে এবং যেকোনো তির্যকের উপর থাকা সংখ্যাগুলিকে বর্গক্ষেত্রের ধ্রুবক বলা হয় এবং এর সমান এস = n(n 2 + 1)/2। সেটা প্রমাণ করেছেন n i 3. অর্ডারের একটি বর্গক্ষেত্রের জন্য 3 এস= 15, 4র্থ ক্রম - এস= 34, 5ম ক্রম - এস = 65.

বর্গক্ষেত্রের মাঝখান দিয়ে যাওয়া দুটি কর্ণকে প্রধান কর্ণ বলা হয়। একটি ভাঙা রেখা হল একটি তির্যক যা, বর্গক্ষেত্রের প্রান্তে পৌঁছে, বিপরীত প্রান্ত থেকে প্রথম অংশের সমান্তরালভাবে চলতে থাকে (চিত্র 3-এ ছায়াযুক্ত কোষ দ্বারা এই ধরনের একটি তির্যক গঠিত হয়)। যে কোষগুলি বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রে প্রতিসাম্যযুক্ত তাদেরকে স্ক্যু-সিমেট্রিক বলে। উদাহরণস্বরূপ, কোষ কএবং খডুমুর মধ্যে 3.

বর্গের ক্রম বিজোড়, বিজোড় সংখ্যার দ্বিগুণ বা বিজোড় সংখ্যার চার গুণের সমান কিনা তার উপর নির্ভর করে ম্যাজিক স্কোয়ার নির্মাণের নিয়ম তিনটি বিভাগে পড়ে। সমস্ত বর্গক্ষেত্র নির্মাণের জন্য সাধারণ পদ্ধতি অজানা, যদিও বিভিন্ন স্কিম ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে কয়েকটি আমরা নীচে বিবেচনা করব।

17 শতকের ফরাসি জিওমিটারের পদ্ধতি ব্যবহার করে বিজোড় ক্রমে ম্যাজিক স্কোয়ার তৈরি করা যেতে পারে। এ. দে লা লুবেরা। 5ম ক্রম বর্গক্ষেত্রের উদাহরণ ব্যবহার করে এই পদ্ধতিটি বিবেচনা করুন (চিত্র 4)। 1 নম্বরটি উপরের সারির কেন্দ্রীয় কক্ষে স্থাপন করা হয়েছে। সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি ডান থেকে বাম দিকে কর্ণের কোষগুলিতে নীচে থেকে উপরের দিকে চক্রাকারে প্রাকৃতিক ক্রমে সাজানো হয়। বর্গক্ষেত্রের উপরের প্রান্তে পৌঁছে (যেমন 1 নম্বরের ক্ষেত্রে), আমরা পরবর্তী কলামের নীচের ঘর থেকে শুরু করে তির্যকটি পূরণ করতে থাকি। বর্গক্ষেত্রের ডান প্রান্তে পৌঁছে (সংখ্যা 3), আমরা উপরের লাইনের সাথে বাম ঘর থেকে আসা তির্যকটি পূরণ করতে থাকি। একটি ভরাট কক্ষ (নম্বর 5) বা একটি কোণে (15 নম্বর) পৌঁছানোর পরে, ট্র্যাজেক্টোরিটি একটি কক্ষের নিচে নেমে আসে, তারপরে ভরাট প্রক্রিয়া চলতে থাকে।

F. de la Ira (1640-1718) এর পদ্ধতি দুটি মূল বর্গক্ষেত্রের উপর ভিত্তি করে। ডুমুর উপর. চিত্র 5 দেখায় কিভাবে এই পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি 5ম ক্রম বর্গক্ষেত্র তৈরি করা হয়। 1 থেকে 5 পর্যন্ত সংখ্যাগুলি প্রথম বর্গক্ষেত্রের কক্ষে প্রবেশ করানো হয় যাতে ডানদিকে প্রধান তির্যকের কক্ষগুলিতে 3 নম্বরটি পুনরাবৃত্তি হয় এবং একটি সারিতে বা একটি কলামে একটি সংখ্যা দুবার না ঘটে। আমরা 0, 5, 10, 15, 20 সংখ্যাগুলির সাথে একই পার্থক্য করি যে 10 নম্বরটি এখন উপরের থেকে নীচের দিকে যাওয়া প্রধান তির্যকের কোষগুলিতে পুনরাবৃত্তি হয় (চিত্র 5, খ) এই দুটি বর্গক্ষেত্রের কোষ-বাই-কোষ যোগফল (চিত্র 5, ভিতরে) একটি জাদু বর্গ গঠন করে। এই পদ্ধতিটি সমান অর্ডারের স্কোয়ার নির্মাণেও ব্যবহৃত হয়।

