Varázslatos négyzet 4 számból. Mágikus négyzetek (3) - Dokumentum. Mi ez a rejtvény

Kezdőlap > Dokumentum

MAGIC QUARE

A varázslatos vagy mágikus négyzet olyan négyzet alakú táblázat, amely számokkal van kitöltve oly módon, hogy a számok összege minden sorban, minden oszlopban és mindkét átlóban azonos.

Az egyes sorban, oszlopban és átlóban lévő számok összegét mágikus állandónak, M-nek nevezzük.

Egy 3x3-as varázsnégyzet legkisebb mágikus állandója 15, egy 4x4-es négyzet 34, egy 5x5-ös négyzet 65,

Ha a négyzetben szereplő számok összegei csak sorokban és oszlopokban egyenlők, akkor ezt félvarázslatnak nevezzük.

Építs egy 3 x 3-as varázsnégyzetet a legkisebbekkel

mágikus állandó

Keresse meg a 3x3-as varázsnégyzet legkisebb mágikus állandóját

1 út

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

A közepére írt szám 15 : 3 = 5

Megállapítottam, hogy a közepén az 5-ös szám van írva.

ahol n a sorok száma

Ha meg tudsz építeni egy varázs négyzetet, akkor nem nehéz akárhányat megépíteni. Ezért emlékezzen az építési technikákra

3x3 mágikus négyzet 15-ös állandóval.

1 útÉpítkezés. Először tegye a páros számokat a sarkokba

2,4,8,6 és 5 középen. A folyamat többi része egyszerű aritmetika.

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 út megoldásokat

A talált bűvös négyzet 15-ös állandójával sokféle feladatot állíthat be:

Példa.Építs új, különböző mágikus négyzeteket 3 x 3 méretben

Megoldás.

A varázsnégyzet minden számát összeadva, vagy ugyanazzal a számmal megszorozva egy új varázsnégyzetet kapunk.

1. példa Készíts egy 3 x 3-as varázsnégyzetet, amelynek középső száma 13.

Megoldás.

Építsünk egy ismerős varázslatot

négyzet 15 állandóval.

Keresse meg a benne lévő számot

a kívánt négyzet közepe

13 – 5 = 8.

Minden mágikus számhoz

adjunk hozzá 8 négyzetet.

2. példa Töltse meg a varázslat ketreceit

négyzetek, ismerve a varázsállandót.

Megoldás. Keressük a számot

közepére írva 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

feladatok önálló megoldásra

Példák. 1. Töltsd meg varázslattal a mágikus négyzetek celláit

állandó M =15.

1) 2) 3)

2. Keresse meg a mágikus négyzetek varázsállandóját.

1) 2) 3)

3. Töltse ki a varázsnégyzetek celláit a varázsállandó ismeretében

1) 2) 3)

M=24 M=30 M=27

4 . Szerkesszünk meg egy 3x3-as varázsnégyzetet, tudva, hogy a mágikus állandó

egyenlő 21.

Megoldás. Emlékezzünk vissza, hogyan épül fel egy varázslatos 3x3-as négyzet a legkisebb szerint

konstans 15. Páros számokat írunk a szélső mezőkbe

2, 4, 6, 8, és középen az 5-ös szám (15 : 3).

A feltétel szerint a varázsállandónak megfelelő négyzetet kell megszerkeszteni

21. A kívánt négyzet közepén legyen a 7-es szám (21 : 3).

Nézzük meg, mennyivel több a kívánt négyzet egyes tagjai

minden tag a legkisebb mágikus állandóval 7 - 5 = 2.

Megépítjük a szükséges varázsnégyzetet:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. Építs 3x3 mágikus négyzeteket a varázsállandóik ismeretében

M = 42 M = 36 M = 33

M=45 M=40 M=35

Építs egy 4 x 4-es mágikus négyzetet a legkisebbekkel

mágikus állandó

Keresse meg egy 4x4-es varázsnégyzet legkisebb mágikus állandóját

és a négyzet közepén található szám.

1 út

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

ahol n a sorok száma n = 4.

A számok összege bármely vízszintesen,

függőleges és átlós 34.

Ez az összeg is előfordul mindenben

sarok négyzetek 2×2, középen

négyzet (10+11+6+7), négyzetből

sarokcellák (16+13+4+1).

Bármilyen 4x4-es mágikus négyzet felépítéséhez a következőket kell tenned: építeni egyet

a 34-es konstanssal.

Példa.Építs új, különböző 4 x 4-es mágikus négyzeteket.

Megoldás.

Minden talált szám összeadása

mágikus négyzet 4 x 4 ill

megszorozva ugyanazzal a számmal,

kap egy új mágikus négyzetet.

Példa.Építs egy varázslatot

egy 4 x 4-es négyzet, aminek varázsa van

az állandó 46.

Megoldás.Épített egy ismerős varázslat

négyzet 34 állandóval.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

A mágikus négyzet minden számához

adjunk hozzá 3-at.

Mielőtt bonyolultabb példákat oldana meg 4 x 4 varázsnégyzeten, ellenőrizze még egyszer, milyen tulajdonságokkal rendelkezik, ha M = 34.

Példák. 1. Töltsd meg varázslattal a varázsnégyzet celláit

állandó M =38.

H = 38-(10+7+13)=8 d=38-(17+4+11)=6 c=38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

b = 38-(11+7+16)=4 d=38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

1,3,1 tulajdonság 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

tulajdonságok 1,1,1,1

Válasz.

Önálló megoldási feladatok

Töltse ki a varázsnégyzet celláit azzal, hogy ha ismert a varázslat

állandó

K = 46 K = 58 K = 62

Ismerje meg az 5x5 és 6x6 mágikus négyzeteket

A mágikus négyzeteknek többféle osztályozása létezik.

ötödik rend, amelynek célja, hogy valahogy rendszerezze őket. A könyvben

Martin Gardner [GM90, pp. 244-345] leírja ezen módszerek egyikét -

szám szerint a központi téren. A módszer érdekes, de semmi több.

Még mindig nem ismert, hogy hány hatodrendű négyzet létezik, de körülbelül 1,77 x 1019. A szám óriási, így nincs remény arra, hogy kimerítő kereséssel megszámoljuk őket, de a varázsnégyzetek kiszámítására senki sem tudott képletet kitalálni.

Hogyan készítsünk mágikus négyzetet?

Sokféleképpen lehet varázsnégyzeteket készíteni. A mágikus négyzetek készítésének legegyszerűbb módja páratlan sorrend. A 17. századi francia tudós által javasolt módszert fogjuk alkalmazni A. de la Louber (De La Loubère).Öt szabályon alapul, amelyek működését a legegyszerűbb varázsnégyzet 3 x 3 cellán fogjuk figyelembe venni.

1. szabály. Tegyen 1-et az első sor középső oszlopába (5.7. ábra).

Rizs. 5.7. Első szám

2. szabály. Ha lehetséges, írja be a következő számot az aktuális melletti cellába, átlósan jobbra és felül (5.8. ábra).

