भौमितिक क्षेत्र- या आकृतीचा आकार दर्शविणाऱ्या भौमितिक आकृतीचे संख्यात्मक वैशिष्ट्य (या आकृतीच्या बंद समोच्चाने बांधलेला पृष्ठभागाचा भाग). क्षेत्रफळाचा आकार त्यात असलेल्या चौरस एककांच्या संख्येने व्यक्त केला जातो.

त्रिकोण क्षेत्र सूत्रे

1. बाजू आणि उंचीसाठी त्रिकोण क्षेत्र सूत्र
   त्रिकोणाचे क्षेत्रफळत्रिकोणाच्या एका बाजूच्या लांबीच्या आणि या बाजूला काढलेल्या उंचीच्या लांबीच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे
   
2. त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र तीन बाजू आणि परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या
   
3. त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र तीन बाजू आणि कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या दिली आहे
   त्रिकोणाचे क्षेत्रफळत्रिकोणाच्या अर्ध्या परिमितीच्या गुणाकार आणि अंकित वर्तुळाच्या त्रिज्याइतका आहे.
   
जेथे S हे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे,
- त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी,
- त्रिकोणाची उंची,
- बाजूंमधील कोन आणि,
- कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या,
आर - परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या,

चौरस क्षेत्र सूत्रे

1. एका बाजूची लांबी दिल्यास चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र
   चौरस क्षेत्रत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाइतकी आहे.
2. कर्णाची लांबी दिल्यास चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र
   चौरस क्षेत्रत्याच्या कर्णाच्या लांबीच्या अर्ध्या चौरसाच्या समान.
   

   एस =	1	2
   	2

जेथे S हे चौरसाचे क्षेत्रफळ आहे,
चौरसाच्या बाजूची लांबी आहे,
चौरसाच्या कर्णाची लांबी आहे.

आयत क्षेत्र सूत्र

आयत क्षेत्रत्याच्या दोन लगतच्या बाजूंच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या समान आहे

जेथे S हे आयताचे क्षेत्रफळ आहे,
आयताच्या बाजूंच्या लांबी आहेत.

समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे

1. बाजूची लांबी आणि उंचीसाठी समांतरभुज चौकोन क्षेत्र सूत्र
   समांतरभुज चौकोन क्षेत्र
2. समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र दोन बाजू आणि त्यांच्यामधील कोन दिले आहे
   समांतरभुज चौकोन क्षेत्रत्‍याच्‍या बाजूच्‍या लांबीच्‍या गुणाकार त्‍यांच्‍यामधील कोनाच्‍या साइनने गुणाकार केल्‍यास समान आहे.
   

   a b sinα

जेथे S हे समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे,
समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंच्या लांबी आहेत,
समांतरभुज चौकोनाची उंची आहे,
समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोन आहे.

समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे

1. समभुज चौकोनाचे क्षेत्र सूत्र दिलेले बाजूची लांबी आणि उंची
   समभुज चौकोन क्षेत्रत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या आणि या बाजूला कमी केलेल्या उंचीच्या लांबीच्या समान आहे.
2. समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र बाजूची लांबी आणि कोन दिले आहे
   समभुज चौकोन क्षेत्रत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाच्या गुणाकार आणि समभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोनाच्या साइनच्या गुणाप्रमाणे आहे.
3. समभुज चौकोनाच्या कर्णांच्या लांबीवरून त्याच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र
   समभुज चौकोन क्षेत्रत्याच्या कर्णांच्या लांबीच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे आहे.
जेथे S हे समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे,
- समभुज चौकोनाच्या बाजूची लांबी,
- समभुज चौकोनाच्या उंचीची लांबी,
- समभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोन,
1, 2 - कर्णांची लांबी.

ट्रॅपेझियम क्षेत्र सूत्रे

1. ट्रॅपेझॉइडसाठी हेरॉनचे सूत्र

   जेथे S हे ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ आहे,
   - ट्रॅपेझॉइडच्या पायाची लांबी,
   - ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूंची लांबी,
   

भूमितीमधील समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला सूत्रे माहित असणे आवश्यक आहे - जसे की त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किंवा समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्र - तसेच सोप्या युक्त्या, ज्याबद्दल आपण बोलू.

