Parilliset neliöt ovat paljon vaikeampia rakentaa kuin parittomat neliöt. On monia tapoja selittää niiden rakentamisen periaatteet. Tässä artikkelissa kuvataan hauska tapa rakentaa 4 x 4 maaginen neliö.
Aloitamme syöttämällä yksikön ylimmän rivin vasemmanpuoleiseen soluun. Deuce sijaitsee seuraavassa solussa ja numerot 3 ja 4 seuraavassa. Tällä tavalla ylin rivi valmistuu. Seuraavalle riville syötetään numerot 5, 6, 7 ja 8.
Jatka, kunnes täytät kaikki solut (kuva 1).
Kuva 1
Sitten kaikilta ääririveiltä on poistettava kaksi numeroa keskisoluista, eli yläriviltä poistetaan numerot 2 ja 3 ja alariviltä 14 ja 15. Lopuksi numerot 5 ja 9 ovat poistettu vasemmasta äärimmäisestä rivistä ja oikeasta äärimmäisestä - 8 ja 12 (kuva 2).
Kuva 2 Nyt nämä numerot voidaan järjestää melko mielenkiintoisella tavalla. Numerot 2 ja 3 ovat soluissa, joissa oli aiemmin luvut 14 ja 15. Näin alimmalle riville tulee luvut 13,3,2 ja 16. Samalla periaatteella numerot 14 ja 15 sijoittuvat, eli , ne vievät ne solut, joissa aiemmin oli numerot 2 ja 3. Tämän seurauksena ylin rivi muodostuu numeroista 1,15,14 ja 4. Toivottavasti ymmärrät jo, kuinka maaginen neliö rakennetaan edelleen. Numerot 8 ja 12 täyttävät ne solut, joissa aiemmin oli numerot 5 ja 9. Lopuksi numerot 5 ja 9 sopivat kahteen soluun oikeanpuoleisessa sarakkeessa (kuva 3).
Kuva 3 Huomaa, että tässä maagisessa neliössä minkä tahansa rivin numeroiden summa on 34.
Samalla tavalla voit luoda 4*4 neliön asettamalla kuusitoista numeroa peräkkäin mistä tahansa numerosta alkaen. Jos rakennat maagisen neliön, jossa numerot kulkevat järjestyksessä 3, 6, 9, 12 jne., näet, että minkä tahansa sarjan numeroiden summa on 102.
On monia tapoja rakentaa jopa maagisia neliöitä. Jotkut niistä ovat erittäin monimutkaisia, aikaa vieviä ja kiinnostavia vain matemaatikoille. Onneksi tapa luoda yantran maagisia neliöitä syntymäajan perusteella on niin yksinkertainen kuin se voi olla.
Tehtävät:
1. Opeta täyttämään maagisia neliöitä.
2. Kehitä havainnointikykyä, yleistyskykyä.
3. Istuta halu uuteen tietoon, kiinnostus matematiikkaa kohtaan.
Laitteet: tietokone, multimediaprojektori valkokankaalla, PowerPoint-esitys (Liite 1).
Muinaisina aikoina, kun ihmiset ovat oppineet laskemaan ja suorittamaan aritmetiikkaa, ihmiset hämmästyivät huomatessaan, että numeroilla on itsenäinen elämä, hämmästyttävä ja salaperäinen. Lisäämällä eri numeroita, asettamalla ne peräkkäin tai alle, he saivat joskus saman summan. Lopuksi jakamalla numerot viivoilla niin, että jokainen oli erillisessä solussa, he näkivät neliön, jonka mikä tahansa numeroista osallistui kahteen summaan ja diagonaaleja pitkin jopa kolmeen, ja kaikki summat ovat yhtä suuria toisiaan! Ei ihme, että muinaiset kiinalaiset, hindut ja heidän jälkeensä arabit pitivät tällaisilla rakenteilla salaperäisiä ja maagisia ominaisuuksia. (dia 1)
Maagiset neliöt ilmestyivät muinaisessa idässä jo ennen aikakauttamme. Eräs säilyneistä legendoista kertoo, että kun Shang-dynastian keisari Yu (2000 eKr.) seisoi Keltaisen joen sivujoen Luon rannalla, yhtäkkiä ilmestyi suuri kala (muissa versioissa valtava kilpikonna), jonka päälle siellä oli piirros kahdesta mystisesta symbolista - mustasta ja valkoisesta ympyrästä (dia 2), joka sitten toteutettiin kuvana 3. kertaluvun maagisesta neliöstä. (dia 3)
Ensimmäinen erityinen maininta tällaisesta aukiosta löydettiin noin 1. vuosisadalla eKr. 10. vuosisadalle jKr. maagiset neliöt sisältyivät amuletteihin, loitsuihin. Niitä on käytetty talismaaneina kaikkialla Intiassa. Ne maalattiin onnenkannuille, lääketieteellisille mukeille. Tähän asti jotkut idän kansat ovat käyttäneet niitä talismanina. Niitä löytyy suurten matkustaja-alusten kansilta leikkipaikkana.
Joten taikuudella tarkoitamme neliöitä, joissa numeroiden summat missä tahansa sarakkeessa tai missä tahansa rivissä sekä diagonaaleissa ovat samat.