Rizs. 5.8. Megpróbálja beírni a második számot

3. szabály: Ha az új cella túlmegy a fenti négyzeten, akkor írja be a számot a legalsó sorba és a következő oszlopba (5.9. ábra).

Rizs. 5.9. Feltesszük a második számot

4. szabály: Ha a cella túlmegy a jobb oldali négyzeten, akkor írja be a számot a legelső oszlopba és az előző sorba (5.10. ábra).

Rizs. 5.10. Feltesszük a harmadik számot

5. szabály: Ha a cella már foglalt, akkor írja le a következő számot az aktuális cella alá (5.11. ábra).

Rizs. 5.11. Feltesszük a negyedik számot

Rizs. 5.12. Feltesszük az ötödik és hatodik számot

Kövesse ismét a 3., 4., 5. szabályt, amíg be nem fejezi a teljes négyzetet (ábra).

Nem igaz, a szabályok nagyon egyszerűek és világosak, de még így is elég fárasztó akár 9 számot is elrendezni. Ismerve azonban a varázsnégyzetek felépítésének algoritmusát, könnyedén rábízhatjuk a számítógépre az összes rutinmunkát, így magunknak csak az alkotómunkát, vagyis a programírást hagyjuk.

Rizs. 5.13. Töltse ki a négyzetet a következő számokkal!

Mágikus négyzetek projekt (Magic)

A program mezőbeállítása mágikus négyzetek elég nyilvánvaló:

// PROGRAM GENERÁCIÓHOZ

// ODD MAGIC TÉR

// DE LA LOUBERT MÓDSZERÉVEL

nyilvános részosztály Form1 : Form

//Max. négyzet méretei: const int MAX_SIZE = 27; //var

intn=0; // négyzetes rend int [,] mq; // varázstér

int szám=0; // az aktuális szám négyzetre

intcol=0; // aktuális oszlop int sor=0; // aktuális sor

A de la Louber módszer bármilyen méretű páratlan négyzet készítésére alkalmas, így a felhasználó választhatja meg a négyzet sorrendjét, miközben a választás szabadságát ésszerűen 27 cellára korlátozzuk.

Miután a felhasználó megnyomta az áhított gombot btnGen Generate! , a btnGen_Click metódus létrehoz egy tömböt a számok tárolására, és átmegy a generáló metódusba:

// NYOMJA MEG A "GENERÁLÁS" GOMBOT

private void btnGen_Click(objektum küldő, EventArgs e)

//a négyzet sorrendje:

n = (int)udNum.Value;

// tömb létrehozása:

mq = new int ;

//mágikus négyzet generálása: gener();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Itt elkezdünk de la Louber szabályai szerint cselekedni, és az első számot - egyet - írjuk a négyzet (vagy tömb, ha úgy tetszik) első sorának középső cellájába:

//A varázsnégyzet generálása void generate()(

//első szám: szám=1;

//oszlop az első számhoz - középső: col = n / 2 + 1;

//sor az első számhoz - az első: sor=1;

//négyzetre tesszük: mq= szám;

Most egymás után hozzáadjuk a cellák többi celláját - kettőtől n * n-ig:

// továbblépés a következő számra:

Minden esetre emlékezzünk az aktuális cella koordinátáira

int tc=col; int tr = sor;

és lépjen átlósan a következő cellára:

Ellenőrizzük a harmadik szabály végrehajtását:

ha (sor< 1) row= n;

És akkor a negyedik:

if (col > n) ( col=1;

goto rule3;

És ötödik:

if (mq != 0) ( col=tc;

sor=tr+1; goto rule3;

Honnan tudhatjuk, hogy a négyzet cellájában már van szám? - Nagyon egyszerű: körültekintően nullákat írtunk minden cellába, és a kész négyzetben a számok nagyobbak nullánál. Tehát a tömbelem értékével azonnal meg fogjuk határozni, hogy üres-e a cella, vagy már számmal szerepel! Kérjük, vegye figyelembe, hogy itt azokra a cellakoordinátákra van szükségünk, amelyeket megjegyeztünk a következő szám cellájának keresése előtt.

Előbb-utóbb találunk egy megfelelő cellát a számnak, és beírjuk a megfelelő tömbcellába:

//négyzetre tesszük: mq = szám;

Próbáljon más módon megszervezni az átmenet elfogadhatóságának ellenőrzését

wow sejt!

Ha ez a szám volt az utolsó, akkor a program teljesítette kötelezettségeit, ellenkező esetben önként a következő számmal látja el a cellát:

//ha nincs minden szám beállítva, akkor if (szám< n*n)

//ugrás a következő számra: goto nextNumber;

És most kész a tér! Kiszámoljuk a bűvös összegét és kinyomtatjuk a képernyőre:

) //generál()

Egy tömb elemeinek kinyomtatása nagyon egyszerű, de fontos figyelembe venni a különböző „hosszúságú” számok egymáshoz igazítását, mert egy négyzet egy-, két- és háromjegyű számokat is tartalmazhat:

//A varázsnégyzet kinyomtatása void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Szín .Fekete;

string s = "Mágikus összeg = " + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// kiírja a varázsnégyzetet: for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

for (int j= 1; j<= n; ++j){

if (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()

Elindítjuk a programot - a négyzetek gyorsan elkészülnek, és örömet okoznak a szemnek (ábra).

Rizs. 5.14. Elég négyzet!

S. Goodman, S. Hidetniemi könyvében Bevezetés az algoritmusok fejlesztésébe és elemzésébe

mov , a 297-299. oldalon ugyanazt az algoritmust találjuk, csak "csökkentett" prezentációban. Nem olyan "átlátszó", mint a mi verziónk, de megfelelően működik.

Gomb hozzáadása btnGen2 Generate 2! és írd le az algoritmust a nyelven

C-sharp a btnGen2_Click metódushoz:

//Algoritmus ODDMS

private void btnGen2_Click(objektum küldő, EventArgs e)

//a négyzet sorrendje: n = (int )udNum.Value;

// tömb létrehozása:

mq = new int ;

//mágikus négyzet létrehozása: int sor = 1;

int col = (n+1)/2;

for (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; ha (i % n == 0)

if (sor == 1) sor = n;

ha (col == n) col = 1;

//négyzet kitöltve: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Kattintson a gombra, és győződjön meg arról, hogy a „mi” négyzetek létrejönnek (ábra.

