Lecke "a konvergencia sebessége és az eltávolítás sebessége". A megközelítési sebesség megtalálásához adja hozzá a tutajok sebességét.

§ 1. A megközelítés sebessége és az eltávolítás sebessége

Ebben a leckében olyan fogalmakkal ismerkedünk meg, mint a "konvergencia arány" és az "eltávolítási arány".

A "megközelítési sebesség" és az "eltávolítási sebesség" fogalmának megismeréséhez nézzünk meg 4 valós helyzetet.

A két városból egyszerre két autó hajtott ki a két város közül. Az első autó sebessége ʋ1 = 120 km / h, a második autó sebessége ʋ2 = 80 km / h. Csökken a távolság az autók között? Ha igen, milyen gyorsan?

Az ábra azt mutatja, hogy két, egymás felé haladó autó közeledik. Ez azt jelenti, hogy a köztük lévő távolság csökken. Ahhoz, hogy megtudja, milyen sebességgel csökken az autók közötti távolság, vagy milyen sebességgel közeledik két autó, hozzá kell adni a második sebességét az első autó sebességéhez. Ugyanis a megközelítési sebesség egyenlő az első és a második autó sebességének összegével: ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2.

Nézzük meg ezeknek az autóknak a konvergencia sebességét:

Ez azt jelenti, hogy az autók közötti távolság 200 km / h sebességgel csökken. Tekintsük a második helyzetet.

Két autó egyszerre két városból hajtott ki egy irányba. Az első autó sebessége ʋ1 = 120 km / h, a második autó sebessége ʋ2 = 80 km / h. Az autók közötti távolság növekszik vagy csökken, és mennyivel?

Ábrázoljuk ezeknek az autóknak a mozgását a koordináta -sugáron.

Az ábra azt mutatja, hogy az első autó gyorsabban halad, mint a második autó, vagy a második autó követése érdekében. Ez azt jelenti, hogy csökken az autók közötti távolság. Ha meg szeretné tudni, hogy milyen gyorsan csökken az autók közötti távolság, vagy milyen gyorsan közelít egymáshoz két autó, vonja le a második autó sebességét az első autó sebességétől. Ugyanis a megközelítési sebesség egyenlő két autó sebességének különbségével: ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2.

Keressük meg ezeknek az autóknak a konvergencia sebességét: ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km / h. Ez azt jelenti, hogy az autók közötti távolság 40 km / h sebességgel csökken.

A fenti helyzeteket figyelembe véve megismerkedtünk a "konvergencia sebesség" fogalmával. A megközelítési sebesség az a távolság, amellyel az objektumok időegység alatt megközelítik egymást.

Tekintsük a következő harmadik helyzetet.

A két városból egyszerre két autó hajtott ki ellenkező irányba. Az első autó sebessége ʋ1 = 120 km / h, a második autó sebessége ʋ2 = 80 km / h. Növekszik a távolság az autók között? Ha igen, mennyit?

Ábrázoljuk ezeknek az autóknak a mozgását a koordináta -sugáron.

Az ábra azt mutatja, hogy két, ellentétes irányban haladó autó távolodik egymástól. Ez azt jelenti, hogy a köztük lévő távolság nő. Ahhoz, hogy megtudja, milyen sebességgel nő az autók közötti távolság, vagy milyen sebességgel távolodik el két autó egymástól, hozzá kell adnia a második autó sebességét az első autó sebességéhez. Ugyanis az eltávolítási sebesség egyenlő két autó sebességének összegével: ud. = ʋ1 + ʋ2.

Keressük meg ezeknek az autóknak a törlésének sebességét: ud. = ʋ1 + ʋ2 = 120 + 80 = 200 km / h. Ez azt jelenti, hogy az autók közötti távolság 200 km / h sebességgel nő.

Tekintsük az utolsó negyedik helyzetet.

Két autó egyszerre hagyta el a két várost a víz irányában. Az első autó sebessége ʋ1 = 120 km / h, a második autó sebessége ʋ2 = 80 km / h. Sőt, a második autó késéssel halad. Növekszik vagy csökken az autók közötti távolság, és mennyivel?

Ábrázoljuk ezeknek az autóknak a mozgását a koordináta -sugáron.

Az ábra azt mutatja, hogy a második autó lassabban halad, mint az első autó, vagy elmarad az első autó mögött. Ez azt jelenti, hogy az autók közötti távolság nőni fog. Ahhoz, hogy megtudja, milyen sebességgel nő az autók közötti távolság, vagy milyen sebességgel távolodik el két autó egymástól, ki kell vonni a második autó sebességét az első autó sebességéből. Ugyanis az eltávolítási sebesség egyenlő két autó sebességének különbségével: sp. = ʋ1 - ʋ2.

Keressük meg ezeknek az autóknak a törlésének sebességét: ud. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km / h. Ez azt jelenti, hogy az autók közötti távolság 40 km / h sebességgel nő.

A fenti helyzeteket figyelembe véve megismerkedtünk az "eltávolítási arány" fogalmával. Az eltávolítási arány az objektumok időegység alatt történő eltávolításának távolsága.

2. § Rövid összefoglaló az óra témájáról

1. A megközelítési sebesség az a távolság, amellyel az objektumok időegység alatt megközelítik egymást.

2. Amikor két objektum egymás felé mozog, a megközelítési sebesség megegyezik az objektumok sebességének összegével. ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2

3. Ha üldözés közben halad, a megközelítési sebesség megegyezik a mozgásban lévő tárgyak sebességének különbségével. ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2

4. Az eltávolítás mértéke az a távolság, amellyel az objektumokat időegység alatt eltávolítják.

5. Amikor két objektum ellentétes irányban mozog, az eltávolítási sebesség egyenlő ezeknek az objektumoknak a sebességének összegével. .ud. = ʋ1 + ʋ2

6. Késleltetett mozgás esetén az eltávolítási sebesség egyenlő a mozgásban lévő tárgyak sebességének különbségével. .ud. = ʋ1 - ʋ2

A felhasznált irodalom listája:

Peterson L.G. Matematika. 4. osztály. 2. rész / L.G. Peterson. - M.: Juventa, 2014 .-- 96 p .: Ill.
Matematika. 4. osztály. Módszertani ajánlások a "Tanulás tanulni" matematika tankönyvhöz a 4. évfolyamhoz / L.G. Peterson. - M.: Juventa, 2014.- 280 p .: Ill.
Zak S.M. A matematika tankönyv összes feladata a 4. évfolyamhoz L.G. Peterson és egy sor független és ellenőrző munka. FSES. - M.: YUNVES, 2014.
CD ROM. Matematika. 4. osztály. Leckék forgatókönyvei a 2. rész tankönyvéhez Peterson L.G. - M.: Juventa, 2013.

Felhasznált képek:

A matematika meglehetősen nehéz tantárgy, de abszolút mindenkinek át kell esnie az iskolai tanfolyamon. A mozgási feladatok különösen nehézek a diákok számára. Hogyan lehet megoldani problémák és sok elvesztegetett idő nélkül, ebben a cikkben megvizsgáljuk.

Vegye figyelembe, hogy ha gyakorol, akkor ezek a feladatok nem okoznak nehézségeket. A döntési folyamat automatizálható.

Fajták

Mit jelent az ilyen típusú feladat? Ezek meglehetősen egyszerű és egyszerű feladatok, amelyek a következő változatokat tartalmazzák:

bejövő forgalom;
üldözésben;
az ellenkező irányú mozgás;
mozgás a folyó mentén.

Javasoljuk, hogy minden lehetőséget külön mérlegeljen. Természetesen csak példákkal elemezzük. Mielőtt azonban a továbblépés kérdésére térnénk, érdemes bevezetni egy olyan képletet, amelyre szükségünk lesz, amikor teljesen minden ilyen típusú feladatot megoldunk.

Képlet: S = V * t. Egy kis magyarázat: S az út, az V betű a mozgás sebességét jelenti, a t betű pedig az időt. Ezen a képleten minden mennyiség kifejezhető. Ennek megfelelően a sebesség egyenlő az idővel osztott útvonallal, az idő pedig a sebességgel osztott út.