Tähän asti olet käyttänyt taikaneliöitä useimmiten henkiseen laskemiseen. Samaan aikaan neliön soluihin on jo sijoitettu useita numeroita, mukaan lukien keskeinen. Loput numerot on järjestettävä siten, että tietty määrä saadaan mihin tahansa suuntaan.
Tehtävä 1. Numerot 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 on annettu. Osa niistä on järjestetty soluihin. Loput luvut on järjestettävä siten, että kokonaisluku on 15. (dia 4)
Osoittautuu, että kaikki muut samoista luvuista koostuvat maagiset neliöt voidaan saada annetusta symmetrialla rivin, sarakkeen tai diagonaalin suhteen, joten numerot kaikissa neliöissä on järjestetty samojen sääntöjen mukaan. (dia 6)
Voit huomata useita kuvioita, jotka helpottavat neliön solujen täyttämistä tai mahdollistavat ongelman ratkaisemisen ehdon pienemmällä määrällä tietoja.
Esimerkiksi edellisen kaltaisten ongelmien olosuhteissa ei ole tarpeen ilmoittaa, mikä summa pitäisi saada mihinkään suuntaan.
Tehtävä 2. Etsi tapa laskea edellisen tehtävän rivien, sarakkeiden ja diagonaalien summa.
Voit väittää seuraavasti: kunkin rivin numeroiden summa on sama, tällaisia rivejä on 3, mikä tarkoittaa, että kunkin rivin numeroiden summa on kolme kertaa pienempi kuin kaikkien numeroiden summa. Siksi esimerkissämme kunkin rivin summa on 15 (45:3). Mutta tämä luku voidaan löytää muillakin tavoilla: lisää kolme keskeistä numeroa 4, 5 ja 6 tai kerro keskusluku 5 kolmella.
Tehtävä 3. Numerot annetaan: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ne on syötettävä neliön soluihin niin, että summa on sama luku joka suunnassa. Osa numeroista on jo kirjoitettu neliöön. (dia 7)
Tehtävä 4. On annettu numerot 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Neliön soluihin on merkitty kaksi niistä. Kirjoita loput niin, että summa on sama luku joka suunnassa. (dia 9)
Katsotaanpa kaikkia kolmea täytettyä ruutua ja yritetään löytää joukko kuvioita, jotka auttavat täyttämään neliön vielä pienemmällä ruutuun kirjoitetulla numerolla. (dia 11)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Katso mikä numero on neliön keskellä? Miten se sijaitsee annettujen numeroiden sarjassa? (dia 12) (Neliön keskelle kirjoitetaan aina jonossamme viidennellä sijalla oleva luku, eli yhtä paljon sen vasemmasta ja oikeasta reunasta poistettuna.)
Voit huomata useita muita piirteitä: neliössä keskiluvun vastakkaisilla puolilla on numeroita, jotka ovat yhtä kaukana sekvenssin vasemmasta ja oikeasta reunasta. Esitetään vastaavien lukujen parit käyttämällä esimerkkiä neliön täyttämisestä numeroilla 1-9: (dia 13)
Kun tiedät tämän, voit täyttää neliön melkein laskematta.
Katso kuinka keskeisen vieressä olevat numerot sijaitsevat ruudussa sekä niistä yhden numeron kautta kirjoitetut numerot. Ne on yhdistetty yläosassa olevilla viivoilla. (Ne sijaitsevat neliön diagonaaleja pitkin.) Ja missä ovat loput luvut, jotka on yhdistetty alhaalta päin olevilla viivoilla? (Ne on järjestetty pysty- ja vaakasuoraan.)
Tarkastellaan, havaitaanko tällaisia kuvioita muissa neliöissä. (dia 14)
(Kyllä, sellaiset mallit pätevät.)
Joten tehdään se yhteenveto. Mitä maagisten neliöiden ominaisuuksia olemme havainneet?
1) Löytääksesi kunkin sarakkeen tai rivin lukujen summan, voit kertoa keskiluvun kolmella.
2) Neliön keskellä on viidennelle riville kirjoitettu luku.
3) Neliössä keskiluvun vastakkaisilla puolilla ovat numerot, jotka ovat yhtä kaukana sekvenssin vasemmasta ja oikeasta reunasta.
4) Keskimmäisen ja sen vieressä olevat numerot sijaitsevat neliön diagonaaleja pitkin. Reunassa ja siitä yhden läpi seisovat numerot sijaitsevat neliössä pysty- ja vaakasuunnassa.
Tehtävä 5. Luvut on annettu: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Kirjoita ne neliön soluihin niin, että sama luku saadaan mihin tahansa suuntaan. (dia 15)
(Otetaan selville, mikä summa pitäisi saada kumpaankin suuntaan. Tätä varten kerrotaan keskusluku 7 kolmella. Tuloksena saadaan 21. Laita numero 7 neliön keskelle, numeroiden 6 diagonaaliin. ja 8, toisaalta - 4 ja 10. Jää vielä järjestää puuttuvat luvut: ensimmäiselle riville kirjoitettujen lukujen summa on 10, 11 puuttuu ennen 21, mikä tarkoittaa, että ylimmän rivin tyhjässä solussa kirjoita numero 11 (ensin oikealla). Kirjoita sitten alimmalle riville numero 3 (ensin vasemmalle). Vasemmalle sarakkeelle kirjoitamme numeron 5 ( 21 - (6 + 10)), sitten se jää kirjoittaaksesi numeron 9 oikeaan sarakkeeseen. Siten sijoitimme kaikki 9 numeroa maagisen neliön soluihin, kun taas yhtäkään numeroa ei asetettu ruutuun tehtävän ehdon mukaan.)
