slaid 1

Fraktsioonid Babülonis, Egiptuses, Roomas. Kümnendmurdude avastamine ESITLUS KASUTAMISEKS KUULUTUSE ABINA KURSUSE LISATEGEVUSTEL
Markelova G.V., matemaatikaõpetaja, MBOU keskkooli Gremjatšinski haru p. Võtmed

slaid 2

slaid 3

Murdude päritolust
Vajadus murdarvude järele tekkis inimese praktilise tegevuse tulemusena. Vajadus üksuse aktsiaid leida tekkis meie esivanematel pärast jahti saaki jagades. Teiseks oluliseks põhjuseks murdarvude ilmnemisel tuleks pidada suuruste mõõtmist valitud mõõtühiku abil. Nii sündisid murded.

slaid 4

Vajadus täpsemate mõõtmiste järele tõi kaasa selle, et esialgseid mõõtühikuid hakati jagama 2, 3 või enamaks osaks. Killustamise tulemusel saadud väiksemale mõõtühikule anti individuaalne nimi ja selle väiksema ühikuga mõõdeti juba väärtusi. Selle vajaliku tööga seoses hakati kasutama väljendeid: pool, kolmas, kaks ja pool sammu. Kust võis järeldada, et murdarvud tekkisid suuruste mõõtmise tulemusena. Rahvad tegid murdude registreerimiseks mitmeid viise, kuni jõudsid tänapäevase tähistusviisini.

slaid 5

Murdarvu arengu ajaloos kohtame kolme tüüpi murde:
1) murrud või ühikmurrud, milles lugeja on üks, kuid nimetaja võib olla mis tahes täisarv; 2) süstemaatilised murrud, milles lugejateks võivad olla suvalised arvud, nimetajateks aga ainult teatud kindlat tüüpi arvud, näiteks kümne või kuuekümne astmed;
3) üldkuju murrud, milles lugejateks ja nimetajateks võivad olla suvalised arvud. Nende kolme erinevat tüüpi murdude leiutamine valmistas inimkonnale erinevat raskusastet, mistõttu tekkisid erinevatel ajastutel erinevat tüüpi murded.

slaid 6

Murrud Babülonis
Babüloonlased kasutasid ainult kahte numbrit. Vertikaalne kriips tähistas ühte ühikut ja kahe kriipsu nurk tähistas kümmet. Need read saadi kiiludena, sest babüloonlased kirjutasid terava pulgaga niisketele savitahvlitele, mis seejärel kuivatati ja põletati.

Slaid 7

Murrud Vana-Egiptuses
Vana-Egiptuses saavutas arhitektuur kõrge arengutaseme. Suurejooneliste püramiidide ja templite ehitamiseks, kujundite pikkuste, pindalade ja mahtude arvutamiseks oli vaja tunda aritmeetikat. Papüüruste dešifreeritud teabest said teadlased teada, et egiptlastel oli 4000 aastat tagasi kümnendarvu (kuid mitte positsiooniline) arvusüsteem, nad suutsid lahendada palju ehituse, kaubanduse ja sõjaliste küsimustega seotud probleeme.

Slaid 8

Kuueteistkümnendmurrud
Vanas Babülonis eelistati konstantset nimetajat 60. Kreeka ja Araabia matemaatikud ja astronoomid kasutasid Babülonist päritud seksagesimaalseid murde. Teadlased selgitavad seksagesimaalarvusüsteemi ilmumist babüloonlaste seas erinevalt. Tõenäoliselt võeti siin arvesse baasi 60, mis on 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60 kordne, mis lihtsustab oluliselt igasuguseid arvutusi. Selles suhtes saab kuuekümnendmurdu võrrelda meie kümnendmurdudega. Sõnade "kuuekümnendikud", "kolm tuhat kuus sajandikku" asemel öeldi lühidalt: "esimesed väikesed osad", "teised väikesed osad". Sellest tulid meie sõnad "minut" (ladina keeles "väiksem") ja "teine" (ladina keeles "teine"). Seega on Babüloonia murdude märkimise viis säilitanud oma tähenduse tänapäevani.

Slaid 9

"Egiptuse fraktsioonid"
Vana-Egiptuses olid mõnedel murdudel oma erilised nimed – nimelt 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 ja 1/8, mis praktikas sageli esinevad. Lisaks teadsid egiptlased, kuidas opereerida 1 / n tüüpi nn alikvootfraktsioonidega (ladina keelest alikvoot - mitu) - seetõttu nimetatakse neid mõnikord ka "egiptlasteks"; neil murdudel oli oma kirjapilt: piklik horisontaalne ovaal ja selle all nimetaja tähistus. Ülejäänud murrud kirjutasid nad aktsiate summana. Murd 7/8 kirjutati aktsiateks: ½+1/4+1/8.

