ԿՈՄԲԻՆԱՏՈՐԻԿԱ

Դասի նպատակները.

• Պարզեք, թե ինչ է ուսումնասիրում կոմբինատորիկան
• Պարզեք, թե ինչպես է առաջացել կոմբինատորիկան
• Իմացեք կոմբինատորիկայի բանաձևերը և սովորեք, թե ինչպես դրանք կիրառել խնդիրները լուծելիս

Կոմբինատորիկայի՝ որպես մաթեմատիկայի ճյուղի ծնունդը կապված է Բլեզ Պասկալի և Պիեռ Ֆերմայի՝ մոլախաղերի տեսության վերաբերյալ աշխատությունների հետ։

Բլեզ Պասկալ

Պիեռ Ֆերմատ

Կոմբինատոր մեթոդների զարգացման գործում մեծ ներդրում է ունեցել Գ.Վ. Leibniz, J. Bernoulli եւ L. Euler.

Գ.Վ. Լայբնիցը

Լ.Էյլեր.

I. Bernoulli

Լեմմա. A բազմության մեջ թող լինի m տարր, իսկ B բազմությանում՝ n տարր: Այնուհետև բոլոր հստակ զույգերի թիվը (a,b), որտեղ a\-ում A,b\-ում B-ում հավասար կլինի mn-ի: Ապացույց. Իսկապես, A բազմությունից մեկ տարրով մենք կարող ենք կազմել n այսպիսի տարբեր զույգեր, և ընդհանուր առմամբ A բազմության մեջ կան m տարրեր։

Տեղադրումներ, փոխարկումներ, համակցություններ Ենթադրենք, մենք ունենք a,b,c երեք տարրերից բաղկացած բազմություն: Ի՞նչ եղանակներով կարող ենք ընտրել այս տարրերից երկուսը: ab,ac,bc,ba,ca,cb.

Փոխադարձություններ Մենք դրանք կվերադասավորենք բոլոր հնարավոր եղանակներով (օբյեկտների թիվը մնում է անփոփոխ, փոխվում է միայն դրանց հերթականությունը): Ստացված համակցությունները կոչվում են փոխակերպումներ, և դրանց թիվը PN = n! =1 · 2 · 3 · ... · ( n-1) n

Խորհրդանիշ n! կոչվում է գործոնային և նշանակում է 1-ից մինչև n բոլոր ամբողջ թվերի արտադրյալը: Ըստ սահմանման նրանք համարում են, որ 0!=1 1!=1 n=3 առարկաների (տարբեր ձևերի) բոլոր փոխարկումների օրինակը նկարում է: Ըստ բանաձևի՝ պետք է լինի հենց P3=3!=1⋅2⋅3=6, և ստացվում է.

Օբյեկտների քանակի աճի հետ մեկտեղ փոխակերպումների թիվը շատ արագ աճում է, և դրանք տեսողականորեն պատկերելը դժվարանում է: Օրինակ՝ 10 տարրի փոխարկումների թիվն արդեն 3628800 է (ավելի քան 3 միլիոն):

Տեղավորումներ Թող լինեն n տարբեր առարկաներ: Դրանցից մենք կընտրենք m առարկաներ և բոլոր հնարավոր ձևերով կվերադասավորենք միմյանց միջև (այսինքն՝ փոխվում է և՛ ընտրված օբյեկտների կազմը, և՛ դրանց հերթականությունը)։ Ստացված համակցությունները կոչվում են n առարկաների տեղադրություններ m-ով, և դրանց թիվը հավասար է Aⁿm =n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

Սահմանում. m տարրերի վրա տեղադրելով n տարբեր տարրերի մի շարք (m ≤ ժդ) կանչեց համակցություններ , որոնք կազմված են տրված n տարրերից m տարրերով և տարբերվում են կամ բուն տարրերով, կամ էլ տարրերի հերթականությամբ։

Համակցություններ Թող լինեն n տարբեր առարկաներ: Դրանցից բոլոր հնարավոր եղանակներով կընտրենք m օբյեկտ (այսինքն՝ ընտրված օբյեկտների կազմը փոխվում է, բայց հերթականությունը կարևոր չէ)։ Ստացված համակցությունները կոչվում են n օբյեկտների համակցություններ m-ով, և դրանց թիվը հավասար է Cmn=n!(n−m)!⋅m!

n=3 առարկաների (տարբեր ձևերի) բոլոր համակցությունների օրինակ՝ m=2-ով ստորև նկարում: Ըստ բանաձևի՝ պետք է լինի հենց C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3։ Հասկանալի է, որ միշտ ավելի քիչ կոմբինացիաներ են լինում, քան տեղաբաշխումները (որովհետև կարգը կարևոր է տեղաբաշխումների համար, բայց ոչ կոմբինացիաների համար), և դա հենց մ! անգամ, այսինքն՝ հարաբերությունների բանաձևը ճիշտ է. Amn=Cmn⋅Pm.

Մեթոդ 1. Մեկ խաղում 2 հոգի է մասնակցում, հետևաբար, պետք է հաշվարկել, թե 15-ից քանի եղանակով կարող ես ընտրել 2 հոգու, և նման զույգերի հերթականությունը կարևոր չէ։ Մենք օգտագործում ենք բանաձևը՝ գտնելու n տարբեր տարրերի համակցությունների քանակը (նմուշներ, որոնք տարբերվում են միայն կազմով) ըստ m տարրերի

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n, n=2-ի համար, m=13:

Մեթոդ 2.Առաջին խաղացողը խաղացել է 14 խաղ (2-րդ, 3-րդ, 4-րդ և այլն մինչև 15-ը), 2-րդ խաղացողը 13 խաղ (3-րդ, 4-րդ և այլն) մինչև 15-րդը, բացառում ենք, որ արդեն եղել է խաղ առաջինի հետ), 3-րդ խաղացող՝ 12 խաղ, 4-րդ՝ 11 խաղ, 5-10 խաղ, 6-9 խաղ, 7-8 խաղ, 8-7 խաղ,

իսկ 15-րդն արդեն խաղացել է բոլորի հետ։

Ընդհանուր՝ 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 խաղ

ՊԱՏԱՍԽԱՆ. 105 կուսակցություն.