Tehtävällä on useita ratkaisuja, mutta kaikki neliöt saadaan toisista symmetrian avulla keskiviivojen tai diagonaalin suhteen. (dia 16)
Tehtävä 6. Annetut luvut 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Kirjoita ne neliön soluihin niin, että saat mihin tahansa suuntaan yhteensä saman luvun.
Yksi ratkaisuista diassa. (dia 17)
Tehtävä 7. Vertaa tehtävien 1 ja 6 ehtoja ja mieti, kuinka voisit ratkaista ongelman, kun tiedät ratkaisun tehtävään 1.
(Tehtävän 6 luvut ovat kaksi kertaa vastaavat luvut tehtävästä 1. Siksi voit yksinkertaisesti tuplata jokaisen tehtävän 1 neliön numeron ja saada halutun neliön.)
Maagisten neliöiden rakentamiseen on useita tapoja. Harkitse terassien menetelmää, jonka muinaiset kiinalaiset keksivät. Tätä menetelmää noudattaen on tarpeen kiertää "luonnollista" numeroneliötä keskustan ympärillä puolet suorasta kulmasta (dia 19) ja erota pöytä 3´3 neliömäisellä kehyksellä. (dia 20) Lukuilla, jotka on kirjoitettu kehyksen ulkopuolelle ja muodostamalla reunuksia ("terasseja"), täytämme tyhjät solut taulukon vastakkaisella puolella. (dia 21)
Vastaavasti mikä tahansa pariton neliö voidaan rakentaa. Täytä 5´5 maagisen neliön solut numeroilla 1-25. (diat 22, 23, 24)
4´4 maagisen neliön rakentamiseen yksinkertaisin ja helpoin tapa on: "luonnollisessa" neliössä päälävistäjän lisänumerot vaihdetaan, kun taas loput pysyvät ennallaan. (diat 25, 26)
Yhteenveto oppitunnista
Minkä taianeliöiden salaisuuden löysit tänään luokassa? Mikä auttoi sinua tässä?
Testaus Chaturanga Shorin Alexanderin kanssa
5.2.1 Tietoja numeroiden taikuudesta. Mitä ovat maagiset neliöt
Numeroiden taikuudesta voidaan sanoa paljon. Esimerkkinä tämän tutkimuksen alussa mainitsimme jo luvun 4. Tällä tavalla voidaan sanoa paljon mistä tahansa numerosta.
Esimerkiksi numero 1 on yksi, kaiken alku. Numero 2 - erottelu, kahden sukupuolen vastakohta. 3 - kolmio ... Ja niin edelleen. Tämä on erittäin hedelmällinen aihe, johon voit syventyä loputtomasti.
Siksi jätetään se ja siirrytään maagisiin neliöihin, jotka liittyvät suoraan Chaturangaan.
Maagiset neliöt ovat neliönmuotoisia kokonaislukutaulukoita, joilla on ainutlaatuiset ominaisuudet: esimerkiksi minkä tahansa rivin, minkä tahansa sarakkeen ja minkä tahansa päälävistäjän lukujen summat ovat yhtä suuret kuin sama luku.
Uskotaan, että maagiset neliöt keksittiin muinaisessa Kiinassa, ja ne tunnettiin myös muinaisessa Intiassa, josta Chaturanga on peräisin. Erityisesti tämän todistaa N. M. Rudin kirjassaan "Taikaruudusta shakkiin".
Legendan mukaan keisari Yun hallituskaudella (n. 2200 eKr.) Keltaisen joen vesistä nousi pyhä kilpikonna, jonka kuoreen oli kaiverrettu salaperäiset hieroglyfit. Nämä merkit tunnetaan nimellä lo-shu, ja ne vastaavat maagista neliötä. 11-luvulla he oppivat maagisista neliöistä Intiassa ja sitten Japanissa, missä 1500-luvulla. Maagiset neliöt ovat olleet laajan kirjallisuuden aiheena. Hän esitteli eurooppalaiset maagisiin neliöihin 1400-luvulla. Bysanttilainen kirjailija E. Moshopoulos. Ensimmäinen eurooppalaisen keksimä neliö on A. Dürerin neliö, joka on kuvattu hänen kuuluisassa kaiverruksessaan "Melankolia 1". Kaiverruspäivämäärä (1514) on merkitty numeroilla alarivin kahdessa keskimmäisessä solussa. Maagisille neliöille annettiin useita mystisiä ominaisuuksia. 1500-luvulla Cornelius Heinrich Agrippa rakensi 3., 4., 5., 6., 7., 8. ja 9. luokan neliöitä, jotka yhdistettiin 7 planeetan astrologiaan. Uskottiin, että hopeaan kaiverrettu maaginen neliö suojasi rutolta. Vielä nykyäänkin eurooppalaisten ennustajien ominaisuuksien joukossa voi nähdä maagisia neliöitä.