Slaid 10

Murrud Vana-Roomas
Huvitav murdude süsteem oli Vana-Roomas. See põhines kaaluühiku jagamisel 12 osaks, mida kutsuti perse. Ässa kaheteistkümnendikku nimetati untsiks. Ja viisi, aega ja muid koguseid võrreldi visuaalse asjaga - kaaluga. Näiteks võis roomlane öelda, et kõndis seitse untsi teed või luges viis untsi raamatut. Samas polnud see muidugi ka raja või raamatu kaalumises. See tähendas, et läbiti 7/12 teest või loeti 5/12 raamatust. Ja murdude jaoks, mis saadi murdude taandamisel nimetajaga 12 või jagades kaheteistkümnendikud väiksemateks, olid spetsiaalsed nimetused.
1 Troy unts kulda on väärismetallide kaalu mõõt

slaid 11

Kümnendkohtade avastamine
Inimkond on juba mitu aastatuhandet kasutanud murdarve, kuid ta mõtles need kirjutada mugavatesse kümnendkohtadesse palju hiljem. Tänapäeval kasutame kümnendkohti loomulikult ja vabalt. Lääne-Euroopa 16. sajandil koos laialt levinud kümnendsüsteemiga täisarvude esitamiseks kasutati arvutustes kõikjal kuuekümnendmurde, mis pärinevad babüloonlaste iidsetest traditsioonidest.

slaid 12

Hollandi matemaatiku Simon Stevini helge mõistus võttis nii täis- kui ka murdarvude rekordi koondamiseks ühte süsteemi.

slaid 13

Kümnendkohtade rakendamine
17. sajandi algusest algab kümnendmurdude intensiivne tungimine teadusesse ja praktikasse. Inglismaal võeti täpp kasutusele märgina, mis eraldab täisarvu osa murdosast. Koma, nagu ka punkt, pakkus 1617. aastal eraldajaks matemaatik Napier. palju sagedamini kui tavalised murrud.
Tööstuse ja kaubanduse, teaduse ja tehnika areng nõudis järjest tülikamaid arvutusi, mida oli kümnendmurdude abil lihtsam teostada. Kümnendmurrud võeti laialdaselt kasutusele 19. sajandil pärast nendega tihedalt seotud mõõtude ja kaalude meetrilise süsteemi kasutuselevõttu. Näiteks meie riigis, põllumajanduses ja tööstuses, kasutatakse kümnendmurde ja nende konkreetset vormi - protsenti - palju sagedamini kui tavalisi murde.

Slaid 14

Kümnendkohtade rakendamine
17. sajandi algusest algab kümnendmurdude intensiivne tungimine teadusesse ja praktikasse. Inglismaal võeti täpp kasutusele märgina, mis eraldab täisarvu osa murdosast. Koma, nagu ka punkt, pakkus 1617. aastal eraldajaks matemaatik Napier. Tööstuse ja kaubanduse, teaduse ja tehnika areng nõudis järjest tülikamaid arvutusi, mida oli kümnendmurdude abil lihtsam teostada. Kümnendmurrud võeti laialdaselt kasutusele 19. sajandil pärast nendega tihedalt seotud mõõtude ja kaalude meetrilise süsteemi kasutuselevõttu. Näiteks meie riigis, põllumajanduses ja tööstuses, kasutatakse kümnendmurde ja nende konkreetset vormi - protsenti - palju sagedamini kui tavalisi murde.

slaid 15

Allikate loetelu
M.Ya.Vygodsky "Aritmeetika ja algebra iidses maailmas". G.I.Gleizer "Matemaatika ajalugu koolis". I.Ya.Depman "Aritmeetika ajalugu". Vilenkin N.Ya. "Murdude ajaloost" Fridman L.M. "Matemaatika õppimine" Fraktsioonid Babülonis, Egiptuses, Roomas. Kümnendkohtade avastamine... prezentacii.com›Ajalugu›Komakohtade avastamine...matemaatika "Murrud Babülonis, Egiptuses, Roomas. Kümnendkohtade avastamine... ppt4web.ru›…drobi…rime…desjatichnykh-drobejj.html Murrud Babülon, Egiptus, Rooma. Kümnendmurdude avastamine"...powerpt.ru›…drobi-v…rime…desyatichnyh-drobey.html Egiptus, Vana-Rooma, Babülon. Kümnendmurdude avastamine."... uchportal.ru›Metoodilised arengud›Kümnendmurdude avastamine. Matemaatika ajalugu: ...Rooma, Babülon. Kümnendmurdude avastamine... rusedu.ru›detail_23107.html 9Esitlus: .. .Vana-Rooma, Babülon Kümnendkohtade avastamine... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ Murrud Babülonis, Egiptus, Rooma kümnendkohtade avastamine... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej…

Murrud peetakse tänapäevani üheks kõige raskemaks matemaatika osaks. Murdude ajalugu on rohkem kui üks aastatuhandel. Võimalus terviku osadeks jagada tekkis Vana-Egiptuse ja Babüloni territooriumil. Aastatega muutusid murdosadega tehtavad toimingud keerulisemaks, muutus nende salvestamise vorm. Igal neist oli selle matemaatikaharuga "suhtes" oma omadused.

Mis on murdosa?

Kui tekkis vajadus jagada tervik ilma tarbetute pingutusteta osadeks, tekkisid murdosad. Murdude ajalugu on lahutamatult seotud utilitaarsete probleemide lahendamisega. Mõistel "fraktsioon" on araabia juured ja see pärineb sõnast, mis tähendab "murda, jaga". Alates iidsetest aegadest on selles mõttes vähe muutunud. Tänapäevane definitsioon on järgmine: murd on ühiku osa või osade summa. Vastavalt sellele kujutavad näited murdosadega matemaatiliste toimingute järjestikust täitmist arvude murdosadega.