Մաթեմատիկայի ուսուցչուհի Ակսենովա Սվետլանա Վալերիևնա

Լենինգրադի մարզի Վսևոլոժսկի շրջանի Բուգրովսկայայի միջնակարգ դպրոցը

սլայդ 1

սլայդ 2

սլայդ 3

սլայդ 4

սլայդ 5

սլայդ 6

Սլայդ 7

Սլայդ 8

Սլայդ 9

Սլայդ 10

սլայդ 11

սլայդ 12

սլայդ 13

Սլայդ 14

սլայդ 15

սլայդ 16

Սլայդ 17

Սլայդ 18

Սլայդ 19

Սլայդ 20

սլայդ 21

սլայդ 22

սլայդ 23

սլայդ 24

«Դիսկրետ վերլուծություն. կոմբինատորիկա. փոխակերպումներ» թեմայով շնորհանդեսը կարելի է ներբեռնել մեր կայքում բացարձակապես անվճար։ Նախագծի թեման՝ Ինֆորմատիկա. Գունավոր սլայդներն ու նկարազարդումները կօգնեն ձեզ պահել ձեր դասընկերների կամ հանդիսատեսի հետաքրքրությունը: Բովանդակությունը դիտելու համար օգտագործեք նվագարկիչը, կամ եթե ցանկանում եք ներբեռնել զեկույցը, սեղմեք նվագարկչի տակ գտնվող համապատասխան տեքստի վրա: Ներկայացումը պարունակում է 24 սլայդ(ներ):

Ներկայացման սլայդներ

սլայդ 1

Դիսկրետ վերլուծություն

Դասախոսություն 3 Կոմբինատորիկա. Փոխադարձություններ

սլայդ 2

Փոխադարձություններ

Թող տրվի n տարրերի մի շարք: Այս տարրերի դասավորությունը կոչվում է փոխակերպում: Երբեմն ավելացվում է «n տարրերից դուրս»: Սովորաբար առանձնանում է մեկ՝ հիմնական կամ բնական, պատվեր, որը կոչվում է տրիվիալ փոխարկում։ Ա բազմության տարրերը մեզ չեն հետաքրքրում։ Հաճախ որպես տարրեր վերցվում են 1-ից մինչև n կամ 0-ից n-1 ամբողջ թվերը։ Նշեք n տարրերի փոխակերպումների բազմությունը Pn-ով, իսկ դրա կարդինալությունը՝ Pn-ով: Եկեք նույն երեք հարցերը տանք. ինչի՞ն է հավասար Pn-ը, ինչպես կրկնել Pn-ի տարրերի վրա, ինչպես վերահամարակալել դրանք:

սլայդ 3

Թեորեմ փոխատեղումների քանակի վերաբերյալ

n տարրի փոխակերպումների թիվը n է։ - 1-ից n թվերի արտադրյալը: (n! կարդում է n-factorial) Ապացույց. Ինդուկցիայի միջոցով. n=1-ի համար բանաձևն ակնհայտորեն ճիշտ է: Թող ճիշտ լինի n-1-ի համար, կապացուցենք, որ ճիշտ է նաև n-ի համար։ Պատվերի առաջին տարրը կարելի է ընտրել n եղանակով, իսկ մնացածը կարող է վերագրվել ընտրված առաջին տարրին՝ ձևերով։ Հետեւաբար Pn= Pn-1n բանաձեւը ճիշտ է։ Եթե ​​Pn-1=(n-1)!, ապա Pn=n!

սլայդ 4

Փոխադարձ համարակալում

Փոխակերպումները թվարկելու համար Pn բազմությունը մեկ առ մեկ քարտեզագրում ենք Tn բազմության վրա, որի վրա շատ ավելի հեշտ կլինի թվարկել, իսկ այնուհետև ցանկացած pPn տարրի համար որպես թիվ ընդունում ենք նրա պատկերի թիվը Tn-ով։ . Tn բազմությունը մի քանի թվային հատվածների ուղիղ արտադրյալ է Tn =(0:(n-1))(0:(n-2) ... (0):Այսինքն՝ Tn-ի յուրաքանչյուր տարր բազմություն է: i1, i2, …, in-1, in և ikn-k ոչ բացասական թվերից:

սլայդ 5

Ցուցադրել

Վերցրեք փոխակերպումը և դրա կողքին գրեք չնչին փոխակերպում: Որպես առաջին ցուցիչ՝ մենք առաջին տարրի տեղը (զրոյից հաշվելով) վերցնում ենք տրիվիալ փոխակերպման մեջ։ Չնչին փոխակերպման փոխարեն եկեք գրենք մնացած նիշերի տողը: Որպես երկրորդ ինդեքս՝ այս շարքում վերցրեք փոխակերպման երկրորդ տարրի տեղը։ Կրկնենք գործընթացը մինչև վերջ։ Ակնհայտ է, որ k-րդ ինդեքսը պակաս կլինի k-րդ շարքի երկարությունից, իսկ վերջին ցուցանիշը հավասար կլինի զրոյի։ Տեսնենք այս գործընթացը օրինակով.

սլայդ 6

Ցուցադրել օրինակ

0 1 2 3 4 5 6 Ցուցանիշ c a d f g b e a b c d e f g 2 2 a d f g b e a b d e f g 0 2 0 d f g b e b d e f g 1 2 0 1 f g b e b e b e f g 2 2 0 1 e 2 b 2 գործընթացն ակնհայտ է, և սա b e 2 e 2 b2 գործընթացն է: հակադարձ քարտեզագրումը կկառուցի սկզբնական փոխակերպումը ինդեքսների բազմությունից:

Սլայդ 7

Հավաքածուի համարակալում Tn

Պատվիրված բազմությունների ցանկացած ուղղակի արտադրյալ կարող է դիտվել որպես փոփոխական բազա ունեցող թվային համակարգ: Մտածեք առաջին դասախոսության վայրկյանների օրինակին կամ հաշվի առեք հին չափի սանդղակ. 1 բակ = 3 ոտնաչափ, 1 ֆուտ = 12 դյույմ, 1 դյույմ = 12 տող, 1 տող = 6 միավոր: (2, 0, 4, 2, 3) = 2 յարդ 0 ֆուտ 4 դյույմ 2 տող 3 միավոր, քանի՞ միավոր է դա: Դուք պետք է հաշվեք (սա կոչվում է Հորների սխեման) ((2  3+0)  12+4)  12+2)  6+3

Սլայդ 8

Հավաքածուի համարակալում Tn - 2

Բանաձև #, որը գտնում է i1, i2, ..., in-1, in ինդեքսների բազմության թիվը, մենք նախընտրում ենք գրել ռեկուրսիվ արտահայտությունների տեսքով #(i1, i2, ..., in) = a. (i1, i2, ..., in-1, n-1); a(i1, i2, …, ik,k) = a(i1, i2, …, ik-1,k-1)(n-k+1)+ ik; a (դատարկ, 0) = 0; Այս բանաձևի համաձայն #(2,0,1,2,2,0,0) = a(2,0,1,2,2,0,6): Մենք ունենք a(2,1)=2; a(2,0,2) = 26+0=12; a(2,0,1,3)=125+1=61; a(2,0,1,2,4) =614+2=246; a(2,0,1,2,2,5) =2463+2=740; a(2,0,1,2,2,0,6) =7402+0=1480;