1800- ja 1900-luvuilla kiinnostus maagisia neliöitä kohtaan syttyi uudella voimalla. Niitä alettiin tutkia korkeamman algebran ja operaatiolaskennan menetelmillä.
Jokaista maagisen neliön elementtiä kutsutaan soluksi. Neliö, jonka sivu on n soluja, sisältää n 2 solua ja sitä kutsutaan neliöksi n- järjestys. Useimmat maagiset neliöt käyttävät ensimmäistä n peräkkäiset luonnolliset luvut. Summa S Numeroita jokaisella rivillä, jokaisessa sarakkeessa ja missä tahansa lävistäjässä kutsutaan neliön vakioksi ja se on yhtä suuri kuin S= n(n 2 + 1)/2. Todisti sen n– 3. Kolmannen asteen ruudulle S= 15, 4. järjestys - S= 34, 5. järjestys - S= 65.
Neliön keskustan läpi kulkevia kahta diagonaalia kutsutaan päälävistäjäksi. Katkoviiva on lävistäjä, joka, saavutettuaan neliön reunan, jatkuu samansuuntaisesti ensimmäisen segmentin kanssa vastakkaisesta reunasta. Soluja, jotka ovat symmetrisiä neliön keskustan suhteen, kutsutaan vinosymmetrisiksi.
Maagisia neliöitä voidaan rakentaa esimerkiksi 1600-luvun ranskalaisen geometrian menetelmällä. A. de la Lubera.
A. de la Loubertin menetelmän mukaan maaginen neliö 5 × 5 voidaan rakentaa seuraavasti:
Numero 1 sijoitetaan ylimmän rivin keskimmäiseen soluun. Kaikki luonnolliset luvut on järjestetty luonnolliseen järjestykseen syklisesti alhaalta ylös diagonaalien soluissa oikealta vasemmalle. Kun olet saavuttanut neliön yläreunan (kuten numeron 1 tapauksessa), jatkamme diagonaalin täyttämistä seuraavan sarakkeen alasolusta alkaen. Kun olet saavuttanut neliön oikean reunan (numero 3), jatkamme vasemmasta solusta tulevan diagonaalin täyttämistä yllä olevalla rivillä. Saavutettuaan täytettyyn soluun (numero 5) tai nurkkaan (numero 15), liikerata laskee yhden solun alaspäin, jonka jälkeen täyttöprosessi jatkuu.
Siitä tulee sellainen maaginen neliö:
Voit myös käyttää F. de la Hiren (1640-1718) menetelmää, joka perustuu kahteen alkuperäiseen ruutuun. Numerot 1-5 syötetään ensimmäisen neliön soluun siten, että numero 3 toistuu päälävistäjän soluissa oikealle ylöspäin, eikä yhtäkään numeroa esiinny kahdesti yhdellä rivillä tai yhdessä sarakkeessa. Teemme saman numeroiden 0, 5, 10, 15, 20 kanssa sillä ainoalla erolla, että luku 10 toistetaan nyt päälävistäjän soluissa ylhäältä alas. Näiden kahden neliön summa solulta muodostaa maagisen neliön. Tätä menetelmää käytetään myös tasaisen järjestyksen neliöiden rakentamisessa.
Kirjasta Master of Dreams. Unelma Sanakirja. kirjoittaja Smirnov Terenty LeonidovichMustan magian unen tulkinta (mustan magian unien symbolit) Monet henkiset etsijät, jotka ovat kiehtoneet suosittuja esoteerisia käsitteitä, eivät edes epäile harjoittavansa todellista mustaa magiaa unelmakehityksessään! Tämä koskee täysin
Kirjasta Pracical Magic of the Modern Witch. Seremoniat, rituaalit, profetiat kirjailija Mironova DariaTalismaanit ja maagiset neliöt Talismaanien taika liittyy läheisesti numerologian perinteeseen. Aakkosten numerot ja kirjaimet sekä erikoissymbolit, joita ilman amuletin valmistus on välttämätöntä, suojaavat sen omistajaa huonoilta vaikutuksilta. Monet talismaanit näyttävät tältä.
Kirjasta Rituals of Money Magic kirjailija Zolotukhina ZoyaNumeroiden taika Sinun maaginen numerosi Numerologien mukaan jokaisella meistä on eräänlainen avain vaalituun salaisuuteen - maaginen numeromerkki. Sen määrittämiseksi sinun on laskettava yhteen kaikki syntymäaikasi numerot. Laske yhteen, kunnes päädyt
Kirjasta Know Your Future. Tee Fortune toimimaan sinulle kirjoittaja Korovina Elena AnatolievnaNumeroiden ja kirjainten suhde
Kirjasta Star of Protection and Money Talisman. Kriisin vastainen numerologia kirjoittaja Korovina Elena AnatolievnaNumeroiden ja kirjainten suhde Taulukko
Kirjasta Syntymäaika on avain ihmisen ymmärtämiseen kirjoittaja Aleksandrov Aleksanteri FedorovitšNUMEROJEN SIIRTYMÄT Voimme onnitella sinua siitä, että kaikki numeroiden ominaisuudet on tutkittu. Voit vapaasti alkaa laskea kaikkien rakkaiden, ystävien, tuttavien, tuntemattomien ja vihollisten syntymäaikaa. Loistava! Nyt jokainen paljastaa "piilotetun olemuksensa". Aloita tietysti itsestäsi - ja teet sen heti
Kirjasta Slavic Karmic Numerology. Paranna kohtalosi matriisiasi kirjoittaja Maslova Natalia NikolaevnaLUKUJEN 5 JA 9 SUHDE Viimeistä siirtymää ei voida kutsua varsinaiseksi siirtymäksi, koska kyse ei ole luvun siirtymisestä toiseen, vaan yhden numeron vahvistamisesta toisen kautta. Harkitse lukujen 5 (logiikka) ja 9 (muisti) keskinäistä vaikutusta toisiinsa. Ennen kuin määrittelemme
Kirjasta Mitä voit oppia henkilöstä syntymäajan ja nimen perusteella kirjoittaja Zyurnyaeva TamaraHakemisto. Numeroiden merkitys Tämä on luonteen vahvuus, ihmisen yang-energia, hänen aurinkonsa. Yksiköiden läsnäolo matriisissa määrittää henkilön tarkoituksenmukaisuuden, hänen itsetuntonsa, johtajuusominaisuudet, hänen kykynsä asteen.