प्रथम, आकृत्यांच्या क्षेत्रांची सूत्रे जाणून घेऊ. आम्ही त्यांना विशेषतः सोयीस्कर टेबलमध्ये गोळा केले आहे. मुद्रित करा, शिका आणि अर्ज करा!

अर्थात, भूमितीची सर्व सूत्रे आपल्या टेबलमध्ये नाहीत. उदाहरणार्थ, गणितातील प्रोफाइल परीक्षेच्या दुसऱ्या भागात भूमिती आणि स्टिरिओमेट्रीमधील समस्या सोडवण्यासाठी, त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी इतर सूत्रे देखील वापरली जातात. आम्ही तुम्हाला त्यांच्याबद्दल नक्कीच सांगू.

परंतु जर तुम्हाला ट्रॅपेझॉइड किंवा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ नसून काही जटिल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची आवश्यकता असेल तर? सार्वत्रिक मार्ग आहेत! आम्ही त्यांना FIPI टास्क बँकेतील उदाहरणे वापरून दाखवू.

1. नॉन-स्टँडर्ड आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? उदाहरणार्थ, एक अनियंत्रित चतुर्भुज? एक साधे तंत्र - ही आकृती आपल्या सर्वांना माहीत असलेल्या आकृतीत मोडू आणि त्याचे क्षेत्रफळ शोधू - या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून.

या चतुर्भुजाला क्षैतिज रेषेने समान आधार असलेल्या दोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित करा. या त्रिकोणांच्या उंची आहेत आणि . मग चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ दोन त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके असते: .

उत्तर:.

2. काही प्रकरणांमध्ये, आकृतीचे क्षेत्रफळ कोणत्याही क्षेत्राचा फरक म्हणून दर्शविले जाऊ शकते.

या त्रिकोणातील पाया आणि उंची किती समान आहेत हे मोजणे इतके सोपे नाही! परंतु आपण असे म्हणू शकतो की त्याचे क्षेत्रफळ एक बाजू असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि तीन काटकोन त्रिकोणांमधील फरकाइतके आहे. त्यांना चित्रात पहा? आम्हाला मिळते: .

उत्तर:.

3. कधीकधी एखाद्या कार्यामध्ये संपूर्ण आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधणे आवश्यक नसते, परंतु त्याच्या भागाचा. सहसा आपण सेक्टरच्या क्षेत्रफळाबद्दल बोलत असतो - वर्तुळाचा एक भाग. त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या सेक्टरचे क्षेत्रफळ शोधा, ज्याची कमानी लांबी समान आहे. .

या चित्रात आपल्याला वर्तुळाचा भाग दिसतो. संपूर्ण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ समान आहे, पासून. वर्तुळाचा कोणता भाग चित्रित केला आहे हे शोधणे बाकी आहे. संपूर्ण वर्तुळाची लांबी (पासून) असल्याने आणि या क्षेत्राच्या कमानीची लांबी आहे , म्हणून, कमानीची लांबी संपूर्ण वर्तुळाच्या लांबीपेक्षा कित्येक पट कमी असते. हा कंस ज्या कोनावर बसतो तो पूर्ण वर्तुळापेक्षा (म्हणजे अंश) सुद्धा पटींनी कमी असतो. याचा अर्थ सेक्टरचे क्षेत्रफळ संपूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रापेक्षा अनेक पट कमी असेल.

भौमितिक आकृत्यांचे क्षेत्र हे द्विमितीय जागेत त्यांचा आकार दर्शविणारी संख्यात्मक मूल्ये आहेत. हे मूल्य सिस्टम आणि नॉन-सिस्टम युनिट्समध्ये मोजले जाऊ शकते. तर, उदाहरणार्थ, क्षेत्रफळाचे एक ऑफ-सिस्टम युनिट शंभर, एक हेक्टर आहे. जर मोजलेला पृष्ठभाग जमिनीचा तुकडा असेल तर ही स्थिती आहे. क्षेत्रफळाची प्रणाली एकक लांबीचा चौरस आहे. SI प्रणालीमध्ये, सपाट पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाचे एकक एक चौरस मीटर आहे हे लक्षात घेण्याची प्रथा आहे. CGS मध्ये, क्षेत्रफळाचे एकक चौरस सेंटीमीटरमध्ये व्यक्त केले जाते.