Mozgás felé

Ez a leggyakoribb feladattípus. A megoldás lényegének megértéséhez fontolja meg a következő példát. Feltétel: "Két kerékpáros barát egyszerre indul útnak egymás felé, míg az egyik háztól a másikig 100 km a távolság. Mennyi lesz a távolság 120 perc múlva, ha ismert, hogy az egyik sebessége 20 km / óra, és a második tizenöt. " Térjünk át arra a kérdésre, hogyan lehet megoldani a kerékpárosok szembejövő forgalmának problémáját.

Ehhez be kell vezetnünk még egy kifejezést: "konvergencia sebesség". Példánkban 35 km / óra (20 km / óra + 15 km / óra) lesz. Ez lesz az első lépés a probléma megoldásában. Ezután megszorozzuk a megközelítési sebességet kettővel, mivel két órán át mozogtak: 35 * 2 = 70 km. Megtaláltuk azt a távolságot, amelyet a kerékpárosok 120 perc múlva megközelítenek. Marad az utolsó cselekvés: 100-70 = 30 kilométer. Ezzel a számítással megtaláltuk a kerékpárosok közötti távolságot. Válasz: 30 km.

Ha nem érti, hogyan lehet megoldani a szembejövő forgalom problémáját a megközelítési sebesség használatával, akkor használjon másik lehetőséget.

Második út

Először is megtaláljuk azt az utat, amelyet az első kerékpáros megtett: 20 * 2 = 40 kilométer. Most a második barát útja: tizenötöt szorozunk kettővel, ami harminc kilométernek felel meg. Adjuk össze az első és a második kerékpáros által megtett távolságot: 40 + 30 = 70 kilométer. Megtudtuk, hogy melyik utat tették meg együtt, így hátra kell vonni a bejárt utat a teljes útból: 100-70 = 30 km. Válasz: 30 km.

Megfontoltuk az első típusú mozgási problémát. Most már világos, hogyan kell megoldani őket, továbblépünk a következő formára.

Az ellenkező irányba haladva

Állapot: "Két nyúl vágtatott egy lyukból az ellenkező irányba. Az első sebessége 40 km / óra, a második sebessége 45 km / óra. Milyen messze lesznek egymástól két óra múlva?"

Itt is, mint az előző példában, két lehetséges megoldás létezik. Először a szokásos módon járunk el:

Az első nyúl útja: 40 * 2 = 80 km.
A második nyúl útja: 45 * 2 = 90 km.
Az út, amelyet együtt utaztak: 80 + 90 = 170 km. Válasz: 170 km.

De egy másik lehetőség is lehetséges.

Eltávolítási arány

Ahogy már sejtette, ebben a feladatban az elsőhöz hasonlóan új kifejezés jelenik meg. Tekintsük a következő típusú mozgási problémákat, hogyan oldhatjuk meg őket az eltávolítási arány használatával.

Először is megtaláljuk: 40 + 45 = 85 kilométer óránként. Továbbra is ki kell deríteni, hogy mekkora távolság választja el őket, mivel az összes többi adat már ismert: 85 * 2 = 170 km. Válasz: 170 km. A mozgással kapcsolatos problémák megoldását hagyományos módon, valamint a megközelítési és eltávolítási sebességet vizsgáltuk.

Követő mozgás

Nézzünk egy példát egy problémára, és próbáljuk meg együtt megoldani. Állapot: "Két iskolás, Kirill és Anton, elhagyta az iskolát, és 50 méteres sebességgel mozogtak. Kosztaja hat perccel később 80 méteres sebességgel követte őket. Mennyi ideig tart, amíg Kostya utoléri Kirill és Anton? "

Szóval, hogyan lehet megoldani az üldöző mozgalommal kapcsolatos problémákat? Itt szükségünk van a konvergencia sebességére. Csak ebben az esetben érdemes nem összeadni, hanem kivonni: 80-50 = 30 m / perc. A második akció során megtudjuk, hány méter választja el egymástól az iskolásokat Kosztya kilépése előtt. Ehhez 50 * 6 = 300 méter. Utolsó akcióként megtaláljuk azt az időt, amely alatt Kostya utoléri Kirillt és Antont. Ehhez a 300 méteres utat el kell osztani a 30 méteres megközelítési sebességgel: 300: 30 = 10 perc. Válasz: 10 perc múlva.

következtetéseket

A korábban elmondottak alapján összegezhetünk néhány eredményt:

a mozgással kapcsolatos problémák megoldásakor kényelmes a megközelítés és az eltávolítás sebessége;
ha szembejövő vagy egymástól való mozgásról beszélünk, akkor ezeket az értékeket a tárgyak sebességének összeadásával találjuk meg;
ha az üldözés feladata előtt állunk, akkor az összeadással ellentétes cselekvést használjuk, vagyis a kivonást.

Megvizsgáltunk néhány közlekedési problémát, hogyan oldjuk meg őket, kitaláltuk, megismerkedtünk a "megközelítési sebesség" és a "visszavonulási sebesség" fogalmaival, még mindig figyelembe kell venni az utolsó pontot, nevezetesen: hogyan lehet megoldani a folyó mentén történő mozgással kapcsolatos problémákat?

Folyam

Itt találkozhatnak újra:

egymás felé haladás feladatai;
üldöző mozgás;
az ellenkező irányú mozgás.

De a korábbi feladatokkal ellentétben a folyó olyan sebességgel rendelkezik, amelyet nem szabad figyelmen kívül hagyni. Itt az objektumok vagy a folyó mentén mozognak - akkor ezt a sebességet hozzá kell adni az objektumok saját sebességéhez, vagy az áramhoz képest - ki kell vonni az objektum sebességéből.

Példa a folyó mentén történő mozgásra

Állapot: 120 km / óra sebességgel sétált a patakkal, és visszatért, miközben két órával kevesebb időt töltött, mint a patak ellen. Mekkora a jet -ski sebessége állóvízben? "Jelenleg óránként egy kilométert kapunk.

Menjünk tovább a megoldáshoz. Javasoljuk, hogy készítsünk táblázatot egy szemléltető példához. Vegyük a motorkerékpár sebességét állóvízben x-nek, akkor a sebesség lefelé x + 1, és x-1 ellen. Az oda -vissza út 120 km. Kiderül, hogy az árammal szembeni mozgásra fordított idő 120: (x-1), és 120: (x + 1) az áramlásirányban. Ismeretes, hogy a 120: (x-1) két órával kevesebb, mint 120: (x + 1). Most folytathatjuk a táblázat kitöltését.

Amink van: (120 / (x-1))-2 = 120 / (x + 1) Szorozzuk meg az egyes részeket (x + 1) (x-1);

120 (x + 1) -2 (x + 1) (x -1) -120 (x -1) = 0;

Megoldjuk az egyenletet:

Vegye figyelembe, hogy itt két lehetséges válasz létezik: + -11, mivel mind a -11, mind a +11 121 -et ad a négyzetben. De a válaszunk pozitív lesz, mivel a motorkerékpár sebességének nem lehet negatív értéke, ezért a válasz fel kell írni: 11 km / óra ... Így megtaláltuk a szükséges értéket, nevezetesen a sebességet állóvízben.

A mozgásproblémák minden lehetséges változatát megvizsgáltuk, most, amikor megoldjuk őket, nem lehetnek problémái és nehézségei. Megoldásukhoz ismernie kell az alapvető képletet és fogalmakat, mint például "a konvergencia és eltávolítás sebessége". Légy türelmes, oldd meg ezeket a feladatokat, és jön a siker.

A lecke tartalma

Távolság / sebesség / idő probléma

1. célkitűzés. Az autó 80 km / h sebességgel halad. Hány kilométert tesz meg 3 óra alatt?

Megoldás

Ha egy autó 80 kilométert tesz meg egy óra alatt, akkor 3 óra alatt háromszor többet. A távolság megtalálásához meg kell szorozni az autó sebességét (80 km / h) a mozgás idejével (3 óra)

80 × 3 = 240 km

Válasz: 3 óra alatt az autó 240 kilométert tesz meg.

2. célkitűzés. 180 km -t tettünk meg autóval 3 óra alatt azonos sebességgel. Mekkora egy autó sebessége?