অর্ডার স্কোয়ার নির্মাণের জন্য একটি পদ্ধতি জানা থাকলে মিএবং আদেশ n, তারপর আমরা অর্ডারের একটি বর্গ তৈরি করতে পারি মিґ n. এই পদ্ধতির সারমর্ম চিত্রে দেখানো হয়েছে। 6. এখানে মি= 3 এবং n= 3. একটি বৃহত্তর 3য় ক্রম বর্গ (প্রাথমিক সংখ্যা সহ) দে লা লুবার পদ্ধতি দ্বারা নির্মিত হয়। 1ў (শীর্ষ সারির কেন্দ্রীয় কক্ষ) সহ বর্গক্ষেত্রটি 1 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে 3য় ক্রমে একটি বর্গক্ষেত্রে খোদাই করা হয়েছে, এটিও দে লা লুবার পদ্ধতি দ্বারা নির্মিত। 10 থেকে 18 পর্যন্ত সংখ্যা সহ 3য় ক্রমটির একটি বর্গক্ষেত্রটি 2ў (নীচের লাইনে ডানদিকে) নম্বর সহ ঘরে প্রবেশ করা হয়েছে; 3ў সংখ্যা সহ একটি ঘরে - 19 থেকে 27 পর্যন্ত সংখ্যার একটি বর্গ, ইত্যাদি। ফলস্বরূপ, আমরা 9 ​​তম আদেশের একটি বর্গ পেতে পারি। এই ধরনের বর্গক্ষেত্রকে যৌগিক বলা হয়।

ভূমিকা

প্রাচীনকালের মহান বিজ্ঞানীরা পরিমাণগত সম্পর্ককে বিশ্বের সারাংশের ভিত্তি হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন। অতএব, সংখ্যা এবং তাদের অনুপাত মানবজাতির সর্বশ্রেষ্ঠ মন দখল করেছে। "আমার যৌবনের দিনগুলিতে, আমি আমার অবসর সময়ে ... ম্যাজিক স্কোয়ার তৈরি করে নিজেকে মজা করতাম," লিখেছেন বেঞ্জামিন ফ্র্যাঙ্কলিন। একটি ম্যাজিক বর্গ হল একটি বর্গ যার প্রতিটি অনুভূমিক সারিতে, প্রতিটি উল্লম্ব সারিতে এবং প্রতিটি কর্ণ বরাবর সংখ্যার যোগফল একই।

কিছু অসামান্য গণিতবিদ তাদের কাজকে জাদু স্কোয়ারে উত্সর্গ করেছিলেন এবং তাদের ফলাফলগুলি গোষ্ঠী, কাঠামো, ল্যাটিন স্কোয়ার, নির্ধারক, পার্টিশন, ম্যাট্রিক্স, কনগ্রুয়েন্স এবং গণিতের অন্যান্য অ-তুচ্ছ বিভাগগুলির বিকাশকে প্রভাবিত করেছিল।

এই রচনাটির উদ্দেশ্য হল বিভিন্ন ম্যাজিক স্কোয়ার, ল্যাটিন স্কোয়ার প্রবর্তন করা এবং তাদের প্রয়োগের ক্ষেত্রগুলি অধ্যয়ন করা।

ম্যাজিক স্কোয়ার

সমস্ত সম্ভাব্য জাদু স্কোয়ারের একটি সম্পূর্ণ বিবরণ আজ পর্যন্ত পাওয়া যায়নি। কোন 2x2 জাদু স্কোয়ার আছে. একটি একক 3x3 ম্যাজিক বর্গ রয়েছে, যেহেতু বাকি 3x3 জাদু বর্গগুলি কেন্দ্রের চারপাশে ঘূর্ণন বা প্রতিসাম্যের একটি অক্ষের প্রতিফলনের মাধ্যমে এটি থেকে পাওয়া যায়।

একটি 3x3 জাদু বর্গক্ষেত্রে 1 থেকে 9 পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি সাজানোর 8টি ভিন্ন উপায় রয়েছে:

• 9+5+1
• 9+4+2
• 8+6+2
• 8+5+2
• 8+4+3
• 7+6+2
• 7+5+3
• 6+5+4

একটি 3x3 ম্যাজিক বর্গক্ষেত্রে, ম্যাজিক ধ্রুবক 15 অবশ্যই 8টি দিকের তিনটি সংখ্যার যোগফলের সমান হতে হবে: 3টি সারি, 3টি কলাম এবং 2টি কর্ণ৷ যেহেতু কেন্দ্রের সংখ্যাটি 1 সারি, 1টি কলাম এবং 2টি কর্ণের অন্তর্গত, তাই এটি 8টি ট্রিপলের মধ্যে 4টিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যা যাদু ধ্রুবক পর্যন্ত যোগ করে। এই ধরনের শুধুমাত্র একটি সংখ্যা আছে: এটি 5। অতএব, 3x3 ম্যাজিক বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রে থাকা সংখ্যাটি ইতিমধ্যেই পরিচিত: এটি 5 এর সমান।

9 নম্বরটি বিবেচনা করুন। এটি শুধুমাত্র 2টি ট্রিপলেট সংখ্যার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত। আমরা এটিকে একটি কোণে রাখতে পারি না, যেহেতু প্রতিটি কোণার ঘরটি 3টি ট্রিপলের অন্তর্গত: একটি সারি, একটি কলাম এবং একটি তির্যক৷ অতএব, 9 নম্বরটি অবশ্যই তার মাঝখানে বর্গক্ষেত্রের পাশের সংলগ্ন কিছু ঘরে থাকতে হবে। বর্গক্ষেত্রের প্রতিসাম্যের কারণে, আমরা কোন দিকটি বেছে নেব তা বিবেচ্য নয়, তাই আমরা কেন্দ্রীয় কক্ষে 5 নম্বরের উপরে 9 লিখি। উপরের লাইনের নয়টির উভয় পাশে, আমরা কেবলমাত্র 2 এবং 4 নম্বরগুলি লিখতে পারি। এই দুটি সংখ্যার মধ্যে কোনটি উপরের ডান কোণে থাকবে এবং কোনটি বামদিকে, এটি কোন ব্যাপার নয়, যেহেতু একটি বিন্যাস মিরর করা হলে সংখ্যাগুলি অন্যটিতে যায়। অবশিষ্ট কোষ স্বয়ংক্রিয়ভাবে পূরণ করা হয়. একটি 3x3 ম্যাজিক স্কোয়ারের আমাদের সাধারণ নির্মাণ এর স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করে।

এই ধরনের একটি জাদু বর্গ প্রাচীন চীনাদের মধ্যে অত্যন্ত গুরুত্বের প্রতীক ছিল। মাঝখানে 5 নম্বরটির অর্থ পৃথিবী, এবং এর চারপাশে কঠোর ভারসাম্য ছিল আগুন (2 এবং 7), জল (1 এবং 6),

কাঠ (3 এবং 8), ধাতু (4 এবং 9)।

বর্গক্ষেত্রের আকার (কোষের সংখ্যা) বৃদ্ধির সাথে সাথে সেই আকারের সম্ভাব্য ম্যাজিক স্কোয়ারের সংখ্যা দ্রুত বৃদ্ধি পায়। অর্ডার 4 এর 880টি ম্যাজিক স্কয়ার এবং অর্ডার 5 এর 275,305,224টি ম্যাজিক স্কোয়ার রয়েছে। তাছাড়া, মধ্যযুগে 5x5 স্কোয়ার পরিচিত ছিল। মুসলমানরা, উদাহরণস্বরূপ, মাঝখানে 1 নম্বর সহ এমন একটি বর্গক্ষেত্রের প্রতি অত্যন্ত শ্রদ্ধাশীল ছিল, এটিকে আল্লাহর একত্বের প্রতীক হিসাবে বিবেচনা করে।

পিথাগোরাসের ম্যাজিক স্কোয়ার

মহান বিজ্ঞানী পিথাগোরাস, যিনি ধর্মীয় এবং দার্শনিক মতবাদ প্রতিষ্ঠা করেছিলেন, যা পরিমাণগত সম্পর্ককে জিনিসের সারাংশের ভিত্তি হিসাবে ঘোষণা করেছিল, বিশ্বাস করতেন যে একজন ব্যক্তির সারমর্ম সংখ্যার মধ্যেও রয়েছে - জন্ম তারিখ। অতএব, পিথাগোরাসের ম্যাজিক স্কোয়ারের সাহায্যে, একজন ব্যক্তির চরিত্র, মুক্তির স্বাস্থ্যের ডিগ্রি এবং এর সম্ভাব্যতা জানতে পারে, সুবিধা এবং অসুবিধাগুলি প্রকাশ করতে পারে এবং এর মাধ্যমে এটির উন্নতি করতে কী করা উচিত তা সনাক্ত করতে পারে।