Tänapäeval on nende salvestamiseks kaks võimalust. tekkisid erinevatel aegadel: esimesed on iidsemad.

Tuli iidsetest aegadest

Esimest korda hakkasid nad fraktsioonidega opereerima Egiptuse ja Babüloni territooriumil. Kahe osariigi matemaatikute lähenemises oli olulisi erinevusi. Algus oli aga seal ja seal sama. Esimene murd oli pool või 1/2. Siis tuli veerand, kolmandik jne. Arheoloogiliste väljakaevamiste kohaselt on fraktsioonide tekkimise ajalugu umbes 5 tuhat aastat. Esmakordselt leitakse arvu murdosasid Egiptuse papüürustest ja Babüloonia savitahvlitelt.

Iidne Egiptus

Tavaliste murdude tüübid hõlmavad tänapäeval niinimetatud egiptuse murde. Need on mitme vormi 1/n liikme summa. Lugeja on alati üks ja nimetaja on naturaalarv. Sellised fraktsioonid ilmusid Vana-Egiptuses, ükskõik kui raske seda on arvata. Kõikide aktsiate arvutamisel üritati need selliste summadena (näiteks 1/2 + 1/4 + 1/8) alla kirjutada. Ainult murdudel 2/3 ja 3/4 olid eraldi tähised, ülejäänud jagunesid terminiteks. Seal olid spetsiaalsed tabelid, kus arvu murded esitati summana.

Vanim teadaolev viide sellisele süsteemile on leitud Rhinda matemaatilisest papüürusest, mis pärineb teise aastatuhande algusest eKr. See sisaldab murdude ja matemaatikaülesannete tabelit koos lahenduste ja vastustega, mis on esitatud murdude summadena. Egiptlased teadsid, kuidas arvu murde liita, jagada ja korrutada. Murrud Niiluse orus kirjutati hieroglüüfide abil.

Muistsele Egiptusele iseloomulikku arvu murdosa esitamist terminite summana kujul 1/n kasutasid matemaatikud mitte ainult sellel maal. Kuni keskajani kasutati Kreekas ja teistes osariikides Egiptuse fraktsioone.

Matemaatika areng Babülonis

Matemaatika nägi Babüloonia kuningriigis välja teistsugune. Murdude tekkelugu on siin otseselt seotud numbrisüsteemi tunnustega, mille muistne riik pärandas oma eelkäijalt, Sumeri-Akadi tsivilisatsioonilt. Babüloonias oli arvutustehnika mugavam ja täiuslikum kui Egiptuses. Matemaatika lahendas siin riigis palju laiemaid probleeme.

Babüloonlaste saavutusi võib tänapäeval hinnata säilinud kiilkirjaga täidetud savitahvlite järgi. Materjali omaduste tõttu on neid meieni jõudnud palju. Mõnede arvates avastati Babülonis enne Pythagorast tuntud teoreem, mis kahtlemata annab tunnistust teaduse arengust selles iidses riigis.

Murrud: murdude ajalugu Babülonis

Numbrisüsteem Babülonis oli seksagesiaalne. Iga uus kategooria erines eelmisest 60 võrra. Selline süsteem on tänapäeva maailmas säilinud aja ja nurkade näitamiseks. Murrud olid samuti seksagesimaalsed. Salvestamiseks kasutati spetsiaalseid ikoone. Nagu Egiptuses, sisaldasid murdnäidised 1/2, 1/3 ja 2/3 jaoks eraldi sümboleid.

Babüloonia süsteem ei kadunud koos riigiga. 60. süsteemis kirjutatud murde kasutasid iidsed ja araabia astronoomid ja matemaatikud.

Vana-Kreeka

Vana-Kreekas tavaliste murdude ajalugu eriti ei rikastatud. Hellase elanikud uskusid, et matemaatika peaks toimima ainult täisarvudega. Seetõttu murdosadega väljendeid Vana-Kreeka traktaatide lehtedel praktiliselt ei esinenud. Teatud panuse sellesse matemaatika harusse andsid aga pütagoorlased. Nad mõistsid murde suhet või proportsioone ning pidasid ka ühikut jagamatuks. Pythagoras ja tema õpilased koostasid üldise murdude teooria, õppisid sooritama kõiki nelja aritmeetilist tehtet, samuti võrdlema murde, taandades need ühisele nimetajale.

Püha Rooma impeerium

Rooma murdude süsteemi seostati kaalumõõduga, mida kutsuti "perse". See jagunes 12 aktsiaks. 1/12 assa nimetati untsiks. Murdnimesid oli 18. Siin on mõned neist:

semis - pool assast;

sextante — kuues assa;

poolunts - pool untsi või 1/24 perset.

Sellise süsteemi ebamugavus seisnes selles, et arvu ei olnud võimalik esitada murdena, mille nimetaja on 10 või 100. Rooma matemaatikud said raskusest üle protsentide kasutamisega.