Megoldás

A sebesség az a távolság, amelyet egy test megtesz időegység alatt. Az egység 1 órát, 1 percet vagy 1 másodpercet jelent.

Ha 3 óra alatt az autó 180 km -t tett meg ugyanolyan sebességgel, akkor a 180 km -t 3 órával elosztva meghatározzuk azt a távolságot, amelyet az autó egy óra alatt megtett. És ez a mozgás sebessége. A sebesség meghatározásához el kell osztani a megtett távolságot a mozgás idejével:

180: 3 = 60 km / h

Válasz: a jármű sebessége 60 km / h

3. célkitűzés. 2 óra alatt az autó 96 km -t, a kerékpáros pedig 72 km -t tett meg 6 óra alatt. Hányszor haladt gyorsabban egy autó, mint egy kerékpáros?

Megoldás

Határozzuk meg az autó sebességét. Ehhez ossza el az általa megtett utat (96 km) a mozgása idejével (2 óra)

96: 2 = 48 km / h

Határozzuk meg a kerékpáros sebességét. Ehhez ossza el az általa megtett utat (72 km) a mozgása idejével (6 óra)

72: 6 = 12 km / h

Nézzük meg, hányszor haladt gyorsabban az autó, mint a kerékpáros. Ehhez 48 és 12 közötti arányt találunk

Válasz: az autó 4 -szer gyorsabban haladt, mint a kerékpáros.

4. feladat... A helikopter 600 km -es távot tett meg 120 km / h sebességgel. Mióta van a járaton?

Megoldás

Ha a helikopter 1 óra alatt 120 kilométert tett meg, akkor miután megtudtuk, hány ilyen 120 kilométer van 600 kilométeren, meghatározzuk, mennyi ideig volt repülés közben. Az idő megtalálásához el kell osztani a megtett távolságot a mozgás sebességével

600: 120 = 5 óra

Válasz: a helikopter 5 órán keresztül úton volt.

5. feladat... A helikopter 6 órát repült 160 km / h sebességgel. Mennyit tett meg ez idő alatt?

Megoldás

Ha 1 óra alatt a helikopter 160 km -t tett meg, akkor 6 óra alatt hatszor többet. A távolság meghatározásához meg kell szorozni a mozgás sebességét az idővel

160 × 6 = 960 km

Válasz: 6 óra alatt a helikopter 960 km -t tett meg.

6. feladat... A Perm és Kazan közötti távolság, 723 km, az autó 13 óra alatt hajtott. Az első 9 órában 55 km / h sebességgel hajtott. Határozza meg a jármű sebességét a hátralévő időben.

Megoldás

Határozzuk meg, hány kilométert tett meg az autó az első 9 órában. Ehhez szorozza meg az első kilenc óra (55 km / h) sebességét 9 -gyel

55 × 9 = 495 km

Határozza meg, mennyit kell még vezetni. Ehhez vonja le a mozgás első 9 órájában megtett távolságot a teljes távolságból (723 km)

723-495 = 228 km

Az autó a hátralévő 4 óra alatt megtette ezt a 228 kilométert. Az autó sebességének meghatározásához a hátralévő időben 228 kilométert el kell osztani 4 órával:

228: 4 = 57 km / h

Válasz: a jármű sebessége a hátralévő időben 57 km / h volt

Közeledési sebesség

A megközelítési sebesség az a távolság, amelyet két objektum egy egység alatt megtesz egymás felé.

Például, ha két gyalogos két pontról egymás felé halad, és az első sebessége 100 m / m, a másodiké pedig 105 m / m, akkor a konvergencia sebessége 100 + 105 lesz, azaz 205 m / m. Ez azt jelenti, hogy minden percben a gyalogosok közötti távolság 205 méterrel csökken.

A konvergencia sebességének megtalálásához hozzá kell adnia az objektumok sebességét.

Tegyük fel, hogy a gyalogosok három perccel a mozgás kezdete után találkoztak. Tudva, hogy három perc múlva találkoztak, megtudhatjuk a két pont közötti távolságot.

A gyalogosok percenként kétszázöt méteres távot tettek meg. 3 perc múlva találkoztak. Ez azt jelenti, hogy ha megszorozzuk a megközelítési sebességet a mozgás idejével, akkor meghatározhatjuk a két pont közötti távolságot:

205 × 3 = 615 méter

A pontok közötti távolságot más módon is meghatározhatja. Ehhez keresse meg az egyes gyalogosok által megtett távolságot a találkozó előtt.

Tehát az első gyalogos percenként 100 méteres sebességgel gyalogolt. A találkozóra három perc alatt került sor, ami azt jelenti, hogy 3 perc alatt 100 × 3 métert tett meg

100 × 3 = 300 méter

A második gyalogos pedig 105 méter / perc sebességgel gyalogolt. Három perc alatt 105 × 3 métert tett meg

105 × 3 = 315 méter

Most összeadhatja az eredményeket, és így meghatározhatja a két pont közötti távolságot:

300 m + 315 m = 615 m

1. célkitűzés. Két településről két kerékpáros indult el, hogy egyszerre találkozzanak egymással. Az első kerékpáros sebessége 10 km / h, a másodiké 12 km / h. 2 óra múlva találkoztak. Határozza meg a települések közötti távolságot

Megoldás

A kerékpárosok konvergencia sebességének megtalálása

10 km / h + 12 km / h = 22 km / h

Határozzuk meg a települések közötti távolságot. Ehhez megszorozzuk a megközelítés sebességét a mozgás idejével

22 × 2 = 44 km

Oldjuk meg ezt a problémát a második módon. Ehhez megtaláljuk a kerékpárosok által megtett távolságokat, és összeadjuk az eredményeket.

Keresse meg az első kerékpáros által megtett távolságot:

10 × 2 = 20 km

Keresse meg a második kerékpáros által megtett távolságot:

12 × 2 = 24 km

Adjuk hozzá a kapott távolságokat:

20 km + 24 km = 44 km

Válasz: a települések közötti távolság 44 km.

2. feladat... Két településről, amelyek távolsága 60 km, két kerékpáros egyszerre indul útnak egymás felé. Az első kerékpáros sebessége 14 km / h, a másodiké 16 km / h. Hány óra múlva találkoztak?

Megoldás

Nézzük meg a kerékpárosok konvergencia sebességét:

14 km / h + 16 km / h = 30 km / h

Egy óra alatt 30 kilométerrel csökken a kerékpárosok közötti távolság. Annak meghatározásához, hogy hány óra múlva találkoznak, el kell osztani a települések közötti távolságot a konvergencia sebességével:

60:30 = 2 óra

Így a kerékpárosok két óra múlva találkoztak.

Válasz: a kerékpárosok 2 óra múlva találkoztak.

3. probléma... Két településről, amelyek távolsága 56 km, egyszerre két kerékpáros indult el egymás felé. Két órával később találkoztak. Az első kerékpáros 12 km / h sebességgel haladt. Határozza meg a második kerékpáros sebességét.

Megoldás

Határozza meg az első kerékpáros által megtett távolságot. A második kerékpároshoz hasonlóan 2 órát töltött útközben. Ha az első kerékpáros sebességét megszorozzuk 2 órával, megtudhatjuk, hány kilométert gyalogolt a találkozó előtt

12 × 2 = 24 km

Az első kerékpáros 24 km -t tett meg két óra alatt. Egy óra alatt 24: 2, azaz 12 km -t tett meg. Ábrázoljuk grafikusan

Vonja le az első kerékpáros által megtett távolságot (24 km) a teljes távolságból (56 km). Ez határozza meg, hogy a második kerékpáros hány kilométert tett meg:

56 km - 24 km = 32 km

A második kerékpáros, akárcsak az első, 2 órát töltött útközben. Ha elosztjuk az általa megtett utat 2 órával, akkor megtudjuk, milyen sebességgel haladt:

32: 2 = 16 km / h

Ez azt jelenti, hogy a második kerékpáros sebessége 16 km / h.

Válasz: a második kerékpáros sebessége 16 km / h.

Eltávolítási arány

Az eltávolítási sebesség az a távolság, amely időegységenként növekszik két ellentétes irányban mozgó tárgy között.

