भौमितिक आकृत्यांचे क्षेत्र हे द्विमितीय जागेत त्यांचा आकार दर्शविणारी संख्यात्मक मूल्ये आहेत. हे मूल्य सिस्टम आणि नॉन-सिस्टम युनिट्समध्ये मोजले जाऊ शकते. तर, उदाहरणार्थ, क्षेत्रफळाचे एक नॉन-सिस्टीमिक युनिट म्हणजे शंभरावा, हेक्टर. जर मोजला जाणारा पृष्ठभाग जमिनीचा तुकडा असेल तर ही स्थिती आहे. क्षेत्रफळाची प्रणाली एकक लांबीचा चौरस आहे. SI प्रणालीमध्ये, सपाट पृष्ठभागाचे एकक चौरस मीटर आहे. GHS मध्ये, क्षेत्रफळाचे एकक चौरस सेंटीमीटर म्हणून व्यक्त केले जाते.
भूमिती आणि क्षेत्र सूत्रे अतूटपणे जोडलेली आहेत. हे कनेक्शन या वस्तुस्थितीत आहे की विमान आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना त्यांच्या अनुप्रयोगावर तंतोतंत आधारित आहे. अनेक आकृत्यांसाठी, अनेक पर्याय तयार केले जातात ज्यावरून त्यांची चौरस परिमाणे मोजली जातात. प्रॉब्लेम स्टेटमेंटमधील डेटाच्या आधारे, आम्ही सर्वात सोपा उपाय ठरवू शकतो. हे गणना सुलभ करेल आणि गणना त्रुटींची शक्यता कमीतकमी कमी करेल. हे करण्यासाठी, भूमितीमधील आकृत्यांच्या मुख्य क्षेत्रांचा विचार करा.
कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याची सूत्रे अनेक पर्यायांमध्ये सादर केली जातात:
1) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ पाया a आणि h उंचीवरून मोजले जाते. पायाला आकृतीची बाजू मानली जाते ज्यावर उंची कमी केली जाते. मग त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:
2) कर्ण आधार मानल्यास काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच प्रकारे मोजले जाते. जर आपण पाय आधार म्हणून घेतला, तर काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ अर्धवट केलेल्या पायांच्या गुणाकाराइतके असेल.
कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजण्याची सूत्रे तिथेच संपत नाहीत. दुसऱ्या अभिव्यक्तीमध्ये a,b बाजू आणि a आणि b मधील कोन γ चे साइनसॉइडल फंक्शन असते. साइन व्हॅल्यू टेबलमध्ये आढळते. आपण कॅल्क्युलेटर वापरून देखील ते शोधू शकता. मग त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:
या समानतेचा वापर करून, आपण हे देखील सुनिश्चित करू शकता की काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्र पायांच्या लांबीद्वारे निर्धारित केले जाते. कारण कोन γ हा काटकोन आहे, म्हणून काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ साइन फंक्शनने गुणाकार न करता मोजले जाते.
3) एक विशेष केस विचारात घ्या - एक नियमित त्रिकोण, ज्याची बाजू अ स्थितीनुसार ओळखली जाते किंवा सोडवताना त्याची लांबी शोधली जाऊ शकते. भूमितीच्या समस्येतील आकृतीबद्दल अधिक काही माहिती नाही. मग या स्थितीत क्षेत्र कसे शोधायचे? या प्रकरणात, नियमित त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र लागू केले जाते:
आयत
आयताचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे आणि समान शिरोबिंदू असलेल्या बाजूंचे परिमाण कसे वापरायचे? गणनासाठी अभिव्यक्ती आहे:
जर तुम्हाला आयताचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी कर्णांची लांबी वापरायची असेल, तर तुम्हाला ते छेदतात तेव्हा तयार होणाऱ्या कोनाच्या साइनच्या फंक्शनची आवश्यकता असेल. आयताच्या क्षेत्रासाठी हे सूत्र आहे:
चौरस
चौरसाचे क्षेत्रफळ बाजूच्या लांबीची दुसरी शक्ती म्हणून निर्धारित केले जाते:
चौरस हा आयत आहे या व्याख्येवरून पुरावा मिळतो. चौरस बनवणाऱ्या सर्व बाजूंचे परिमाण समान असतात. म्हणून, अशा आयताचे क्षेत्रफळ काढणे एकाला दुसऱ्याने गुणाकारणे, म्हणजे बाजूच्या दुसऱ्या बळापर्यंत खाली येते. आणि चौरसाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे सूत्र इच्छित फॉर्म घेईल.