পিথাগোরাসের ম্যাজিক বর্গ কী এবং এর সূচকগুলি কীভাবে গণনা করা হয় তা বোঝার জন্য, আমি আমার নিজের উদাহরণ ব্যবহার করে এটি গণনা করব। এবং নিশ্চিত করার জন্য যে গণনার ফলাফলগুলি সত্যিই এই বা সেই ব্যক্তির আসল চরিত্রের সাথে মিলে যায়, আমি প্রথমে এটি নিজের উপর পরীক্ষা করব। এটি করার জন্য, আমি আমার জন্ম তারিখ অনুসারে গণনা করব। সুতরাং, আমার জন্ম তারিখ 08/20/1986। দিন, মাস এবং জন্মের বছরের সংখ্যা যোগ করা যাক (শূন্য ব্যতীত): 2+8+1+9+8+6=34। এরপরে, ফলাফলের সংখ্যা যোগ করুন: 3 + 4 = 7। তারপর প্রথম যোগফল থেকে আমরা জন্মদিনের দ্বিগুণ প্রথম অঙ্কটি বিয়োগ করি: 34-4=30। এবং আবার শেষ সংখ্যার সংখ্যা যোগ করুন:

3+0=3। শেষ সংযোজন করা বাকি আছে - ১ম এবং ৩য় এবং ২য় এবং ৪র্থ যোগফল: 34+30=64, 7+3=10। আমরা 08/20/1986,34,7,30, 64,10 নম্বর পেয়েছি৷

এবং একটি ম্যাজিক বর্গ তৈরি করুন যাতে এই সংখ্যার সমস্ত ইউনিট ঘর 1-এ অন্তর্ভুক্ত হয়, সমস্ত দুটি ঘর 2-এ থাকে ইত্যাদি। শূন্যগুলিকে বিবেচনায় নেওয়া হয় না। ফলস্বরূপ, আমার বর্গক্ষেত্র এই মত দেখাবে:

বর্গক্ষেত্রের কোষগুলি নিম্নলিখিতগুলিকে বোঝায়:

সেল 1 - উদ্দেশ্যপূর্ণতা, ইচ্ছা, অধ্যবসায়, স্বার্থপরতা।

• 1 - সম্পূর্ণ অহংকারী, যে কোনও পরিস্থিতি থেকে সর্বাধিক সুবিধা পাওয়ার চেষ্টা করুন।
• 11 - অহংবোধের কাছাকাছি একটি চরিত্র।
• 111 - "সুবর্ণ গড়"। চরিত্রটি শান্ত, নমনীয়, মিলনশীল।
• 1111 - শক্তিশালী চরিত্রের মানুষ, দৃঢ় ইচ্ছাশক্তিসম্পন্ন। এই জাতীয় চরিত্রের পুরুষরা সামরিক পেশাদারদের ভূমিকার জন্য উপযুক্ত এবং মহিলারা তাদের পরিবারকে একটি মুষ্টিতে রাখে।
• 11111 - স্বৈরশাসক, অত্যাচারী।
• 111111 - একজন নিষ্ঠুর ব্যক্তি, অসম্ভব করতে সক্ষম; প্রায়শই কিছু ধারণার প্রভাবে পড়ে।

সেল 2 - বায়োএনার্জেটিক্স, আবেগপ্রবণতা, আন্তরিকতা, কামুকতা। দুইয়ের সংখ্যা বায়োএনার্জেটিক্সের মাত্রা নির্ধারণ করে।

কোন ডিউস নেই - বায়োএনার্জেটিক্সের একটি নিবিড় সেটের জন্য একটি চ্যানেল খোলা আছে। এই লোকেরা শিক্ষিত এবং স্বভাবগতভাবে মহৎ।

• 2 - বায়োএনার্জেটিক্সের ক্ষেত্রে সাধারণ মানুষ। এই ধরনের লোকেরা বায়ুমণ্ডলের পরিবর্তনের জন্য খুব সংবেদনশীল।
• 22 - বায়োএনার্জির তুলনামূলকভাবে বড় সরবরাহ। এই ধরনের লোকেরা ভাল ডাক্তার, নার্স, অর্ডারলি তৈরি করে। এই ধরনের লোকদের পরিবারে, খুব কমই কারও স্নায়বিক চাপ থাকে।
• 222 একটি মানসিক লক্ষণ।