Például, ha két gyalogos ugyanabból a pontból ellenkező irányba megy, az első sebessége 4 km / h, a másodiké 6 km / h, akkor az eltávolítási sebesség 4 + 6 lesz, azaz 10 km / h. Óránként a távolság két gyalogos között 10 kilométerrel nő.

Az eltávolítás sebességének megtalálásához hozzá kell adnia az objektumok sebességét.

Tehát az első órában a gyalogosok közötti távolság 10 kilométer lesz. Az alábbi ábrán láthatja, hogyan történik ez.

Látható, hogy az első gyalogos az első órában tette meg 4 kilométerét. A második gyalogos is megtette 6 kilométerét az első órában. Összességében az első órában 4 + 6, azaz 10 kilométer lett a távolság közöttük.

Két óra múlva a gyalogosok közötti távolság 10 × 2, azaz 20 kilométer lesz. Az alábbi ábrán láthatja, hogyan történik ez:

1. célkitűzés. Egy tehervonat és egy személyszállító expressz egyszerre indult el az egyik állomásról az ellenkező irányba. A tehervonat sebessége 40 km / h, a gyorsvonat sebessége 180 km / h volt. Mennyi a távolság ezek között a vonatok között 2 óra alatt?

Megoldás

Határozza meg a vonatok eltávolításának sebességét. Ehhez adja hozzá a sebességüket:

40 + 180 = 220 km / h

A vonatok eltávolításának sebessége 220 km / h. Ez a sebesség azt mutatja, hogy a vonatok közötti távolság óránként 220 kilométerrel nő. Ahhoz, hogy megtudja, mekkora távolság lesz a vonatok között két óra múlva, 220 -at kell szorozni 2 -vel

220 × 2 = 440 km

Válasz: 2 óra múlva a vonatok közötti távolság 440 kilométer lesz.

2. célkitűzés. Egy kerékpáros és egy motoros egyszerre távozott a pontból, ellentétes irányba. A kerékpáros sebessége 16 km / h, a motoros sebessége 40 km / h. Mi a távolság a kerékpáros és a motoros között 2 óra alatt?

Megoldás

16 km / h + 40 km / h = 56 km / h

Határozzuk meg a kerékpáros és a motoros közötti távolságot 2 óra múlva. Ehhez megszorozzuk az eltávolítási sebességet (56 km / h) 2 órával

56 × 2 = 112 km

Válasz: 2 óra elteltével a kerékpáros és a motoros közötti távolság 112 km.

3. probléma... Egy kerékpáros és egy motoros egyszerre távozott a pontból, ellentétes irányba. A kerékpáros sebessége 10 km / h, a motoros sebessége 30 km / h. Hány óra múlva lesz a távolság 80 km közöttük?

Megoldás

Határozza meg a kerékpáros és a motoros eltávolításának sebességét. Ehhez adja hozzá a sebességüket:

10 km / h + 30 km / h = 40 km / h

Egy óra alatt a kerékpáros és motoros közötti távolság 40 kilométerrel nő. Ahhoz, hogy megtudja, hány óra múlva lesz a távolság 80 km között, meg kell határoznia, hogy 80 km hányszor tartalmaz 40 km -t

80: 40 = 2

Válasz: 2 órával a mozgás megkezdése után 80 kilométer lesz a kerékpáros és a motoros között.

4. feladat... Egy kerékpáros és egy motoros egyszerre távozott a pontból, ellentétes irányba. 2 óra elteltével a távolság 90 km volt. A kerékpáros sebessége 15 km / h volt. Határozza meg a motoros sebességét

Megoldás

Határozzuk meg a kerékpáros által megtett távolságot 2 óra alatt. Ehhez szorozza meg sebességét (15 km / h) 2 órával

15 × 2 = 30 km

Az ábra azt mutatja, hogy a kerékpáros óránként 15 kilométert tett meg. Összesen két óra alatt 30 kilométert tett meg.

Vonja le a kerékpáros által megtett távolságot (30 km) a teljes távolságból (90 km). Tehát meghatározzuk, hogy a motoros hány kilométert tett meg:

90 km - 30 km = 60 km

A motoros két óra alatt 60 kilométert tett meg. Ha elosztjuk az általa megtett utat 2 órával, akkor megtudjuk, milyen sebességgel haladt:

60: 2 = 30 km / h

Tehát a motoros sebessége 30 km / h volt.

Válasz: a motoros sebessége 30 km / h volt.

A tárgyak egy irányba történő mozgatásának problémája

Az előző témában olyan feladatokat vettünk figyelembe, amelyek során tárgyak (emberek, autók, csónakok) vagy egymás felé, vagy ellentétes irányban mozogtak. Ugyanakkor különböző távolságokat találtunk, amelyek egy bizonyos idő alatt változtak az objektumok között. Ezek a távolságok is voltak konvergencia sebességek vagy eltávolítási arányok.

Az első esetben azt találtuk konvergencia sebessége- olyan helyzetben, amikor két tárgy egymás felé halad. Időegységenként a tárgyak közötti távolság egy bizonyos távolsággal csökkent

A második esetben az eltávolítási arányt találtuk - olyan helyzetben, amikor két tárgy ellentétes irányban mozog. Időegységenként a tárgyak közötti távolság egy bizonyos távolsággal nőtt

De az objektumok egy irányban és különböző sebességgel is mozoghatnak. Például egy kerékpáros és egy motoros egyszerre elhagyhatja ugyanazt a pontot, a kerékpáros sebessége pedig 20 kilométer / óra, a motoros sebessége pedig 40 kilométer / óra.

Az ábra azt mutatja, hogy a motoros húsz kilométerrel előzi meg a biciklist. Ez annak köszönhető, hogy óránként 20 kilométerrel többet tesz meg, mint egy kerékpáros. Ezért óránként húsz kilométerrel nő a kerékpáros és motoros közötti távolság.

Ebben az esetben 20 km / h az a sebesség, amellyel a motoros eltávolodik a kerékpárosról.

Két óra múlva a kerékpáros által megtett távolság 40 km lesz. Egy motoros 80 km -t tesz meg, további húsz kilométert távolodik el a kerékpártól - összesen 40 kilométer lesz a távolság közöttük.

Ha meg szeretné találni az eltávolítási arányt, ha egy irányba halad, vonja le az alacsonyabb sebességet a nagyobb sebességből.

A fenti példában az eltávolítási sebesség 20 km / h. Megtalálható úgy, hogy a kerékpáros sebességét kivonjuk a motoros sebességéből. A kerékpáros sebessége 20 km / h, a motoros sebessége 40 km / h volt. A motoros sebessége nagyobb, ezért vonjon le 20 -at 40 -ből

40 km / h - 20 km / h = 20 km / h

1. probléma... Egy személyautó és egy busz ugyanabba az irányba indult el a városból. Az autó sebessége 120 km / h, a busz sebessége 80 km / h. Mennyi a távolság köztük 1 óra alatt? 2 óra?

Megoldás

Keressük meg az eltávolítási arányt. Ehhez vonja ki a kisebbet a nagyobb sebességből.

120 km / h - 80 km / h = 40 km / h

Óránként egy személygépkocsi 40 kilométerre távolodik a busztól. Egy óra múlva az autó és a busz közötti távolság 40 km lesz. Még kétszer 2 óra alatt:

40 × 2 = 80 km

Válasz: Egy óra múlva az autó és a busz közötti távolság 40 km, két óra múlva - 80 km lesz.

Vegyünk egy olyan helyzetet, amelyben a tárgyak különböző pontokból, de ugyanabba az irányba kezdtek mozogni.

Legyen ház, iskola és attrakció. Otthontól az iskoláig 700 méter

Két gyalogos egyszerre ment a látványossághoz. Sőt, az első gyalogos a látványossághoz ment a háztól percenként 100 méteres sebességgel, és a második gyalogos a látványossághoz ment iskolából percenként 80 méter sebességgel. Mennyi a gyalogosok közötti távolság 2 perc alatt? Hány perccel a mozgás kezdete után az első gyalogos utoléri a másodikat?

Válaszoljunk a probléma első kérdésére - mennyi a gyalogosok közötti távolság 2 perc alatt?