भूमिती आणि क्षेत्र सूत्रे अतूटपणे जोडलेली आहेत. हे कनेक्शन या वस्तुस्थितीत आहे की सपाट आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना त्यांच्या अनुप्रयोगावर तंतोतंत आधारित आहे. अनेक आकृत्यांसाठी, अनेक पर्याय प्राप्त केले जातात, त्यानुसार त्यांचे चौरस आकार मोजले जातात. प्रॉब्लेम स्टेटमेंटमधील डेटाच्या आधारे, आम्ही ते सोडवण्याचा सर्वात सोपा मार्ग ठरवू शकतो. हे गणना सुलभ करते आणि गणना त्रुटींची संभाव्यता कमीतकमी कमी करते. हे करण्यासाठी, भूमितीमधील आकृत्यांचे मुख्य क्षेत्र विचारात घ्या.

कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्रे अनेक प्रकारे सादर केली जातात:

1) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ पाया a आणि h उंचीवरून मोजले जाते. पाया ही आकृतीची बाजू आहे ज्यावर उंची कमी केली आहे. मग त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:

2) कर्ण आधार मानल्यास काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ अगदी त्याच प्रकारे मोजले जाते. तथापि, जर पाय आधार म्हणून घेतला असेल, तर काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ अर्धवट केलेल्या पायांच्या गुणाकाराइतके असेल.

कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजण्याची सूत्रे तिथेच संपत नाहीत. दुसर्‍या अभिव्यक्तीमध्ये a,b बाजू आणि a आणि b मधील कोन γ चे साइनसॉइडल फंक्शन असते. साइनचे मूल्य टेबलमध्ये आढळते. हे कॅल्क्युलेटर वापरून देखील शोधले जाऊ शकते. मग त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:

या समानतेनुसार, आपण हे देखील सुनिश्चित करू शकता की काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्र पायांच्या लांबीद्वारे निर्धारित केले जाते. कारण कोन γ हा काटकोन आहे, म्हणून काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ साइन फंक्शनने गुणाकार न करता मोजले जाते.

3) एक विशेष केस विचारात घ्या - एक नियमित त्रिकोण, ज्याची बाजू अ स्थितीनुसार ओळखली जाते किंवा सोडवताना त्याची लांबी शोधली जाऊ शकते. भूमितीच्या समस्येतील आकृतीबद्दल अधिक काही माहिती नाही. मग या स्थितीत क्षेत्र कसे शोधायचे? या प्रकरणात, नियमित त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र लागू केले जाते:

आयत

आयताचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे आणि समान शिरोबिंदू असलेल्या बाजूंचे परिमाण कसे वापरायचे? गणनासाठी अभिव्यक्ती आहे:

जर तुम्हाला आयताचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी कर्णांची लांबी वापरायची असेल, तर तुम्हाला ते छेदतात तेव्हा तयार होणाऱ्या कोनाचे साइन फंक्शन आवश्यक आहे. आयताच्या क्षेत्रासाठी सूत्र आहे:

चौरस

चौरसाचे क्षेत्रफळ बाजूच्या लांबीची दुसरी शक्ती म्हणून परिभाषित केले आहे:

आयताला चौरस म्हणतात या व्याख्येवरून पुरावा मिळतो. चौरस बनवणाऱ्या सर्व बाजूंचे परिमाण समान आहेत. म्हणून, अशा आयताच्या क्षेत्रफळाची गणना एकास दुसर्‍याने गुणाकार करण्यासाठी, म्हणजे, बाजूच्या दुसर्‍या शक्तीपर्यंत कमी केली जाते. आणि चौरसाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे सूत्र इच्छित फॉर्म घेईल.