Harilike murdude kirjutamine

Antiikajal kirjutati murde juba tuttaval viisil: üks arv teise kohal. Siiski oli üks oluline erinevus. Lugeja oli nimetajast allpool. Esimest korda hakati murde sel viisil kirjutama Vana-Indias. Araablased hakkasid meie jaoks kasutama moodsat viisi. Kuid ükski neist rahvastest ei kasutanud lugeja ja nimetaja eraldamiseks horisontaalset joont. See ilmub esmakordselt Pisa Leonardo, paremini tuntud kui Fibonacci, kirjutistes 1202. aastal.

Hiina

Kui tavaliste murdude tekkimise ajalugu algas Egiptuses, siis kümnendkohad ilmusid esmakordselt Hiinas. Taevaimpeeriumis hakati neid kasutama umbes 3. sajandist eKr. Kümnendmurdude ajalugu sai alguse Hiina matemaatikust Liu Huist, kes soovitas neid ruutjuurte eraldamisel kasutada.

3. sajandil pKr hakati Hiinas kaalu ja mahu arvutamiseks kasutama kümnendmurde. Tasapisi hakkasid nad üha sügavamale matemaatikasse tungima. Euroopas hakati aga kümnendkohti kasutama palju hiljem.

Al-Kashi Samarkandist

Olenemata Hiina eelkäijatest avastas kümnendmurrud iidse Samarkandi linna astronoom al-Kashi. Ta elas ja töötas 15. sajandil. Teadlane kirjeldas oma teooriat traktaadis "Aritmeetika võti", mis avaldati 1427. aastal. Al-Kashi tegi ettepaneku kasutada murdude jaoks uut tähistusvormi. Nii täis- kui ka murdosa kirjutati nüüd ühele reale. Samarkandi astronoom ei kasutanud nende eraldamiseks koma. Ta kirjutas täisarvu ja murdosa erinevates värvides, kasutades musta ja punast tinti. Mõnikord kasutas al-Kashi nende eraldamiseks ka vertikaalset joont.

Euroopas kümnendkohad

Uut tüüpi murrud hakkasid Euroopa matemaatikute töödesse ilmuma alates 13. sajandist. Tuleb märkida, et nad ei tundnud al-Kashi teoseid ega ka hiinlaste leiutist. Jordan Nemorariuse kirjutistes ilmusid kümnendmurrud. Siis kasutati neid juba 16. sajandil.Prantsuse teadlane kirjutas matemaatilise kaanoni, mis sisaldas trigonomeetrilisi tabeleid. Nendes kasutas Viet kümnendmurde. Täis- ja murdosa eraldamiseks kasutas teadlane vertikaalset joont, aga ka erinevat kirjasuurust.

Need olid aga vaid teadusliku kasutuse erijuhud. Igapäevaprobleemide lahendamiseks hakati Euroopas kümnendmurde kasutama mõnevõrra hiljem. See juhtus tänu Hollandi teadlasele Simon Stevinile 16. sajandi lõpus. Ta avaldas 1585. aastal matemaatilise töö "Kümnes". Selles kirjeldas teadlane kümnendmurdude kasutamise teooriat aritmeetikas, rahasüsteemis ning mõõtude ja kaalude määramisel.

Punkt, punkt, koma

Stevin ei kasutanud ka koma. Ta eraldas murdosa kaks osa, kasutades ringikujulist nulli.

Esimest korda eraldas koma kaks kümnendmurru osa alles 1592. aastal. Inglismaal kasutati aga hoopis punkti. Ameerika Ühendriikides kirjutatakse kümnendmurrud endiselt sellisel viisil.

Üheks algatajaks mõlema kirjavahemärgi kasutamisel täis- ja murdosade eraldamiseks oli Šoti matemaatik John Napier. Oma ettepaneku tegi ta 1616.–1617. Koma kasutas ka üks saksa teadlane

Murrud Venemaal

Venemaa pinnal oli esimene matemaatik, kes visandas terviku osadeks jagamise Novgorodi munk Kirik. Aastal 1136 kirjutas ta teose, milles kirjeldas "aastate arvutamise" meetodit. Kirik tegeles kronoloogia ja kalendri küsimustega. Oma töös tõi ta välja ka tunni jagamise osadeks: viiendikuteks, kahekümneviiendikuteks jne.

Terviku osadeks jagamist kasutati maksusumma arvutamisel XV-XVII sajandil. Kasutati liitmise, lahutamise, jagamise ja korrutamise tehteid murdosadega.

Sõna "fraktsioon" ilmus Venemaal VIII sajandil. See pärineb tegusõnast "purustama, osadeks jagama". Meie esivanemad kasutasid murdude nimetamiseks spetsiaalseid sõnu. Näiteks 1/2 määrati pooleks või pooleks, 1/4 - neli, 1/8 - pool tundi, 1/16 - pool tundi ja nii edasi.

Täielik murdude teooria, mis ei erine palju tänapäevasest, esitati esimeses aritmeetikaõpikus, mille kirjutas 1701. aastal Leonti Filippovitš Magnitski. "Aritmeetika" koosnes mitmest osast. Murdudest räägib autor üksikasjalikult rubriigis “Katkijoonte arvust või murdudega”. Magnitski annab tehteid "katkiste" numbritega, nende erinevad tähised.