Határozzuk meg az első gyalogos által megtett távolságot 2 perc alatt. 100 méter / perc sebességgel haladt. Két perc alatt kétszer annyit fog elhaladni, vagyis 200 métert

100 × 2 = 200 méter

Határozzuk meg a második gyalogos által megtett távolságot 2 perc alatt. 80 méter / perc sebességgel haladt. Két perc alatt kétszer annyit, azaz 160 métert tesz meg

80 × 2 = 160 méter

Most meg kell találnia a gyalogosok közötti távolságot

A gyalogosok közötti távolság megállapításához adja hozzá a második gyalogos által megtett távolságot (160 m) az otthon és az iskola közötti távolsághoz (700 m), és vonja le az első gyalogos által megtett távolságot (200 m) az eredményből.

700 m + 160 m = 860 m

860 m - 200 m = 660 m

Vagy az otthontól az iskoláig tartó távolságtól (700 m) vonja le az első gyalogos által megtett távolságot (200 m), és adja hozzá az eredményhez a második gyalogos által megtett távolságot (160 m).

700 m - 200 m = 500 m

500 m + 160 m = 660 m

Így két perc múlva a gyalogosok közötti távolság 660 méter lesz.

Próbáljuk meg megválaszolni a probléma következő kérdését: hány perccel a mozgás kezdete után az első gyalogos utoléri a másodikat?

Lássuk, mi volt a helyzet az utazás legelején - amikor a gyalogosok még nem kezdtek el mozogni.

Amint az ábrán is látható, a gyalogosok közötti távolság az út elején 700 méter volt. De már egy perccel a mozgás kezdete után a távolság 680 méter lesz, mivel az első gyalogos 20 méterrel gyorsabban mozog, mint a második:

100 m × 1 = 100 m

80 m × 1 = 80 m

700 m + 80 m - 100 m = 780 m - 100 m = 680 m

Két perccel a mozgás kezdete után a távolság további 20 méterrel csökken, és 660 méter lesz. Ez volt a válaszunk a probléma első kérdésére:

100 m × 2 = 200 m

80 m × 2 = 160 m

700 m + 160 m - 200 m = 860 m - 200 m = 660 m

Három perc elteltével a távolság további 20 méterrel csökken, és már 640 méter lesz:

100 m × 3 = 300 m

80 m × 3 = 240 m

700 m + 240 m - 300 m = 940 m - 300 m = 640 m

Látjuk, hogy minden percben az első gyalogos 20 méterrel közelíti meg a másodikat, és végül utoléri. Azt mondhatjuk, hogy a húsz méter / perc sebesség egyenlő a gyalogosok konvergencia sebességével. Az azonos irányba történő haladás esetén a megközelítési és visszavonulási sebesség megtalálásának szabályai azonosak.

Ahhoz, hogy megtalálja a konvergencia sebességét, amikor egy irányba halad, le kell vonnia az alacsonyabb sebességet a nagyobb sebességből.

És mivel a kezdeti 700 méter ugyanazzal a 20 méterrel csökken minden percben, megtudhatjuk, hogy hányszor 700 méter tartalmaz egyenként 20 métert, és ezáltal meghatározzuk, hogy az első gyalogos hány perc alatt éri el a másodikat

700: 20 = 35

Ez azt jelenti, hogy 35 perccel a mozgás kezdete után az első gyalogos utoléri a másodikat. A szórakozás kedvéért derítsük ki, hány métert tett meg ezúttal az egyes gyalogosok. Az első 100 méter / perc sebességgel haladt. 35 perc alatt 35 -ször többet sétált

100 × 35 = 3500 m

A második 80 méter / perc sebességgel gyalogolt. 35 perc alatt 35 -ször többet sétált

80 × 35 = 2800 m

Az első 3500 métert, a második 2800 métert tett meg. Az első 700 métert sétált tovább, ahogy a háztól. Ha ezt a 700 métert kivonjuk 3500 -ból, akkor 2800 m -t kapunk

Tekintsünk egy olyan helyzetet, amikor a tárgyak egy irányba mozognak, de az egyik tárgy korábban kezdte meg mozgását, mint a másik.

Legyen ház és iskola. Az első gyalogos 80 méteres sebességgel ment iskolába. 5 perc elteltével egy második gyalogos követte őt az iskolába 100 méteres sebességgel. Hány perc alatt éri utol a második gyalogos az elsőt?

A második gyalogos 5 perc múlva elindult. Ekkor az első gyalogos már eltávolodott tőle bizonyos távolságra. Találjuk meg ezt a távolságot. Ehhez szorozza meg a sebességét (80 m / m) 5 perccel

80 × 5 = 400 méter

Az első gyalogos 400 méterrel távolodott el a másodiktól. Ezért abban a pillanatban, amikor a második gyalogos elindul, ugyanaz a 400 méter lesz közöttük.

De a második gyalogos percenként 100 méteres sebességgel halad. Vagyis 20 méterrel gyorsabban mozog, mint az első gyalogos, ami azt jelenti, hogy percenként 20 méterrel csökken a köztük lévő távolság. A mi feladatunk, hogy megtudjuk, hány perc múlva fog ez megtörténni.

Például egy perc múlva a gyalogosok közötti távolság 380 méter lesz. Az első gyalogos további 80 métert megy a 400 méteres, a második pedig 100 métert

Az elv itt is ugyanaz, mint az előző feladatban. A gyalogosok közötti távolságot a második gyalogos mozgásának pillanatában el kell osztani a gyalogosok konvergencia sebességével. A megközelítési sebesség ebben az esetben húsz méter. Ezért annak meghatározásához, hogy a második gyalogos hány perc alatt éri utol az elsőt, 400 métert el kell osztani 20 -cal

400: 20 = 20

Ez azt jelenti, hogy 20 perc múlva a második gyalogos utoléri az elsőt.

2. feladat... Két faluból, amelyek közötti távolság 40 km, egy busz és egy kerékpáros egyszerre távozott ugyanabba az irányba. A kerékpáros sebessége 15 km / h, a busz sebessége 35 km / h. Hány órát ér a busz a kerékpároshoz?

Megoldás

Keresse meg a konvergencia sebességét

35 km / h - 15 km / h = 20 km / h

Órákon belül meghatározzuk, hogy a busz utoléri -e a kerékpárost

40: 20 = 2

Válasz: a busz 2 óra múlva utoléri a biciklist.

A folyók mozgásának problémája

A hajók különböző sebességgel mozognak a folyó mentén. Ugyanakkor mind a folyó mentén, mind az áramlással szemben mozoghatnak. Attól függően, hogy hogyan mozognak (az áram mellett vagy ellen), a sebesség változik.

Tegyük fel, hogy a folyó sebessége 3 km / h. Ha leengedi a hajót a folyóra, a folyó 3 km / h sebességgel elviszi a hajót.

Ha a csónakot állóvízbe engedi, amelyben nincs áram, akkor a csónak is állni fog. A hajó sebessége ebben az esetben nulla lesz.

Ha a csónak állóvízben vitorlázik, amelyben nincs áram, akkor azt mondják, hogy a hajó onnan indul saját sebessége.

Például, ha egy motorcsónak 40 km / h sebességgel áthalad a csendes vízen, akkor ezt mondják motorcsónak saját sebessége 40 km / h.

Hogyan lehet meghatározni a hajó sebességét?

Ha a hajó egy folyó folyásával vitorlázik, akkor a folyó sebességét hozzá kell adni a hajó saját sebességéhez.

az áramlással folyók, és a folyó sebessége 2 km / h, akkor a folyó sebességét (2 km / h) hozzá kell adni a motorcsónak saját sebességéhez (30 km / h)

30 km / h + 2 km / h = 32 km / h

A folyó áramlása elmondható, hogy további két kilométeres sebességgel segíti a motorcsónakot.

Ha a hajó egy folyó áramával szemben vitorlázik, akkor a folyó sebességét ki kell vonni a hajó saját sebességéből.

Például, ha egy motorcsónak 30 km / h sebességgel vitorlázik a patak ellen folyók, és a folyó sebessége 2 km / h, akkor a folyó sebességét (2 km / h) ki kell vonni a hajó saját sebességéből (30 km / h)

30 km / h - 2 km / h = 28 km / h

A folyó áramlása ebben az esetben megakadályozza, hogy a motorcsónak szabadon haladjon előre, és sebességét két kilométerrel csökkenti óránként.

