तरी विश्वास ठेवू नका केसहे सर्व लेख काळजीपूर्वक वाचा. मग ते तेजस्वी सूर्यासारखे स्पष्ट होईल.

ज्याप्रमाणे सर्व लोकांच्या हातात आणि मेंदूमध्ये रहस्यमय शक्ती नसते, त्याचप्रमाणे सर्व लोकांच्या हातात असलेला लोलक देखील रहस्यमय होऊ शकत नाही. हे सामर्थ्य प्राप्त केले जात नाही, परंतु एखाद्या व्यक्तीसह जन्माला येते. एका कुटुंबात एक जन्माने श्रीमंत आणि दुसरा गरीब. नैसर्गिकरित्या श्रीमंतांना गरीब किंवा त्याउलट करण्याची ताकद कोणातही नाही. आता तुम्हाला हे समजले आहे की मला तुम्हाला काय सांगायचे आहे. जर तुम्हाला समजत नसेल तर स्वतःला दोष द्या, तुमचा जन्म अशा प्रकारे झाला आहे.

पेंडुलम म्हणजे काय? ते कशापासून बनलेले आहे? पेंडुलम हे स्ट्रिंगला जोडलेले कोणतेही मुक्तपणे हलणारे शरीर आहे. मास्टरच्या हातात, साधा वेळू देखील कोकिळा सारखा गातो. तसेच, प्रतिभावान बायोमास्टरच्या हातात, एक पेंडुलम मानवी अस्तित्व आणि अस्तित्वाच्या क्षेत्रात अविश्वसनीय प्रभाव पाडतो.

असे नेहमी होत नाही की तुम्ही तुमच्यासोबत पेंडुलम घेऊन जाता. त्यामुळे मला एका कुटुंबातील हरवलेली अंगठी शोधावी लागली, पण माझ्याकडे पेंडुलम नव्हता. मी आजूबाजूला पाहिले आणि वाइन कॉर्कने माझे लक्ष वेधले. कॉर्कच्या मध्यभागी, मी चाकूने एक लहान कट केला आणि धागा जोडला. पेंडुलम तयार आहे.
मी त्याला विचारले: "तू माझ्यासोबत प्रामाणिकपणे काम करशील का?" तो जोरदारपणे घड्याळाच्या दिशेने फिरत होता, जणू आनंदाने प्रतिसाद देत होता. मानसिकदृष्ट्या त्याला कळवा: "मग हरवलेली अंगठी शोधूया." कराराची खूण म्हणून पेंडुलम पुन्हा हलला. मी अंगणात फिरू लागलो.

कारण आपल्या बोटात अंगठी नसल्याचे लक्षात येताच आपण अद्याप घरात प्रवेश केला नसल्याचे जावयाने सांगितले. तिने असेही सांगितले की तिला ज्वेलरकडे जाण्याची खूप दिवसांपासून इच्छा होती, कारण तिची बोटे पातळ झाली होती आणि अंगठी घसरू लागली होती. अचानक, माझ्या हातात, लोलक थोडा हलला, थोडा मागे वळला, लोलक शांत झाला. मी पुढे सरकलो, पण पेंडुलम पुन्हा सरकला. तो चालू लागला, पुन्हा शांत झाला, मी थक्कच झालो. डावीकडे पेंडुलम शांत आहे, पुढे तो शांत आहे. उजवीकडे कुठेही जाऊ नका. तिथे एक छोटासा खंदक वाहत आहे. अचानक मला जाणवले आणि पेंडुलम थेट पाण्याच्या वर धरला. लोलक घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने वेगाने फिरू लागला. मी माझ्या सुनेला फोन करून अंगठीचे ठिकाण दाखवले.
तिच्या डोळ्यात आनंद होता, ती खंदकातून गडगडू लागली आणि तिला पटकन अंगठी सापडली. असे दिसून आले की ती एका खंदकात हात धुत होती आणि त्यावेळी अंगठी पडली, परंतु तिच्या लक्षात आले नाही. उपस्थित सर्वांनी वाइन कॉर्कच्या कामाचे कौतुक केले.

सर्व लोक जन्मतः भविष्य सांगणारे किंवा भविष्य सांगणारे नसतात. सर्व भविष्य सांगणारे किंवा भविष्य सांगणारे यशस्वी होत नाहीत. काही प्रेडिक्टर लहान त्रुटींसह कार्य करतात, परंतु अनेक जिप्सीप्रमाणे फसवणूक करतात. पेंडुलम देखील आहे. अक्षम व्यक्तीकडे ती एक निरुपयोगी वस्तू आहे, जरी ती सोन्याची बनलेली असली तरी तिला काही अर्थ नाही. खऱ्या मास्टरच्या हातात, सामान्य दगड किंवा नटचा तुकडा चमत्कार करतो.
मला काल सारखे आठवते. एका मेळाव्यात मी माझे जाकीट काढले आणि थोडावेळ बाहेर पडलो. जेव्हा मी परत आलो तेव्हा मला वाटले की माझ्या मनात काहीतरी चुकीचे आहे. यांत्रिकपणे तो खिशात घोळवू लागला. असे झाले की कोणीतरी माझा चांदीचा लोलक घेतला. मी गप्प बसलो आणि काय घडले ते कोणालाही सांगितले नाही.
बरेच दिवस गेले आणि एके दिवशी आमच्या सोबत बसलेल्या त्या मेळाव्यात माझा लोलक हरवला होता त्यांच्यापैकी एक माझ्या घरी आला. त्याने मनापासून माफी मागितली आणि पेंडुलम माझ्या हातात दिला. असे दिसून आले की सर्व शक्ती माझ्या पेंडुलमवर आहे असे त्याला वाटले आणि हा लोलक माझ्याप्रमाणेच त्याच्यासाठी देखील काम करेल.
जेव्हा त्याला त्याची चूक समजली तेव्हा त्याच्या विवेकाने त्याला बराच काळ त्रास दिला आणि शेवटी त्याने पेंडुलम त्याच्या मालकाला परत करण्याचा निर्णय घेतला. मी त्याची माफी स्वीकारली आणि त्याला चहापाणीही दिले आणि त्याचे निदानही केले. मी त्याच्यामध्ये लोलकाने अनेक आजार शोधून काढले आणि त्याच्यासाठी योग्य औषधे तयार केली.
काही लोकांना उपचार आणि भविष्य सांगण्यासाठी नैसर्गिक देणगी असते. ही प्रतिभा वर्षानुवर्षे बाहेर येत नाही. कधीकधी, योगायोगाने, ते एखाद्या तज्ञाशी भेटतात, आणि तो त्याला जीवनातील त्याचा नियत मार्ग दाखवतो.
नुकतीच एक मध्यमवयीन स्त्री निदानासाठी आली. ती आजारी आहे हे तुम्ही तिच्या दिसण्यावरून सांगू शकत नाही. तिने तिच्या हातपायांमध्ये जास्त उष्णतेची तक्रार केली, तिच्या दोन्ही तळवे आणि तळव्यांतून उष्णता सतत बाहेर पडत होती आणि तिला मुकुटाच्या भागात तिच्या डोक्यात अनेकदा तीव्र वेदना जाणवत होत्या. नाडीद्वारे प्रथम निदान केल्यावर, रक्तवहिन्यासंबंधीचा टोन वाढल्याचे लक्षात घेऊन, मी अर्ध-स्वयंचलित उपकरणाने रक्तदाब मोजण्यास सुरुवात केली. मूल्ये कालांतराने सिस्टोलिक आणि डायस्टोलिक दोन्ही स्केल बंद झाली. त्यांनी 135 ते 241 सूचित केले आणि अशा उच्च रक्तदाबासाठी हृदय गती सर्वसामान्य प्रमाणापेक्षा कमी असल्याचे दिसून आले: 62 बीट्स प्रति मिनिट. एवढ्या उच्च रक्तदाबाची बाई माझ्या समोर शांतपणे बसली. जणू माझ्या रक्तवहिन्यासंबंधीच्या स्थितीतून कोणतीही अस्वस्थता जाणवत नाही. अत्यावश्यक (अस्पष्टीकृत) उच्च रक्तदाबाने तिला निराश केले नाही.