Tänapäeval on murrud endiselt matemaatika kõige raskemate osade hulgas. Ka murdude ajalugu polnud lihtne. Erinevad rahvad, mõnikord üksteisest sõltumatult ja mõnikord oma eelkäijate kogemusi laenates, jõudsid vajaduseni tutvustada, meisterdada ja kasutada arvu murde. Murdude õpetus on alati välja kasvanud praktilistest tähelepanekutest ja tänu pakiliste probleemidele. Oli vaja leiba jagada, võrdsed maatükid maha märkida, makse arvestada, aega mõõta jne. Murdude ja nendega tehtavate matemaatiliste toimingute kasutamise tunnused sõltusid osariigi arvusüsteemist ja matemaatika üldisest arengutasemest. Ühel või teisel viisil, olles ületanud rohkem kui tuhat aastat, on arvude murdudele pühendatud algebra osa moodustunud, arenenud ja seda kasutatakse tänapäeval edukalt mitmesuguste praktiliste ja teoreetiliste vajaduste rahuldamiseks.

1 slaid

2 slaidi

* * http://aida.ucoz.ru Horatius "Luuleteadusest" "Albini poeg! Ütle mulle, kui võtame viis untsi ja lahutame ühe, mis siis jääb? - "Ässa kolmas osa." "Imeline! Noh, te ei raiska oma vara! Ja kui lisada eelmisele viiele üks, siis kui suur on kokku? - "Pool." (Tõlkinud M. Dmitriev.) http://aida.ucoz.ru

3 slaidi

* http://aida.ucoz.ru * Noorel roomal oli õigus! Selle ülesande lahendamisel saime ka: 5/12-1/12=1/3; 5/12+1/12=1/2. http://aida.ucoz.ru

4 slaidi

* http://aida.ucoz.ru "Piiralikult" Sünonüümid: täpne, peen, ettevaatlik, täpne, kohusetundlik, ehted, täpne, pedantne, filigraanne, puudulik. Ja see kummaline sõna "skrupulus" pärineb roomakeelsest nimest 1/288 assa - "scrupulus". http://aida.ucoz.ru

5 slaidi

* http://aida.ucoz.ru * Kasutusel olid ka sellised nimed: "semis" - pool perset, "sextans" - kuues sellest, "seven untsi" - pool untsi, see tähendab 1 /24 perset jne .d. Kokku kasutati 18 erinevat murdnimetust. Murdudega töötamiseks oli vaja meeles pidada liitmistabelit ja korrutustabelit. Seetõttu teadsid Rooma kaupmehed kindlalt, et trientsi (1/3 perse) ja sekstanide liitmisel saadakse poolik ja kui bes (2/3 perse) korrutatakse sescutioniga (2/3 untsi, st. 1/8 perset), saadakse unts. Töö hõlbustamiseks koostati spetsiaalsed tabelid, millest osa on jõudnud meieni. http://aida.ucoz.ru

6 slaidi

Pärast võitu otsustas Gaius Julius Caesar oma avangardi premeerida ja eraldas neile kõigepealt 24 untsi ja seejärel veel 36 untsi. Mitu ässa sai salk? Otsus: 24 untsi on 2 eesli ja 36 untsi on 3 eesli, üksus võttis vastu 3 + 2 = 5 eesli. Vastus: 5 perset. Miša Ivanovi probleem

7 slaidi

Angelina Glibina ülesanne Vana-Roomas autasustati auväärselt lahingus jõudu ja julgust üles näidanud sõdalasi. Mitu ässa kulus 6 sõdalase premeerimiseks, kui igaühele anti 2 ässa ja 6 untsi. Lahendus: korrutame 6 2 eesliga, saame 12 eesli - see on antud ainult 6 sõdalase kohta, siis korrutame 6 6-ga, saame 36 untsi ja ühes persis - 12 untsi, saame 3 eesli, lisame 3 12, saame 15 eesli. Vastus: 15 perse.

Murrud Vana-Roomas. Huvitav murdude süsteem oli Vana-Roomas. See põhines kaaluühiku jagamisel 12 osaks, mida kutsuti perse. Ässa kaheteistkümnendikku nimetati untsiks. Ja viisi, aega ja muid koguseid võrreldi visuaalse asjaga - kaaluga. Näiteks võis roomlane öelda, et kõndis seitse untsi teed või luges viis untsi raamatut. Sel juhul polnud muidugi tegemist tee või raamatu kaalumisega. See tähendas, et läbiti 7/12 teest või loeti 5/12 raamatust. Ja murdude jaoks, mis saadi murdude taandamisel nimetajaga 12 või jagades kaheteistkümnendikud väiksemateks, olid spetsiaalsed nimetused.

slaid 12 esitlusest "Murdude ajalugu". Arhiivi suurus koos esitlusega on 403 KB.

Matemaatika 6. klass

muude ettekannete kokkuvõte

"Revolutsiooni koonuse keha" - koonus. Täisnurkse kolmnurga r teine ​​jalg on koonuse aluse raadius. Koonuse generaatorite ühendust nimetatakse koonuse generatrixiks (ehk külgpinnaks). Aluse tippu ja piiri ühendavat segmenti nimetatakse koonuse generaatoriks. Skaneeri. Sektori nurk koonuse külgpinna kujunemisel määratakse valemiga: ? = 360° (r/l). Koonuse generatriks on kooniline pind.