সেল 3 - নির্ভুলতা, নির্দিষ্টতা, সংগঠন, নির্ভুলতা, সময়ানুবর্তিতা, পরিচ্ছন্নতা, কৃপণতা, ধ্রুবক "বিচার পুনরুদ্ধার" করার প্রবণতা।

ত্রিপলের বৃদ্ধি এই সমস্ত গুণকে বৃদ্ধি করে। তাদের সাথে, একজন ব্যক্তির পক্ষে নিজেকে বিজ্ঞানে, বিশেষ করে সঠিক বিষয়ে অনুসন্ধান করা বোধগম্য হয়। ট্রিপলের প্রাধান্য পেডেন্টদের জন্ম দেয়, একটি ক্ষেত্রে মানুষ।

সেল 4 - স্বাস্থ্য। এটি ইগ্রেগরের কারণে, অর্থাৎ, পূর্বপুরুষদের দ্বারা বিকশিত শক্তি স্থান এবং ব্যক্তিকে রক্ষা করে। চারের অনুপস্থিতি একজন ব্যক্তির ব্যথা নির্দেশ করে।

• 4 - গড় স্বাস্থ্য, এটি শরীরের মেজাজ প্রয়োজন. প্রস্তাবিত ক্রীড়া হল সাঁতার কাটা এবং দৌড়ানো।
• 44 - ভাল স্বাস্থ্য।
• 444 এবং আরও - খুব ভাল স্বাস্থ্যের মানুষ।

সেল 5 - অন্তর্দৃষ্টি, ক্লেয়ারভায়েন্স, যা ইতিমধ্যে তিন ফাইভের স্তরে এমন লোকেদের মধ্যে নিজেকে প্রকাশ করতে শুরু করে।

কোনও ফাইভ নেই - স্থান সহ যোগাযোগের চ্যানেল বন্ধ রয়েছে। এই মানুষ প্রায়ই

ভুল.

• 5 - যোগাযোগ চ্যানেল খোলা আছে। এই লোকেরা সঠিকভাবে এটি থেকে সর্বাধিক পেতে পরিস্থিতি গণনা করতে পারে।
• 55 - অত্যন্ত উন্নত অন্তর্দৃষ্টি। যখন তারা "ভবিষ্যদ্বাণীমূলক স্বপ্ন" দেখে, তখন তারা ঘটনার গতিপথ ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারে। তাদের জন্য উপযুক্ত পেশা হল একজন আইনজীবী, একজন তদন্তকারী।
• 555 - প্রায় দাবীদার।
• 5555 - দাবীদার।

সেল 6 - স্থলতা, বস্তুগততা, গণনা, বিশ্বের পরিমাণগত বিকাশের প্রবণতা এবং গুণগত উল্লম্ফনের অবিশ্বাস, এবং আরও কিছু আধ্যাত্মিক আদেশের অলৌকিকতা।

কোন ছক্কা নেই - এই লোকেদের শারীরিক শ্রমের প্রয়োজন, যদিও তারা সাধারণত এটি পছন্দ করে না। তারা একটি অসাধারণ কল্পনা, ফ্যান্টাসি, শৈল্পিক স্বাদ সঙ্গে সমৃদ্ধ হয়. সূক্ষ্ম প্রকৃতি, তবুও তারা কর্মে সক্ষম।

• 6 - সৃজনশীলতা বা সঠিক বিজ্ঞানে নিযুক্ত হতে পারে, তবে শারীরিক শ্রম অস্তিত্বের জন্য একটি পূর্বশর্ত।
• 66 - লোকেরা খুব স্থল, শারীরিক শ্রমের প্রতি আকৃষ্ট হয়, যদিও এটি তাদের জন্য বাধ্যতামূলক নয়; মানসিক কার্যকলাপ বা শিল্প ক্লাস কাম্য.
• 666 - শয়তানের চিহ্ন, একটি বিশেষ এবং অশুভ চিহ্ন। এই ব্যক্তিদের একটি উচ্চ মেজাজ আছে, কমনীয়, সবসময় সমাজে মনোযোগ কেন্দ্র হয়ে ওঠে।
• 6666 - এই লোকেরা তাদের পূর্ববর্তী অবতারে খুব বেশি ভিত্তি অর্জন করেছিল, তারা খুব কঠোর পরিশ্রম করেছিল এবং কাজ ছাড়া তাদের জীবন কল্পনা করতে পারে না। তাদের বর্গ যদি আছে

নাইনস, তাদের অবশ্যই মানসিক কার্যকলাপে জড়িত হতে হবে, বুদ্ধিমত্তা বিকাশ করতে হবে, অন্তত একটি উচ্চ শিক্ষা পেতে হবে।