Kirjasta Mathematics for Mystics. Pyhän geometrian salaisuudet Kirjailija: Chesso RennaNumeromaikkaa vai matematiikkaa? Muinaisista ajoista lähtien ihmiset ovat kääntyneet numeroiden puoleen ja kiinnittäneet niille pyhän merkityksen. Numeroiden mysteerin purkaminen merkitsi elämän mysteerin selvittämistä. Jopa muinainen kreikkalainen viisas Pythagoras uskoi, että kaikki maailmassa tiedetään numeroiden kautta.
Viisauden kirjasta. Kaikki yhdessä kirjassa. Täytä mikä tahansa toive kirjailija Levin PetrLuku #5 Maagiset neliöt Kutsumme niitä maagisiksi neliöiksi tai planeetan neliöiksi. Tai sinettejä, cameoja, pöytiä. Kuten monet muutkin maagiset työkalut, ne tunnetaan eri nimillä eri järjestelmissä, mutta miksi niitä kutsutaankin, ne ovat peräisin
Kirjasta Numeerinen syntymäkoodi ja sen vaikutus kohtaloon. kuinka laskea onnea kirjoittaja Mikheeva Irina Firsovna Kirjasta Tieto taikuudesta on hauskaa, taikuudesta vakavaa kirjoittaja Kartavtsev VladislavNumeroiden energia Syntymäpäivän geneettisen numeron merkityksen määrittämiseksi on ensinnäkin selvitettävä itse luvun merkitys, sen tila ja energiasisältö. Jokapäiväisen elämämme käsitysten mukaan jokaisen numeerisen arvon "paino" kasvaa itse arvon kasvaessa.
Kirjasta Testing with Chaturanga kirjoittaja Shorin AleksanteriNumeroiden ominaisuudet Numero 1 - punainen. Todellisuuspiste, perusta, koko digitaalisen superrakenteen ydin, joka määrittää tämän tai tuon energiavirran tyypin. Numeron 1 tarkoitus on määrittää syntyneen todellisuuden merkitys, tärkeys ja paino. Yritysmaailmassa siis eteenpäin
Kirjailijan kirjasta"Magic Proof" tai "Proof of Magic" "Olet huono ihminen!" Tai: "Hän on huono ihminen" Tai: "Hän on hyvä ihminen!" Tai: "Olet hyvä ihminen!" Valita! Mistä pidät enemmän? Eikö olekin hauskaa katsoa "rituaali Zulu tanssii
Kirjailijan kirjasta5.2. Maagiset neliöt Chaturangassa. Chaturanga ennustajana 5.2.1 Tietoja numeroiden taikuudesta. Mitä maagiset neliöt ovat Numeroiden taikuudesta on paljon sanottavaa. Esimerkkinä mainittiin tämän tutkimuksen alussa jo numero 4. Tällä tavalla voidaan sanoa paljon mistä tahansa
Kirjailijan kirjasta5.2.2. Maagiset neliöt Chaturangassa 5.2.2.1 Ei-maagisen neliön taika On outoa, että yksinkertaisimmalla (ei-maagisella) neliöllä 5x5, jossa numerot menevät yksitellen - 1 - 25, voi myös olla epätavallisia ominaisuuksia. Joten tässä yksinkertaisessa neliössä "norsun ristin" summa
Maaginen, tai maaginen neliö- neliönmuotoinen pöytä n × n (\näyttötyyli n\kertaa n), täytetty eri numeroilla siten, että kunkin rivin, jokaisen sarakkeen ja molempien lävistäjien numeroiden summa on sama. Jos neliön lukujen summat ovat yhtä suuret vain riveissä ja sarakkeissa, sitä kutsutaan puolimaaginen. normaali kutsutaan maagiseksi neliöksi, joka on täynnä luonnollisia lukuja 1 (\näyttötyyli 1) ennen n 2 (\displaystyle n^(2)). Maaginen neliö on nimeltään assosiatiivista tai symmetrinen, jos minkä tahansa kahden symmetrisesti neliön keskipisteen ympärillä olevan luvun summa on yhtä suuri n 2 + 1 (\displaystyle n^(2)+1).