Սլայդ 9

Կրկնվող ինդեքսների բազմությունների վրա

Ելնելով վերոգրյալից՝ փոխակերպումների տեսակավորումը պարզ է. անհրաժեշտ է թվարկել ինդեքսների բոլոր խմբերը և յուրաքանչյուր բազմության համար կառուցել համապատասխան փոխակերպումը։ Ցուցանիշների բազմությունները թվարկելու համար մենք նշում ենք, որ իրականում յուրաքանչյուր բազմություն թվի գրառում է փոփոխական հիմքով հատուկ թվային համակարգում (համակարգը կոչվում է գործոնային)։ Այս համակարգում 1 ավելացնելու կանոնները գրեթե նույնքան պարզ են, որքան երկուականում. շարժվելով վերջին բիթից, փորձեք ընթացիկ բիթում ավելացնել 1։ Եթե հնարավոր է, ապա ավելացրեք 1՝ դադարեցնելու համար։ Եթե ​​հնարավոր չէ, գրեք զրո բիթ և անցեք հաջորդ բիթին:

Սլայդ 10

Կրկնվող ինդեքսների բազմությունների վրա - 2

Դիտարկենք հետևյալ օրինակը. 7 6 5 4 3 2 1 Սրանք փոփոխական հիմքերն են 3 4 4 2 1 1 0 3 4 4 2 2 0 0 Նկատի ունեցեք, որ 3 4 4 2 2 1 0-ում յուրաքանչյուր տող սկսվում է 3 4 4 3 0-ով: 0 0 նույնը, ինչ նախորդում, 3 4 4 3 0 1 0 այնուհետև գալիս է տարրը, խիստ 3 4 4 3 1 0 0 ավելի մեծ, . . . , և 3 4 4 3 1 1 0 այն, ինչ հետևում է, էական չէ: 3 4 4 3 2 0 0 Հետևաբար, յուրաքանչյուր տող 3 4 4 3 2 1 0 բառարանագրորեն մեծ է նախորդի 3 5 0 0 0 0 0-ից: 3 5 0 0 0 0 1 0

սլայդ 11

Փոխադարձությունների բառարանագրական թվարկում թեորեմ

Նկարագրված ալգորիթմը թվարկում է փոխարկումները բառարանագրական աճման կարգով։ Ապացույց. Բավական է ցույց տալ, որ եթե մենք ունենք I1 և I2 ինդեքսների երկու բազմություն, և I1 բառագիտականորեն նախորդում է I2-ին, ապա (I1) բառապաշարը նախորդում է (I2-ին): Այս փոխարկումները ձևավորվում են հաջորդաբար, և քանի դեռ I1-ը և I2-ը համընկնում են, նույնքան էլ տեղի են ունենում դրանց փոխարկումները: Ավելի մեծ ցուցանիշի արժեքը համապատասխանում է ավելի մեծ տարրի:

սլայդ 12

Ուղղակի ալգորիթմ՝ փոխակերպումների բառարանագրական թվարկման համար

Մենք վերցնում ենք p փոխակերպում և ուղղակիորեն գտնում ենք բառագիտական ​​հաջորդը: Վերցնենք սկիզբը՝ առաջին k տարրերը։ Նրա ընդարձակումներից հայտնի է նվազագույնը, որտեղ բոլոր տարրերը դասավորված են աճման կարգով, իսկ առավելագույնը, որում դրանք դասավորված են նվազման կարգով։ Օրինակ, p =(4, 2, 1, 7, 3, 6, 5) փոխակերպման մեջ (4, 2, 1)-ի բոլոր ընդարձակումները գտնվում են (3, 5, 6, 7) և (7, 6) միջև: 5, 3): Գոյություն ունեցող շարունակությունը առավելագույնից պակաս է, և 3-րդ տարրը դեռևս կարող է մնալ անփոփոխ: Եվ 4-րդը նույնպես. Իսկ 5-րդը պետք է փոխել։ Դա անելու համար մնացած տարրերից պետք է հերթականությամբ վերցնել հաջորդը, դնել 5-ին և նշանակել նվազագույն շարունակությունը։ Ստացվում է (4, 2, 1, 7, 5, 3, 6):

սլայդ 13

Ուղղակի ալգորիթմ՝ փոխակերպումների բառարանագրական թվարկման համար - 2

Եկեք գրենք հետևյալ փոխարկումները. (4, 2, 1, 7, 5, 3, 6) (4, 2, 1, 7, 5, 6, 3) (4, 2, 1, 7, 6, 5, 3) (4, 2, 3, 1, 5, 6, 7) (4, 2, 3, 1, 5, 7, 6) (4, 2, 3, 1, 6, 5, 7) (4, 2, 3, 1, 6) , 7, 5) (4, 2, 3, 1, 7, 5, 6) (4, 2, 3, 1, 7, 6, 5) (4, 2, 3, 5, 1, 6, 7)

Սլայդ 14

Ալգորիթմի պաշտոնական նկարագրությունը

Աշխատանքային վիճակ. P-ի փոխակերպումը և բուլյան նշանը ակտիվ է: Սկզբնական վիճակ. չնչին փոխակերպումը գրված է և isActive = True: Ստանդարտ քայլ. Եթե isActive, վերադարձրեք փոխակերպումը որպես արդյունք: Շարժվելով վերջից՝ գտե՛ք փոխակերպման մեջ ամենամեծ միապաղաղ նվազող վերջածանցը։ Թող k լինի ածանցից առաջ դիրքը։ Ներդրեք isActive:= (k > 0): Եթե ​​isActive է, ապա գտե՛ք pk-ին գերազանցող ածանցի ամենափոքր տարրը, փոխե՛ք այն pk-ով և այնուհետև «շրջե՛ք» վերջածանցը:

սլայդ 15

Մեկ այլ փոխակերպման ալգորիթմ

Այժմ փորձենք թվարկել փոխակերպումները, որպեսզի երկու հաջորդական փոխարկումները քիչ տարբերվեն միմյանցից: Որքա՞ն քիչ: Մեկ տարրական տրանսպոզիցիայով, որում փոխվում են երկու հարակից տարրեր: Դա հնարավոր է? Մենք ցույց կտանք նման ալգորիթմի սխեմատիկ դիագրամը, այն կհետաքրքրի մեզ: Պատկերացրեք n-1 տարրական «մեխանիզմներ», որոնցից յուրաքանչյուրը շարժում է իր տարրը բազմության ներսում։ Յուրաքանչյուր քայլի մեխանիզմը կատարում է տեղաշարժ դեպի ձախ կամ աջ: Ուղղությունը փոխվում է, երբ տարրը հասնում է եզրին: Ուղղությունը փոխելու համար անհրաժեշտ է մեկ քայլ, որի ընթացքում քայլ է կատարում հաջորդ մեխանիզմը, որը, սակայն, կարող է նաև փոխել ուղղությունը։

սլայդ 16

Մեկ այլ փոխադարձ թվարկման ալգորիթմ -2

Տեսնենք մի օրինակ. 1 2 3 4 5 Чей ход 1 2 3 4 5 Чей ход a b c d e a c d a b e a b a c d e a c d b a e a b c a d e a c d b e a b b c d a e a c d e b a a b c d e a b c d e a b a c b d e a a c d a e b a c b d a e a c a d e b a c b a d e a a c d e b c c a b d e a a d c e b a a c b d e b d a c e b a a c d b e a d c a e b a c a d b e a d c e a b a

Սլայդ 17

Փոխակերպումների ցուցակ. 1

ֆունկցիա ExistsNextPerm(var kCh: integer): Բուլյան; var iV,iP,iVC,iPC՝ ամբողջ թիվ; սկիզբ արդյունք:= Սխալ; iV:= nV-ի համար մինչև 2 արեք, եթե հաշվում եք

Սլայդ 18

Զույգ արտադրյալների նվազագույն գումարի խնդիրը

Թող տրվի n թվերի երկու բազմություն, ասենք, (ak|k1:n) և (bk|k1:n): Այս թվերը բաժանվում են զույգերի (ak,bk) և հաշվարկվում է դրանց զույգ արտադրյալների գումարը k1:n akbk։ Դուք կարող եք փոխել համարակալումը (ak) և (bk): Պահանջվում է ընտրել այնպիսի համարակալում, որում գումարը նվազագույն է: Այս խնդրի մեջ կարելի է ամրագրել որոշ թվեր (ak) և (bk) և փնտրել  փոխակերպում, որի համար ստացվում է k1:n akb(k) գումարի նվազագույնը: Մենք կընտրենք համարակալումը, երբ (ak)-ն աճման կարգով է, իսկ (bk)՝ նվազման:

Սլայդ 19

Թեորեմ զույգ արտադրյալների նվազագույն գումարի մասին

Զույգ արտադրյալների գումարի նվազագույնը ձեռք է բերվում չնչին փոխակերպման վրա: Ապացույց. Ենթադրենք, որ կան երկու ինդեքսներ k և r այնպիսին, որ ak 0, այսինքն. ար բռ + ակ բկ > ար բք + ակ բռ . Մեր համարակալման մեջ (ak) դասավորված են աճման կարգով։ Եթե ​​(bk) աճման կարգով չեն, ապա գոյություն ունի k և r զույգ, ինչպես նշվեց վերևում։ Այս զույգի համար bk-ն և br-ն վերադասավորելով՝ մենք կնվազեցնենք գումարի արժեքը: Այսպիսով, օպտիմալ լուծումներում (bk) գտնվում են աճման կարգով: Այս պարզ թեորեմին մի քանի անգամ կհանդիպենք հետևյալում։

Սլայդ 20

Առավելագույն աճող հաջորդականության խնդիրը

Տրված է n երկարությամբ թվերի հաջորդականություն (ak|k1:n): Պահանջվում է գտնել ամենամեծ երկարության իր հաջորդականությունը, որում (ak) թվերը կգնան աճման կարգով: Օրինակ՝ 3, 2, 11, 14, 32, 16, 6, 17, 25, 13, 37, 19, 41, 12, 7, 9 հաջորդականության մեջ առավելագույն ենթահաջորդականությունը կլինի 2, 11, 14, 16։ , 17, 25, 37, 41 Այս խնդիրը կապված է փոխատեղումների հետ, քանի որ սկզբնական հաջորդականությունը կարող է փոխակերպում լինել։ Մենք կսահմանափակվենք ցույց տալով, թե ինչպես է լուծվում այս խնդիրը, իսկ ալգորիթմի պաշտոնականացումն ու հիմնավորումը կթողնենք հանդիսատեսին։

սլայդ 21

Գտնել առավելագույն աճող հաջորդականությունը

Մենք հնարավորինս տնտեսապես կբաժանենք մերը նվազող հաջորդականությունների (օրինակը փոխված է) տողերի ամենավերին մասի, որտեղ այն չի խախտում կարգը: Վերցնենք ներքևի շարքի թիվը՝ 21։ Ինչո՞ւ է այն գտնվում 8-րդ շարքում։ 19-ը խանգարում է դրան: Եվ 17-ը խանգարում է 19-ին: Եվ 16-ը խանգարում է դրան: Եվ այսպես շարունակ: 9, 11, 14, 16, 17, 19, 21 հաջորդականությունը մեծանում է և ունի 7 երկարություն: Ավելի մեծ երկարությամբ ցանկացած հաջորդականություն պարունակում է երկու թիվ: մեկ տող Դիրիխլեի սկզբունքից) և չի կարող աճել:

սլայդ 22

Ինվերսիաների նվազագույն քանակի խնդիրը

Տրված է n երկարությամբ թվերի հաջորդականություն (ak|k1:n): Ինվերսիան իր որոշ ենթատողերի հայելային արտացոլումն է, շարունակական ենթահաջորդականություն, որը կատարվում է տեղում: Պահանջվում է հաջորդականության տարրերը դասավորել աճման կարգով՝ ինվերսիաների նվազագույն քանակի համար: Օրինակ, «պինդ» փոխակերպումը կարող է փոխակերպվել այսպես (կարմիր տառերը վերադասավորվել են, մեծերն արդեն տեղում են)

սլայդ 23

Քննության հարցեր

Փոխադարձություններ. Դրանց թվարկումն ու համարակալումը։ Սկալյար արտադրանքի նվազագույնի խնդիրը: Ամենամեծ աճող հաջորդականության խնդիրը.