चौरसाचे क्षेत्रफळ दुसर्‍या मार्गाने मिळू शकते, उदाहरणार्थ, आपण कर्ण वापरल्यास:

वर्तुळाने बांधलेल्या विमानाच्या भागाद्वारे तयार झालेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे? क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, सूत्रे आहेत:

समांतरभुज चौकोन

समांतरभुज चौकोनासाठी, सूत्रामध्ये बाजू, उंची आणि गणितीय क्रिया - गुणाकाराची रेषीय परिमाणे असतात. जर उंची माहित नसेल तर समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? गणना करण्याचा दुसरा मार्ग आहे. एक विशिष्ट मूल्य आवश्यक आहे, जे समीप बाजूंनी तयार केलेल्या कोनाच्या त्रिकोणमितीय कार्याद्वारे, तसेच त्यांची लांबी द्वारे घेतले जाईल.

समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे आहेत:

समभुज चौकोन

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कर्णांसह साध्या गणितीय क्रियांचा वापर करून निर्धारित केले जाते. d1 आणि d2 वरील कर्णरेषे काटकोनात छेदतात या वस्तुस्थितीवर पुरावा अवलंबून असतो. साइन्सची सारणी दाखवते की काटकोनासाठी, हे कार्य एक समान आहे. म्हणून, समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ दुसर्‍या प्रकारे देखील शोधता येते. हे सिद्ध करणे देखील अवघड नाही, कारण त्याच्या बाजूंची लांबी समान आहे. नंतर समांतरभुज चौकोनासाठी समान अभिव्यक्तीमध्ये त्यांचे उत्पादन बदला. अखेरीस, या विशिष्ट आकृतीचा एक विशेष केस एक समभुज चौकोन आहे. येथे γ हा समभुज चौकोनाचा आतील कोन आहे. समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे ठरवले जाते:

ट्रॅपेझ

ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ (a आणि b) द्वारे कसे शोधायचे, जर त्यांची लांबी समस्येमध्ये दर्शविली असेल? येथे, h उंचीच्या लांबीच्या ज्ञात मूल्याशिवाय, अशा ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करणे शक्य होणार नाही. कारण या मूल्यामध्ये गणनासाठी अभिव्यक्ती समाविष्ट आहे:

आयताकृती ट्रॅपेझॉइडचा चौरस आकार देखील त्याच प्रकारे मोजला जाऊ शकतो. त्याच वेळी, हे लक्षात घेतले जाते की आयताकृती ट्रॅपेझॉइडमध्ये, उंची आणि बाजूच्या संकल्पना एकत्र केल्या जातात. म्हणून, आयताकृती ट्रॅपेझॉइडसाठी, आपल्याला उंचीऐवजी बाजूची लांबी निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे.

सिलेंडर आणि समांतर पाईप केलेले

संपूर्ण सिलेंडरच्या पृष्ठभागाची गणना करण्यासाठी काय आवश्यक आहे ते विचारात घ्या. या आकृतीचे क्षेत्रफळ वर्तुळांची एक जोडी आहे, ज्याला बेस म्हणतात आणि बाजूचा पृष्ठभाग आहे. वर्तुळे तयार करणाऱ्या वर्तुळांची त्रिज्या लांबी r च्या बरोबरीची असते. सिलेंडरच्या क्षेत्रासाठी, खालील गणना केली जाते:

चेहऱ्याच्या तीन जोड्या असलेल्या समांतर पाईपचे क्षेत्र कसे शोधायचे? त्याची मोजमाप विशिष्ट जोडीशी सुसंगत आहे. विरुद्ध असलेल्या चेहऱ्यांचे पॅरामीटर्स समान असतात. प्रथम S(1), S(2), S(3) - असमान चेहऱ्यांचे चौरस परिमाण शोधा. मग समांतर पाईपचे पृष्ठभाग क्षेत्र:

रिंग

सामान्य केंद्र असलेली दोन वर्तुळे एक रिंग बनवतात. ते रिंगचे क्षेत्र देखील मर्यादित करतात. या प्रकरणात, दोन्ही गणना सूत्रे प्रत्येक वर्तुळाची परिमाणे विचारात घेतात. पहिला, जो रिंगच्या क्षेत्राची गणना करतो, त्यात मोठा R आणि लहान r त्रिज्या असतो. अधिक वेळा त्यांना बाह्य आणि अंतर्गत म्हणतात. दुस-या अभिव्यक्तीमध्ये, मोठा D आणि लहान d व्यास वापरून रिंग क्षेत्राची गणना केली जाते. अशा प्रकारे, ज्ञात त्रिज्यानुसार रिंगचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