Normaalit maagiset neliöt ovat olemassa kaikille tilauksille n ≥ 1 (\displaystyle n\geq 1), lukuunottamatta n = 2 (\näyttötyyli n=2), vaikka asia onkin n = 1 (\näyttötyyli n=1) triviaali - neliö koostuu yhdestä numerosta. Pienin ei-triviaali tapaus on esitetty alla, sen järjestys on 3.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → (\displaystyle\rightarrow ) | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → (\displaystyle\rightarrow ) | 15 | ||
| ↙ (\displaystyle \swarrow) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↘ (\displaystyle \searrow ) | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Jokaisen rivin, sarakkeen ja diagonaalin lukujen summaa kutsutaan maagiseksi vakioksi, M. Normaalin maagisen neliön maaginen vakio riippuu vain n ja se määräytyy kaavan mukaan
M (n) = n (n 2 + 1) 2 (\näyttötyyli M(n)=(\frac (n(n^(2)+1))(2)))Miksi se on niin? |
|
|---|---|
Olkoon neliö, jossa on sivu n. (\displaystyle n.) Sitten tulee n 2 (\displaystyle n^(2)) numeroita. Toisaalta lukujen summa S \u003d 1 + 2 + 3 + ... + n 2 \u003d n 2 2 (n 2 + 1). (\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^(2)=(\cfrac (n^(2))(2))(n^(2)+1).) Toisella puolella, S = nM. (\displaystyle S=nM.) Yhtälöimällä saamme halutun kaavan. |
|
Maagisten vakioiden ensimmäiset arvot on annettu seuraavassa taulukossa (sekvenssi A006003 OEIS:ssä):
| Tilaus n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Tietosanakirja YouTube
1 / 5
✪ Magic square - juhlatemppu
✪ Parker Square
✪ Sivu 35 Kenttätehtävä (ensimmäinen neliö) - Matematiikan luokka 3 Moreau - Oppikirja Osa 1
✪ Magic square - uusi menetelmä
✪ Maagiset neliöt. Avoin oppitunti.
Tekstitykset
Historiallisesti merkittävät maagiset neliöt
Lo Shu -aukio
Yang Hui Magic Square (Kiina)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Albrecht Dürer -aukio
Albrecht Dürerin kaiverruksessa "Melancholia I" kuvattu 4 × 4 maaginen neliö pidetään eurooppalaisen taiteen varhaisimpana. Alimman rivin kaksi keskimmäistä numeroa osoittavat kaiverruksen luomispäivämäärän ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Minkä tahansa vaaka-, pysty- ja diagonaalin lukujen summa on 34. Tämä summa esiintyy myös kaikissa kulmaruuduissa 2×2, keskusneliössä (10+11+6+7), kulmasolujen neliössä (16+). 13+4+1 ), "ritariliikkeen" rakentamissa ruuduissa (2+12+15+5 ja 3+8+14+9), lävistäjän suuntaisten suorakulmioiden kärjessä (2+8+ 15+9 ja 3+12+14+5 ), suorakulmioissa, jotka muodostuvat vastakkaisten sivujen keskisolupareista (3+2+15+14 ja 5+8+9+12). Suurin osa ylimääräisistä symmetrioista johtuu siitä, että minkä tahansa kahden keskeisesti symmetrisen luvun summa on 17.
Henry E. Dudeneyn ja Allan W. Johnson Jr.:n neliöt
Jos neliömatriisiin n × n ei syötetä täysin luonnollista numerosarjaa, niin tämä maaginen neliö - epätavanomaista. Alla on kaksi tällaista taikaneliötä, jotka on täytetty alkuluvuilla (vaikka 1:tä ei pidetä alkulukuna nykyaikaisessa lukuteoriassa). Ensimmäinen on kunnossa n = 3(Dyudenin aukio); toinen (koko 4x4) on Johnson-aukio. Molemmat kehitettiin 1900-luvun alussa:
|
|
On olemassa useita muita vastaavia esimerkkejä:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Viimeinen neliö, jonka J. N. Munsey rakensi vuonna 1913, on merkittävä siinä mielessä, että se koostuu 143 peräkkäisestä alkuluvusta kahta pistettä lukuun ottamatta: kyseessä on yksikkö, joka ei ole alkuluku, ja ainoa parillinen alkuluku 2 on ei käytetty.
Neliöt lisäominaisuuksilla
Devil Magic Square
paholaisen aukio tai pandiagonaalinen neliö- maaginen neliö, jossa murtuneiden lävistäjien (lävistäjät, jotka muodostuvat, kun neliö taitetaan torukseksi) molempiin suuntiin lukujen summat osuvat myös yhteen maagisen vakion kanssa.
Siellä on 48 4x4 paholaisen neliötä kiertoihin ja heijastuksiin asti. Jos otamme huomioon myös symmetrian suhteessa torisiin rinnakkaisiin käännöksiin, niin jäljelle jää vain 3 olennaisesti erilaista neliötä:
|
|
|
Pandiagonaaliset neliöt ovat olemassa parittomille järjestyksille n>3, mille tahansa kaksoispariteettijärjestykselle n=4k (k=1,2,3…) eikä niitä ole olemassa yksittäiselle pariteettijärjestykselle n = 4k + 2 (\näyttötyyli n = 4k+2) (k = 1 , 2 , 3 , … (\näyttötyyli k=1,2,3,\pisteet )).