սլայդ 24

1. Երկկողմանի անցումային փոխակերպում  թիվ 2. Գտեք փոխակերպում, որը տրվածից մի քանի քայլ հեռավորության վրա է: 3. Տարրական տրանսպոզիցիաներով փոխադրումների թվարկումը. 4. Կատարեք օրինակ՝ սկալյար արտադրյալի նվազագույնի խնդրի համար:

Խորհուրդներ, թե ինչպես պատրաստել լավ ներկայացում կամ նախագծի հաշվետվություն

1. Փորձեք ներգրավել հանդիսատեսին պատմության մեջ, ստեղծեք փոխազդեցություն հանդիսատեսի հետ՝ օգտագործելով առաջատար հարցերը, խաղային մասը, մի վախեցեք կատակել և անկեղծ ժպտալ (որտեղ անհրաժեշտ է):
2. Փորձեք բացատրել սլայդը ձեր բառերով, ավելացրեք լրացուցիչ հետաքրքիր փաստեր, պարզապես պետք չէ կարդալ սլայդներից ստացված տեղեկատվությունը, լսարանը կարող է ինքնուրույն կարդալ այն:
3. Կարիք չկա ձեր նախագծի սլայդները ծանրաբեռնել տեքստային բլոկներով, ավելի շատ նկարազարդումներ և նվազագույն տեքստ ավելի լավ տեղեկատվություն կփոխանցեն և ուշադրություն կգրավեն: Միայն հիմնական տեղեկատվությունը պետք է լինի սլայդում, մնացածը ավելի լավ է բանավոր ասել հանդիսատեսին:
4. Տեքստը պետք է լավ ընթեռնելի լինի, հակառակ դեպքում հանդիսատեսը չի կարողանա տեսնել տրամադրված տեղեկատվությունը, մեծապես կշեղվի պատմությունից՝ փորձելով գոնե ինչ-որ բան պարզել կամ ամբողջովին կկորցնի ողջ հետաքրքրությունը: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ընտրել ճիշտ տառատեսակը՝ հաշվի առնելով, թե որտեղ և ինչպես է հեռարձակվելու շնորհանդեսը, ինչպես նաև ընտրել ֆոնի և տեքստի ճիշտ համադրությունը։
5. Կարևոր է կրկնել ձեր զեկույցը, մտածել, թե ինչպես եք ողջունելու հանդիսատեսին, ինչ կասեք առաջինը, ինչպես կավարտեք շնորհանդեսը: Ամեն ինչ գալիս է փորձով:
6. Ընտրեք ճիշտ հանդերձանք, քանի որ. Նրա խոսքի ընկալման մեջ մեծ դեր է խաղում նաեւ խոսողի հագուստը։
7. Փորձեք խոսել վստահ, սահուն և համահունչ:
8. Փորձեք վայելել կատարումը, որպեսզի կարողանաք ավելի հանգիստ և ավելի քիչ անհանգստանալ:

«Permutations» շնորհանդեսը ներկայացնում է ուսումնական նյութ այս թեմայով դպրոցական դասի համար: Ներկայացումը պարունակում է փոխատեղումների սահմանում, այս գործողության իմաստը հասկանալու պատկերավոր օրինակներ, մաթեմատիկական ապարատի նկարագրություն՝ փոխատեղումների հետ խնդիրներ լուծելու համար, խնդիրների լուծման օրինակներ։ Շնորհանդեսի խնդիրն է սովորողներին հասցնել ուսումնական նյութը հարմար, հասկանալի ձևով, նպաստել դրա ավելի լավ ընկալմանը և մտապահմանը:

Ներկայացումը օգտագործում է հատուկ տեխնիկա, որն օգնում է ուսուցչին բացատրել նոր թեմա: Ուսումնական նյութերը նախապես կառուցված են: Անիմացիոն էֆեկտների օգնությամբ ներկայացնում են օրինակներ ու առաջադրանքներ՝ ցուցադրության ժամանակ ընդգծելով օրինակների ու առաջադրանքների կարեւոր առանձնահատկությունները։ Կարևոր հասկացությունները ընդգծված են գույներով, որպեսզի դրանք ավելի հեշտ հիշվեն:

Դասի թեման ներկայացնելուց հետո ուսանողներին ցույց է տրվում փոխակերպումների սահմանումը որպես ամենապարզ համակցություններ, որոնք կարող են կատարվել որոշակի տարրերից: Տեքստը ընդգծված է բացականչական նշանով, որը կարևոր է հիշել:

Հետևյալը գունավոր մատիտների վրա փոխակերպումների օրինակ է, որը կարող է տեղադրվել այլ հերթականությամբ: Դա անելու համար մատիտները ստորագրվում են իրենց գունային անվանման առաջին տառով՝ S, K, Zh: Անիմացիոն ներկայացման միջոցով հստակ ցուցադրվում են այս մատիտները կարգի բերելու տարբերակները: Մեկ սլայդի վրա նախ դրված են կապույտ մատիտներ, իսկ դրանց կողքին տեղադրման երկու տարբերակ՝ կարմիր և դեղին, դեղին և կարմիր: Հաջորդ սլայդը ցույց է տալիս կարմիրից հետո մատիտներ դնելու տարբերակները՝ կապույտ և դեղին, դեղին և կապույտ: Վերջին հնարավոր տարբերակները դեղին կարմիրից և կապույտից, կապույտից և կարմիրից հետո են: Տեսողական ցուցադրումից հետո կատարված գործողությունները ստորագրվում են որպես երեք տարրերի փոխարկումներ: Երեք տարրերի փոխակերպման ավելի ճշգրիտ սահմանումը տրված է առանձին սլայդ 7-ում: Հիշողության վանդակում ընդգծված է տեքստը, որ այս տարրերի յուրաքանչյուր դասավորությունը որոշակի հերթականությամբ կկոչվի երեք տարրերի փոխարկում:

Սլայդ 8-ը ցույց է տալիս n տարրի փոխակերպումների նշումը՝ P n: Նշվում է, որ երեք տարրերի փոխարկումները մանրամասն դիտարկվել են մատիտների օրինակով, մինչդեռ ակնհայտ է, որ կլինեն 6 նման փոխարկումներ։Սլայդում նշված է փոխակերպումների քանակի մաթեմատիկական գրառումը՝ P 3 =6։ . Այնուհետև էկրանին նշվում է, որ կա երեք տարրերի փոխարկումների թիվը գտնելու համակցված բազմապատկման կանոն:

Հաջորդ սլայդում փոխակերպման պրոցեդուրան բաժանվում է քայլերի՝ փոխակերպումների քանակը գտնելու կանոն ստանալու համար: Նշվում է, որ հաշվարկի համար անհրաժեշտ է առաջին տեղում դնել երեք տարրերից որևէ մեկը։ Նրա համար երկրորդ տարրն ընտրելու երկու հնարավորություն կա. Մնում է միայն երրորդ տարրը ընտրելը։ Սա նշանակում է, որ 3 տարրի փոխարկումների թիվը կգտնվի 3.2.1=6 բազմապատկելով։ Մենք ստանում ենք հնարավոր փոխարկումների ընդհանուր թիվը: Փոխակերպման տարբերակների որոնման գործընթացի նման դիտարկվում է n տարրերի փոփոխականությունը:

Թող լինի n տարրերի մի շարք: Դրա համար n-1 տարրերից մեկը տեղադրվում է երկրորդ տեղում, n-2 տարրերից մեկը՝ համապատասխանաբար երրորդ տեղում և այլն։ Այսպիսով, մենք կարող ենք դուրս բերել ընդհանուր կանոն n տարրի փոխակերպումների թիվը գտնելու համար. P n =n(n-1)(n-2).….3.2.1.