"Matemaatiline ajuring" – žürii valik. Eksam. Süstimine. Kolmnurk ja ruut. protsenti. Mõelge välja matemaatiliste mõistetega. Koonus. Mitu lõiget sa tegid? Vead. Helistama. Tõsine teema. Meeskond. Murd. Kaptenite võistlus. Mis on raskem kui üks kilogramm küüsi või vatti. Anagramm. Turniiri tabel. Üles soojenema. Viis minutit. Anagrammid. Sentimeeter. Käskude esitlus. Arv, mis ei ole alg- ega liitarv. Väikseim naturaalarv.

"Paralleelsed jooned tasapinnal" - Pappus (III sajand pKr). Kaasaegne määratlus. (Eukleides). Paralleeljoonte erinevad määratlused... Elus kohtame sageli paralleelsuse mõistet. "Kaks joont, mis asuvad samal tasapinnal ja üksteisest võrdsel kaugusel." Rongiõnnetus. Lühis, elektrit pole. Paralleeljoonte ajaloost. W. Outred (1575-1660). Alustatud. Eukleides (lll sajandil eKr). Paralleelsed on ka Parthenoni (Vana-Kreeka, 447–438 eKr) sambad.

"Mõõtühikud" – mõõtühikud. Ajaühikud. Ülesanded ajaühikute suhte jaoks. Pikkusühikute ülesanded. Mis sajandil pärisorjus Venemaal kaotati. Pügmeeahvi kehapikkus. Pikkusühikud. pindalaühikud. Mahuühikud. Akvaariumi mõõtmed.

"Figuuride ala probleemid" – sõnasõnaline avaldis S ja P leidmiseks. Kirjutage üles jooniste pindala ja ümbermõõdu valemid. Ristkülikukujuline rööptahukas. Aiamaa krunt on piiratud aiaga. Ostetud 39 m vaip. Leia kogu joonise S ja P. Ruut ja ristkülik. Eraldatud on tükk maad elamu ehitamiseks. Leidke varjutatud joonise pindala. Kuurordis on bassein. Parallelepiped. Lastetoas tuleb põrand soojustada vaibaga.

"Suhe matemaatikas" - Või mis osa esimene number on teisest. Üles soojenema. Mida näitab kahe arvu suhe? Sõbralikud suhted. Mitu korda on esimene arv suurem kui teine. Mida suhtumine näitab? Õpetaja on õpilastega range. Mis osa on teise esimene number. Pikkuse suhe. Perekondlikud suhted. Massi suhe. Vastuse võib kirjutada ka kümnendkoha või protsendina. 5 m pikkusest riidetükist lõigati maha 2 m Mis osa riidetükist sai ära lõigatud?

Murdude tekkelugu

Sissejuhatus

Vajadus murdarvude järele tekkis inimesel väga varases arengujärgus. Juba mitmest tapetud loomast koosnev saakloomade jagamine jahil osalejate vahel, kui loomade arv ei osutunud jahimeeste arvu mitmekordseks, võis ürginimese viia murdarvu mõisteni.

Lisaks esemete loendamise vajadusele on inimestel iidsetest aegadest vajadus mõõta pikkust, pindala, mahtu, aega ja muid suurusi. Mõõtmiste tulemust ei ole alati võimalik väljendada naturaalarvuga ning arvesse tuleb võtta ka kasutatud mõõdiku osi. Ajalooliselt tekkisid fraktsioonid mõõtmisprotsessis.

Vajadus täpsemate mõõtmiste järele tõi kaasa selle, et esialgseid mõõtühikuid hakati jagama 2, 3 või enamaks osaks. Killustamise tulemusel saadud väiksemale mõõtühikule anti individuaalne nimi ja selle väiksema ühikuga mõõdeti juba väärtusi.

Murrud Vana-Roomas

Roomlaste seas oli peamine massi mõõtühik, samuti rahaühik oli "perse". Perse jagati 12 võrdseks osaks - untsiks. Nendest liideti kõik murrud nimetajaga 12 ehk 1 / 12, 2 / 12, 3 / 12 ... Aja jooksul hakati untse kasutama mis tahes koguste mõõtmiseks.

Nii on roomlane kaksteistkümnendmurrud, see tähendab murde, mille nimetaja on alati arv 12 . 1/12 asemel ütlesid roomlased "üks unts", 5/12 - "viis untsi" jne. Kolm untsi nimetati veerandiks, neli untsi kolmandikuks, kuus untsi pooleks.

Kasutusel oli ainult 18 erinevat fraktsiooni:

SIMIS - pool ässa;

SEKSTANCE - selle kuues aktsia;

SESSION - kaheksas;

TRIENCE – kolmandik ässast;

BES - kaks kolmandikku;

unts - perse kaheteistkümnendik;

SEMI-UNCE - pool untsi.

Murrud Vana-Egiptuses

Egiptlased nimetasid sadu sajandeid murde "katkenenud arvudeks" ja esimene murd, mille nad kohtasid, oli 1/2. Sellele järgnesid 1/4, 1/8, 1/16, ..., siis 1/3, 1/6, ..., s.o. lihtsamaid murde nimetatakse ühikuteks või põhimurrud. Nende lugeja on alati üks. Alles palju hiljem hakkasid kreeklaste, seejärel indiaanlaste ja teiste rahvaste seas kasutusele võtma üldkuju murded, mida nimetatakse harilikeks murrudeks, milles lugejaks ja nimetajaks võivad olla mis tahes naturaalarvud.