1. probléma... A hajó sebessége 40 km / h, a folyó sebessége 3 km / h. Milyen gyorsan fog haladni a hajó a folyón? A folyó áramlatával szemben?

Válasz:

Ha a hajó a folyó mentén halad, sebessége 40 + 3, azaz 43 km / h lesz.

Ha a hajó a folyó patakja ellen mozog, akkor sebessége 40 - 3, azaz 37 km / h lesz.

2. feladat... A hajó sebessége állóvízben 23 km / h. A folyó sebessége 3 km / h. Milyen utat tesz meg a motorhajó 3 óra múlva a folyó mentén? A patak ellen?

Megoldás

A hajó saját sebessége 23 km / h. Ha a hajó a folyó mentén halad, sebessége 23 + 3, azaz 26 km / h lesz. Három óra múlva háromszor több lesz

26 × 3 = 78 km

Ha a motoros hajó a folyó patakja ellen mozog, akkor sebessége 23 - 3, azaz 20 km / h lesz. Három óra múlva háromszor több lesz

20 × 3 = 60 km

3. probléma... A hajó 3 óra 20 perc alatt, a B ponttól A -ig terjedő távolságot 2 óra 50 perc alatt tette meg. Milyen irányba folyik a folyó: A -ból B -be vagy B -ből A -ba, ha ismert, hogy a jacht sebessége nem változott?

Megoldás

A jacht sebessége nem változott. Nézzük meg, melyik úton töltött több időt: az A -ból B -be vezető úton vagy a B -ből A -ba vezető úton.

3 óra 20 perc több mint 2 óra 50 perc. Ez azt jelenti, hogy a folyó árama csökkentette a jacht sebességét, és ez tükröződött az utazási időben. 3 óra 20 perc az A -ból B -re vezető úton töltött idő. Tehát a folyó B -pontból A -ba folyik

4. feladat... Mennyi időbe telik, ha a folyó felfelé vezet
a hajó 204 km -t tesz meg, ha saját sebessége van
15 km / h, és a jelenlegi sebesség ötször kisebb, mint a sajátja
a hajó sebessége?

Megoldás

Meg kell találni azt az időt, ameddig a hajó 204 kilométert fog elhaladni a folyó ellen. A hajó saját sebessége 15 km / h. A folyó áramlása ellen mozog, ezért meg kell határoznia annak sebességét az ilyen mozgás során.

A sebesség meghatározásához a folyó áramlásával szemben ki kell vonni a folyó sebességét a motorhajó saját sebességéből (15 km / h). A feltétel azt mondja, hogy a folyó áramlási sebessége ötször kisebb, mint a motorhajó saját sebessége, ezért először meghatározzuk a folyó áramlási sebességét. Ennek érdekében ötször csökkentjük a 15 km / órát

15: 5 = 3 km / h

A folyó sebessége 3 km / h. Ezt a sebességet vonjuk ki a hajó sebességéből

15 km / h - 3 km / h = 12 km / h

Most határozzuk meg azt az időt, ameddig a motorhajó 204 km -t tesz meg 12 km / h sebességgel. A hajó óránként 12 kilométert fut. Ahhoz, hogy megtudja, hány óra alatt tart 204 kilométer, meg kell határoznia, hogy 204 kilométer hányszor tartalmaz 12 kilométert

204: 12 = 17 óra

Válasz: a hajó 204 kilométert tesz meg 17 óra alatt

5. feladat... Haladás a folyó mentén, 6 óra múlva csónak
102 km -t tett meg. Határozza meg saját hajósebességét,

Megoldás

Tudja meg, milyen gyorsan haladt a csónak a folyó mentén. Ehhez a megtett távolságot (102 km) el kell osztani a mozgás idejével (6 óra)

102: 6 = 17 km / h

Határozza meg a hajó sebességét. Ehhez abból a sebességből, amellyel a folyó mentén haladt (17 km / h), kivonjuk a folyó áramlási sebességét (4 km / h)

17 - 4 = 13 km / h

6. feladat... A folyó ellen haladva 5 óra múlva a csónak
110 km -t tett meg. Határozza meg saját hajósebességét,
ha az aktuális sebesség 4 km / h.

Megoldás

Tudja meg, milyen gyorsan haladt a csónak a folyó mentén. Ehhez a megtett távolságot (110 km) el kell osztani a mozgás idejével (5 óra)

110: 5 = 22 km / h

Határozza meg a hajó sebességét. Az állapot azt mondta, hogy a folyó ellenében halad. A folyó folyási sebessége 4 km / h volt. Ez azt jelenti, hogy a csónak saját sebességét 4 -gyel csökkentették.

22 + 4 = 26 km / h

Válasz: a hajó saját sebessége 26 km / h

7. probléma... Mennyi időbe telik, amíg egy csónak felfelé halad a folyón
56 km -t fog elhaladni, ha a jelenlegi sebesség 2 km / h, és annak
a saját sebessége 8 km / h -val nagyobb a jelenlegi sebességnél?

Megoldás

Keressük meg a hajó saját sebességét. A feltétel szerint 8 km / h -val több, mint a jelenlegi sebesség. Ezért a hajó saját sebességének meghatározásához adjon hozzá további 8 km / h -t az aktuális sebességhez (2 km / h)

2 km / h + 8 km / h = 10 km / h

A csónak a folyó patakjával szemben halad, ezért a hajó saját sebességéből (10 km / h) levonjuk a folyó sebességét (2 km / h)

10 km / h - 2 km / h = 8 km / h

Megtudjuk, mennyi ideig tart a hajó 56 km megtétele. Ehhez a távolságot (56 km) el kell osztani a hajó sebességével:

56: 8 = 7 óra

Válasz: a folyó patakával szemben haladva a hajó 56 km -t tesz meg 7 óra alatt

Feladatok a független megoldásért

1. feladat Mennyi ideig tart egy gyalogos 20 km -t gyalogolni, ha sebessége 5 km / h?

Megoldás

Egy gyalogos 5 kilométert gyalogol egy óra alatt. Annak meghatározásához, hogy mennyi ideig tart 20 km megtétele, ki kell derítenie, hogy 20 km hányszor tartalmaz 5 km -t. Vagy használja az időkeresés szabályát: ossza el a megtett távolságot a mozgás sebességével

20: 5 = 4 óra

2. feladat Pontból A mutatni V a kerékpáros 5 órát utazott 16 km / h sebességgel, vissza pedig 10 km / h sebességgel. Mennyi ideig tartott a kerékpáros a visszaútra?

Megoldás

Határozza meg a ponttól való távolságot A mutatni V... Ehhez meg kell szorozni azt a sebességet, amellyel a kerékpáros haladt A mutatni V(16 km / h) vezetés közben (5 óra)

16 × 5 = 80 km

Határozzuk meg, mennyi időt töltött a kerékpáros a visszaúton. Ehhez a távolságot (80 km) el kell osztani a mozgási sebességgel (10 km / h)

3. feladat. A kerékpáros 6 órát lovagolt egy bizonyos sebességgel. Miután további 11 km -t vezetett azonos sebességgel, útja 83 km -rel egyenlővé vált. Milyen gyors volt a kerékpáros?

Megoldás

Határozzuk meg a kerékpáros által 6 óra alatt megtett utat. Ehhez vonja le a 83 km -es távolságot, amelyet hat óra mozgás után megtett (11 km)

83 - 11 = 72 km

Határozzuk meg, hogy a kerékpáros milyen gyorsan lovagolt az első 6 órában. Ehhez ossza fel a 72 km -t 6 órára

72: 6 = 12 km / h

Mivel a probléma állapota szerint a kerékpáros a fennmaradó 11 km -t ugyanolyan sebességgel tette meg, mint az első 6 óra mozgásban, a 12 km / h sebesség a válasz a problémára.

Válasz: a kerékpáros 12 km / h sebességgel haladt.

4. feladat. A motoros hajó a folyó patakjával szemben haladva 72 óra távolságot tesz meg 4 óra alatt, a tutaj pedig 36 óra alatt megteszi ugyanazt a távolságot. végigmegy a folyón?