Սլայդ 11-ում P n բանաձևը ցուցադրվում է P n =1.2.3….(n-2)(n-1)n ձևով: Այսպիսով, ներմուծվում է ֆակտորիա հասկացությունը, որի նշանակումը ներկայացված է բանաձևի տակ՝ n!: Դիտարկվում են որոշ թվերի գործակիցը գտնելու օրինակներ՝ 3՛=1.2.3=6, և նաև 6՛=1.2.3.4.5.6=720։ Այն նաև նշում է, որ 1!=1: Փոխակերպումների թիվը որպես n ֆակտորային գտնելու ընդհանուր կանոնի տեքստը գտնվում է սլայդի ներքևում:

Հաջորդիվ, առաջարկվում է դիտարկել մի քանի խնդիր՝ փոխատեղումների քանակը գտնելու համար։ Սլայդ 12-ում առաջարկվում է լուծել յոթ գնդակը յոթ բջիջների քայքայելու ուղիների քանակը գտնելու խնդիրը: Նշվում է, որ լուծումը 7 տարրի փոխատեղումների քանակը հաշվարկելն է՝ P 7 =7!=5040:

Սլայդ 13-ում քննարկվում է 0,1,2,3 կազմված քառանիշ թվերի թիվը գտնելու խնդրի լուծումը, մինչդեռ մեկ թվի թվերը չեն կրկնվում: Լուծումը տրվում է երկու փուլով. նախ՝ գտնում են 4 տարրերի բոլոր փոխատեղումների թիվը, այնուհետև դրանցից հանվում են փոխատեղումների քանակը, որոնցում առջևում 0 ունեցող թվերը, ուստի զրոյից սկսած թվերը չորս չեն լինի. թվանշան. Այսպիսով, լուծումը հանգում է P 4 -P 3 =4!-3!=18 հաշվարկին: Այսինքն՝ նման թվերի ձեւավորման 18 տարբերակ կա։

Վերջին սլայդում քննարկվում է խնդրի լուծումը, որն առաջարկում է գտնել 9 թիթեղները դասավորելու եղանակների քանակը, որոնցից 4-ը կարմիր են, որպեսզի կարմիրները գտնվեն կողք կողքի: Այս խնդրի լուծման հիմնական դժվարությունը հասկանալն է, որ այս փոխարկումների կարմիր թիթեղները պետք է ընդունվեն որպես մեկ: Այսպիսով, լուծումը կրճատվում է P 6 .P 4 =6!.4!=17280 արտադրյալը գտնելով։

«Permutations» շնորհանդեսը նախատեսված է տեսողականորեն ուղեկցելու «Permutations» թեմայի վերաբերյալ ուսուցչի բացատրությանը: Ուսումնական նյութի մանրամասն, հասկանալի ներկայացումը կարող է օգտակար լինել նաև հեռավար ուսուցման ժամանակ, և այս դեպքում դիտարկվող առաջադրանքները կօգնեն ուսանողին ինքնուրույն լուծել լուծումը:

Կոմբինատորիկայի հիմունքները.

Տեղադրումներ, փոխարկումներ,

համակցություններ.

չարաճճի կապիկ

Էշ,

Այծ,

Այո, ոտնաթաթի Միշկա

Սկսել է քառյակ խաղալ

Կանգնե՛ք, եղբայրներ, կանգ առե՛ք։ -

Կապիկը գոռում է, - սպասիր:

Ինչպե՞ս է ընթանում երաժշտությունը:

Դու այդպես չես նստում...

Եվ այսպես, և այնքան փոխպատվաստված, նորից երաժշտությունը լավ չի ընթանում:

Այստեղ, առավել քան երբևէ, գնացին նրանց վերլուծությունը

Եվ վեճեր

Ո՞վ և ինչպես նստել...

իմանալ:

• Կոմբինատորիկայի երեք կարևորագույն հասկացությունների սահմանումները.
• n տարրերի տեղադրում m-ով;
• n տարրերի համակցություններ m-ով;
• n տարրերի փոխարկումներ;
• հիմնական կոմբինատորական բանաձևեր

ի վիճակի լինել:

• առաջադրանքները միմյանցից տարբերել «փոխադարձությունների», «համակցությունների», «տեղաբաշխումների».
• կիրառել հիմնական կոմբինատորական բանաձևերը ամենապարզ կոմբինատորական խնդիրները լուծելիս.

մի փունջ

Կոմպլեկտը բնութագրվում է որոշ միատարր առարկաների միավորմամբ մեկ ամբողջության մեջ:

Բազմություն կազմող առարկաները կոչվում են բազմության տարրեր։

Մենք կգրենք հավաքածուն՝ տեղադրելով դրա տարրերը գանգուր փակագծերում ( ա, բ, գ, … , ե, զ}.

Կոմպլեկտում տարրերի հերթականությունը նշանակություն չունի, ուստի ( ա, բ} = {բ, ա}.

Այն բազմությունը, որը ոչ մի տարր չի պարունակում, կոչվում է դատարկ հավաքածուև նշվում է ø նշանով։

մի փունջ

Եթե ​​բազմության յուրաքանչյուր տարր ԵՎ B բազմության տարր է, ապա ասում ենք, որ բազմությունը ԵՎբազմության ենթաբազմություն է AT.

Մի փունջ ( ա, բ) բազմության ենթաբազմություն է ( ա, բ, գ, … , ե, զ}.

Նշվում է

Թվարկե՛ք բազմության ենթաբազմության հնարավոր տարբերակները ( 3 , 4 , 5 , 7, 9 }.