व्यासाच्या लांबीचा वापर करून रिंगचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे निर्धारित केले जाते:

बहुभुज

ज्याचा आकार योग्य नाही अशा बहुभुजाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? अशा आकृत्यांच्या क्षेत्रासाठी कोणतेही सामान्य सूत्र नाही. परंतु जर ते समन्वयित विमानावर चित्रित केले गेले असेल, उदाहरणार्थ, ते चेकर्ड पेपर असू शकते, तर या प्रकरणात पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? येथे ते एक पद्धत वापरतात ज्यास अंदाजे आकृती मोजण्याची आवश्यकता नसते. ते असे करतात: जर त्यांना सेलच्या कोपऱ्यात पडलेले बिंदू सापडले किंवा पूर्णांक समन्वय आहेत, तरच ते विचारात घेतले जातात. नंतर क्षेत्र काय आहे हे शोधण्यासाठी, पिकने सिद्ध केलेले सूत्र वापरा. पॉलीलाइनच्या आत असलेल्या पॉईंट्सची संख्या त्यात असलेल्या अर्ध्या बिंदूंसह जोडणे आवश्यक आहे आणि एक वजा करणे आवश्यक आहे, म्हणजेच ते अशा प्रकारे मोजले जाते:

जेथे सी, डी - अनुक्रमे आत आणि संपूर्ण पॉलीलाइनवर स्थित बिंदूंची संख्या.

क्षेत्र सूत्रआकृतीचे क्षेत्रफळ निश्चित करण्यासाठी आवश्यक आहे, जे युक्लिडियन समतलातील आकृत्यांच्या विशिष्ट वर्गावर परिभाषित केलेले वास्तविक-मूल्य असलेले कार्य आहे आणि 4 अटी पूर्ण करतात:

1. सकारात्मक - क्षेत्रफळ शून्यापेक्षा कमी असू शकत नाही;
2. सामान्यीकरण - एकतेच्या बाजूला असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ 1 आहे;
3. एकरूपता - एकरूप आकृत्यांचे क्षेत्रफळ समान असते;
4. अतिरिक्तता - सामान्य अंतर्गत बिंदूंशिवाय 2 आकृत्यांच्या एकत्रीकरणाचे क्षेत्रफळ या आकृत्यांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके आहे.

भौमितिक आकारांच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे.

भौमितिक आकृती	सुत्र	रेखाचित्र
उत्तल चौकोनाच्या विरुद्ध बाजूंच्या मध्यबिंदूंमधील अंतर जोडण्याचा परिणाम त्याच्या अर्धपरिमितीइतका असेल.
सर्कल सेक्टर. वर्तुळाच्या सेक्टरचे क्षेत्रफळ त्याच्या कमानाच्या गुणाकार आणि अर्ध्या त्रिज्याएवढे असते.
वर्तुळ विभाग. ASB विभागाचे क्षेत्रफळ मिळविण्यासाठी, AOB क्षेत्राच्या क्षेत्रातून त्रिकोण AOB चे क्षेत्रफळ वजा करणे पुरेसे आहे.	S = 1 / 2 R(s - AC)
लंबवर्तुळाचे क्षेत्रफळ लंबवर्तुळ वेळा pi च्या प्रमुख आणि किरकोळ अर्धाक्षांच्या लांबीच्या गुणाकाराइतके असते.
लंबवर्तुळाकार. लंबवर्तुळाचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे हा दुसरा पर्याय त्याच्या दोन त्रिज्यांमधून आहे.
त्रिकोण. पाया आणि उंची द्वारे. वर्तुळाच्या त्रिज्या आणि व्यासाच्या दृष्टीने त्याचे क्षेत्रफळाचे सूत्र.
चौरस. त्याच्या बाजूने. चौरसाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाइतके असते.
चौरस. त्याच्या कर्ण द्वारे. चौरसाचे क्षेत्रफळ त्याच्या कर्णाच्या लांबीच्या अर्धा चौरस आहे.
नियमित बहुभुज. योग्य क्षेत्र निश्चित करण्यासाठी बहुभुजत्यास समान त्रिकोणांमध्ये विभाजित करणे आवश्यक आहे, ज्यामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी एक सामान्य शिरोबिंदू असेल.	S= r p = 1/2 r n a