मला तिच्या नाडीत आणि नाडीच्या निदानादरम्यान काहीही चूक दिसली नाही. मी तिला कमी सामान्य आवश्यक (अस्पष्ट कारण) उच्च रक्तदाब असल्याचे निदान केले. नियमित डॉक्टरांनी तिचा रक्तदाब मोजला असता, तर त्यांनी ताबडतोब रुग्णवाहिका बोलावून तिला स्ट्रेचरवर ठेवले असते. तो तिला हलूही देत ​​नव्हता. वस्तुस्थिती अशी आहे की रक्तदाब वाढलेल्या व्यक्तीस हायपरटेन्सिव्ह संकट असल्याचे मानले जाते. त्यानंतर सेरेब्रल स्ट्रोक किंवा हृदयविकाराचा झटका येऊ शकतो.
तिच्या म्हणण्यानुसार, नियमित अँटीहाइपरटेन्सिव्ह औषधांमुळे तिला इतके वाईट वाटते की तिला मळमळ देखील होते. तिच्या मुलाच्या आग्रहास्तव, तिने पेंडुलम वापरण्यास शिकले, जेव्हा तिचे डोके खूप दुखते तेव्हा ती पेंडुलमला ऍस्पिरिन किंवा पेंटलगिन प्यावे की नाही हे विचारते. क्वचितच, पेंडुलमच्या संमतीने, ती विलोच्या पानांचा किंवा त्या फळाच्या पानांचा डेकोक्शन घेते, ज्याची शिफारस तिला चार वर्षांपूर्वी डॉक्टर मुहिद्दीन यांनी केली होती. जर तिचे डोके खूप दुखत असेल तर ती अत्यंत गंभीर प्रकरणांमध्ये एस्पिरिन पिते, ती पेंटलगिन घेते. हायपरटेन्सिव्ह रुग्णाचे डॉक्टर आणि शेजारी तिच्या स्व-औषधांवर हसतात.
तिने डोकेदुखी आणि उच्च रक्तदाबासाठी घेतलेली सर्व औषधे तपासण्यासाठी मी माझ्या पेंडुलमचा वापर केला. ते सर्व प्रभावी ठरले.मी पण लोलकाला विचारलं. “तिने तिच्या उबदारपणाने लोकांना बरे करण्यास सुरुवात केली तर तिची तब्येत सुधारेल का?”, पेंडुलम लगेच होकारार्थीपणे घड्याळाच्या दिशेने जोरदारपणे फिरला. म्हणून मी तिला स्वतःसाठी उपचार लिहून दिले, अत्यावश्यक उच्च रक्तदाबापासून मुक्त होण्यासाठी, तिने इतर लोकांच्या आजारांवर उपचार केले पाहिजेत, त्यांच्यावर हात किंवा पाय ठेवले पाहिजेत. आता मी बऱ्याचदा रुग्णांना तिच्याकडे पाठवतो आणि ती त्यांच्यावर यशस्वीपणे उपचार करते मानसिक पास. तो त्याच्या हाताची उबदारता कंबरेपर्यंतच्या आजारांवर, कंबरेच्या खाली असलेल्या आजारांकडे निर्देशित करतो, रुग्णाच्या वर पडलेल्या स्थितीत, समस्या असलेल्या भागात तो अनुक्रमे उजवा किंवा डावा पाय धरतो.
ती आणि रुग्ण दोघेही परिणामांवर समाधानी आहेत. आता दोन वर्षांपासून तिने एस्पिरिन किंवा पेंटाल्जिन घेतलेले नाही आणि पेंडुलम कधीकधी तिला किरकोळ डोकेदुखीसाठी विलो किंवा त्या फळाच्या पानांचा एक डेकोक्शन पिण्याची परवानगी देतो.
कोणाला तिच्या मदतीची गरज आहे, मला लिहा, ती तुम्हांला अल्प फीसाठी मदत करेल. मी तिला अगदी दूरच्या लोकांशी संपर्क नसलेल्या मार्गाने कसे वागावे हे शिकवले.
पेंडुलमच्या ऑपरेशन दरम्यान पेंडुलमसह खरोखर काम करणारी व्यक्ती त्याच्याशी समकालिक संवादात असणे आवश्यक आहे आणि या क्षणी पेंडुलमच्या क्रिया कोणत्या दिशेने निर्देशित केल्या आहेत हे आधीच माहित असणे आणि अनुभवणे आवश्यक आहे. त्याच्या मेंदूच्या उत्साही सामर्थ्याने, पेंडुलमचा धागा धरलेल्या व्यक्तीने त्याला अवचेतनपणे मदत केली पाहिजे, सट्टा न करता, या वस्तूवरील पुढील कृतींमध्ये, आणि पेंडुलमच्या कृतीकडे प्रेक्षक म्हणून उदासीनपणे पाहू नये.
पेंडुलम मेसोपोटेमिया, ॲसिरिया, उरार्तु, भारत, चीन, जपान, प्राचीन रोम, इजिप्त, ग्रीस, आशिया, आफ्रिका, अमेरिका, युरोप, पूर्वेकडील आणि जगभरातील अनेक देशांमध्ये जवळजवळ सर्व प्रसिद्ध लोक वापरत होते आणि अजूनही वापरतात.
या वस्तुस्थितीमुळे, अनेक नामांकित आंतरराष्ट्रीय संस्था, विज्ञानाच्या विविध क्षेत्रातील नामवंत व्यक्तींनी आजूबाजूच्या निसर्गाशी सहजीवन आणि सुसंवादीपणे मानवतेच्या सहअस्तित्वाच्या बाजूने पेंडुलमच्या कृती आणि उद्देशाचे अद्याप पुरेसे कौतुक केले नाही. मानवतेने आधुनिक नैसर्गिक विज्ञानाच्या पातळीवर युनिव्हर्सल नॉर्मलच्या विश्वावरील छद्मवैज्ञानिक दृश्ये अद्याप पूर्णपणे सोडलेली नाहीत. धर्म, गूढता आणि नैसर्गिक विज्ञान यांच्यातील ज्ञानाची रेषा अस्पष्ट करण्याचा एक टप्पा आहे. साहजिकच, कोणत्याही बाजूच्या मतांशिवाय नैसर्गिक विज्ञान हा सर्व मूलभूत विज्ञानांचा आधार बनला पाहिजे.
माहिती शास्त्रासोबत लोलकाचे विज्ञान देखील लोकांच्या जीवनात योग्य स्थान घेईल अशी आशा आहे. शेवटी, एक काळ असा होता जेव्हा आपल्या बहुराष्ट्रीय देशाच्या नेत्यांनी सायबरनेटिक्सला छद्म विज्ञान घोषित केले आणि त्याचा केवळ अभ्यासच केला नाही तर शैक्षणिक संस्थांमध्ये देखील अभ्यास केला जाऊ दिला नाही.
त्यामुळे आता आधुनिक विज्ञानाच्या सर्वोच्च स्तरावर, ते पेंडुलमच्या कल्पनेकडे एक मागास उद्योग असल्यासारखे पाहतात. कॉम्प्युटर सायन्सच्या एका विभागांतर्गत पेंडुलम, डोझिंग आणि फ्रेम व्यवस्थित करणे आवश्यक आहे आणि त्यासाठी संगणक प्रोग्राम मॉड्यूल तयार करणे आवश्यक आहे.
या मॉड्यूलच्या मदतीने, कोणीही हरवलेल्या वस्तू शोधू शकतो, वस्तूंचे स्थान निश्चित करू शकतो आणि शेवटी, लोक, प्राणी, पक्षी, कीटक आणि सर्वसाधारणपणे सर्व निसर्गाचे निदान करू शकतो.
हे करण्यासाठी, आपल्याला बहुआयामी औषधांबद्दल एलजी पुचकोच्या कल्पना आणि मानसिक गेलरच्या कार्याचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे, तसेच बल्गेरियन हीलर कानालिव्हच्या कल्पना आणि इतर अनेक लोकांच्या कार्याचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे ज्यांनी त्यांच्या मदतीने आश्चर्यकारक परिणाम प्राप्त केले आहेत. एक लोलक.