সেল 7 - সাতের সংখ্যা প্রতিভার পরিমাপ নির্ধারণ করে।

• 7 - তারা যত বেশি কাজ করে, তত বেশি তারা পরে।
• 77 - খুব প্রতিভাধর, বাদ্যযন্ত্র মানুষ, একটি সূক্ষ্ম শৈল্পিক স্বাদ আছে, চারুকলার প্রতি ঝোঁক থাকতে পারে।
• 777 - এই লোকেরা, একটি নিয়ম হিসাবে, অল্প সময়ের জন্য পৃথিবীতে আসে। তারা দয়ালু, নির্মল, বেদনাদায়ক যে কোনও অন্যায় উপলব্ধি করে। তারা সংবেদনশীল, স্বপ্ন দেখতে পছন্দ করে, সবসময় বাস্তবতা অনুভব করে না।
• 7777 হল দেবদূতের চিহ্ন। এই চিহ্নের লোকেরা শৈশবেই মারা যায় এবং যদি তারা বেঁচে থাকে তবে তাদের জীবন ক্রমাগত বিপদে পড়ে।

কোষ 8 - কর্ম, কর্তব্য, কর্তব্য, দায়িত্ব। আটের সংখ্যা কর্তব্যবোধের মাত্রা নির্ধারণ করে।

কোন আট নেই - এই লোকেদের প্রায় সম্পূর্ণরূপে দায়িত্ববোধের অভাব রয়েছে।

• 8 - দায়িত্বশীল, বিবেকবান, সঠিক প্রকৃতি।
• 88 - এই লোকেদের কর্তব্যের একটি উন্নত বোধ রয়েছে, তারা সর্বদা অন্যদের, বিশেষত দুর্বল, অসুস্থ, নিঃসঙ্গদের সাহায্য করার ইচ্ছা দ্বারা আলাদা করা হয়।
• 888 - মহান কর্তব্যের একটি চিহ্ন, মানুষের সেবা একটি চিহ্ন. তিন আট সহ শাসক অসামান্য ফলাফল অর্জন করে।
• 8888 - এই লোকেদের প্যারাসাইকোলজিকাল ক্ষমতা এবং সঠিক বিজ্ঞানের জন্য ব্যতিক্রমী সংবেদনশীলতা রয়েছে। অতিপ্রাকৃত পথ তাদের জন্য উন্মুক্ত।

সেল 9 - মন, প্রজ্ঞা। নাইনের অনুপস্থিতি প্রমাণ করে যে মানসিক ক্ষমতা অত্যন্ত সীমিত।

• 9 - এই লোকেদের বুদ্ধির অভাব পূরণ করতে সারা জীবন কঠোর পরিশ্রম করতে হবে।
• 99 - এই লোকেরা জন্ম থেকেই স্মার্ট। তারা সবসময় শিখতে অনিচ্ছুক, কারণ জ্ঞান তাদের সহজে দেওয়া হয়। তারা একটি বিদ্রূপাত্মক স্পর্শ সঙ্গে হাস্যরস একটি ধারনা দ্বারা সমৃদ্ধ, স্বাধীন.
• 999 খুব স্মার্ট. শেখার জন্য কোন প্রচেষ্টা করা হয় না. চমৎকার কথোপকথন.
• 9999 - এই লোকেদের কাছে সত্য প্রকাশিত হয়। যদি তারা অন্তর্দৃষ্টিও তৈরি করে থাকে, তবে তারা তাদের যেকোনো প্রচেষ্টায় ব্যর্থতার বিরুদ্ধে গ্যারান্টিযুক্ত। এই সবের সাথে, তারা সাধারণত বেশ আনন্দদায়ক হয়, কারণ একটি তীক্ষ্ণ মন তাদের অভদ্র, নির্দয় এবং নিষ্ঠুর করে তোলে।

সুতরাং, পিথাগোরাসের যাদু বর্গ সংকলন করে এবং এর কোষগুলিতে অন্তর্ভুক্ত সংখ্যার সমস্ত সংমিশ্রণের অর্থ জেনে, আপনি আপনার প্রকৃতির গুণাবলীর যথাযথ প্রশংসা করতে সক্ষম হবেন যা মা প্রকৃতি প্রদত্ত।

ল্যাটিন স্কোয়ার

গণিতবিদরা প্রধানত যাদু স্কোয়ারে আগ্রহী ছিলেন তা সত্ত্বেও, ল্যাটিন স্কোয়ারগুলি বিজ্ঞান ও প্রযুক্তিতে সর্বাধিক প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে।