Կոմբինատորիկան ​​մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է հարցեր այն մասին, թե որոշակի պայմաններին ենթակա քանի տարբեր համակցություններ կարող են կատարվել տվյալ բազմությանը պատկանող տարրերից։

Կոմբինատորիկան ​​մաթեմատիկայի կարևոր ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է ֆիքսված բազմությունից տարրերի դասավորության, դասավորության, ընտրության և բաշխման օրինաչափությունները։

ԳՈՒՄԱՐԻ ԿԱՆՈՆ

Եթե ​​երկու փոխադարձ բացառող գործողություններ կարող են կատարվել ըստ կև մուղիները, ապա այս գործողություններից մեկը կարող է կատարվել k+mուղիները.

Օրինակ #1

A քաղաքից B քաղաք կարելի է հասնել 12 գնացքով, 3 ինքնաթիռով, 23 ավտոբուսով։ Քանի՞ ճանապարհով կարող եք հասնել A քաղաքից B քաղաք:

Որոշում

Օրինակ #2

Տուփում կա n գունավոր գնդակ: Պատահականորեն հանեք մեկ գնդակ: Քանի՞ եղանակով կարելի է դա անել:

Որոշում. Իհարկե, nուղիները.

Այժմ այս n գնդակները բաժանված են երկու տուփի մեջ՝ առաջինում մգնդակներ, երկրորդում կ. Ցանկացած տուփից պատահականորեն հանեք մեկ գնդակ: Քանի՞ տարբեր եղանակներով կարելի է դա անել:

Որոշում.

Գնդակը կարելի է քաշել առաջին տուփից մտարբեր ձևերով՝ սկսած երկրորդից կտարբեր ձևերով, ընդհանուր N = մ + կուղիները.

ԱՊՐԱՆՔԻ ԿԱՆՈՆ

Թող մեկը մյուսի հետևից կատարվող երկու գործողությունները կարող են իրականացվել համապատասխան կև մուղիներ Ապա երկուսն էլ կարելի է անել k ∙ mուղիները.

Օրինակ #3

Մրցաշարին մասնակցում են հոկեյի 8 թիմեր։ Քանի՞ եղանակ կա առաջին, երկրորդ և երրորդ տեղերը բաշխելու համար:

Որոշում

Օրինակ #4

Քանի՞ երկնիշ թիվ կարելի է գրել տասնորդական նշումով:

Որոշում.Քանի որ թիվը երկնիշ է, տասնյակների թիվը ( մ) կարող է վերցնել ինը արժեքներից մեկը՝ 1,2,3,4,5,6,7,8,9: Միավորների քանակը ( կ) կարող է վերցնել նույն արժեքները և, ի լրումն, կարող է հավասար լինել զրոյի: Այստեղից հետևում է, որ մ= 9, և կ= 10. Ընդհանուր առմամբ ստանում ենք երկնիշ թվեր

N= մ · կ= 9 10 = 90.

Օրինակ #5

Ուսանողական խմբում կա 14 աղջիկ և 6 տղա։ Քանի՞ եղանակով կարելի է ընտրել նույն սեռի երկու աշակերտ՝ տարբեր առաջադրանքներ կատարելու համար:

Որոշում.Երկու աղջիկների բազմապատկման կանոնի համաձայն՝ կարող եք ընտրել 14 13 = 182 եղանակ, իսկ երկու տղա՝ 6 5 = 30 եղանակ։ Պետք է ընտրվեն նույն սեռի երկու ուսանող՝ երկու ուսանող կամ ուսանողուհի: Համաձայն նման ընտրության գումարման կանոնի.

N = 182 + 30 = 212:

Միացման տեսակները

Տարրերի հավաքածուները կոչվում են կապեր.

Կան երեք տեսակի կապեր.

• փոխակերպումներ ից nտարրեր;
• կացարան -ից nտարրեր ըստ մ;
• -ի համակցություններ nտարրեր ըստ մ (մ < n).

Սահմանումից nտարրերը ցանկացած պատվիրված հավաքածու է nտարրեր.

Այսինքն, սա մի բազմություն է, որի համար նշվում է, թե որ տարրն է առաջին տեղում, որ տարրը երկրորդում, որը երրորդում, ..., որը n-րդ տեղում է։

ՀԵՐԹԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Փոխադարձություններայդպիսի կապեր են nտարրեր տվյալ տարրերից, որոնք միմյանցից տարբերվում են տարրերի հերթականությամբ:

n տարրերի փոխակերպումների թիվը նշվում է Pn-ով։

Рn = n · ( n- 1) · ( n– 2) · … · 2 · 1 = n!

Սահմանում:

Թող n- բնական թիվ. միջոցով n! (կարդացեք «en factorial») նշանակում է թիվ, որը հավասար է 1-ից մինչև բոլոր բնական թվերի արտադրյալին n:

n! = 1 2 3 ... n.

Եթե n= 0, ըստ սահմանման ենթադրվում է` 0! = 1.

ՖԱԿՏՈՐԻԱԼ

Օրինակ #6

Գտնենք հետևյալ արտահայտությունների արժեքները՝ 1! 2! 3!

Օրինակ #7

Ինչին հավասար է

ա) Ռ 5 ;

բ) Ռ 3.

Օրինակ #8

Պարզեցնել

բ) 12! 13 14

մեջ) κ ! · ( κ + 1)

Օրինակ #9

Քանի՞ եղանակով կարող են եզրափակիչ մրցավազքի 8 մասնակիցներ տեղադրվել ութ վազքուղու վրա:

Որոշում.

Ռ 8=8 = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320

ԿԱՑՈՒՑՈՒՄ

Սահմանում.Տեղավորում սկսած n տարրեր ըստ մցանկացած պատվիրված հավաքածու կոչվում է մտարրեր՝ կազմված տարրերից n տարրերի հավաքածու:

Տեղաբաշխումների քանակը մտարրեր ըստ nկանգնել՝

հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ #9

11-րդ դասարանի սովորողները սովորում են 9 առարկա. Մեկ օրվա պարապմունքների ժամանակացույցում կարող եք տեղադրել 4 տարբեր առարկաներ։ Օրվա ժամանակացույցի քանի՞ տարբեր եղանակներ կան:

Որոշում.

Ունենք 9-տարրից բաղկացած հավաքածու, որի տարրերը ուսումնական առարկաներն են։ Պլանավորելիս մենք կընտրենք 4 տարրից բաղկացած ենթաբազմություն (դասերի) և կսահմանենք դրա հերթականությունը։ Նման ուղիների թիվը հավասար է ինը տեղաբաշխումների թվին չորսով ( m=9, n=4)այն է Ա 94:

Օրինակ #10

Քանի՞ ձևով կարելի է թաղապետ և թաղապետի օգնական ընտրել 24 աշակերտից բաղկացած դասարանից:

Որոշում.