गणिताचा पेंडुलमपृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रात स्थित वजनहीन आणि अगम्य धाग्यावर निलंबित केलेला एक भौतिक बिंदू आहे. गणितीय पेंडुलम हे एक आदर्श मॉडेल आहे जे विशिष्ट परिस्थितीतच वास्तविक पेंडुलमचे अचूक वर्णन करते. वास्तविक पेंडुलम हे गणितीय मानले जाऊ शकते जर धाग्याची लांबी तिच्यावर निलंबित केलेल्या शरीराच्या आकारापेक्षा खूप जास्त असेल, धाग्याचे वस्तुमान शरीराच्या वस्तुमानाच्या तुलनेत नगण्य असेल आणि थ्रेडचे विकृत रूप इतके लहान असेल. की त्यांच्याकडे पूर्णपणे दुर्लक्ष केले जाऊ शकते.

या प्रकरणातील दोलन प्रणाली एका धाग्याने, त्यास जोडलेले शरीर आणि पृथ्वीद्वारे तयार केली जाते, ज्याशिवाय ही प्रणाली पेंडुलम म्हणून काम करू शकत नाही.

कुठे ए एक्स – प्रवेग, g - फ्री फॉल प्रवेग, एक्स- विस्थापन, l- पेंडुलम धाग्याची लांबी.

या समीकरणाला म्हणतात गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचे समीकरण.जेव्हा खालील गृहीतके पूर्ण होतात तेव्हाच ते प्रश्नातील कंपनांचे अचूक वर्णन करते:

2) लहान स्विंग कोन असलेल्या पेंडुलमच्या फक्त लहान दोलनांचा विचार केला जातो.

कोणत्याही प्रणालीच्या मुक्त कंपनांचे वर्णन सर्व प्रकरणांमध्ये समान समीकरणांद्वारे केले जाते.

गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांची कारणे आहेत:

1. पेंडुलमवर ताण आणि गुरुत्वाकर्षणाचा प्रभाव, त्याला समतोल स्थितीपासून पुढे जाण्यापासून प्रतिबंधित करते आणि ते पुन्हा पडण्यास भाग पाडते.

2. पेंडुलमची जडत्व, ज्यामुळे तो, त्याचा वेग राखून, समतोल स्थितीत थांबत नाही, परंतु त्यातून पुढे जातो.

गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचा कालावधी

गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनाचा कालावधी त्याच्या वस्तुमानावर अवलंबून नसतो, परंतु केवळ धाग्याच्या लांबीवर आणि पेंडुलम असलेल्या ठिकाणी गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगानुसार निर्धारित केला जातो.