चौरसाचे क्षेत्रफळ दुसऱ्या मार्गाने मिळू शकते, उदाहरणार्थ, आपण कर्ण वापरल्यास:
वर्तुळाने बांधलेल्या विमानाच्या भागाने तयार झालेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे? क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, सूत्रे आहेत:
समांतरभुज चौकोन
समांतरभुज चौकोनासाठी, सूत्रामध्ये बाजू, उंची आणि गणितीय क्रिया - गुणाकार यांचे रेषीय परिमाण असतात. जर उंची माहित नसेल तर समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? गणना करण्याचा दुसरा मार्ग आहे. एक विशिष्ट मूल्य आवश्यक असेल, जे समीप बाजूंनी तयार केलेल्या कोनाच्या त्रिकोणमितीय कार्याद्वारे, तसेच त्यांची लांबी द्वारे घेतले जाईल.
समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे आहेत:
समभुज चौकोन
समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कर्णांसह साधे गणित वापरून निश्चित केले जाते. d1 आणि d2 मधील कर्णरेषा काटकोनात छेदतात या वस्तुस्थितीवर पुरावा आधारित आहे. साइन्सचे टेबल दाखवते की काटकोनासाठी हे कार्य एकतेच्या समान आहे. म्हणून, समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते:
समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ दुसऱ्या प्रकारे देखील शोधता येते. हे सिद्ध करणे देखील अवघड नाही, कारण त्याच्या बाजूंची लांबी समान आहे. नंतर त्यांचे उत्पादन समांतरभुज चौकोनासाठी समान अभिव्यक्तीमध्ये बदला. अखेरीस, या विशिष्ट आकृतीचा एक विशेष केस एक समभुज चौकोन आहे. येथे γ हा समभुज चौकोनाचा आतील कोन आहे. समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे ठरवले जाते:
ट्रॅपेझॉइड
जर समस्या त्यांची लांबी दर्शवत असेल तर पायथ्यांद्वारे ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र कसे शोधायचे (a आणि b)? येथे, h उंचीच्या लांबीच्या ज्ञात मूल्याशिवाय, अशा ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करणे शक्य होणार नाही. कारण या मूल्यामध्ये गणनासाठी अभिव्यक्ती समाविष्ट आहे:
आयताकृती ट्रॅपेझॉइडचे चौरस परिमाण देखील त्याच प्रकारे मोजले जाऊ शकते. हे लक्षात घेतले जाते की आयताकृती ट्रॅपेझॉइडमध्ये उंची आणि बाजूच्या संकल्पना एकत्र केल्या जातात. म्हणून, आयताकृती ट्रॅपेझॉइडसाठी, आपल्याला उंचीऐवजी बाजूच्या बाजूची लांबी निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे.