Megoldás

Keressük meg a folyó sebességét. A feltétel szerint a tutaj 72 kilométert képes megtenni 36 óra alatt. A tutaj nem tud mozogni a folyó áramlata ellen. Tehát a tutaj sebessége, amellyel legyőzi ezt a 72 kilométert, a folyó sebessége. Ennek a sebességnek a megtalálásához 72 kilométert el kell osztani 36 órával.

72: 36 = 2 km / h

Keressük meg saját hajósebességünket. Először is keressük meg a mozgás sebességét a folyó patakja ellen. Ehhez 72 kilométert 4 órával osztunk.

72: 4 = 18 km / h

Ha a motorhajó sebessége a folyóhoz képest 18 km / h, akkor saját sebessége 18 + 2, azaz 20 km / h. És a folyó mentén sebessége 20 + 2 lesz, azaz 22 km / h

110 kilométert elosztva a hajó sebességével a folyó mentén (22 km / h), megtudhatja, hány órát hajózik a hajó ezen a 110 kilométeren

Válasz: a folyó mentén a hajó 110 kilométert tesz meg 5 óra alatt.

5. feladat. Két kerékpáros egy pontot hagyott el egyidejűleg ellenkező irányba. Egyikük 11 km / h, a másik 13 km / h sebességgel haladt. Mennyi a távolság köztük 4 óra alatt?

21 × 6 = 126 km

Határozzuk meg a második motorhajó által megtett távolságot. Ehhez meg kell szorozni a sebességét (24 km / h) a találkozóig eltelt idővel (6 óra)

24 × 6 = 144 km

Határozzuk meg a kikötők közötti távolságot. Ehhez össze kell adni az első és a második motorhajó által megtett távolságokat

126 km + 144 km = 270 km

Válasz: az első motorhajó 126 km -t, a második 144 km -t tett meg. A kikötők közötti távolság 270 km.

7. feladat Két vonat indult egyszerre Moszkvából és Ufából. 16 óra után találkoztak. A moszkvai vonat 51 km / h sebességgel haladt. Milyen gyorsan indult a vonat Ufából, ha Moszkva és Ufa között 1520 km volt a távolság? Mekkora volt a távolság a vonatok között 5 órával a találkozás után?

Megoldás

Határozzuk meg, hogy a találkozó előtt hány kilométert tett meg a vonat Moszkvából. Ehhez szorozza meg sebességét (51 km / h) 16 órával

51 × 16 = 816 km

Megtudjuk, hány kilométert tett meg a találkozó előtt az Ufából maradt vonat. Ehhez a Moszkva és Ufa közötti távolságból (1520 km) kivonjuk a Moszkvából induló vonat által megtett távolságot

1520 - 816 = 704 km

Határozzuk meg azt a sebességet, amellyel a vonat elhagyta az Ufát. Ehhez a találkozó előtt megtett távolságot el kell osztani 16 órával.

704: 16 = 44 km / h

Határozzuk meg a vonatok közötti távolságot 5 órával a találkozás után. Ehhez megtaláljuk a vonatok eltávolításának sebességét, és megszorozzuk ezt a sebességet 5 -tel

51 km / h + 44 km / h = 95 km / h

95 × 5 = 475 km.

Válasz: az Ufából induló vonat 44 km / h sebességgel haladt. Találkozásuk után 5 órával a vonatok közötti távolság 475 km lesz.

8. feladat: Két busz indult el egy pontból egyszerre, ellentétes irányba. Az egyik busz sebessége 48 km / h, a másiké 6 km / h -val több. Hány óra múlva lesz a buszok közötti távolság 510 km?

Megoldás

Keresse meg a második busz sebességét. Ez 6 km / h -val több, mint az első busz sebessége

48 km / h + 6 km / h = 54 km / h

Keresse meg a busz eltávolítási sebességét. Ehhez adja hozzá a sebességüket:

48 km / h + 54 km / h = 102 km / h

A buszok közötti távolság 102 kilométerrel növekszik óránként. Ahhoz, hogy megtudja, hány óra múlva lesz a távolság 510 km között, meg kell tudnia, hogy az 510 km hányszor tartalmaz 102 km / h -t

Válasz: 510 km lesz a buszok között 5 óra múlva.

9. feladat: Rostov-on-Don és Moszkva távolsága 1230 km. Két vonat indult Moszkvából és Rosztovból, hogy találkozzanak egymással. A moszkvai vonat 63 km / h sebességgel halad, a rosztovi vonat sebessége pedig a moszkvai vonat sebessége. Milyen távolságban találkoznak a vonatok Rosztovtól?

Megoldás

Keressük meg a rosztovi vonat sebességét. Ez a moszkvai vonat sebessége. Ezért egy rosztovi vonat sebességének meghatározásához 63 km -ről kell megtalálni

63: 21 × 20 = 3 × 20 = 60 km / h

Keresse meg a vonatok közeledésének sebességét

63 km / h + 60 km / h = 123 km / h

Határozza meg, hogy hány óra múlva találkoznak a vonatok

1230: 123 = 10 óra

Megtudjuk, milyen távolságban találkoznak a vonatok Rosztovból. Ehhez elegendő megtalálni a találkozó előtt a Rosztovi vonat által megtett távolságot

60 × 10 = 600 km.

Válasz: vonatok találkoznak Rosztovtól 600 km -re.

10. feladat. Két mólóról, amelyek közötti távolság 75 km, két motorcsónak egyszerre indult egymás felé. Az egyik 16 km / h sebességgel ment, a másik sebessége az első hajó sebességének 75% -a volt. Mi a távolság a hajók között 2 óra alatt?

Megoldás

Keresse meg a második csónak sebességét. Ez az első hajó sebességének 75% -a. Ezért a második hajó sebességének megtalálásához a 16 km 75% -ára van szüksége

16 × 0,75 = 12 km / h

Keresse meg a hajók közeledésének sebességét

16 km / h + 12 km / h = 28 km / h

A hajók közötti távolság óránként 28 km -rel csökken. 2 óra elteltével 28 × 2 -rel, azaz 56 km -rel csökken. Ahhoz, hogy megtudja, mennyi lesz a hajók közötti távolság ebben a pillanatban, le kell vonnia az 56 km -t a 75 km -ből

75 km - 56 km = 19 km

Válasz: 2 óra múlva 19 km lesz a hajók között.

11. feladat. Egy 62 km / h sebességű személygépkocsi utoléri a 47 km / h sebességű teherautót. Mennyi időbe telik és milyen távolságra a mozgás kezdetétől egy személygépkocsi utolér egy teherautót, ha a kezdeti távolság 60 km volt közöttük?

Megoldás

Keresse meg a konvergencia sebességét

62 km / h - 47 km / h = 15 km / h

Ha kezdetben az autók közötti távolság 60 kilométer volt, akkor óránként ez a távolság 15 km -rel csökken, és végül egy személygépkocsi utoléri a teherautót. Ahhoz, hogy megtudja, hány óra múlva fog ez megtörténni, meg kell határoznia, hogy 60 km hányszor tartalmaz 15 km -t

Megtudjuk, hogy a személygépkocsi a mozgás kezdetétől milyen távolságra érte utol a rakományt. Ehhez meg kell szorozni egy személygépkocsi sebességét (62 km / h) a mozgás idejével a találkozóig (4 óra)

62 × 4 = 248 km

Válasz: egy személygépkocsi 4 óra alatt utoléri a teherautót. A találkozó pillanatában a személygépkocsi 248 km távolságra lesz a mozgás kezdetétől.

12. feladat Két motorkerékpáros egyszerre hagyott el egy pontot egy irányba. Az egyik sebesség 35 km / h volt, a másik sebessége az első versenyző sebességének 80% -a. Mennyi a távolság köztük 5 óra alatt?

Megoldás

Keresse meg a második motoros sebességét. Ez az első versenyző sebességének 80% -a. Ezért a második versenyző sebességének megtalálásához meg kell találnia a 35 km / h 80% -át

35 × 0,80 = 28 km / h

Az első versenyző 35-28 km / h-val gyorsabban halad

35 km / h - 28 km / h = 7 km / h

Egy óra alatt az első motoros 7 kilométert tesz meg többet. Minden egyes órával a 7 kilométeren belül megközelíti a második motorost.