हार्मोनिक दोलन दरम्यान ऊर्जा रूपांतरण

स्प्रिंग पेंडुलमच्या हार्मोनिक दोलनांदरम्यान, लवचिकपणे विकृत शरीराची संभाव्य ऊर्जा त्याच्या गतिज उर्जेमध्ये रूपांतरित होते, जेथे k – लवचिकता गुणांक, X -समतोल स्थितीपासून पेंडुलमच्या विस्थापनाचे मॉड्यूलस, मी- पेंडुलमचे वस्तुमान, v- त्याची गती. हार्मोनिक कंपन समीकरणानुसार:

, .

स्प्रिंग पेंडुलमची एकूण ऊर्जा:

.

गणितीय पेंडुलमसाठी एकूण ऊर्जा:

गणितीय पेंडुलमच्या बाबतीत

स्प्रिंग पेंडुलमच्या दोलन दरम्यान ऊर्जा परिवर्तन यांत्रिक उर्जेच्या संवर्धनाच्या कायद्यानुसार घडते ( ). जेव्हा पेंडुलम त्याच्या समतोल स्थितीतून खाली किंवा वर सरकतो तेव्हा तिची संभाव्य ऊर्जा वाढते आणि गतीज ऊर्जा कमी होते. जेव्हा पेंडुलम समतोल स्थिती पास करते ( एक्स= 0), तिची संभाव्य ऊर्जा शून्य आहे आणि पेंडुलमच्या गतीज उर्जेचे मूल्य त्याच्या एकूण ऊर्जेइतके आहे.

अशाप्रकारे, पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांच्या प्रक्रियेत, तिची संभाव्य उर्जा गतीजमध्ये, गतीचे संभाव्यतेमध्ये, संभाव्य नंतर गतिजमध्ये बदलते, इ. परंतु एकूण यांत्रिक ऊर्जा अपरिवर्तित राहते.

जबरी कंपने. अनुनाद.

बाह्य नियतकालिक शक्तीच्या प्रभावाखाली होणाऱ्या दोलनांना म्हणतात सक्ती दोलन. बाह्य नियतकालिक बल, ज्याला प्रेरक शक्ती म्हणतात, दोलन प्रणालीला अतिरिक्त ऊर्जा प्रदान करते, जी घर्षणामुळे होणारी ऊर्जा हानी भरून काढण्यासाठी जाते. सायन किंवा कोसाइनच्या नियमानुसार प्रेरक शक्ती कालांतराने बदलत असेल, तर सक्तीचे दोलन सुसंवादी आणि अखंड असतील.

मुक्त दोलनांच्या विपरीत, जेव्हा प्रणालीला फक्त एकदाच ऊर्जा मिळते (जेव्हा प्रणाली समतोल बाहेर आणली जाते), तेव्हा सक्तीच्या दोलनांच्या बाबतीत, प्रणाली ही ऊर्जा बाह्य नियतकालिक शक्तीच्या स्त्रोताकडून सतत शोषून घेते. ही ऊर्जा घर्षणावर मात करण्यासाठी खर्च झालेल्या नुकसानाची भरपाई करते आणि म्हणूनच दोलन प्रणालीची एकूण ऊर्जा अजूनही अपरिवर्तित आहे.

सक्तीच्या दोलनांची वारंवारता प्रेरक शक्तीच्या वारंवारतेइतकी असते. प्रेरक शक्ती वारंवारता जेथे बाबतीत υ दोलन प्रणालीच्या नैसर्गिक वारंवारतेशी जुळते υ 0 , सक्तीच्या दोलनांच्या मोठेपणामध्ये तीव्र वाढ झाली आहे - अनुनाद. रेझोनान्स या वस्तुस्थितीमुळे उद्भवते की जेव्हा υ = υ 0 बाह्य शक्ती, मुक्त कंपनांसह वेळेत कार्य करते, नेहमी दोलन शरीराच्या गतीशी संरेखित असते आणि सकारात्मक कार्य करते: दोलन शरीराची उर्जा वाढते आणि त्याच्या दोलनांचे मोठेपणा मोठे होते. सक्तीच्या दोलनांच्या मोठेपणाचा आलेख ए टी चालक शक्ती वारंवारता वर υ आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या, या आलेखाला अनुनाद वक्र म्हणतात:

अनेक नैसर्गिक, वैज्ञानिक आणि औद्योगिक प्रक्रियांमध्ये रेझोनान्सची घटना महत्त्वाची भूमिका बजावते. उदाहरणार्थ, लोड अंतर्गत कंपन अनुभवणारे पूल, इमारती आणि इतर संरचना डिझाइन करताना अनुनादची घटना लक्षात घेणे आवश्यक आहे, अन्यथा काही विशिष्ट परिस्थितीत या संरचना नष्ट होऊ शकतात.

गणिती पेंडुलमनिलंबनाला जोडलेल्या आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या (किंवा इतर शक्ती) क्षेत्रात स्थित वजनहीन आणि अगम्य थ्रेडवर निलंबित केलेल्या मटेरियल पॉईंटला कॉल करा.

संदर्भाच्या जडत्वाच्या चौकटीत गणितीय पेंडुलमच्या दोलनांचा अभ्यास करू या, ज्याच्या सापेक्ष त्याच्या निलंबनाचा बिंदू विश्रांतीवर आहे किंवा सरळ रेषेत एकसमान हलतो. आम्ही हवेच्या प्रतिकार शक्तीकडे दुर्लक्ष करू (आदर्श गणितीय लोलक). सुरुवातीला, पेंडुलम समतोल स्थितीत C मध्ये विश्रांती घेते. या प्रकरणात, त्यावर कार्य करणारे गुरुत्वाकर्षण बल आणि थ्रेडचे लवचिक बल F?ynp यांची परस्पर भरपाई केली जाते.