सिलेंडर आणि समांतर पाईप केलेले
संपूर्ण सिलेंडरच्या पृष्ठभागाची गणना करण्यासाठी काय आवश्यक आहे याचा विचार करूया. या आकृतीचे क्षेत्रफळ वर्तुळांची एक जोडी आहे ज्याला बेस आणि बाजूचा पृष्ठभाग म्हणतात. वर्तुळ बनवणाऱ्या वर्तुळांची त्रिज्या लांबी r च्या बरोबर असते. सिलेंडरच्या क्षेत्रासाठी खालील गणना केली जाते:
चेहऱ्याच्या तीन जोड्या असलेल्या समांतर पाईपचे क्षेत्र कसे शोधायचे? त्याची मोजमाप विशिष्ट जोडीशी जुळते. विरुद्ध चेहऱ्यांचे समान मापदंड आहेत. प्रथम, S(1), S(2), S(3) - असमान चेहऱ्यांचे चौरस परिमाण शोधा. मग समांतर पाईपचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे:
रिंग
सामान्य केंद्र असलेली दोन वर्तुळे एक रिंग बनवतात. ते रिंगचे क्षेत्र देखील मर्यादित करतात. या प्रकरणात, दोन्ही गणना सूत्रे प्रत्येक वर्तुळाची परिमाणे विचारात घेतात. त्यापैकी प्रथम, रिंगच्या क्षेत्राची गणना करताना, मोठ्या आर आणि लहान r त्रिज्या असतात. अधिक वेळा त्यांना बाह्य आणि अंतर्गत म्हणतात. दुसऱ्या अभिव्यक्तीमध्ये, रिंग क्षेत्राची गणना मोठ्या डी आणि लहान डी व्यासांद्वारे केली जाते. अशा प्रकारे, ज्ञात त्रिज्यांवर आधारित रिंगचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते:
व्यासाच्या लांबीचा वापर करून रिंगचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे निर्धारित केले जाते:
बहुभुज
ज्याचा आकार नियमित नाही अशा बहुभुजाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? अशा आकृत्यांच्या क्षेत्रासाठी कोणतेही सामान्य सूत्र नाही. परंतु जर ते समन्वयित विमानावर चित्रित केले गेले असेल, उदाहरणार्थ ते चेकर्ड पेपर असू शकते, तर या प्रकरणात पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? येथे ते एक पद्धत वापरतात ज्यास आकृतीचे अंदाजे मोजमाप करण्याची आवश्यकता नसते. ते असे करतात: जर त्यांना सेलच्या कोपऱ्यात पडलेले बिंदू सापडले किंवा संपूर्ण निर्देशांक आहेत, तर फक्त तेच विचारात घेतले जातात. नंतर क्षेत्र काय आहे हे शोधण्यासाठी, पीकने सिद्ध केलेले सूत्र वापरा. तुटलेल्या रेषेच्या आत असलेल्या बिंदूंची संख्या त्यावर पडलेल्या अर्ध्या बिंदूंसह जोडणे आवश्यक आहे आणि एक वजा करणे आवश्यक आहे, म्हणजे या प्रकारे गणना केली जाते:
जेथे B, G - अनुक्रमे आत आणि संपूर्ण तुटलेल्या रेषेवर स्थित बिंदूंची संख्या.
भूमितीच्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, तुम्हाला सूत्रे माहित असणे आवश्यक आहे - जसे की त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किंवा समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्र - तसेच आम्ही कव्हर करणार आहोत अशी साधी तंत्रे.
प्रथम, आकृत्यांच्या क्षेत्रांची सूत्रे जाणून घेऊ. आम्ही त्यांना विशेषतः सोयीस्कर टेबलमध्ये गोळा केले आहे. मुद्रित करा, शिका आणि अर्ज करा!
अर्थात, भूमितीची सर्व सूत्रे आपल्या टेबलमध्ये नाहीत. उदाहरणार्थ, गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या प्रोफाइलच्या दुसऱ्या भागात भूमिती आणि स्टिरिओमेट्रीमधील समस्या सोडवण्यासाठी, त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी इतर सूत्रे वापरली जातात. आम्ही तुम्हाला त्यांच्याबद्दल नक्कीच सांगू.
परंतु जर तुम्हाला ट्रॅपेझॉइड किंवा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ नसून काही जटिल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची आवश्यकता असेल तर? सार्वत्रिक मार्ग आहेत! आम्ही त्यांना FIPI टास्क बँकेतील उदाहरणे वापरून दाखवू.
1. नॉन-स्टँडर्ड आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? उदाहरणार्थ, एक अनियंत्रित चतुर्भुज? एक साधे तंत्र - या आकृतीचे विभाजन करू या ज्यांच्याबद्दल आपल्याला सर्व काही माहित आहे आणि त्याचे क्षेत्रफळ शोधा - या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून.
क्षैतिज रेषेसह या चौकोनाला समान आधार असलेल्या दोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित करा. या त्रिकोणांची उंची समान आहे आणि . मग चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ दोन त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके असते: .
उत्तर:.
2. काही प्रकरणांमध्ये, आकृतीचे क्षेत्रफळ काही क्षेत्रांमधील फरक म्हणून दर्शविले जाऊ शकते.