একটি ল্যাটিন বর্গ হল nxn কোষের একটি বর্গ যাতে সংখ্যা 1, 2, ..., n লেখা হয়, উপরন্তু, এমনভাবে যাতে এই সমস্ত সংখ্যাগুলি প্রতিটি সারিতে এবং প্রতিটি কলামে একবার ঘটে। চিত্র 3 এরকম দুটি 4x4 বর্গক্ষেত্র দেখায়। তাদের একটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে: যদি একটি বর্গক্ষেত্র অন্যটির উপর চাপানো হয়, তবে ফলাফলের সংখ্যাগুলির সমস্ত জোড়া আলাদা হতে পারে। ল্যাটিন স্কোয়ারের এই ধরনের জোড়াকে অর্থোগোনাল বলা হয়।

অর্থোগোনাল ল্যাটিন স্কোয়ারগুলি খুঁজে বের করার কাজটি প্রথম এল. অয়লার দ্বারা সেট করা হয়েছিল, এবং এইরকম একটি বিনোদনমূলক সূত্রে: “36 জন অফিসারের মধ্যে সমানভাবে ল্যান্সার, ড্রাগন, হুসার, কুইরাসিয়ার, অশ্বারোহী রক্ষী এবং গ্রেনেডিয়ার রয়েছে এবং উপরন্তু, সমানভাবে জেনারেলরা , কর্নেল, মেজর, ক্যাপ্টেন, লেফটেন্যান্ট এবং সেকেন্ড লেফটেন্যান্ট এবং প্রতিটি সার্ভিস শাখায় ছয়টি পদের কর্মকর্তারা প্রতিনিধিত্ব করেন। 6 x 6 বর্গক্ষেত্রে সমস্ত অফিসারকে লাইন করা কি সম্ভব যাতে সমস্ত পদের অফিসাররা যে কোনও কলামে এবং যে কোনও লাইনে মিলিত হয়?

অয়লার এই সমস্যার সমাধান খুঁজে পাননি। 1901 সালে এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে এই জাতীয় সমাধানের অস্তিত্ব নেই। একই সময়ে, অয়লার প্রমাণ করেছিলেন যে ল্যাটিন বর্গক্ষেত্রের অর্থোগোনাল জোড়া n-এর সমস্ত বিজোড় মানের জন্য এবং 4 দ্বারা বিভাজ্য n-এর জোড় মানের জন্য বিদ্যমান। অয়লার অনুমান করেছিলেন যে n-এর অবশিষ্ট মানের জন্য, অর্থাৎ , যদি n সংখ্যাটিকে 4 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট 2 পাওয়া যায়, কোন অর্থোগোনাল বর্গ নেই। 1901 সালে, এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে অর্থোগোনাল স্কোয়ার 6 6 এর অস্তিত্ব নেই এবং এটি অয়লারের অনুমানের বৈধতার প্রতি আস্থা বাড়িয়েছে। যাইহোক, 1959 সালে, একটি কম্পিউটার ব্যবহার করে, প্রথম অর্থোগোনাল স্কোয়ার 10x10 পাওয়া গেছে, তারপর 14x14, 18x18, 22x22। এবং তারপর দেখানো হয়েছিল যে 6 ছাড়া যেকোন n-এর জন্য nxn অর্থোগোনাল বর্গ আছে।

ম্যাজিক এবং ল্যাটিন স্কোয়ারগুলি ঘনিষ্ঠ আত্মীয়। আমাদের দুটি অর্থোগোনাল স্কোয়ার আছে। নিচের মতো একই আকারের নতুন বর্গক্ষেত্রের ঘরগুলি পূরণ করুন। আসুন সেখানে n(a - 1) + b সংখ্যাটি রাখি, যেখানে প্রথম বর্গক্ষেত্রের একটি ঘরে a সংখ্যা এবং দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের একই ঘরে b হল সংখ্যা। এটা বোঝা সহজ যে ফলস্বরূপ বর্গক্ষেত্রে, সারি এবং কলামে সংখ্যার যোগফল (কিন্তু কর্ণের উপর অগত্যা নয়) একই হবে।