समतोल स्थितीतून पेंडुलम काढून टाकू (उदाहरणार्थ, A स्थितीत वळवून) आणि प्रारंभिक गतीशिवाय सोडू (चित्र 1). या प्रकरणात, शक्ती एकमेकांना संतुलित करत नाहीत. गुरुत्वाकर्षणाचा स्पर्शक घटक, पेंडुलमवर कार्य करतो, त्याला स्पर्शिक प्रवेग देतो?? (गणितीय पेंडुलमच्या प्रक्षेपकाला स्पर्शिकेच्या बाजूने निर्देशित केलेल्या एकूण प्रवेगाचा घटक), आणि पेंडुलम वाढत्या गतीसह समतोल स्थितीकडे जाऊ लागतो. अशा प्रकारे गुरुत्वाकर्षणाचा स्पर्शक घटक हा पुनर्संचयित करणारा बल आहे. गुरुत्वाकर्षणाचा सामान्य घटक थ्रेडच्या बाजूने लवचिक शक्तीच्या विरूद्ध निर्देशित केला जातो. बलांच्या परिणामी पेंडुलमला सामान्य प्रवेग प्राप्त होतो, ज्यामुळे वेग वेक्टरची दिशा बदलते आणि पेंडुलम चाप ABCD च्या बाजूने फिरतो.

पेंडुलम समतोल स्थिती C च्या जितके जवळ येईल तितके स्पर्शिक घटकाचे मूल्य कमी होईल. समतोल स्थितीत, ते शून्याच्या बरोबरीचे असते, आणि गती त्याच्या कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते, आणि पेंडुलम जडत्वाने पुढे सरकतो, एका चाप मध्ये वरच्या दिशेने वाढतो. या प्रकरणात, घटक गती विरुद्ध निर्देशित आहे. विक्षेपणाचा कोन जसजसा वाढतो तसतसे बलाचे परिमाण वाढते आणि वेगाची परिमाण कमी होते आणि बिंदू D वर लोलकाचा वेग शून्य होतो. पेंडुलम क्षणभर थांबतो आणि नंतर समतोल स्थितीच्या विरुद्ध दिशेने जाऊ लागतो. जडत्वाने ते पुन्हा पार केल्यावर, पेंडुलम, त्याची हालचाल कमी करून, बिंदू A वर पोहोचेल (तेथे कोणतेही घर्षण नाही), म्हणजे. पूर्ण स्विंग पूर्ण करेल. यानंतर, पेंडुलमची हालचाल आधीच वर्णन केलेल्या क्रमाने पुनरावृत्ती केली जाईल.

गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचे वर्णन करणारे एक समीकरण घेऊ.

दिलेल्या क्षणी लोलक B बिंदूवर असू द्या. या क्षणी समतोल स्थितीपासून त्याचे विस्थापन S कंस SV च्या लांबीइतके आहे (म्हणजे S = |SV|). सस्पेन्शन थ्रेडची लांबी l आणि पेंडुलमचे वस्तुमान m म्हणून दर्शवू.

आकृती 1 वरून हे स्पष्ट आहे की, कुठे. लहान कोनांवर () पेंडुलम विक्षेपित होतो, म्हणून

वजा चिन्ह या सूत्रामध्ये ठेवले आहे कारण गुरुत्वाकर्षणाचा स्पर्शक घटक समतोल स्थितीकडे निर्देशित केला जातो आणि विस्थापन समतोल स्थितीतून मोजले जाते.

न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमानुसार. या समीकरणाचे वेक्टर प्रमाण गणितीय लोलकाच्या प्रक्षेपकाच्या स्पर्शिकेच्या दिशेवर प्रक्षेपित करू.

या समीकरणांमधून आपल्याला मिळते

गणितीय पेंडुलमच्या गतीचे डायनॅमिक समीकरण. गणितीय पेंडुलमचे स्पर्शिक प्रवेग हे त्याच्या विस्थापनाच्या प्रमाणात असते आणि समतोल स्थितीकडे निर्देशित केले जाते. हे समीकरण असे लिहिले जाऊ शकते

हार्मोनिक कंपन समीकरणाशी त्याची तुलना करणे , आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की गणितीय पेंडुलम हार्मोनिक दोलन करते. आणि पेंडुलमचे मानले जाणारे दोलन केवळ अंतर्गत शक्तींच्या प्रभावाखाली झाले असल्याने, हे पेंडुलमचे मुक्त दोलन होते. परिणामी, लहान विचलनांसह गणितीय पेंडुलमचे मुक्त दोलन हार्मोनिक असतात.

चला सूचित करूया

पेंडुलम दोलनांची चक्रीय वारंवारता.

पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी. त्यामुळे,

या अभिव्यक्तीला Huygens सूत्र म्हणतात. हे गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचा कालावधी निर्धारित करते. सूत्रावरून असे दिसून येते की समतोल स्थितीपासून विचलनाच्या लहान कोनांवर, गणितीय पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी आहे:

1. त्याच्या वस्तुमान आणि कंपन मोठेपणावर अवलंबून नाही;
2. पेंडुलमच्या लांबीच्या वर्गमूळाच्या प्रमाणात आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगाच्या वर्गमूळाच्या व्यस्त प्रमाणात आहे.

हे गणितीय पेंडुलमच्या लहान दोलनांच्या प्रायोगिक नियमांशी सुसंगत आहे, जे G. गॅलिलिओने शोधले होते.

आम्ही यावर जोर देतो की दोन अटी एकाच वेळी पूर्ण झाल्यास कालावधीची गणना करण्यासाठी हे सूत्र वापरले जाऊ शकते:

1. पेंडुलमचे दोलन लहान असावेत;
2. पेंडुलमचा निलंबन बिंदू विश्रांतीवर असणे आवश्यक आहे किंवा ते स्थित असलेल्या जडत्व संदर्भ फ्रेमच्या सापेक्ष सरळ रेषेत एकसारखेपणे हलले पाहिजे.

जर गणितीय पेंडुलमचा निलंबन बिंदू प्रवेग सह हलतो, तर थ्रेडचे तणाव बल बदलते, ज्यामुळे पुनर्संचयित शक्तीमध्ये बदल होतो आणि परिणामी, दोलनांची वारंवारता आणि कालावधी. गणना दर्शविल्याप्रमाणे, या प्रकरणात पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी सूत्र वापरून मोजला जाऊ शकतो

जडत्व नसलेल्या संदर्भ फ्रेममध्ये पेंडुलमचे "प्रभावी" प्रवेग कोठे आहे. हे फ्री फॉलच्या प्रवेगाच्या भौमितिक बेरीज आणि वेक्टरच्या विरुद्ध वेक्टरच्या समान आहे, म्हणजे. हे सूत्र वापरून मोजले जाऊ शकते

गणितीय पेंडुलम हे सामान्य पेंडुलमचे मॉडेल आहे. गणितीय पेंडुलम हा एक भौतिक बिंदू आहे जो एका लांब वजनहीन आणि अगम्य धाग्यावर निलंबित केला जातो.