Rizs. 5.15. Régi algoritmus új köntösben

"41. számú gimnázium" önkormányzati oktatási intézmény

mágikus négyzetek

Felügyelő: ,

matematika tanár

Novouralszk, 2012

Bevezetés 3

1. Általános információk a mágikus négyzetekről 4

1.1. Varázslatos négyzet koncepció 4

1.2. A mágikus négyzetek történetéből 4

1.3. A mágikus négyzetek típusai 6

2. Varázsnégyzetek megoldása 6

2.1. Varázsnégyzetek megoldása (Bachet de Mezirac módszere) 7

2.2. 8. problémafelvetés

2.3. Algoritmus varázsnégyzetek megoldására 8

2.4. Az algoritmus bizonyítása (algebrai formában) 9

2.5. Példa egy varázsnégyzet megoldására a 10-es algoritmus segítségével

3. Varázsnégyzetek használata 11

3.1. A mágikus négyzetek általánosításának különféle esetei 11

3.2. Latin négyzetek alkalmazása 12

4. Általános következtetések 13

5. 14. következtetés

6. Irodalomjegyzék 15

melléklet 1. sz

2. melléklet

3. melléklet

Bevezetés

A matematikai kör óráin a négyzet celláinak speciális szabályok szerinti kitöltésével kapcsolatos problémákkal találkoztunk. A javasolt számokat úgy kellett megadni, hogy az eredmény egyszerre több feltételnek is megfeleljen:

Ha minden sorban összeadja az összes számot,

Ha minden oszlopban összeadja az összes számot,

Ha összeadja az összes számot két átlóban,

akkor ezek az összegek azonos számmal lesznek egyenlők.

Annak ellenére, hogy a feladatok a kezdeti számokban, a számsorrendben, a megadott összegben eltértek egymástól, mindegyik hasonló volt, a megoldások azonos típusúak voltak.

Nemcsak az egyes feladatok megoldása merült fel, hanem egy általános megoldási algoritmus kidolgozása, valamint az ilyen típusú problémák történeti információinak felkutatása a szakirodalomban.

Kiderült, hogy a számunkra érdekes figurákat mágikus négyzeteknek hívják, amelyeket ősidők óta ismertek. A műben szó lesz róluk.

Célkitűzés: varázsnégyzetekkel kapcsolatos információkat rendszerezni, megoldásukra algoritmust kidolgozni.

Feladatok:

1. Tanulmányozza a mágikus négyzetek kialakulásának történetét!

2. Határozza meg a mágikus négyzetek típusait!

3. Tanuld meg a varázsnégyzetek megoldását.

4. A megoldási algoritmus kidolgozása és bizonyítása.

5. Határozza meg a mágikus négyzetek használatát!

1. Általános információk a mágikus négyzetekről

1.1. A varázslatos négyzet fogalma

A mágikus négyzetek ma is nagyon népszerűek. Ezek négyzetek, amelyek mindegyik cellájába számok vannak beírva, hogy a számok összege bármely vízszintes, függőleges és bármely átló mentén egyenlő legyen. A leghíresebb a varázstér, amely A. Dürer német művész „Melankólia” metszetén látható (1. melléklet).

1.2. A varázsterek történetéből

A számok annyira bekerültek az ember életébe, hogy elkezdtek mindenféle mágikus tulajdonságot tulajdonítani nekik. Már több ezer évvel ezelőtt az ókori Kínában elragadták őket varázsnégyzetek rajzolásával. A kínai és indiai régészeti ásatások során négyzet alakú amuletteket találtak. A négyzetet kilenc kis négyzetre osztottuk, amelyek mindegyikébe 1-től 9-ig terjedő számokat írtak. Figyelemre méltó, hogy bármely függőleges, vízszintes és átlós szám összege megegyezett a 15-tel (1. ábra).

1. kép

A mágikus négyzetek nagyon népszerűek voltak a középkorban. Az egyik varázslatos négyzetet a híres német művész, Albrecht Dürer „Melankólia” című metszete ábrázolja. A négyzet 16 cellája 1-től 16-ig terjedő számokat tartalmaz, és a számok összege minden irányban 34. Érdekes módon az alsó sor közepén lévő két szám a kép készítésének évét jelzi - 1514. Varázsnégyzetek beszerzése A matematikusok kedvelt időtöltése volt, hatalmas négyzeteket hoztak létre, például 43x43-as, 1-től 1849-ig terjedő számokat, és a varázsnégyzetek jelzett tulajdonságain kívül számos további tulajdonsággal is rendelkeznek. Bármilyen méretű varázsnégyzet megalkotására kidolgoztak módszereket, de eddig nem találtak olyan képletet, amely alapján meg lehetne találni az adott méretű varázsnégyzetek számát. Köztudott, és könnyen be is mutathatod, hogy nincs 2x2-es varázsnégyzet, pontosan egy 3x3-as varázsnégyzet van, a többi ilyen négyzetet forgatással és szimmetriával kapjuk meg belőle. Már 800 db 4x4-es varázsnégyzet van, az 5x5-ös négyzetek száma pedig megközelíti a negyedmilliót.

1.3. A mágikus négyzetek típusai

Mágikus(varázslatos négyzet) n 2 számot úgy, hogy a számok összege minden sorban, minden oszlopban és mindkét átlóban azonos legyen.

félig varázslatos négyzet egy nxn négyzet alakú táblázat tele van n 2 számot úgy, hogy a számok összege csak sorokban és oszlopokban legyen egyenlő.

Normál egy varázslatos négyzet, tele egész számokkal 1-től n 2.

Asszociációs (szimmetrikus) - varázsnégyzet, amelyben a négyzet közepe körül szimmetrikusan elhelyezkedő bármely két szám összege egyenlő n 2 + 1.

Ördögi (pandiagonális) mágikus négyzet- bűvös négyzet, amelyben a törött átlók (a négyzet tóruszba hajtásakor keletkező átlók) menti számok összegei mindkét irányban szintén egybeesnek a varázsállandóval.

48 db 4x4-es ördögvarázs négyzet található, amelyek pontosak az elforgatásokra és a tükröződésekre. Ha a további szimmetriájukat is figyelembe vesszük - tórikus párhuzamos fordításokat, akkor csak 3 lényegében különböző négyzet marad (2. ábra).

2. ábra.

A negyedrendű pandiagonális négyzeteknek számos további tulajdonságuk van, amelyekre meghívjuk őket elkötelezett. Tökéletes, páratlan sorrendű négyzetek nem léteznek. A 4 feletti kettős paritású pandiagonális négyzetek között vannak tökéletesek.

3600 ötödrendű pandiagonális négyzet van, a tórikus párhuzamos fordításokat figyelembe véve 144 különböző pandiagonális négyzet van.

2.Mágikus négyzetek megoldása

2.1 Varázsnégyzetek megoldása (Bacher de Mezirac módszere)

A varázsnégyzetek felépítésének szabályai három kategóriába sorolhatók, attól függően, hogy a négyzet sorrendje páratlan, egyenlő-e a páratlan szám kétszeresével vagy négyszeres páratlan számmal. Az összes négyzet felépítésének általános módja nem ismert, bár különféle sémákat széles körben használnak. Csak n ≤ 4 esetén lehetséges az összes n-rendű varázsnégyzet megtalálása.

A tetszőlegesen nagy méretű normál mágikus négyzetek megoldásához a francia matematikus, Claude Bachet de Mezirac 1612-ben leírt módszerét alkalmazzuk. Könyvének orosz nyelvű fordítása 1877-ben jelent meg Szentpéterváron „Matematika alapú játékok és feladatok” címmel.

Kényelmes varázsnégyzetet építeni négyzetes papírra. Legyen n páratlan szám, és egy nxn négyzetet kell építeni 1-től n2-ig terjedő számokkal, lépésről lépésre járunk el.