ল্যাটিন স্কোয়ারের তত্ত্বটি গণিত এবং এর প্রয়োগ উভয় ক্ষেত্রেই অসংখ্য প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে। একটা উদাহরণ নেওয়া যাক। ধরুন আমরা একটি প্রদত্ত এলাকায় উৎপাদনশীলতার জন্য 4টি জাতের গমের পরীক্ষা করতে চাই, এবং আমরা ফসলের বিরলতার মাত্রা এবং দুই ধরনের সারের প্রভাবকে বিবেচনায় নিতে চাই। এটি করার জন্য, আমরা একটি বর্গাকার জমিকে 16টি প্লটে ভাগ করব (চিত্র 4)। আমরা নীচের অনুভূমিক স্ট্রিপের সাথে সম্পর্কিত প্লটে প্রথম জাতের গম রোপণ করব, পরবর্তী জাতটি - পরবর্তী স্ট্রিপের সাথে সম্পর্কিত চারটি প্লটে, ইত্যাদি (চিত্রে, জাতটি রঙ দ্বারা নির্দেশিত)। এই ক্ষেত্রে, সর্বাধিক বপনের ঘনত্ব সেই প্লটগুলিতে হতে দিন যা চিত্রের বাম উল্লম্ব কলামের সাথে মিলে যায় এবং ডানদিকে যাওয়ার সময় হ্রাস পায় (চিত্রে, এটি রঙের তীব্রতা হ্রাসের সাথে মিলে যায়)। চিত্রের কক্ষের সংখ্যাগুলি, তাদের অর্থ করা যাক:

প্রথমটি হল এই এলাকায় প্রয়োগ করা প্রথম ধরণের সারের কিলোগ্রাম সংখ্যা এবং দ্বিতীয়টি হল প্রয়োগ করা দ্বিতীয় প্রকারের সারের পরিমাণ। এটি বোঝা সহজ যে এই ক্ষেত্রে উভয় প্রকার এবং বপনের ঘনত্ব এবং অন্যান্য উপাদানগুলির সংমিশ্রণের সমস্ত সম্ভাব্য জোড়া উপলব্ধি করা হয়েছে: প্রথম ধরণের জাত এবং সার, প্রথম এবং দ্বিতীয় ধরণের সার, দ্বিতীয় ধরণের ঘনত্ব এবং সার। .

অর্থোগোনাল ল্যাটিন স্কোয়ারের ব্যবহার কৃষি, পদার্থবিদ্যা, রসায়ন এবং প্রযুক্তির পরীক্ষা-নিরীক্ষায় সম্ভাব্য সব বিকল্প বিবেচনায় নিতে সাহায্য করে।

বর্গাকার ম্যাজিক পিথাগোরাস ল্যাটিন

উপসংহার

এই রচনাটি গণিতের একটি বিষয়ের বিকাশের ইতিহাসের সাথে সম্পর্কিত বিষয়গুলি নিয়ে কাজ করে, যা এত মহান মানুষের মন দখল করেছিল - যাদু স্কোয়ার। বিজ্ঞান ও প্রযুক্তিতে ম্যাজিক স্কোয়ারগুলি নিজেরাই ব্যাপক প্রয়োগ খুঁজে পায়নি তা সত্ত্বেও, তারা অনেক অসামান্য লোককে গণিত অধ্যয়ন করতে অনুপ্রাণিত করেছিল এবং গণিতের অন্যান্য শাখার (গোষ্ঠীর তত্ত্ব, নির্ধারক, ম্যাট্রিক্স ইত্যাদি) বিকাশে অবদান রেখেছিল।

ম্যাজিক স্কোয়ারের নিকটতম আত্মীয়, ল্যাটিন স্কোয়ার, গণিত এবং এর প্রয়োগ উভয় ক্ষেত্রেই পরীক্ষার ফলাফল সেট আপ এবং প্রক্রিয়াকরণে অসংখ্য অ্যাপ্লিকেশন খুঁজে পেয়েছেন। বিমূর্ত যেমন একটি পরীক্ষা সেট আপ একটি উদাহরণ প্রদান করে.

বিমূর্তটি পিথাগোরাসের বর্গক্ষেত্রের প্রশ্নটিকেও বিবেচনা করে, যা ঐতিহাসিক আগ্রহের এবং সম্ভবত, একজন ব্যক্তির মনস্তাত্ত্বিক প্রতিকৃতি আঁকার জন্য দরকারী।

গ্রন্থপঞ্জি

• 1. একজন তরুণ গণিতবিদ এর বিশ্বকোষীয় অভিধান। এম।, "শিক্ষাবিদ্যা", 1989।
• 2. এম. গার্ডনার "টাইম ট্রাভেল", এম., "মির", 1990।
• 3. শারীরিক সংস্কৃতি এবং ক্রীড়া নং 10, 1998