चला बॉलला त्याच्या समतोल स्थितीतून बाहेर काढू आणि सोडू. बॉलवर दोन शक्ती कार्य करतील: गुरुत्वाकर्षण आणि धाग्याचा ताण. जेव्हा पेंडुलम हलतो तेव्हा हवेच्या घर्षणाची शक्ती त्यावर कार्य करेल. परंतु आपण ते अगदी लहान मानू.

गुरुत्वाकर्षण शक्तीचे दोन घटकांमध्ये विघटन करू: धाग्याच्या बाजूने निर्देशित केलेले बल आणि चेंडूच्या प्रक्षेपकाच्या स्पर्शिकेला लंब निर्देशित केलेले बल.

ही दोन शक्ती गुरुत्वाकर्षणाच्या बलात जोडतात. धाग्याची लवचिक शक्ती आणि गुरुत्वाकर्षण घटक Fn चेंडूला केंद्राभिमुख प्रवेग प्रदान करतात. या शक्तींनी केलेले कार्य शून्य असेल आणि म्हणूनच ते फक्त वेग वेक्टरची दिशा बदलतील. कोणत्याही क्षणी, ते वर्तुळाच्या कमानीकडे स्पर्शिकपणे निर्देशित केले जाईल.

गुरुत्वाकर्षण घटक Fτ च्या प्रभावाखाली, बॉल एका वर्तुळाकार कमानीच्या बाजूने गती वाढवते. समतोल स्थितीतून जात असताना या शक्तीचे मूल्य नेहमी परिमाणात बदलते;

दोलन गतीची गतिशीलता

लवचिक शक्तीच्या कृती अंतर्गत दोलन करणाऱ्या शरीराच्या गतीचे समीकरण.

गतीचे सामान्य समीकरण:

प्रणालीतील कंपने लवचिक शक्तीच्या प्रभावाखाली उद्भवतात, जे हुकच्या नियमानुसार, लोडच्या विस्थापनाच्या थेट प्रमाणात असते.

मग चेंडूच्या गतीचे समीकरण खालील फॉर्म घेईल:

या समीकरणाला m ने विभाजित करा, आम्हाला खालील सूत्र मिळेल:

आणि वस्तुमान आणि लवचिकता गुणांक ही स्थिर मूल्ये असल्याने, गुणोत्तर (-k/m) देखील स्थिर असेल. आम्ही एक समीकरण प्राप्त केले आहे जे लवचिक शक्तीच्या कृती अंतर्गत शरीराच्या कंपनांचे वर्णन करते.

शरीराच्या प्रवेगाचे प्रक्षेपण त्याच्या समन्वयाच्या थेट प्रमाणात असेल, उलट चिन्हासह घेतले जाते.

गणितीय पेंडुलमच्या गतीचे समीकरण

गणितीय पेंडुलमच्या गतीचे समीकरण खालील सूत्राने वर्णन केले आहे:

हे समीकरण स्प्रिंगवरील वस्तुमानाच्या गतीच्या समीकरणासारखेच आहे. परिणामी, पेंडुलमचे दोलन आणि स्प्रिंगवरील चेंडूच्या हालचाली त्याच प्रकारे घडतात.

स्प्रिंगवर चेंडूचे विस्थापन आणि समतोल स्थितीतून पेंडुलम बॉडीचे विस्थापन कालांतराने समान नियमांनुसार बदलते.

एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रामध्ये एका अविभाज्य वजनहीन धाग्यावर लटकलेल्या भौतिक बिंदू (शरीर) (त्याचे वस्तुमान शरीराच्या वजनाच्या तुलनेत नगण्य आहे) असलेल्या यांत्रिक प्रणालीला गणितीय पेंडुलम (दुसरे नाव ऑसिलेटर आहे) म्हणतात. या उपकरणाचे इतर प्रकार आहेत. धाग्याऐवजी, वजनहीन रॉड वापरला जाऊ शकतो. गणितीय पेंडुलम अनेक मनोरंजक घटनांचे सार स्पष्टपणे प्रकट करू शकते. जेव्हा कंपन मोठेपणा लहान असतो तेव्हा त्याच्या गतीला हार्मोनिक म्हणतात.

यांत्रिक प्रणाली विहंगावलोकन

या पेंडुलमच्या दोलन कालावधीचे सूत्र डच शास्त्रज्ञ ह्युजेन्स (१६२९-१६९५) यांनी काढले. I. न्यूटनच्या या समकालीनाला या यांत्रिक प्रणालीमध्ये खूप रस होता. 1656 मध्ये त्यांनी पेंडुलम यंत्रणा असलेले पहिले घड्याळ तयार केले. त्यांनी त्या काळासाठी अपवादात्मक अचूकतेने वेळ मोजली. हा शोध भौतिक प्रयोग आणि व्यावहारिक क्रियाकलापांच्या विकासाचा एक प्रमुख टप्पा बनला.

जर पेंडुलम समतोल स्थितीत असेल (उभ्या बाजूने लटकत असेल), तर ते थ्रेडच्या तणाव बलाने संतुलित केले जाईल. अभेद्य धाग्यावर एक सपाट पेंडुलम ही एक प्रणाली आहे ज्यामध्ये कपलिंगसह दोन अंश स्वातंत्र्य असते. जेव्हा तुम्ही फक्त एक घटक बदलता, तेव्हा त्याच्या सर्व भागांची वैशिष्ट्ये बदलतात. तर, जर धागा रॉडने बदलला असेल तर या यांत्रिक प्रणालीमध्ये फक्त 1 अंश स्वातंत्र्य असेल. गणितीय पेंडुलममध्ये कोणते गुणधर्म असतात? या सर्वात सोप्या प्रणालीमध्ये, नियतकालिक व्यत्ययांच्या प्रभावाखाली अराजकता निर्माण होते. अशा परिस्थितीत जेव्हा निलंबनाचा बिंदू हलत नाही, परंतु दोलायमान होतो, पेंडुलममध्ये नवीन समतोल स्थिती असते. वर आणि खाली वेगवान दोलनांसह, ही यांत्रिक प्रणाली स्थिर "उलटा" स्थिती प्राप्त करते. त्याचे स्वतःचे नाव देखील आहे. त्याला कपित्सा पेंडुलम म्हणतात.