1. Az összes számot 1-től n2-ig átlósan cellákba írjuk (n szám egy sorban), így egy átlós négyzetet alkotunk.

2. Jelöljön ki egy nxn négyzetet a közepén. Ez az alapja (még nincs minden cella kitöltve) a leendő varázstérnek.

3. Minden, a központi téren kívül található numerikus „sarkot” óvatosan áthelyezünk befelé – a tér ellenkező oldalára. A sarkok számának ki kell töltenie az összes üres cellát. Megépül a varázstér.

Nézzünk egy példát egy 3x3-as négyzet kitöltésére 1-től 9-ig terjedő számokkal. Ehhez adjon hozzá további cellákat a négyzethez, hogy átlóit kapjon. Először töltse ki az átlós cellákat 1-től 9-ig terjedő számokkal (3. ábra), majd „hajtsa be a sarkokat” a négyzet üres celláiba befelé az ellenkező oldalra (4. ábra).

3. ábra 4. ábra.

2.2. A probléma megfogalmazása.

Ismertesse a varázsnégyzetek saját megoldási módját. Maradjunk a 3x3 mágikus négyzetek matematikai modelljének tanulmányozásánál.

A probléma általános megfogalmazása.

Kilenc szám van. Ezeket egy 3x3-as négyzet celláiba kell rendezni úgy, hogy a számok összege bármely függőleges, vízszintes és átlós vonal mentén egyenlő legyen.

2.3. Mágikus négyzet algoritmus

Az algoritmus szóbeli leírása

1. Rendezze a számokat növekvő sorrendbe.

2. Keresse meg a központi számot (sorrendben az ötödik).

3. Határozzuk meg a párokat a szabály szerint: 1 pár - az első szám és a kilencedik,

2 pár - a második szám és a nyolcadik,

3 pár - a harmadik szám és a hetedik,

4 pár - a negyedik és a hatodik szám.

4. Állapítsa meg a számok összegét (S), amelyet minden függőleges, vízszintes, átló mentén számok összeadásával kell megkapni: add hozzá a legkisebb, középső, legnagyobb számot, azaz a középső számmal rendelkező pár 1-es számát!

5. Helyezze a központi számot a négyzet közepére.

6. A központi vízszintes (vagy függőleges) szabad cellákban adja meg az első számpárt.

7. Írja fel tetszőleges átló mentén a második számpárt (úgy, hogy az első számpár nagyobb száma abban az oszlopban legyen, ahol a második pár kisebb száma).

8. Számítsa ki az egyik szélső oszlopba írandó számot a szabály szerint:

S-ből kivonjuk az oszlop celláiban lévő két szám összegét, megkapjuk a számot.

9. Írja fel a kapott számra átlósan a párjának második számát.

10. Írja be az utolsó számpárt a fennmaradó cellákba a szabály szerint: írja be a párból a nagyobb számot a kisebbik sorba, és a kisebb számot a fennmaradó üres cellába.

2.4. A varázsnégyzet kitöltésének helyességének igazolása

(A probléma megoldása általános formában)

Bebizonyítjuk, hogy az algoritmus eredményeként a négyzet függőlegesei, vízszintesei és átlói mentén elhelyezkedő számok összegei egyenlőek lesznek.

Legyen a rendelés után minden következő szám állandó értékkel tér el az előzőtől x. Fejezzük ki az összes számot a1(legkisebb szám) és x:

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+x=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

a9 = a1 +8 x.

Keressük az összeget Sés fejezzük ki számokkal a1és x: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 x.

Töltsük ki a varázsnégyzetet a javasolt algoritmus szerint.

Bizonyítsuk be, hogy a négyzet vízszintes, függőleges és átlója mentén elhelyezkedő számok összege egyenlő S.

Függőlegesen:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

Vízszintesen:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

Átlósan:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3a1 +12x=S

Ugyanannyit kaptunk. Az állítás bebizonyosodott.

Jegyzet.

Az így rendezett számok aritmetikai sorozatot alkotnak. Ebben a sorozatban (rendezés után) a1 az aritmetikai sorozat első tagja, x a számtani sorozat különbsége. Azon számok esetében, amelyek nem alkotnak aritmetikai sorozatot, az algoritmus nem működik.

2.5. Példa a varázsnégyzetek megoldására

Adott számok: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Töltse ki a varázsnégyzetet a megadott számokkal.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Megkapta a központi 5-ös számot.

3. Párok: 1 és 9, 2 és 8, 3 és 7, 4 és 6.

4.S=5+1+9= 15 - összeg.

8. 15-(9+2)=4

Ez az algoritmus jelentősen eltér a Bachet de Meziriac módszertől. Egyrészt további számításokat igényel (a módszer hátránya), másrészt a mi módszerünk nem igényel további konstrukciókat (átlós négyzet). Sőt, a módszer nemcsak egymást követő, 1-től 9-ig terjedő természetes számokra alkalmazható, hanem bármely kilenc számra is, amely egy aritmetikai sorozat tagja, amiben látjuk az előnyeit. Ezenkívül a rendszer automatikusan meghatároz egy mágikus állandót - az egyes átlós, függőleges és vízszintes számok összegét.

3. Varázsnégyzetek használata

3.1. A mágikus négyzetek általánosításának különféle esetei

A varázsnégyzetek összeállításának és leírásának problémái már az ókorban is érdekelték a matematikusokat. A lehetséges mágikus négyzetek mérföldköveinek teljes leírását azonban a mai napig nem sikerült megszerezni. A négyzet méretének (cellák számának) növekedésével a lehetséges mágikus négyzetek száma gyorsan növekszik. A nagy négyzetek között vannak érdekes tulajdonságokkal rendelkező négyzetek. Például az 5. ábra négyzetében nemcsak a sorok, oszlopok és átlók számösszegei egyenlők egymással, hanem az ábrán színes vonalakkal összekötött „törött” átlók mentén lévő ötösök összegei is.

5. ábra 6. ábra.

A latin négyzet egy n x n cellából álló négyzet, amelybe az 1, 2, ..., n számok vannak beírva, ráadásul úgy, hogy ezek a számok minden sorban és oszlopban egyszer forduljanak elő. A (6. ábra) két ilyen 4x4-es latin négyzet látható. Érdekes tulajdonságuk van: ha egy négyzetet egy másikra helyezünk, akkor a kapott számok összes párja eltérő. Az ilyen latin négyzetpárokat ortogonálisnak nevezzük. Az ortogonális latin négyzetek megtalálásának feladatát először L. Euler tűzte ki, és ilyen szórakoztató megfogalmazásban: „A 36 tiszt között egyformán vannak lándzsák, dragonyosok, huszárok, cuirassierek, lovas őrök és gránátosok, és ezen kívül egyformán tábornokok is. ezredesek, őrnagyok, századosok, hadnagyok és hadnagyok, és minden szolgálati ágat mind a hat rendfokozatú tisztek képviselnek. Lehetséges-e ezeket a tiszteket egy 6x6-os négyzetbe úgy elhelyezni, hogy minden rangú tiszt találkozzon bármelyik oszlopban? (2. melléklet).