या त्रिकोणाचा पाया आणि उंची किती समान आहे हे मोजणे इतके सोपे नाही! परंतु आपण असे म्हणू शकतो की त्याचे क्षेत्रफळ एक बाजू असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि तीन काटकोन त्रिकोणांमधील फरकाइतके आहे. तुम्ही त्यांना चित्रात पाहता का? आम्हाला मिळते: .
उत्तर:.
3. कधीकधी एखाद्या कार्यात आपल्याला संपूर्ण आकृतीचे क्षेत्रफळ नाही तर त्याचा काही भाग शोधण्याची आवश्यकता असते. सहसा आपण सेक्टरच्या क्षेत्राबद्दल बोलत असतो - वर्तुळाचा भाग ज्याच्या चाप लांबीच्या त्रिज्येच्या वर्तुळाचे क्षेत्र शोधा .
या चित्रात आपल्याला वर्तुळाचा भाग दिसतो. संपूर्ण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ समान आहे. वर्तुळाचा कोणता भाग चित्रित केला आहे हे शोधणे बाकी आहे. संपूर्ण वर्तुळाची लांबी समान असल्याने (पासून), आणि दिलेल्या सेक्टरच्या कमानीची लांबी समान आहे , म्हणून, कमानीची लांबी संपूर्ण वर्तुळाच्या लांबीपेक्षा कित्येक पट कमी असते. हा कंस ज्या कोनात बसतो तो पूर्ण वर्तुळ (म्हणजे अंश) पेक्षाही कमी असतो. याचा अर्थ सेक्टरचे क्षेत्रफळ संपूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या अनेक पटीने लहान असेल.
पृथ्वीचे मोजमाप कसे करावे याचे ज्ञान प्राचीन काळात प्रकट झाले आणि हळूहळू भूमितीच्या विज्ञानात आकार घेतला. हा शब्द ग्रीक भाषेतून "जमीन सर्वेक्षण" म्हणून अनुवादित आहे.
लांबी आणि रुंदीमध्ये पृथ्वीच्या सपाट भागाच्या व्याप्तीचे मोजमाप म्हणजे क्षेत्रफळ. गणितात, हे सहसा लॅटिन अक्षर S (इंग्रजी "स्क्वेअर" - "क्षेत्र", "चौरस") किंवा ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा) द्वारे दर्शविले जाते. S हे विमानावरील आकृतीचे क्षेत्रफळ किंवा शरीराच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ दर्शवते आणि σ हे भौतिकशास्त्रातील वायरचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आहे. ही मुख्य चिन्हे आहेत, जरी इतर असू शकतात, उदाहरणार्थ, सामग्रीच्या सामर्थ्याच्या क्षेत्रात, A हे प्रोफाइलचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आहे.
च्या संपर्कात आहे
गणना सूत्रे
साध्या आकृत्यांचे क्षेत्र जाणून घेतल्यास, आपण अधिक जटिल गोष्टींचे मापदंड शोधू शकता.. प्राचीन गणितज्ञांनी अशी सूत्रे विकसित केली जी सहज गणना करण्यासाठी वापरली जाऊ शकतात. अशा आकृत्या म्हणजे त्रिकोण, चतुर्भुज, बहुभुज, वर्तुळ.
जटिल समतल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, ते त्रिकोण, ट्रॅपेझॉइड किंवा आयत यांसारख्या अनेक साध्या आकृत्यांमध्ये विभागले गेले आहे. त्यानंतर, गणितीय पद्धती वापरून, या आकृतीच्या क्षेत्रफळासाठी एक सूत्र काढले जाते. अशीच पद्धत केवळ भूमितीमध्येच नाही तर वक्रांनी बांधलेल्या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी गणितीय विश्लेषणामध्ये देखील वापरली जाते.
