ترکیبی

اهداف درس:

• دریابید که ترکیبیات چه چیزی را مطالعه می کند
• دریابید که ترکیبیات چگونه به وجود آمد
• فرمول های ترکیبیات را بیاموزید و یاد بگیرید که چگونه آنها را در حل مسائل به کار ببرید

پیدایش ترکیبیات به عنوان شاخه ای از ریاضیات با آثار بلز پاسکال و پیر فرما در مورد نظریه قمار همراه است.

بلز پاسکال

پیر فرما

سهم بزرگی در توسعه روش های ترکیبی توسط G.V. لایب نیتس، جی. برنولی و ال. اویلر.

G.V. لایب نیتس

ال اویلر.

آی. برنولی

لما بگذارید m عنصر در مجموعه A و n عنصر در مجموعه B وجود داشته باشد. سپس تعداد تمام جفت های متمایز (a,b) که در آن a\in A,b\در B برابر با mn خواهد بود. اثبات در واقع، با یک عنصر از مجموعه A می توانیم n جفت چنین متفاوت بسازیم و در مجموع m عنصر در مجموعه A وجود دارد.

جایگذاری ها، جایگشت ها، ترکیب ها فرض کنید مجموعه ای از سه عنصر a,b,c داریم. از چه راه هایی می توانیم دو مورد از این عناصر را انتخاب کنیم؟ ab,ac,bc,ba,ca,cb.

جایگشت ما آنها را به همه روش های ممکن دوباره مرتب می کنیم (تعداد اشیا بدون تغییر باقی می ماند، فقط ترتیب آنها تغییر می کند). ترکیب های به دست آمده جایگشت نامیده می شوند و تعداد آنها است پ.ن = n =1 · 2 · 3 · ... · ( n-1) n

نماد n! فاکتوریل نامیده می شود و حاصلضرب تمام اعداد صحیح از 1 تا n را نشان می دهد. طبق تعریف، آنها این را در نظر می گیرند 0!=1 1!=1 نمونه ای از همه جایگشت های n=3 شی (شکل های مختلف) در تصویر آمده است. طبق فرمول باید دقیقاً P3=3!=1⋅2⋅3=6 وجود داشته باشد و اینطور می شود.

با افزایش تعداد اشیا، تعداد جایگشت ها خیلی سریع رشد می کند و به تصویر کشیدن آنها به صورت بصری دشوار می شود. به عنوان مثال، تعداد جایگشت های 10 مورد قبلاً 3628800 است (بیش از 3 میلیون!).

اقامتگاه ها اجازه دهید n شی مختلف وجود داشته باشد. ما از بین آنها m اشیاء را انتخاب می کنیم و آنها را به همه روش های ممکن در بین خود مرتب می کنیم (یعنی هم ترکیب اشیاء انتخاب شده و هم ترتیب آنها تغییر می کند). ترکیب های حاصل را قرار دادن n شی با m می نامند و تعداد آنها برابر است Aⁿm =n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

تعریف. با قرار دادن مجموعه ای از n عنصر متمایز بر روی m عنصر (m ≤ ن) تماس گرفت ترکیبات که از n عنصر داده شده توسط m عنصر تشکیل شده اند و یا در خود عناصر یا در ترتیب عناصر با هم تفاوت دارند.

ترکیبات اجازه دهید n شی مختلف وجود داشته باشد. ما از بین آنها به روش های ممکن m شی انتخاب می کنیم (یعنی ترکیب اشیاء انتخاب شده تغییر می کند، اما ترتیب مهم نیست). ترکیب های به دست آمده را ترکیبی از n شی با m می نامند و تعداد آنها برابر است Cmn=n!(n−m)!⋅m!

نمونه ای از تمام ترکیبات n=3 شی (شکل های مختلف) با m=2- در تصویر زیر. طبق فرمول، باید دقیقاً C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3 وجود داشته باشد. واضح است که همیشه ترکیبات کمتری نسبت به قرارگیری وجود دارد (چون ترتیب برای قرارگیری مهم است، اما برای ترکیب ها نه) و دقیقاً بر حسب m است! بار، یعنی فرمول رابطه صحیح است: Amn=Cmn⋅PM.