L. Euler nem talált megoldást erre a problémára. 1901-ben bebizonyosodott, hogy ilyen megoldás nem létezik.

3.2. Latin négyzetek alkalmazása

A mágia és a latin négyzetek közeli rokonai. A latin négyzetek elmélete számos alkalmazásra talált, mind magában a matematikában, mind annak alkalmazásaiban. Vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy egy adott területen két búzafajta termőképességét szeretnénk tesztelni, és figyelembe akarjuk venni a növények ritkulásának mértékét és kétféle műtrágya hatását. Ehhez a négyzet alakú részt 16 egyenlő részre osztjuk (7. ábra). Az első búzafajtát az alsó vízszintes sávnak megfelelő parcellákra ültetjük, a következő fajtát a következő sávnak megfelelő négy parcellára ültetjük stb. (az ábrán szín jelzi a fajtát.)

Mezőgazdaság" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">mezőgazdaság, fizika, kémia és technológia.

4. Általános következtetések

A munka során megismerkedtem különféle Varázsnégyzetekkel, megtanultam a normál varázsnégyzetek megoldását Bachet de Mezirac módszerrel. Mivel a 3x3-as varázsnégyzetekből álló megoldásunk eltért a megadott módszertől, de minden alkalommal lehetővé tette a négyzet celláinak helyes kitöltését, felmerült a vágy, hogy saját algoritmust dolgozzunk ki. Ezt az algoritmust a munka részletesen leírja, algebrai formában bizonyítva. Kiderült, hogy ez nem csak a normál négyzetekre vonatkozik, hanem a 3x3-as négyzetekre is, ahol a számok aritmetikai sorozatot alkotnak. A varázslat és a latin négyzetek használatára is sikerült példát találnunk.

Megtanultam: megoldani néhány varázsnégyzetet, algoritmusokat fejleszteni és leírni, állításokat algebrai formában bizonyítani. Új fogalmakat tanultam: számtani progresszió, varázsnégyzet, varázskonstans, tanultam a négyzetek fajtáit.

Sajnos sem az általam kidolgozott algoritmusom, sem Bachet de Mezirac módszere nem képes megoldani a 4x4-es varázsnégyzeteket. Ezért szerettem volna továbbfejleszteni egy algoritmust az ilyen négyzetek megoldására.

5. Következtetés

Ebben a munkában a mágikus négyzeteket tanulmányozták, figyelembe vették keletkezésük történetét. Meghatározták a mágikus négyzetek típusait: varázsnégyzet vagy varázsnégyzet, félmágikus négyzet, normál, asszociatív, ördögi varázsnégyzet, tökéletes.

Megoldásukra a meglévő módszerek közül a Basche de Meziriac módszert választották, ezt példákon tesztelték. Ezen kívül 3x3 mágikus négyzetek megoldására saját megoldási algoritmust javasolunk, és matematikai bizonyítást adunk algebrai formában.

A javasolt algoritmus jelentősen eltér a Bacher de Meziriac módszertől. Egyrészt további számításokat igényel (a módszer hátránya), másrészt nincs szükség további konstrukciókra. A módszer nemcsak egymást követő, 1-től 9-ig tartó természetes számokra alkalmazható, hanem bármely kilenc számra is, amely egy számtani sorozat tagja, és ebben látjuk az előnyeit. Ezenkívül a rendszer automatikusan meghatároz egy mágikus állandót - az egyes átlós, függőleges és vízszintes számok összegét.

A cikk bemutatja a mágikus négyzetek – latin négyzetek – általánosítását, és leírja gyakorlati alkalmazásukat.

Ez a munka matematika órán kiegészítő anyagként, valamint tantermi és tanulói egyéni munkában is használható.

6. Hivatkozások

1. Rejtvények a számok világáról / Összeáll. - D .: Stalker, 1997.-448s.

2. Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. - M .: Pedagógia, 1989 - 352 p.: ill.

3. Enciklopédia gyerekeknek. T11. Matematika / Fejezet. szerk. - M .: Avanta +, 2000 - 688s.: ill.

4. Ismerem a világot: Gyermekenciklopédia: Matematika / Összeáll. - és mások - M.: AST, 1996. - 480-as évek: ill.

MAGIC QUARE, egész számok négyzetes táblázata, amelyben bármely sor, oszlop és a két főátló bármelyikének összege megegyezik ugyanazzal a számmal.

A varázstér ősi kínai eredetű. A legenda szerint Yu császár uralkodása idején (Kr. e. 2200 körül) a Sárga-folyó vizéből felbukkant egy szent teknősbéka, melynek héjára titokzatos hieroglifákat írtak (1. kép, a), és ezek a jelek lo-shu néven ismertek, és egyenértékűek az 1. ábrán látható varázsnégyzetekkel. egy, b. A 11. században varázsterekről tanultak Indiában, majd Japánban, ahol a XVI. A mágikus négyzetek kiterjedt irodalom tárgyát képezik. A 15. században ő ismertette meg az európaiakkal a varázstereket. E. Moskhopoulos bizánci író. Az első európai által feltalált négyzet A. Durer négyzete (2. ábra), amelyet híres metszetén ábrázol. Melankólia 1. A metszet dátumát (1514) az alsó sor két középső cellájában számok jelzik. A mágikus négyzeteknek különféle misztikus tulajdonságokat tulajdonítottak. A 16. században Cornelius Heinrich Agrippa 3., 4., 5., 6., 7., 8. és 9. rendű négyzeteket épített, melyek a 7 bolygó asztrológiájához kapcsolódnak. Az volt a hiedelem, hogy az ezüstbe vésett varázslatos négyzet véd a pestistől. Az európai jövendőmondók attribútumai között ma is bűvös négyzeteket lehet látni.

A 19. és 20. században újult erővel lobbant fel az érdeklődés a varázsterek iránt. Vizsgálatukat a magasabb algebra és a műveleti számítás módszereivel kezdték el.

A varázsnégyzet minden elemét cellának nevezzük. Egy négyzet, amelynek oldala van n sejteket, tartalmaz n 2 cellából áll, és négyzetnek nevezzük n- a sorrend. A legtöbb mágikus négyzet az elsőt használja n egymást követő természetes számok. Összeg S az egyes sorokban, oszlopokban és bármely átlón lévő számokat a négyzet állandójának nevezzük, és egyenlő S = n(n 2 + 1)/2. Bebizonyította n i 3. 3-as rendű négyzethez S= 15, 4. sorrend - S= 34, 5. sorrend - S = 65.

A négyzet közepén áthaladó két átlót főátlónak nevezzük. A szaggatott vonal olyan átló, amely a négyzet szélét elérve a szemközti éltől az első szegmenssel párhuzamosan folytatódik (ilyen átlót képeznek a 3. ábra árnyékolt cellái). A négyzet közepére szimmetrikus cellákat ferde-szimmetrikusnak nevezzük. Például a sejtek aés bábrán. 3.

A varázsnégyzetek felépítésének szabályai három kategóriába sorolhatók, attól függően, hogy a négyzet sorrendje páratlan, egyenlő-e a páratlan szám kétszeresével vagy négyszeres páratlan számmal. Az összes négyzet felépítésének általános módja ismeretlen, bár különféle sémákat széles körben használnak, amelyek közül néhányat az alábbiakban megvizsgálunk.