पेंडुलमचे गुणधर्म

गणितीय पेंडुलममध्ये खूप मनोरंजक गुणधर्म आहेत. त्या सर्वांची पुष्टी ज्ञात भौतिक नियमांद्वारे केली जाते. इतर कोणत्याही पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी विविध परिस्थितींवर अवलंबून असतो, जसे की शरीराचा आकार आणि आकार, निलंबन बिंदू आणि गुरुत्वाकर्षण केंद्र यांच्यातील अंतर आणि या बिंदूशी संबंधित वस्तुमानाचे वितरण. म्हणूनच शरीराचा लटकण्याचा कालावधी निश्चित करणे खूप कठीण काम आहे. गणितीय पेंडुलमच्या कालावधीची गणना करणे खूप सोपे आहे, ज्याचे सूत्र खाली दिले जाईल. तत्सम यांत्रिक प्रणालींच्या निरीक्षणाच्या परिणामी, खालील नमुने स्थापित केले जाऊ शकतात:

जर, पेंडुलमची समान लांबी राखत असताना, आपण भिन्न वजने टांगली, तर त्यांच्या दोलनांचा कालावधी समान असेल, जरी त्यांचे वस्तुमान खूप भिन्न असेल. परिणामी, अशा पेंडुलमचा कालावधी लोडच्या वस्तुमानावर अवलंबून नाही.

जर, सिस्टम सुरू करताना, पेंडुलम खूप मोठ्या नसून भिन्न कोनांवर विक्षेपित झाला असेल, तर ते त्याच कालावधीसह, परंतु भिन्न मोठेपणासह दोलन सुरू होईल. जोपर्यंत समतोलाच्या केंद्रापासूनचे विचलन फार मोठे नसतात, तोपर्यंत त्यांच्या स्वरूपातील कंपने हार्मोनिकच्या अगदी जवळ असतील. अशा पेंडुलमचा कालावधी कोणत्याही प्रकारे दोलन मोठेपणावर अवलंबून नाही. दिलेल्या यांत्रिक प्रणालीच्या या गुणधर्माला isochronism म्हणतात (ग्रीक "क्रोनोस" - वेळ, "isos" - समान मधून अनुवादित).

गणितीय पेंडुलमचा कालावधी

हे सूचक कालावधीचे प्रतिनिधित्व करते जटिल सूत्रीकरण असूनही, प्रक्रिया स्वतःच खूप सोपी आहे. जर गणितीय पेंडुलमच्या धाग्याची लांबी L असेल आणि फ्री फॉलचा प्रवेग g असेल, तर हे मूल्य समान आहे:

लहान नैसर्गिक दोलनांचा कालावधी कोणत्याही प्रकारे पेंडुलमच्या वस्तुमानावर आणि दोलनांच्या मोठेपणावर अवलंबून नाही. या प्रकरणात, पेंडुलम कमी लांबीसह गणिती म्हणून हलतो.

गणितीय पेंडुलमचे दोलन

एक गणितीय पेंडुलम दोलन करतो, ज्याचे वर्णन साध्या भिन्न समीकरणाद्वारे केले जाऊ शकते:

x + ω2 sin x = 0,

जेथे x (t) एक अज्ञात कार्य आहे (हा t या क्षणी खालच्या समतोल स्थितीपासून विचलनाचा कोन आहे, रेडियनमध्ये व्यक्त केला जातो); ω एक धनात्मक स्थिरांक आहे, जो पेंडुलमच्या पॅरामीटर्सवरून निर्धारित केला जातो (ω = √g/L, जेथे g हा गुरुत्वाकर्षणाचा प्रवेग आहे आणि L ही गणितीय लोलकाची लांबी आहे (निलंबन).

समतोल स्थिती (हार्मोनिक समीकरण) जवळील लहान कंपनांचे समीकरण असे दिसते:

x + ω2 sin x = 0

पेंडुलमच्या दोलन हालचाली

एक गणितीय पेंडुलम, जो लहान दोलन करतो, सायनसॉइडच्या बाजूने फिरतो. द्वितीय ऑर्डर विभेदक समीकरण अशा चळवळीच्या सर्व आवश्यकता आणि मापदंड पूर्ण करते. प्रक्षेपण निश्चित करण्यासाठी, वेग सेट करणे आणि समन्वय करणे आवश्यक आहे, ज्यावरून नंतर स्वतंत्र स्थिरांक निर्धारित केले जातात:

x = A sin (θ 0 + ωt),

जेथे θ 0 हा प्रारंभिक टप्पा आहे, A हा दोलन मोठेपणा आहे, ω ही गतीच्या समीकरणावरून निर्धारित केलेली चक्रीय वारंवारता आहे.

गणितीय पेंडुलम (मोठ्या आयामांसाठी सूत्रे)

ही यांत्रिक प्रणाली, जी लक्षणीय मोठेपणासह oscillates, गतीच्या अधिक जटिल नियमांच्या अधीन आहे. अशा पेंडुलमसाठी ते सूत्रानुसार मोजले जातात:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

sn हे Jacobi sine कुठे आहे, जे तुमच्यासाठी आहे< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

जेथे ε = E/mL2 (mL2 ही पेंडुलमची ऊर्जा आहे).

नॉनलाइनर पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी सूत्र वापरून निर्धारित केला जातो:

जेथे Ω = π/2 * ω/2K(u), K हा लंबवर्तुळाकार अविभाज्य आहे, π - 3,14.

सेपॅट्रिक्सच्या बाजूने पेंडुलमची हालचाल

सेपॅरट्रिक्स हे डायनॅमिकल सिस्टीमचे प्रक्षेपक आहे ज्यामध्ये द्विमितीय फेज स्पेस आहे. गणितीय पेंडुलम त्याच्या बाजूने अधूनमधून फिरतो. वेळेच्या अनंत दूरच्या क्षणी, ते त्याच्या सर्वोच्च स्थानावरून शून्य गतीने बाजूला पडते, नंतर हळूहळू ते मिळवते. ते शेवटी थांबते, त्याच्या मूळ स्थितीकडे परत येते.

जर पेंडुलमच्या दोलनांचे मोठेपणा संख्येच्या जवळ आले तर π , हे सूचित करते की फेज प्लेनवरील गती सेपॅट्रिक्सच्या जवळ येत आहे. या प्रकरणात, लहान ड्रायव्हिंग नियतकालिक शक्तीच्या प्रभावाखाली, यांत्रिक प्रणाली अराजक वर्तन प्रदर्शित करते.