Ունենք 24 տարրից բաղկացած հավաքածու, որի տարրերը դասարանի սովորողներն են։ Տնօրենի և ղեկավարի օգնականի ընտրության ժամանակ մենք կընտրենք 2 տարրից բաղկացած ենթաբազմություն (ուսանող) և դրանում կարգուկանոն կհաստատենք։ Նման ուղիների թիվը հավասար է ինը տեղաբաշխումների քանակին չորսով ( մ=24, n=2), այն է Ա 242:

ՀԱՄԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Սահմանում.Համադրություն առանց կրկնությունների ից nտարրեր ըստ մ- կոչվում է ցանկացած մտարրական ենթաբազմություն n- տարրերի հավաքածու

m-ով նշվում է n տարրերի համակցությունների թիվը

և հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ #11

Քանի՞ ձևով կարելի է ընտրել երկու ուղեկցող 24 ուսանողներից բաղկացած դասարանից:

Որոշում.

n =24, մ=2

ՀԱՄԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

ԿԱՑՈՒՑՈՒՄ

ՀԵՐԹԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Рn = n!

Որոշեք, թե ինչ տեսակի կապերի է պատկանում առաջադրանքը:

1. Քանի՞ ձևով կարող եք պլանավորել մեկ ուսումնական օր 5 տարբեր դասերից:

2. 9Բ դասարանում սովորում է 12 աշակերտ: Մաթեմատիկական օլիմպիադային մասնակցելու համար քանի՞ ձևով կարելի է 4 հոգանոց թիմ ստեղծել:

Արդյո՞ք հաշվի է առնվում միացման տարրերի հերթականությունը:

Արդյո՞ք բոլոր տարրերը ներառված են միացման մեջ:

Եզրակացություն՝ փոխակերպում

Արդյո՞ք հաշվի է առնվում միացման տարրերի հերթականությունը:

Արդյո՞ք բոլոր տարրերը ներառված են միացման մեջ:

(այս հարցը պատասխանի կարիք չունի)

Եզրակացություն՝ համակցություններ

3. Քանի՞ տարբեր երկնիշ թվեր կան, որոնցում կարելի է օգտագործել 1, 2, 3, 4, 5, 6 թվերը, եթե թվի թվերը պետք է տարբեր լինեն։

Արդյո՞ք հաշվի է առնվում միացման տարրերի հերթականությունը:

Արդյո՞ք բոլոր տարրերը ներառված են միացման մեջ:

Եզրակացություն՝ տեղաբաշխում

չարաճճի կապիկ

Այո, ոտնաթաթի Միշկա

Սկսել է քառյակ խաղալ

Կանգնե՛ք, եղբայրներ, կանգ առե՛ք։ -

Կապիկը գոռում է, - սպասիր:

Ինչպե՞ս է ընթանում երաժշտությունը:

Դու այդպես չես նստում...

Եվ այսպես, և այնքան փոխպատվաստված, նորից երաժշտությունը լավ չի ընթանում:

Այստեղ, առավել քան երբևէ, գնացին նրանց վերլուծությունը

Ո՞վ և ինչպես նստել...

Երաժիշտների քանի՞ տարբեր մշակումներ են հնարավոր:

Որոշում.

Արդյո՞ք հաշվի է առնվում միացման տարրերի հերթականությունը:

Արդյո՞ք բոլոր տարրերը ներառված են միացման մեջ:

Եզրակացություն՝ փոխակերպում

Рn = n! =n · ( n- 1) · ( n– 2) · … · 2 · 1

P4 = 4! = 4 3 2 1=24

«Վաղ թե ուշ յուրաքանչյուր ճիշտ մաթեմատիկական գաղափար կիրառություն է գտնում այս կամ այն ​​բիզնեսում»:

փոխակերպումներ

կացարան

համադրություն

Խնդրի լուծման արդյունքները

ՏՆԱՅԻՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔ

Սովորեք վերացական և բանաձևեր:

S. 321 No 1062

Փոխակերպումները համակցություններ են, որոնք կազմված են նույն տարրերից և տարբերվում են իրենց հերթականությամբ: Տարրերի բոլոր հնարավոր փոխարկումների թիվը նշվում է P n-ով և կարող է հաշվարկվել բանաձևով. Փոխակերպման բանաձև՝ P n =n! Փոխակերպման ժամանակ օբյեկտների թիվը մնում է անփոփոխ, փոխվում է միայն դրանց հերթականությունը, քանի որ օբյեկտների թիվը մեծանում է, փոխարկումների թիվը շատ արագ է աճում և դժվարանում է դրանք տեսողական պատկերելը:

Առաջադրանք 1. Մրցաշարին մասնակցում է յոթ թիմ: Նրանց միջև տեղերի բաշխման քանի՞ տարբերակ է հնարավոր: Р 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 Պատասխան՝ 5040 Խնդիր 2. Քանի՞ ձևով կարող է 10 հոգի նստել կլոր սեղանի շուրջ։ P 10 = 10! = = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = Պատասխան.

Թող լինեն n տարբեր առարկաներ: Դրանցից մենք կընտրենք m առարկաներ և բոլոր հնարավոր ձևերով կվերադասավորենք դրանք միմյանց միջև: Ստացված համակցությունները կոչվում են n առարկաների տեղադրություններ m-ով, և դրանց թիվը հավասար է. Տեղադրելիս փոխվում է և՛ ընտրված առարկաների կազմը, և՛ դրանց հերթականությունը։ Տեղադրման բանաձևը.

Առաջադրանք. Քանի՞ ձևով կարելի է երեք վաուչեր մեկ առողջարանին բաժանել հինգ հոգու միջև: Քանի որ վաուչերները տրամադրվում են մեկ առողջարանին, բաժանման տարբերակները տարբերվում են միմյանցից առնվազն մեկ անձի համար։ Հետևաբար, բաշխման եղանակների քանակը Պատասխան՝ 10 եղանակ։

Առաջադրանք՝ Արտադրամասում աշխատում է 12 մարդ՝ 5 կին և 7 տղամարդ։ Քանի՞ ձևով կարելի է ստեղծել 7 հոգանոց թիմ, որպեսզի այնտեղ 3 կին լինի: Հինգ կանանցից երեքը պետք է ընտրվեն, ուստի ընտրության մեթոդների քանակը: Քանի որ յոթից պահանջվում է չորս տղամարդու ընտրել, ուրեմն տղամարդկանց ընտրելու եղանակների քանակը Պատասխան՝ 350