A 17. századi francia geometria módszerével páratlan sorrendű mágikus négyzetek készíthetők. A. de la Lubera. Tekintsük ezt a módszert egy 5. rendű négyzet példáján (4. ábra). Az 1-es szám a felső sor központi cellájába kerül. Minden természetes szám természetes sorrendben, ciklikusan alulról felfelé helyezkedik el az átlók celláiban jobbról balra. A négyzet felső széléhez érve (mint az 1-es szám esetében) folytatjuk az átló kitöltését a következő oszlop alsó cellájától kezdve. A négyzet jobb széléhez (3-as szám) elérve folytatjuk a bal oldali cellából érkező átló kitöltését a fenti vonallal. Egy kitöltött cellához (5. szám) vagy egy sarokba (15. számú) elérve a pálya egy cellával lejjebb ereszkedik, majd a kitöltési folyamat folytatódik.

F. de la Ira (1640-1718) módszere két eredeti négyzeten alapul. ábrán Az 5. ábra azt mutatja be, hogyan készül egy 5. rendű négyzet ezzel a módszerrel. Az 1-től 5-ig terjedő számok az első négyzet cellájába kerülnek úgy, hogy a 3-as szám ismétlődjön a főátló jobbra felfelé eső celláiban, és egyetlen szám se forduljon elő kétszer egy sorban vagy egy oszlopban. Ugyanezt tesszük a 0, 5, 10, 15, 20 számokkal, azzal a különbséggel, hogy a 10-es szám ismétlődik a főátló felülről lefelé haladó celláiban (5. ábra, b). E két négyzet cellánkénti összege (5. ábra, v) varázsnégyzetet alkot. Ezt a módszert egyenletes sorrendű négyzetek építésénél is alkalmazzák.

Ha ismert a sorrendi négyzetek felépítésének módszere més rendelj n, akkor megszerkeszthetünk egy sorrendi négyzetet mґ n. Ennek a módszernek a lényege az ábrán látható. 6. Itt m= 3 és n= 3. Egy nagyobb 3. rendű négyzetet (prímszámokkal) állítunk össze de la Louber módszerével. Az 1-es számmal ellátott négyzet (a felső sor központi cellája) az 1-től 9-ig terjedő számokból egy 3. rendű négyzetbe van beírva, amelyet szintén de la Louber-módszerrel állítottak össze. A 3. rendű négyzet 10 és 18 közötti számokkal kerül be a 2ў számú cellába (közvetlenül az alsó sorban); 3ў számú cellába - 19-től 27-ig terjedő számok négyzete stb. Ennek eredményeként egy 9. rendű négyzetet kapunk. Az ilyen négyzeteket összetettnek nevezzük.

Bevezetés

Az ókor nagy tudósai a mennyiségi összefüggéseket tekintették a világ lényegének alapjának. Ezért a számok és arányaik foglalkoztatták az emberiség legnagyobb elméjét. „Fiatalkoromban szabadidőmben... varázslatos négyzetek készítésével szórakoztam” – írta Benjamin Franklin. A bűvös négyzet olyan négyzet, amelynek a számok összege minden vízszintes sorban, minden függőleges sorban és minden átló mentén azonos.

Néhány kiváló matematikus a mágikus négyzeteknek szentelte munkáit, és eredményeik befolyásolták a csoportok, struktúrák, latin négyzetek, determinánsok, partíciók, mátrixok, kongruenciák és a matematika egyéb nem triviális szakaszainak kialakulását.

Ennek az esszének az a célja, hogy bemutasson különféle varázsnégyzeteket, latin négyzeteket, és tanulmányozza alkalmazási területeiket.

mágikus négyzetek

Az összes lehetséges mágikus négyzetről a mai napig nem sikerült teljes leírást szerezni. Nincsenek 2x2 mágikus négyzetek. Egyetlen 3x3-as varázsnégyzet van, mivel a többi 3x3-as varázsnégyzetet vagy a középpont körüli elforgatással, vagy az egyik szimmetriatengelye körüli tükrözéssel kapjuk meg.

8 különböző módja van a természetes számok 1-től 9-ig történő rendezésének egy 3x3-as varázsnégyzetben:

  • 9+5+1
  • 9+4+2
  • 8+6+2
  • 8+5+2
  • 8+4+3
  • 7+6+2
  • 7+5+3
  • 6+5+4

Egy 3x3-as varázsnégyzetben a 15 mágikus állandónak egyenlőnek kell lennie három szám összegével 8 irányban: 3 sor, 3 oszlop és 2 átló. Mivel a középen lévő szám 1 sorhoz, 1 oszlophoz és 2 átlóhoz tartozik, a 8 hármasból 4-ben benne van, amelyek összeadják a varázsállandót. Csak egy ilyen szám van: az 5. Ezért a 3x3-as varázsnégyzet közepén lévő szám már ismert: egyenlő 5-tel.

Tekintsük a 9-es számot. Csak 2 számhármasban szerepel. Nem tehetjük sarokba, hiszen minden sarokcella 3 hármashoz tartozik: egy sorhoz, egy oszlophoz és egy átlóhoz. Ezért a 9-es számnak a közepén lévő négyzet oldalával szomszédos cellában kell lennie. A négyzet szimmetriája miatt nem mindegy, hogy melyik oldalt választjuk, ezért a központi cellába 9-et írunk az 5-ös szám fölé. A felső sorban lévő kilenc mindkét oldalára csak a 2-es és a 4-es számokat írhatjuk be. A két szám közül melyik lesz a jobb felső sarokban és melyik a bal oldalon, itt sem mindegy, hiszen a tükrözéskor a számok egy másikba kerülnek. A fennmaradó cellák automatikusan kitöltésre kerülnek. A 3x3-as varázsnégyzet egyszerű felépítése bizonyítja egyediségét.

Egy ilyen varázslatos négyzet nagy jelentőségű szimbólum volt az ókori kínaiak körében. A középső 5-ös szám a földet jelentette, körülötte pedig szigorú egyensúlyban a tűz (2 és 7), a víz (1 és 6),

fa (3 és 8), fém (4 és 9).

Ahogy a négyzet mérete (a cellák száma) növekszik, az ilyen méretű lehetséges mágikus négyzetek száma gyorsan növekszik. 880 4-es és 275 305 224 5-ös rendű varázsnégyzet van. Sőt, a középkorban ismertek 5x5-ös négyzeteket. A muszlimok például nagyon áhítatosak voltak egy ilyen négyzet iránt, amelynek közepén az 1-es szám szerepel, Allah egységének szimbólumának tartották.

Pitagorasz varázslatos tere

A nagy tudós, Pythagoras, aki megalapította azt a vallási és filozófiai tant, amely a dolgok lényegének alapjául a mennyiségi viszonyokat hirdette, úgy vélte, hogy az ember lényege a számban - a születési dátumban - is rejlik. Ezért Pythagoras varázsnégyzete segítségével megismerheti az ember jellemét, a felszabadult egészségi állapot mértékét és annak lehetőségeit, feltárhatja az előnyeit és hátrányait, és ezáltal meghatározhatja, mit kell tenni annak javítása érdekében.