5 óra alatt az első motoros 35 × 5, azaz 175 km -t, a második motoros 28 × 5, azaz 140 km -t tesz meg. Határozzuk meg a köztük lévő távolságot. Ehhez vonjon le 175 km -ből 140 km -t

175 - 140 = 35 km

Válasz: 5 óra múlva a versenyzők közötti távolság 35 km lesz.

13. feladat. Egy motorkerékpáros, akinek sebessége 43 km / h, megelőz egy 13 km / h sebességű kerékpárost. Hány óra múlva ér utol a motoros a kerékpároshoz, ha a kezdeti távolság 120 km volt közöttük?

Megoldás

Nézzük meg a konvergencia sebességét:

43 km / h - 13 km / h = 30 km / h

Ha kezdetben a motoros és a kerékpáros közötti távolság 120 kilométer volt, akkor óránként ez a távolság 30 km -rel csökken, és végül a motoros utoléri a kerékpárost. Ahhoz, hogy megtudja, hány óra múlva fog ez megtörténni, meg kell határoznia, hogy 120 km hányszor tartalmaz 30 km -t

Tehát a motoros 4 óra múlva utoléri a kerékpárosot

Az ábrán egy motoros és egy kerékpáros mozgása látható. Látható, hogy 4 órával a mozgás kezdete után kiegyenlítettek.

Válasz: a motoros 4 óra múlva utoléri a biciklist.

14. feladat. A kerékpáros, akinek sebessége 12 km / h, utoléri a biciklist, akinek sebessége 75% -a. 6 óra elteltével a második kerékpáros utolérte az első biciklist. Mekkora volt a távolság a kerékpárosok között eredetileg?

Megoldás

Határozzuk meg az elöl haladó kerékpáros sebességét. Ehhez a mögöttünk haladó kerékpáros sebességének 75% -át találjuk:

12 × 0,75 = 9 km / h - az elöl haladó vezető sebessége

Nézzük meg, hány kilométert tett meg minden kerékpáros, mielőtt a második utolérte az elsőt:

12 × 6 = 72 km - mögötte hajtott
9 × 6 = 54 km - vezette az elöl haladót

Nézze meg, mekkora volt a távolság a kerékpárosok között. Ehhez a második (utolérő) kerékpáros által megtett távolságból vonja le az első (utolért) kerékpáros által megtett távolságot

Látható, hogy az autó 12 km -re van a busz előtt.

Ahhoz, hogy megtudja, hány óra múlva lesz az autó 48 kilométerrel a busz előtt, meg kell határoznia, hogy a 48 km hányszor tartalmaz 12 km -t

Válasz: 4 órával az indulás után az autó 48 kilométerrel előzi meg a buszt.

Tetszett a lecke?
Csatlakozzon az új Vkontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről

§ 1. A megközelítés sebessége és az eltávolítás sebessége

Ebben a leckében olyan fogalmakkal ismerkedünk meg, mint a "konvergencia arány" és az "eltávolítási arány".

A "megközelítési sebesség" és az "eltávolítási sebesség" fogalmának megismeréséhez nézzünk meg 4 valós helyzetet.

Nézzük meg ezeknek az autóknak a konvergencia sebességét:

Ez azt jelenti, hogy az autók közötti távolság 200 km / h sebességgel csökken. Tekintsük a második helyzetet.

Ábrázoljuk ezeknek az autóknak a mozgását a koordináta -sugáron.

Keressük meg ezeknek az autóknak a konvergencia sebességét: ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km / h. Ez azt jelenti, hogy az autók közötti távolság 40 km / h sebességgel csökken.

Tekintsük a következő harmadik helyzetet.

Ábrázoljuk ezeknek az autóknak a mozgását a koordináta -sugáron.

Keressük meg ezeknek az autóknak a törlésének sebességét: ud. = ʋ1 + ʋ2 = 120 + 80 = 200 km / h. Ez azt jelenti, hogy az autók közötti távolság 200 km / h sebességgel nő.

Tekintsük az utolsó negyedik helyzetet.

Ábrázoljuk ezeknek az autóknak a mozgását a koordináta -sugáron.

Keressük meg ezeknek az autóknak a törlésének sebességét: ud. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km / h. Ez azt jelenti, hogy az autók közötti távolság 40 km / h sebességgel nő.

A fenti helyzeteket figyelembe véve megismerkedtünk az "eltávolítási arány" fogalmával. Az eltávolítási arány az objektumok időegység alatt történő eltávolításának távolsága.

2. § Rövid összefoglaló az óra témájáról

1. A megközelítési sebesség az a távolság, amellyel az objektumok időegység alatt megközelítik egymást.

2. Amikor két objektum egymás felé mozog, a megközelítési sebesség megegyezik az objektumok sebességének összegével. ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2

3. Ha üldözés közben halad, a megközelítési sebesség megegyezik a mozgásban lévő tárgyak sebességének különbségével. ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2

4. Az eltávolítás mértéke az a távolság, amellyel az objektumokat időegység alatt eltávolítják.

5. Amikor két objektum ellentétes irányban mozog, az eltávolítási sebesség egyenlő ezeknek az objektumoknak a sebességének összegével. .ud. = ʋ1 + ʋ2

6. Késleltetett mozgás esetén az eltávolítási sebesség egyenlő a mozgásban lévő tárgyak sebességének különbségével. .ud. = ʋ1 - ʋ2

A felhasznált irodalom listája:

Peterson L.G. Matematika. 4. osztály. 2. rész / L.G. Peterson. - M.: Juventa, 2014 .-- 96 p .: Ill.
Matematika. 4. osztály. Módszertani ajánlások a "Tanulás tanulni" matematika tankönyvhöz a 4. évfolyamhoz / L.G. Peterson. - M.: Juventa, 2014.- 280 p .: Ill.
Zak S.M. A matematika tankönyv összes feladata a 4. évfolyamhoz L.G. Peterson és egy sor független és ellenőrző munka. FSES. - M.: YUNVES, 2014.
CD ROM. Matematika. 4. osztály. Leckék forgatókönyvei a 2. rész tankönyvéhez Peterson L.G. - M.: Juventa, 2013.

Felhasznált képek:

Hogyan találjuk meg a konvergencia sebességét?

A matematikai feladatok megoldása során a diákoknak nagyszámú kérdésük van. "Hogyan találjuk meg a konvergencia sebességét?" - egyikük.

A mozgás sebessége az a távolság, amellyel a tárgyak időegység alatt megközelítik egymást. A mértékegység km / h, m / s, stb. Ha az objektumok egyenletesen mozognak különböző sebességgel, akkor az objektumok közötti távolság vagy növekszik, vagy csökken ugyanannyi egységgel.

A különböző irányú mozgás kiszámításához a következő képletet kell használni: megközelítési sebesség = V1 + V2, és egy irányba haladva - megközelítési sebesség = V1 - V2. A problémák megoldása során a megközelítési sebességet nem szabad összetéveszteni a "teljes sebességgel", amelyet az összes sebesség összegeként számítanak ki.

Tegyük fel, hogy két kerékpáros egymás felé halad. Az első sebessége 16 km / h, a másodiké 20 km / h. Milyen gyorsan változik a köztük lévő távolság? Adatainkat a V = 16 + 20 képletbe behelyettesítve megtudjuk, hogy a megközelítési sebesség ebben az esetben 36 km / h.

Ha két teknős vesz részt a versenyeken, amelyek közül az egyik 3 km / h, a másik pedig 1 km / h sebességgel mozog, a megközelítési sebesség 2 km / h lesz a V = V1 - V2 képlet alapján.

Fajták

Mozgás felé

Második út

Az ellenkező irányba haladva

Eltávolítási arány

Követő mozgás

következtetéseket

Folyam

Példa a folyó mentén történő mozgásra

Távolság / sebesség / idő probléma

Közeledési sebesség

Eltávolítási arány

A tárgyak egy irányba történő mozgatásának problémája

A folyók mozgásának problémája

Hogyan lehet meghatározni a hajó sebességét?

Feladatok a független megoldásért

Olvasson is