त्रिकोण
चला सर्वात सोप्या आकृतीसह प्रारंभ करूया - एक त्रिकोण. ते आयताकृती, समद्विभुज आणि समभुज आहेत. AB=a, BC=b आणि AC=c (∆ ABC) बाजू असलेला कोणताही ABC त्रिकोण घ्या. त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमातून ज्ञात असलेल्या साइन आणि कोसाइन प्रमेयांचे स्मरण करूया. सर्व गणने सोडून, आम्ही खालील सूत्रांवर पोहोचतो:
- S=√ - हेरॉनचे सूत्र, सर्वांना माहीत आहे, जेथे p=(a+b+c)/2 हा त्रिकोणाचा अर्ध-परिमिती आहे;
- S=a h/2, जेथे h ही उंची a कडे कमी केली जाते;
- S=a b (sin γ)/2, जेथे γ हा बाजू a आणि b मधील कोन आहे;
- S=a b/2, जर ∆ ABC आयताकृती असेल (येथे a आणि b पाय आहेत);
- S=b² (sin (2 β))/2, जर ∆ ABC समद्विभुज असेल (येथे b "हिप्स" पैकी एक आहे, β हा त्रिकोणाच्या "हिप्स" मधील कोन आहे);
- S=a² √¾, जर ∆ ABC समभुज असेल (येथे a त्रिकोणाची एक बाजू आहे).
चौकोन
AB=a, BC=b, CD=c, AD=d सह एक चतुर्भुज ABCD असू द्या. अनियंत्रित 4-गोनचे क्षेत्र S शोधण्यासाठी, तुम्हाला ते कर्णरेषेने दोन त्रिकोणांमध्ये विभागणे आवश्यक आहे, ज्याचे क्षेत्रफळ S1 आणि S2 सामान्यतः समान नाहीत.
नंतर त्यांची गणना करण्यासाठी सूत्रे वापरा आणि त्यांना जोडा, म्हणजे S=S1+S2. तथापि, जर 4-गोन एका विशिष्ट वर्गाशी संबंधित असेल, तर त्याचे क्षेत्र पूर्वी ज्ञात सूत्रे वापरून शोधले जाऊ शकते:
- S=(a+c) h/2=e h, जर टेट्रागॉन समलंब चौकोन असेल (येथे a आणि c हे पाया आहेत, e समलंब रेषा आहे, h ही समलंबाच्या पायांपैकी एकापर्यंत कमी केलेली उंची आहे;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, जर ABCD समांतरभुज चौकोन असेल (येथे φ हा बाजू a आणि b मधला कोन आहे, h ही बाजू a कडे सोडलेली उंची आहे, d1 आणि d2 कर्ण आहेत);
- S=a b=d²/2, जर ABCD आयत असेल (d एक कर्ण असेल);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, जर ABCD समभुज चौकोन असेल (a समभुज चौकोनाची बाजू आहे, φ त्याच्या कोनांपैकी एक आहे, P परिमिती आहे);
- S=a²=P²/16=d²/2, जर ABCD हा वर्ग असेल.
बहुभुज
एन-गॉनचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, गणितज्ञ त्याला सर्वात सोप्या समान आकृत्यांमध्ये विभाजित करतात - त्रिकोण, त्या प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ शोधा आणि नंतर त्यांना जोडा. परंतु जर बहुभुज नियमित वर्गाशी संबंधित असेल तर सूत्र वापरा:
S=a n h/2=a² n/=P²/, जेथे n ही बहुभुजाच्या शिरोबिंदूंची (किंवा बाजूंची) संख्या आहे, a ही n-gon ची बाजू आहे, P ही त्याची परिमिती आहे, h हा अपोथेम आहे, म्हणजे a 90° च्या कोनात बहुभुजाच्या मध्यभागापासून त्याच्या एका बाजूपर्यंत काढलेला खंड.
वर्तुळ
वर्तुळ हा एक परिपूर्ण बहुभुज आहे ज्याच्या असंख्य बाजू आहेत. आपल्याला बहुभुजाच्या क्षेत्रफळासाठी सूत्रामध्ये उजवीकडील अभिव्यक्तीची मर्यादा मोजणे आवश्यक आहे ज्यामध्ये बाजूंची संख्या अनंताकडे आहे. या प्रकरणात, बहुभुजाची परिमिती त्रिज्या R च्या वर्तुळाच्या लांबीमध्ये बदलेल, जी आपल्या वर्तुळाची सीमा असेल आणि P=2 π R च्या बरोबरीची होईल. वरील सूत्रामध्ये ही अभिव्यक्ती बदला. आम्हाला मिळेल:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
या अभिव्यक्तीची मर्यादा n→∞ म्हणून शोधू. हे करण्यासाठी, आम्ही लक्षात घेतो की n→∞ साठी lim (cos (180°/n)) cos 0°=1 (lim हे मर्यादेचे चिन्ह आहे) आणि n→∞ साठी lim = lim आहे. 1/π च्या बरोबरी (आम्ही π rad=180° संबंध वापरून पदवी मापाचे रेडियनमध्ये रूपांतर केले आणि x→∞ वर पहिले उल्लेखनीय मर्यादा लिम (sin x)/x=1 लागू केले). प्राप्त मूल्यांना S साठी शेवटच्या अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आम्ही सुप्रसिद्ध सूत्रावर पोहोचतो:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
युनिट्स
मापनाची पद्धतशीर आणि नॉन-सिस्टमिक युनिट्स वापरली जातात. सिस्टम युनिट्स एसआय (सिस्टम इंटरनॅशनल) च्या मालकीचे आहेत. हा एक चौरस मीटर आहे (चौ. मीटर, m²) आणि त्यातून मिळालेली एकके: mm², cm², km².