Annak érdekében, hogy megértsük, mi a Pythagoras varázslatos négyzete, és hogyan számítják ki a mutatóit, saját példám segítségével számítom ki. És hogy megbizonyosodjon arról, hogy a számítás eredményei valóban megfelelnek ennek vagy annak a személynek a valódi jellemének, először magamon fogom ellenőrizni. Ehhez a születési dátumom szerint fogom elvégezni a számítást. Tehát a születési dátumom 1986.08.20. Adjuk össze a születési nap, hónap és év számait (nullák nélkül): 2+8+1+9+8+6=34. Ezután add össze az eredmény számait: 3 + 4 = 7. Ezután az első összegből kivonjuk a születésnap megkétszerezett első számjegyét: 34-4=30. És ismét add hozzá az utolsó szám számait:

3+0=3. Marad az utolsó összeadás - az 1. és 3., valamint a 2. és 4. összeg: 34+30=64, 7+3=10. 1986.08.20.34,7,30, 64,10 számokat kaptunk.

és készíts egy varázsnégyzetet úgy, hogy ezeknek a számoknak minden egysége benne legyen az 1-es cellában, mind a kettes a 2-es cellában stb. A nullákat nem veszik figyelembe. Ennek eredményeként a négyzetem így fog kinézni:

A négyzet cellái a következőket jelentik:

1. sejt - céltudatosság, akarat, kitartás, önzés.

  • 1 - teljes egoisták, törekednek arra, hogy minden helyzetből a lehető legtöbb hasznot hozzák.
  • 11 - egoistához közel álló karakter.
  • 111 - "arany középút". A karakter nyugodt, rugalmas, társaságkedvelő.
  • 1111 - erős jellemű, erős akaratú emberek. Az ilyen karakterű férfiak alkalmasak a katonai szakemberek szerepére, a nők pedig ökölben tartják a családjukat.
  • 11111 - diktátor, zsarnok.
  • 111111 - kegyetlen ember, aki képes megtenni a lehetetlent; gyakran valamilyen eszme hatása alá kerül.

2. sejt - bioenergetika, érzelmesség, őszinteség, érzékiség. A kettesek száma meghatározza a bioenergetika szintjét.

Nincsenek kettesek – megnyílt egy csatorna az intenzív bioenergetikai készlethez. Ezek az emberek természetüknél fogva műveltek és nemesek.

  • 2 - hétköznapi emberek bioenergetikai szempontból. Az ilyen emberek nagyon érzékenyek a légkör változásaira.
  • 22 - viszonylag nagy bioenergia-készlet. Az ilyen emberekből jó orvosok, nővérek, ápolók. Az ilyen emberek családjában ritkán van ideges stressz.
  • A 222 a pszichés jele.

3. cella - pontosság, specifikusság, szervezettség, pontosság, pontosság, tisztaság, fösvénység, hajlam az állandó "igazságosság helyreállítására".

A hármasikrek növekedése mindezeket a tulajdonságokat fokozza. Náluk van értelme, hogy az ember a tudományokban keresse önmagát, különösen az egzaktokban. A hármasok túlsúlya pedánsokat, embereket szül egy ügyben.

4. sejt – egészség. Ez az egregornak, vagyis az ősök által kifejlesztett és az embert védő energiatérnek köszönhető. A négyesek hiánya az ember fájdalmát jelzi.

  • 4 - átlagos egészségi állapot, szükséges a test temperálása. Az ajánlott sportok az úszás és a futás.
  • 44 - jó egészség.
  • 444 és több – nagyon jó egészségi állapotú emberek.

5. sejt - intuíció, tisztánlátás, amely az ilyen emberekben már három ötös szintjén kezd megnyilvánulni.

Nincsenek ötösök - a kommunikációs csatorna a térrel zárva van. Ezek az emberek gyakran

nem helyesek.

  • 5 - a kommunikációs csatorna nyitva van. Ezek az emberek helyesen tudják kiszámítani a helyzetet, hogy a legtöbbet hozzák ki belőle.
  • 55 - magasan fejlett intuíció. Amikor „prófétai álmokat” látnak, megjósolhatják az események menetét. A számukra megfelelő szakmák az ügyvéd, a nyomozó.
  • 555 - szinte tisztánlátó.
  • 5555 - tisztánlátók.

6. sejt - megalapozottság, anyagiasság, számítás, a világ mennyiségi fejlődésére való hajlam és a minőségi ugrásokkal, és még inkább a szellemi rend csodáival szembeni bizalmatlanság.

Nincsenek hatosak – ezeknek az embereknek fizikai munkára van szükségük, bár általában nem szeretik. Rendkívüli képzelőerővel, fantáziával, művészi ízléssel vannak felruházva. Finom természetűek, ennek ellenére cselekvésre képesek.

  • 6 - foglalkozhat kreativitással vagy egzakt tudományokkal, de a fizikai munka a létezés előfeltétele.
  • 66 - az emberek nagyon megalapozottak, vonzódnak a fizikai munkához, bár ez nem kötelező számukra; szellemi tevékenység vagy művészeti foglalkozások kívánatosak.
  • 666 - a Sátán jele, egy különleges és baljós jel. Ezek az emberek magas temperamentummal rendelkeznek, bájosak, mindig a társadalom figyelem középpontjába kerülnek.
  • 6666 - ezek az emberek korábbi inkarnációik során túlságosan megalapozottak voltak, nagyon keményen dolgoztak, és nem tudják elképzelni az életüket munka nélkül. Ha a négyzetüknek van

nines, mindenképpen szellemi tevékenységet kell végezniük, intelligenciát kell fejleszteniük, legalább felsőfokú végzettséget kell szerezniük.

7. cella – a hetesek száma határozza meg a tehetség mértékét.

  • 7 - minél többet dolgoznak, annál többet kapnak utána.
  • 77 - nagyon tehetséges, muzikális emberek, finom művészi ízlésűek, hajlamosak lehetnek a képzőművészetekre.
  • 777 - ezek az emberek általában rövid időre jönnek a Földre. Kedvesek, derűsek, fájdalmasan érzékelnek minden igazságtalanságot. Érzékenyek, szeretnek álmodozni, nem mindig érzik a valóságot.
  • 7777 az angyal jele. Az ilyen jelű emberek csecsemőkorukban meghalnak, és ha élnek, akkor az életük folyamatosan veszélyben van.

8. sejt - karma, kötelesség, kötelesség, felelősség. A nyolcasok száma meghatározza a kötelességtudat mértékét.

Nincsenek nyolcasok – ezekből az emberekből szinte teljesen hiányzik a kötelességtudat.