Neljännen asteen pandiagonaalisilla neliöillä on useita lisäominaisuuksia, joita varten niitä kutsutaan sitoutunut. Parittoman järjestyksen täydellisiä neliöitä ei ole olemassa. Pandiagonaalisten neliöiden joukossa, joiden kaksinkertainen pariteetti on yli 4, on täydellisiä.
Viidennen asteen pandiagonaalisia ruutuja on 3600. Erilaisia pandiagonaalisia neliöitä on 144 erilaista rinnakkaiskäännökset huomioon ottaen. Yksi niistä on esitetty alla.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Jos pandiagonaalinen neliö on myös assosiatiivinen, sitä kutsutaan ihanteellinen. Esimerkki täydellisestä maagisesta neliöstä:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Tiedetään, ettei täydellisiä järjestyksen maagisia neliöitä ole olemassa n = 4k+2 ja järjestyksen neliö n = 4. Samaan aikaan on olemassa täydellisiä järjestyksen neliöitä n = 8. Yhdistelmäneliöiden muodostamismenetelmällä on mahdollista rakentaa tietyn kahdeksannen kertaluvun neliön perusteella ideaalisia kertaluvun neliöitä n = 8 k, k = 5, 7, 9… ja tilaa n = 8^p, p = 2,3,4… Vuonna 2008 kombinatorinen menetelmä täydellisten järjestysneliöiden rakentamiseen n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Maagisten neliöiden rakentaminen
Terassi menetelmä
Yu. V. Chebrakovin kuvaama teoksessa Theory of Magic Matrixes.
Piirrä n x n -neliötaulukko tietylle parittomalle n:lle. Kiinnitämme terassit (pyramidit) tähän pöytään kaikilla neljällä sivulla. Tuloksena saamme porrastetun symmetrisen hahmon.
|
Aloita porrastetun kuvion vasemmasta kärjestä, täytä sen diagonaaliset rivit peräkkäisillä luonnollisilla luvuilla 1 - N 2 (\displaystyle N^(2)).
Sen jälkeen N:nnen kertaluvun klassisen matriisin saamiseksi terassien numerot sijoitetaan niihin NxN-taulukon kohtiin, joissa ne olisivat, jos niitä siirrettäisiin terassien mukana, kunnes terassien pohjat rajoittuvat pöydän vastakkaiselle puolelle.
|
|
Lisäksi tämä menetelmä pätee myös, jos maaginen neliö ei tarvitse muodostaa luvuista 1:stä N, vaan myös K:sta N:ään, missä 1<= K< N.
Muita keinoja
Maagisten neliöiden rakentamissäännöt jakautuvat kolmeen luokkaan sen mukaan, onko neliön järjestys pariton, kaksinkertainen pariton luku vai neljä kertaa pariton luku. Yleistä menetelmää kaikkien neliöiden rakentamiseksi ei tunneta, vaikka erilaisia kaavioita käytetään laajalti. Etsi kaikki järjestyksen taikaneliöt n (\displaystyle n) onnistuu vain n ≤ 4 (\displaystyle n\leq 4), siksi erittäin kiinnostavia ovat erityiset menetelmät maagisten neliöiden rakentamiseksi n > 4 (\displaystyle n>4). Yksinkertaisin rakenne on parittoman järjestyksen maagiselle neliölle. Tarvitset solun, jossa on koordinaatit (i , j) (\näyttötyyli (i,j))(missä i (\displaystyle i) ja j (\displaystyle j) muuttaa arvosta 1 arvoon n (\displaystyle n)) laita numero
1 + ((i + j − 1 + (n − 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n) . (\displaystyle 1+((i+j-1+(n-1)/2)(\bmod (n)))n+((i+2j+2)(\bmod (n))).) [ ]On vielä helpompi rakentaa rakenne seuraavasti. Otetaan n x n -matriisi. Sen sisään on rakennettu porrastettu rombi. Siinä solut vasemmalta ylöspäin diagonaaleja pitkin täytetään peräkkäisellä rivillä parittomat numerot. Määritetään keskussolun C arvo, jolloin arvot taikaneliön kulmissa ovat seuraavat: ylempi oikea solu C-1 ; alhaalla vasen solu C+1 ; alhaalla oikea solu C-n; ylävasen solu C+n. Tyhjien solujen täyttö porrastettuihin kulmakolmioihin tapahtuu yksinkertaisten sääntöjen mukaisesti: 1) riveissä numerot kasvavat vasemmalta oikealle n + 1:n välein; 2) sarakkeissa ylhäältä alas luvut kasvavat askeleella n-1.
Algoritmeja pandiagonaalisten neliöiden ja ihanteellisten 9x9 maagisten neliöiden rakentamiseen on myös kehitetty. Näiden tulosten avulla voidaan rakentaa ihanteellisia tilausten maagisia neliöitä n = 9 (2k + 1) (\näyttötyyli n=9(2k+1)) varten k = 0 , 1 , 2 , 3 , … (\näyttötyyli k=0,1,2,3,\pisteet ). On olemassa myös yleisiä menetelmiä parittoman järjestyksen täydellisten maagisten neliöiden järjestämiseen n > 3 (\displaystyle n>3). Menetelmät ihanteellisten järjestysneliöiden rakentamiseen n = 8 k, k = 1, 2, 3… ja täydelliset maagiset neliöt. Pandiagonaalisia ja ideaalisia neliöitä, joiden järjestys on pariton, voidaan yhdistää vain, jos ne eivät ole perinteisiä. Siitä huolimatta on mahdollista löytää lähes pandiagonaalisia neliöitä, ja löytyy erityinen ryhmä ihanteellisesti täydellisiä maagisia neliöitä (perinteisiä ja ei-perinteisiä).