चौरस मिलिमीटर (mm²) मध्ये, उदाहरणार्थ, ते विद्युत अभियांत्रिकीमध्ये तारांचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र मोजतात, चौरस सेंटीमीटर (cm²) मध्ये - स्ट्रक्चरल मेकॅनिक्समध्ये बीमचा क्रॉस-सेक्शन, चौरस मीटर (m²) मध्ये - अपार्टमेंट किंवा घरामध्ये, चौरस किलोमीटर (किमी²) मध्ये - भूगोल मध्ये.
तथापि, कधीकधी मोजमापाची नॉन-सिस्टीमिक युनिट्स वापरली जातात, जसे की: विणणे, एआर (अ), हेक्टर (हे) आणि एकर (एसी). चला खालील संबंध सादर करूया:
- 1 सौ चौरस मीटर = 1 a = 100 m² = 0.01 हेक्टर;
- 1 हेक्टर = 100 a = 100 एकर = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 ac;
- 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 एकर = 0.405 हेक्टर.
क्षेत्र सूत्रआकृतीचे क्षेत्रफळ निश्चित करण्यासाठी आवश्यक आहे, जे युक्लिडियन समतल आकृत्यांच्या विशिष्ट वर्गावर परिभाषित केलेले वास्तविक-मूल्य असलेले कार्य आहे आणि 4 अटी पूर्ण करतात:
- सकारात्मकता - क्षेत्रफळ शून्यापेक्षा कमी असू शकत नाही;
- सामान्यीकरण - बाजूच्या युनिटसह चौरस क्षेत्र 1 आहे;
- एकरूपता - एकरूप आकृत्यांचे क्षेत्रफळ समान असते;
- अतिरिक्तता - सामान्य अंतर्गत बिंदूंशिवाय 2 आकृत्यांच्या एकत्रीकरणाचे क्षेत्रफळ या आकृत्यांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके आहे.
| भौमितिक आकृती | सुत्र | रेखाचित्र |
|---|---|---|
|
उत्तल चौकोनाच्या विरुद्ध बाजूंच्या मध्यबिंदूंमधील अंतर जोडण्याचा परिणाम त्याच्या अर्ध-परिमितीच्या बरोबरीचा असेल. |
||
|
सर्कल सेक्टर. वर्तुळाच्या सेक्टरचे क्षेत्रफळ त्याच्या कमानीच्या गुणाकाराच्या आणि अर्ध्या त्रिज्याइतके असते. |
|
|
|
वर्तुळ विभाग. ASB विभागाचे क्षेत्रफळ मिळविण्यासाठी, AOB क्षेत्राच्या क्षेत्रातून त्रिकोण AOB चे क्षेत्रफळ वजा करणे पुरेसे आहे. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
लंबवर्तुळाचे क्षेत्रफळ लंबवर्तुळाच्या प्रमुख आणि किरकोळ अर्ध-अक्षांच्या लांबी आणि पाई क्रमांकाच्या गुणाकाराइतके आहे. |
|
|
|
लंबवर्तुळाकार. लंबवर्तुळाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचा दुसरा पर्याय म्हणजे त्याच्या दोन त्रिज्यांमधून. |
|
|
|
त्रिकोण. पाया आणि उंची द्वारे. वर्तुळाच्या क्षेत्रफळासाठी त्याची त्रिज्या आणि व्यास वापरून सूत्र. |
||
|
चौरस. त्याच्या बाजूने. चौरसाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाइतके असते. |
|
|
|
चौरस. त्याच्या कर्णांमधून. चौरसाचे क्षेत्रफळ त्याच्या कर्णाच्या लांबीच्या अर्ध्या चौरसाइतके असते. |
||
|
नियमित बहुभुज. नियमित बहुभुजाचे क्षेत्रफळ निश्चित करण्यासाठी, त्यास समान त्रिकोणांमध्ये विभागणे आवश्यक आहे ज्यात कोरलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी एक सामान्य शिरोबिंदू असेल. |
S= r p = 1/2 r n a |
भौमितिक आकृतीचे क्षेत्रफळ- या आकृतीचा आकार दर्शविणाऱ्या भौमितिक आकृतीचे संख्यात्मक वैशिष्ट्य (या आकृतीच्या बंद समोच्चने मर्यादित पृष्ठभागाचा भाग). क्षेत्रफळाचा आकार त्यात असलेल्या चौरस एककांच्या संख्येने व्यक्त केला जातो.