  • 8 - felelősségteljes, lelkiismeretes, pontos természet.
  • 88 - ezeknek az embereknek fejlett kötelességtudata van, mindig megkülönbözteti őket az a vágy, hogy segítsenek másokon, különösen a gyengéken, a betegeken, a magányosokon.
  • 888 - a nagy kötelesség jele, az emberek szolgálatának jele. A három nyolcas vonalzó kiemelkedő eredményeket ér el.
  • 8888 - ezek az emberek parapszichológiai képességekkel és kivételes fogékonysággal rendelkeznek az egzakt tudományok iránt. Természetfeletti utak nyitva állnak előttük.

9. sejt – elme, bölcsesség. A kilencek hiánya azt bizonyítja, hogy a szellemi képességek rendkívül korlátozottak.

  • 9 - ezeknek az embereknek egész életükben keményen kell dolgozniuk, hogy pótolják az intelligencia hiányát.
  • 99 - ezek az emberek születésüktől fogva okosak. Mindig vonakodnak tanulni, mert könnyen adatik nekik a tudás. Ironikus tapintású, független humorérzékkel vannak felruházva.
  • A 999 nagyon okos. Egyáltalán nem fektetnek erőfeszítést a tanulásba. Kiváló beszélgetőtársak.
  • 9999 - az igazság feltárul ezeknek az embereknek. Ha fejlett az intuíciójuk is, akkor garantált, hogy minden próbálkozásuk kudarcot vall. Mindezzel együtt általában egészen kellemesek, hiszen az éles elme durvává, könyörtelenné és kegyetlenné teszi őket.

Tehát, miután összeállította Pythagoras varázslatos négyzetét, és ismeri a celláiban szereplő összes számkombináció jelentését, képes lesz megfelelően értékelni a természet azon tulajdonságait, amelyeket az anyatermészet adott.

latin négyzetek

Annak ellenére, hogy a matematikusokat főként a mágikus négyzetek érdekelték, a latin négyzetek a tudományban és a technikában találták a legnagyobb alkalmazást.

A latin négyzet egy nxn cellából álló négyzet, amelybe az 1, 2, ..., n számok vannak beírva, ráadásul úgy, hogy ezek a számok minden sorban és oszlopban egyszer fordulnak elő. A 3. ábrán két ilyen 4x4-es négyzet látható. Érdekes tulajdonságuk van: ha egy négyzetet egy másikra helyezünk, akkor a kapott számok összes párja eltérő. Az ilyen latin négyzetpárokat ortogonálisnak nevezzük.

Az ortogonális latin négyzetek megtalálásának feladatát először L. Euler tűzte ki, méghozzá ilyen szórakoztató megfogalmazásban: „A 36 tiszt között egyformán vannak lándzsák, dragonyosok, huszárok, cuirassierek, lovas őrök és gránátosok, és ezenkívül egyformán tábornokok. , ezredesek, őrnagyok, századosok, hadnagyok és hadnagyok, és minden szolgálati ágat mind a hat rendfokozatú tisztek képviselnek. Lehetséges-e az összes tisztet egy 6 x 6-os négyzetbe úgy felsorakoztatni, hogy minden rangú tiszt találkozzon bármelyik oszlopban és bármilyen sorban?

Euler nem tudott megoldást találni erre a problémára. 1901-ben bebizonyosodott, hogy ilyen megoldás nem létezik. Ugyanakkor Euler bebizonyította, hogy a latin négyzetek merőleges párjai léteznek n minden páratlan értékére és n páros értékeire, amelyek oszthatók 4-gyel. , ha az n szám 4-gyel osztva 2 maradékot ad, akkor nincsenek merőleges négyzetek. 1901-ben bebizonyosodott, hogy ortogonális négyzetek 6 6 nem léteznek, és ez növelte az Euler-sejtés érvényességébe vetett bizalmat. 1959-ben azonban számítógép segítségével először 10x10, majd 14x14, 18x18, 22x22 méretű merőleges négyzeteket találtak. Aztán kiderült, hogy 6 kivételével bármely n-hez nxn ortogonális négyzet tartozik.

A mágia és a latin négyzetek közeli rokonai. Legyen két merőleges négyzetünk. Töltse ki az új, azonos méretű négyzet celláit az alábbiak szerint. Tegyük oda az n(a - 1) + b számot, ahol a az első négyzet ilyen cellájában lévő szám, b pedig a második négyzet ugyanabban a cellájában lévő szám. Könnyen megérthető, hogy a kapott négyzetben a sorokban és oszlopokban (de nem feltétlenül az átlókon) lévő számok összege megegyezik.

A latin négyzetek elmélete számos alkalmazást talált magában a matematikában és alkalmazásaiban is. Vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy egy adott területen 4 búzafajta termőképességét szeretnénk tesztelni, és figyelembe akarjuk venni a növények ritkulásának mértékét és kétféle műtrágya hatását. Ehhez egy négyzet alakú telket 16 parcellára osztunk (4. ábra). Az első búzafajtát az alsó vízszintes sávnak megfelelő parcellákra ültetjük, a következő fajtát - a következő sávnak megfelelő négy parcellára stb. (az ábrán a fajta szín jelzi). Ebben az esetben legyen a maximális vetéssűrűség azokon a parcellákon, amelyek az ábra bal függőleges oszlopának felelnek meg, jobbra haladva pedig csökkenjen (az ábrán ez a színintenzitás csökkenésének felel meg). Az ábra celláiban lévő számok jelentése:

az első az erre a területre kijuttatott első típusú műtrágya kilogrammszáma, a második pedig a második típusú műtrágya mennyisége. Könnyen érthető, hogy ebben az esetben a fajta és a vetéssűrűség, valamint az egyéb összetevők összes lehetséges kombinációja megvalósul: az első típusú fajta és műtrágyák, az első és a második típusú műtrágyák, a sűrűség és a második típusú műtrágyák. .

Az ortogonális latin négyzetek használata segít minden lehetséges lehetőséget figyelembe venni a mezőgazdasági, fizika, kémia és technológiai kísérletekben.

négyzet mágikus Pythagoras latin

Következtetés

Ez az esszé a matematika egyik kérdéskörének fejlődéstörténetével kapcsolatos kérdésekkel foglalkozik, amely oly sok nagyszerű ember elméjét foglalkoztatta - varázsnégyzetek. Annak ellenére, hogy maguk a mágikus négyzetek nem találtak széles körű alkalmazást a tudományban és a technikában, sok kiváló embert inspiráltak a matematika tanulmányozására, és hozzájárultak a matematika más ágainak (a csoportok elmélete, determinánsai, mátrixai stb.) fejlődéséhez.

A mágikus négyzetek legközelebbi rokonai, a latin négyzetek számos alkalmazást találtak mind a matematikában, mind annak alkalmazásaiban a kísérleti eredmények felállításában és feldolgozásában. Az absztrakt példát ad egy ilyen kísérlet felállítására.

Az absztrakt a Pythagoras tér kérdését is figyelembe veszi, amely történelmi jelentőségű, és talán hasznos lehet egy személy pszichológiai portréjának elkészítéséhez.

Bibliográfia

  • 1. Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára. M., "Pedagógia", 1989.
  • 2. M. Gardner "Időutazás", M., "Mir", 1990.
  • 3. Testkultúra és sport 1998. 10. sz

Olvassa el is