Esimerkkejä monimutkaisemmista neliöistä
Parittoman järjestyksen ja kaksoispariteetin taikaneliöt on työstetty menetelmällisesti tiukasti. Yksittäisen pariteetin järjestyksessä olevien neliöiden formalisointi on paljon vaikeampaa, mitä havainnollistavat seuraavat kaaviot:
|
|
|
Maagisten neliöiden rakentamiseen on olemassa kymmeniä muita menetelmiä.
Muinaisina aikoina suuret tiedemiehet pitivät numeroita maailman olemuksen perustana. Maaginen neliö, jonka salaisuus on, että tuloksena olevan neliön numeroiden summa kussakin vaakatasossa, pystysuorassa ja jokaisessa lävistäjässä on sama, kantaa tämän olemuksen.
Mutta täydellistä kuvausta maagisista neliöistä ei vielä ole olemassa.
Pythagoraan maagisen neliön, joka "houkuttelee" vaurauden energiaa, kokosi perustaja
Suuri tiedemies, joka perusti uskonnollisen ja filosofisen opin ja julisti kvantitatiivisia suhteita asioiden perustaksi, uskoi, että ihmisen olemus piilee henkilön syntymäpäivässä.
Tietäen, kuinka maaginen neliö toimii, ei voida vain selvittää ihmisen luonteenpiirteitä, hänen terveydentilaansa, henkisiä ja luovia kykyjään, vaan myös laatia ohjelman hänen parantamiseksi ja kehittämiseksi. Numerot, jotka on kirjoitettu neliöön erityisellä tavalla, houkuttelevat paitsi vaurautta, myös ihmiselle tarvittavia energiavirtoja. Esimerkiksi Paracelsus kuvasi neliötään terveyden talismanina. Numerot muodostavat kolme riviä, eli ruudussa on yhdeksän numeroa. Numerologisen koodisi määrittämiseksi sinun on laskettava nämä yhdeksän numeroa.
Miten maaginen neliö toimii?
Neliön ensimmäinen vaakarivi muodostuu numeroista: henkilön syntymäpäivä, kuukausi ja vuosi. Esimerkiksi henkilön syntymäaika vastaa 8.9.1971. Tällöin ruudun ensimmäinen numero on 9, joka kirjoitetaan ensimmäiseen soluun. Toinen numero on kuukauden numero, eli 8.
Samalla kannattaa kiinnittää huomiota, jos henkilön syntymäkuukausi vastaa joulukuuta eli numeroa 12, niin se on siis muutettava lisäämällä yksinkertaiseen luvuksi 3. Kolmas numero vastaa vuoden numero. Tätä varten on tarpeen hajottaa 1971 yhdistelmäluvuiksi ja laskea niiden kokonaismäärä, joka on 18, ja yksinkertaistaa edelleen 1 + 8 = 9. Täytämme neliön ylemmän vaakakentän tuloksena olevilla numeroilla: 9,8,9.
Neliön toiselle riville kirjoitetaan numerot, jotka vastaavat henkilön nimeä, sukunimeä ja sukunimeä numerologian mukaan. Jokaisella kirjaimella on oma numeroarvonsa. Numerot saadaan numerologian kirjaimien ja numeroiden vastaavuustaulukosta. Seuraavaksi sinun on laskettava etunimen, isänimen ja sukunimen numerot ja muutettava ne yksinkertaisiin arvoihin.
Neliön toinen rivi täytetään tuloksena olevilla numeroilla. Neljäs numero vastaa nimen numeroa, viides - isännimeä ja kuudes - sukunimeä. Nyt meillä on energianeliön toinen rivi.
Toinen periaate maagisen neliön toiminnasta perustuu astrologiaan.
Seitsemäs numero vastaa henkilön horoskooppimerkkiä. Oinas on ensimmäinen merkki numeron 1 alla, ja sitten Kalojen merkkiin - 12. Kun täytät neliön kolmatta riviä, kaksinumeroisia lukuja ei pidä vähentää alkuluvuiksi, niillä kaikilla on oma merkityksensä.
Kahdeksas numero on merkin numero, toisin sanoen meidän versiossamme 1971 on villisian vuosi.
Yhdeksäs numero edustaa henkilön halun numerologista koodia. Esimerkiksi henkilö pyrkii saamaan erinomaisen terveyden, joten sinun on löydettävä tämän sanan kirjaimia vastaavat numerot. Tuloksena on 49, jota yksinkertaistetaan lisäämällä 4. Numeroita 10:stä 12:een, kuten ihmisen horoskooppimerkin kohdalla, ei tarvitse pienentää. Nyt, kun tiedät, miten maaginen neliö toimii, voit helposti säveltää sen ja kantaa sitä mukanasi kuin talismanin tai koristella sen kuvana ja ripustaa sen kotiin.