त्रिकोण क्षेत्र सूत्रे
- त्रिकोणाच्या बाजूने आणि उंचीच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळत्रिकोणाच्या एका बाजूच्या लांबीच्या आणि या बाजूला काढलेल्या उंचीच्या लांबीच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे - त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळासाठी तीन बाजू आणि परिमंडलाच्या त्रिज्येवर आधारित सूत्र
- तीन बाजूंवर आधारित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याचे सूत्र
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळत्रिकोणाच्या अर्ध-परिमितीच्या गुणाकार आणि अंकित वर्तुळाच्या त्रिज्याशी समान आहे. जेथे S हे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे,
- त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी,
- त्रिकोणाची उंची,
- बाजूंमधील कोन आणि,
- कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या,
आर - परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या,
चौरस क्षेत्र सूत्र
- बाजूच्या लांबीनुसार चौरसाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
चौरस क्षेत्रत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाइतकी. - कर्ण लांबीच्या बाजूने चौरसाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
चौरस क्षेत्रत्याच्या कर्णाच्या लांबीच्या अर्ध्या चौरसाच्या समान.एस = 1 2 2 जेथे S हे चौरसाचे क्षेत्रफळ आहे,
- चौरसाच्या बाजूची लांबी,
- चौरसाच्या कर्णाची लांबी.
आयत क्षेत्र सूत्र
- आयताचे क्षेत्रफळत्याच्या दोन लगतच्या बाजूंच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या समान
जेथे S हे आयताचे क्षेत्रफळ आहे,
- आयताच्या बाजूंची लांबी.
समांतरभुज क्षेत्र सूत्रे
- बाजूच्या लांबी आणि उंचीवर आधारित समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ - समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळासाठी दोन बाजू आणि त्यांच्यामधील कोनावर आधारित सूत्र
समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या गुणाकार त्यांच्यामधील कोनाच्या साइनने गुणाकार केल्यास समान आहे.a b sin α
जेथे S हे समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे,
- समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंची लांबी,
- समांतरभुज चौकोन उंचीची लांबी,
- समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोन.
समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे
- बाजूच्या लांबी आणि उंचीवर आधारित समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या आणि या बाजूला कमी केलेल्या उंचीच्या लांबीच्या समान आहे. - बाजूच्या लांबी आणि कोनावर आधारित समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाच्या गुणाकार आणि समभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोनाच्या साइनच्या गुणाप्रमाणे आहे. - समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र त्याच्या कर्णांच्या लांबीवर आधारित आहे
समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळत्याच्या कर्णांच्या लांबीच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे. जेथे S हे समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे,
- समभुज चौकोनाच्या बाजूची लांबी,
- समभुज चौकोनाच्या उंचीची लांबी,
- समभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोन,
1, 2 - कर्णांची लांबी.
ट्रॅपेझॉइड क्षेत्र सूत्रे
- ट्रॅपेझॉइडसाठी हेरॉनचे सूत्र
जेथे S हे ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ आहे,
- ट्रॅपेझॉइडच्या पायाची लांबी,
- ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूंची लांबी,