Vana-Egiptuses saavutas arhitektuur kõrge arengutaseme. Suurejooneliste püramiidide ja templite ehitamiseks, kujundite pikkuste, pindalade ja mahtude arvutamiseks oli vaja tunda aritmeetikat.

Papüüruste dešifreeritud teabest said teadlased teada, et egiptlastel oli 4000 aastat tagasi kümnendarvu (kuid mitte positsiooniline) arvusüsteem, nad suutsid lahendada palju ehituse, kaubanduse ja sõjaliste küsimustega seotud probleeme.

Üks varasemaid teadaolevaid viiteid Egiptuse murdudele on matemaatiline papüürus Rhind. Kolm vanemat teksti, mis mainivad Egiptuse murde, on Egiptuse matemaatiline nahkrull, Moskva matemaatiline papüürus ja Akhmimi puidust tahvel. Rhinda papüürus sisaldab egiptuse murdude tabelit ratsionaalarvude jaoks kujul 2/ n, samuti 84 matemaatilist ülesannet, nende lahendusi ja vastuseid, mis on kirjutatud Egiptuse murdude kujul.

Egiptlased panid hieroglüüfi ( ep, "[üks]" või re, suu) arvu kohal, et tähistada tavalistes tähistustes ühikmurdu ja pühades tekstides kasutati rida. Näiteks:

Neil olid ka erisümbolid murdude 1/2, 2/3 ja 3/4 jaoks, mida sai kasutada ka teiste murdude (suuremad kui 1/2) kirjutamiseks.

Ülejäänud murrud kirjutasid nad aktsiate summana. Nad kirjutasid murdosa kui
, kuid "+" märki ei näidatud. Ja summa
vormis registreeritud . Seetõttu on selline segaarvude rekord (ilma "+" märgita) säilinud sellest ajast peale.

Babüloonia seksagesimaalsed murded

Vana-Babüloni elanikud, umbes kolm tuhat aastat eKr, lõid meie meetrilisega sarnase mõõtsüsteemi, ainult et see ei põhine mitte arvul 10, vaid arvul 60, milles oli väiksem mõõtühik. osa kõrgemast üksusest. Seda süsteemi kasutasid täielikult aja ja nurkade mõõtmiseks babüloonlased ning me pärisime neilt tundide ja kraadide jagamise 60 minutiks ja minutite 60 sekundiks.

Teadlased selgitavad seksagesimaalarvusüsteemi ilmumist babüloonlaste seas erinevalt. Tõenäoliselt võeti siin arvesse baasi 60, mis on 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60 kordne, mis lihtsustab oluliselt igasuguseid arvutusi.

Kuuekümnendad olid babüloonlaste elus tavalised. Sellepärast nad kasutasid seksagendiaalne murrud, mille nimetajaks on alati arv 60 või selle astmed: 60 2, 60 3 jne. Selles suhtes saab kuuekümnendmurdu võrrelda meie kümnendmurdudega.

Babüloonia matemaatika mõjutas Kreeka matemaatikat. Kaasaegses teaduses on aja ja nurkade mõõtmisel säilinud jäljed Babüloonia seksagesimaalsest arvusüsteemist. Tänaseni on säilinud jaotus tund 60 minutiks, minut 60 sekundiks, ring 360 kraadiks, kraad 60 minutiks, minut 60 sekundiks.

Babüloonlased andsid väärtusliku panuse astronoomia arengusse. Seksagesimaalseid murde kasutasid astronoomias kõigi rahvaste teadlased kuni 17. sajandini, nimetades neid astronoomiline fraktsioonid. Seevastu üldmurrud, mida me kasutame, nimetati tavaline.

Numeratsioon ja murded Vana-Kreekas

Kuna kreeklased tegelesid murdudega vaid juhuslikult, kasutasid nad erinevaid tähistusi. Vana-Kreeka matemaatikute seas kuulsaimad aritmeetikud Heron ja Diophantus kirjutasid murde tähestikulises vormis, nimetaja all oli lugeja. Kuid põhimõtteliselt eelistati kas ühe lugejaga murde või seksagesimaalseid murde.

Murdarvude kreeka tähistuse puudujäägid, sealhulgas kuuekümnendmurdude kasutamine kümnendarvude süsteemis, ei olnud tingitud aluspõhimõtete puudustest. Kreeka arvusüsteemi puudujääkide arvele võib panna pigem nende kangekaelne ranguseiha, mis suurendas märgatavalt raskusi, mis on seotud võrreldamatute suuruste suhte analüüsiga. Kreeklased mõistsid sõna "arv" ühikute kogumina, nii et seda, mida me praegu peame üheks ratsionaalarvuks – murdarvuks, mõistsid kreeklased kahe täisarvu suhtena. See seletab, miks harilikud murrud olid kreeka aritmeetikas haruldased.