जेव्हा गणितीय पेंडुलम समतोल स्थितीपासून विशिष्ट कोन φ सह विचलित होतो, तेव्हा गुरुत्वाकर्षणाची स्पर्शक शक्ती Fτ = -mg sin φ उद्भवते. वजा चिन्हाचा अर्थ असा आहे की हा स्पर्शक घटक पेंडुलमच्या विक्षेपणाच्या विरुद्ध दिशेने निर्देशित केला जातो. त्रिज्या L असलेल्या वर्तुळाकार कमानासह लोलकाचे विस्थापन x द्वारे दर्शविल्यास, त्याचे कोनीय विस्थापन φ = x/L इतके असते. दुसरा कायदा, प्रक्षेपण आणि शक्तीसाठी अभिप्रेत आहे, इच्छित मूल्य देईल:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

या संबंधाच्या आधारे, हे स्पष्ट आहे की हा लोलक एक नॉनलाइनर सिस्टीम आहे, कारण त्याला समतोल स्थितीकडे परत आणणारी शक्ती नेहमी विस्थापन x नाही तर sin x/L च्या प्रमाणात असते.

जेव्हा गणितीय पेंडुलम लहान दोलन करते तेव्हाच ते एक हार्मोनिक ऑसीलेटर असते. दुसऱ्या शब्दांत, ती एक यांत्रिक प्रणाली बनते जी हार्मोनिक दोलन करण्यास सक्षम असते. हे अंदाजे 15-20° कोनांसाठी व्यावहारिकदृष्ट्या वैध आहे. मोठ्या आयामांसह पेंडुलमचे दोलन हार्मोनिक नसतात.

पेंडुलमच्या लहान दोलनांसाठी न्यूटनचा नियम

जर एखाद्या यांत्रिक प्रणालीने लहान कंपन केले तर न्यूटनचा दुसरा नियम असा दिसेल:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

याच्या आधारे, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की गणितीय पेंडुलम वजा चिन्हासह त्याच्या विस्थापनाच्या प्रमाणात आहे. ही अशी स्थिती आहे ज्यामुळे सिस्टम हार्मोनिक ऑसिलेटर बनते. विस्थापन आणि प्रवेग यांच्यातील आनुपातिकता गुणांकाचे मॉड्यूलस वर्तुळाकार वारंवारतेच्या चौरसाइतके आहे:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

हे सूत्र या प्रकारच्या पेंडुलमच्या लहान दोलनांची नैसर्गिक वारंवारता प्रतिबिंबित करते. याच्या आधारे,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

ऊर्जेच्या संवर्धनाच्या कायद्यावर आधारित गणना

उर्जेच्या संवर्धनाच्या नियमाचा वापर करून पेंडुलमचे गुणधर्म देखील वर्णन केले जाऊ शकतात. हे लक्षात घेतले पाहिजे की गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रातील पेंडुलम समान आहे:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

एकूण समान गतीज किंवा कमाल संभाव्य: Epmax = Ekmsx = E

उर्जेच्या संवर्धनाचा नियम लिहिल्यानंतर, समीकरणाच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूचे व्युत्पन्न घ्या:

स्थिर प्रमाणांचे व्युत्पन्न 0 बरोबर असल्याने (Ep + Ek)" = 0. बेरीजचे व्युत्पन्न व्युत्पन्नांच्या बेरजेइतके असते:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2*2v*v" = mv*α,

म्हणून:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

शेवटच्या सूत्रावर आधारित, आम्हाला आढळते: α = - g/L*x.

गणितीय पेंडुलमचा व्यावहारिक उपयोग

प्रवेग अक्षांशानुसार बदलतो कारण पृथ्वीच्या कवचाची घनता संपूर्ण ग्रहावर सारखी नसते. जेथे जास्त घनता असलेले खडक आढळतात तेथे ते थोडे जास्त असेल. गणितीय पेंडुलमचा प्रवेग बहुतेकदा भूवैज्ञानिक अन्वेषणासाठी वापरला जातो. हे विविध खनिजे शोधण्यासाठी वापरले जाते. फक्त पेंडुलमच्या दोलनांची संख्या मोजून, पृथ्वीच्या आतड्यांमधला कोळसा किंवा धातूचा शोध लावता येतो. हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की अशा जीवाश्मांची घनता आणि वस्तुमान अंतर्निहित सैल खडकांपेक्षा जास्त आहे.

सॉक्रेटिस, ॲरिस्टॉटल, प्लेटो, प्लुटार्क, आर्किमिडीज यासारख्या उत्कृष्ट शास्त्रज्ञांनी गणितीय पेंडुलमचा वापर केला होता. त्यांच्यापैकी अनेकांचा असा विश्वास होता की ही यांत्रिक प्रणाली एखाद्या व्यक्तीच्या नशिबावर आणि जीवनावर परिणाम करू शकते. आर्किमिडीजने त्याच्या गणनेत एक गणिती पेंडुलम वापरला. आजकाल, बरेच जादूगार आणि मानसशास्त्रज्ञ त्यांच्या भविष्यवाण्या पूर्ण करण्यासाठी किंवा हरवलेल्या लोकांचा शोध घेण्यासाठी या यांत्रिक प्रणालीचा वापर करतात.

प्रसिद्ध फ्रेंच खगोलशास्त्रज्ञ आणि निसर्गशास्त्रज्ञ के. फ्लामॅरियन यांनीही त्यांच्या संशोधनासाठी गणितीय लोलकाचा वापर केला. त्याने दावा केला की त्याच्या मदतीने तो नवीन ग्रहाचा शोध, तुंगुस्का उल्का दिसणे आणि इतर महत्त्वाच्या घटनांचा अंदाज लावू शकला. दुसऱ्या महायुद्धादरम्यान, जर्मनी (बर्लिन) मध्ये एक विशेष पेंडुलम संस्था कार्यरत होती. आजकाल, म्युनिक इन्स्टिट्यूट ऑफ पॅरासायकॉलॉजी अशाच संशोधनात गुंतलेली आहे. या आस्थापनाचे कर्मचारी पेंडुलमसह त्यांच्या कामाला “रेडिस्थेसिया” म्हणतात.