Murrud Venemaal

17. sajandi vene käsitsi kirjutatud aritmeetikas nimetati murde murdudeks, hiljem "katkearvudeks". Vanadest juhenditest leiame Venemaal järgmised murdude nimed:

1/2 - pool, pool

1/3 - kolmas

1/4 - neli

1/6 - pool kolmandikku

1/8 - pool 1 tundi

1/12 - pool kolmandikku

1/16 - pool tundi

1/24 - pool kolmandikku (väike kolmandik)

1/32 - pool ja pool ja pool (väike veerand)

1/5 - viis

1/7 - nädal

1/10 - kümnis

Slaavi numeratsiooni kasutati Venemaal kuni 16. sajandini, seejärel hakkas järk-järgult riiki tungima kümnendkohanumbrite süsteem. Lõpuks asendas ta Peeter I all slaavi numeratsiooni.

Murrud teistes antiikseisundites

Hiina keeles “Matemaatika üheksas osas” toimuvad juba murdarvude vähendamised ja kõik toimingud murdudega.

India matemaatiku Brahmagupta juures leiame üsna arenenud murdude süsteemi. Tal on erinevaid murde: nii põhi- kui ka suvalise lugejaga tuletisi. Lugeja ja nimetaja kirjutatakse samamoodi nagu praegu, kuid ilma horisontaalse jooneta, vaid asetatakse lihtsalt üksteise kohale.

Araablased olid esimesed, kes eraldasid tulpa abil lugeja nimetajast.

Pisa Leonardo kirjutab juba murde üles, asetades segaarvu korral paremale täisarvu, kuid loeb seda nii nagu meil tavaliselt. Jordan Nemorarius (XIII sajand) jagab murde, jagades lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga, võrdledes jagamist korrutamisega. Selleks peate täiendama esimese murru tingimusi teguritega:

XV-XVI sajandil omandab murdude õpetus meile juba tuttava vormi ja võtab kuju ligikaudu nendes lõikudes, mida meie õpikutes leidub.

Tuleb märkida, et aritmeetika jagamine murdude järgi on pikka aega olnud üks raskemaid. Pole ime, et sakslased pidasid kinni ütlusest: "Murdudeks kukkuda", mis tähendas - minna lootusetusse olukorda. Usuti, et kes ei oska murde, ei oska ka aritmeetikat.

Kümnendkohad

Kümnendmurrud ilmusid araabia matemaatikute töödesse keskajal ja iseseisvalt Vana-Hiinas. Kuid isegi varem, iidses Babülonis, kasutati sama tüüpi fraktsioone, ainult seksagesimaalseid.

Hiljem avaldas teadlane Hartmann Beyer (1563-1625) essee “Decimal Logistics”, kus ta kirjutas: “... Märkasin, et tehnikud ja käsitöölised väljendavad mistahes pikkust mõõtes väga harva ja ainult erandjuhtudel seda täisarvudes. sama nimega; tavaliselt peavad nad võtma kas väikseid meetmeid või kasutama murdosasid. Samamoodi mõõdavad astronoomid suurusi mitte ainult kraadides, vaid ka kraadide murdosades, s.o. minutid, sekundid jne. Nende jagamine 60 osaks ei ole nii mugav kui 10, 100 osaks jne jagamine, sest viimasel juhul on palju lihtsam liita, lahutada ja üldiselt aritmeetilisi tehteid sooritada; Mulle tundub, et kümnendkohad, kui need kuuekümnendsüsteemi asemel kasutusele võtta, oleksid kasulikud mitte ainult astronoomia, vaid ka igasuguste arvutuste jaoks.

Tänapäeval kasutame kümnendkohti loomulikult ja vabalt. See aga, mis meile tundub loomulik, oli keskaja teadlastele tõeliseks komistuskiviks. Lääne-Euroopa 16. sajandil koos laialt levinud kümnendsüsteemiga täisarvude esitamiseks kasutati arvutustes kõikjal kuuekümnendmurde, mis pärinevad babüloonlaste iidsetest traditsioonidest. Hollandi matemaatiku Simon Stevini helge mõistus võttis nii täis- kui ka murdarvude rekordi koondamiseks ühte süsteemi. Ilmselt andsid kümnendmurdude loomise tõuke tema koostatud liitintressi tabelid. 1585. aastal avaldas ta raamatu "Kümnis", milles selgitas kümnendmurde.

17. sajandi algusest algab kümnendmurdude intensiivne tungimine teadusesse ja praktikasse. Inglismaal võeti täpp kasutusele märgina, mis eraldab täisarvu osa murdosast. Koma, nagu ka punkt, pakkus 1617. aastal eraldajaks matemaatik Napier.

Tööstuse ja kaubanduse, teaduse ja tehnika areng nõudis järjest tülikamaid arvutusi, mida oli kümnendmurdude abil lihtsam teostada. Kümnendmurrud võeti laialdaselt kasutusele 19. sajandil pärast nendega tihedalt seotud mõõtude ja kaalude meetrilise süsteemi kasutuselevõttu. Näiteks meie riigis, põllumajanduses ja tööstuses, kasutatakse kümnendmurde ja nende konkreetset vormi - protsenti - palju sagedamini kui tavalisi murde.

Kirjandus:

M.Ya.Vygodsky "Aritmeetika ja algebra antiikmaailmas" (M. Nauka, 1967)

G.I. Glazer “Matemaatika ajalugu koolis” (M. Education, 1964)

I.Ya.Depman "Aritmeetika ajalugu" (M. Enlightenment, 1959)