روش 1. 2 نفر در یک بازی شرکت می کنند، بنابراین، باید محاسبه کنید که به چند روش می توانید از 15 نفر 2 نفر را انتخاب کنید و ترتیب این جفت ها مهم نیست. ما از فرمول برای یافتن تعداد ترکیبات (نمونه هایی که فقط در ترکیب متفاوت هستند) از n عنصر مختلف توسط m عنصر استفاده می کنیم.

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n، برای n=2، m=13.

روش 2.بازیکن اول 14 بازی (با 2، 3، 4 و غیره تا پانزدهم) انجام داد، بازیکن دوم 13 بازی (سوم، چهارم و غیره تا پانزدهم) انجام داد، ما این واقعیت را استثنا می کنیم که قبلاً یک بازی وجود داشته باشد. بازی با اولین)، بازیکن سوم - 12 بازی، 4 - 11 بازی، 5 - 10 بازی، 6 - 9 بازی، 7 - 8 بازی، 8 - 7 بازی،

و 15 در حال حاضر با همه بازی کرده است.

مجموع: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 بازی

پاسخ. 105 مهمانی

معلم ریاضیات آکسنووا سوتلانا والریونا

مدرسه متوسطه بوگروفسکایا منطقه وسوولوژسکی منطقه لنینگراد

اسلاید 1

اسلاید 2

اسلاید 3

اسلاید 4

اسلاید 5

اسلاید 6

اسلاید 7

اسلاید 8

اسلاید 9

اسلاید 10

اسلاید 11

اسلاید 12

اسلاید 13

اسلاید 14

اسلاید 15

اسلاید 16

اسلاید 17

اسلاید 18

اسلاید 19

اسلاید 20

اسلاید 21

اسلاید 22

اسلاید 23

اسلاید 24

ارائه با موضوع "تحلیل گسسته. ترکیبیات. جایگشت" را می توان کاملاً رایگان در وب سایت ما بارگیری کرد. موضوع پروژه: انفورماتیک. اسلایدها و تصاویر رنگارنگ به شما کمک می کند همکلاسی ها یا مخاطبان خود را علاقه مند نگه دارید. برای مشاهده مطالب از پخش کننده استفاده کنید یا در صورت تمایل به دانلود گزارش بر روی متن مناسب زیر پلیر کلیک کنید. ارائه شامل 24 اسلاید است.

اسلایدهای ارائه

اسلاید 1

تجزیه و تحلیل گسسته

سخنرانی 3 ترکیبیات. جایگشت

اسلاید 2

جایگشت

اجازه دهید مجموعه ای از n عنصر داده شود. ترتیب این عناصر جایگشت نامیده می شود. گاهی اوقات "از n عنصر" اضافه می شود. معمولاً یک ترتیب، پایه یا طبیعی، متمایز می شود که به آن جایگشت بی اهمیت می گویند. عناصر مجموعه A برای ما جالب نیستند. اغلب، اعداد صحیح از 1 تا n یا از 0 تا n-1 به عنوان عناصر در نظر گرفته می شوند. مجموعه جایگشت های n عنصر را با Pn و کاردینالیته آن را با Pn نشان دهید. بیایید همان سه سوال را بپرسیم: Pn برابر با چیست، چگونه روی عناصر Pn تکرار کنیم، چگونه آنها را دوباره شماره گذاری کنیم.

اسلاید 3

قضیه تعداد جایگشت ها

تعداد جایگشت های n عنصر n است! - حاصل ضرب اعداد از 1 تا n. (n! می خواند n-factorial) اثبات. با القاء برای n=1 فرمول واضح است که درست است. بگذارید برای n-1 درست باشد، ما ثابت خواهیم کرد که برای n نیز صادق است. اولین عنصر ترتیب را می توان به n روش انتخاب کرد و بقیه را می توان به روشی به اولین عنصر انتخاب شده نسبت داد. بنابراین فرمول Pn= Pn-1n صحیح است. اگر Pn-1=(n-1)!، پس Pn=n!

اسلاید 4

شماره گذاری جایگشتی

برای برشمردن جایگشت ها، مجموعه Pn را یک به یک به مجموعه Tn دیگری نگاشت می کنیم که بر روی آن شمارش بسیار آسان تر خواهد بود و سپس برای هر عنصر pPn عدد تصویر آن را در Tn به عنوان عدد در نظر می گیریم. . مجموعه Tn حاصل ضرب مستقیم چند قطعه عددی است Tn =(0:(n-1))(0:(n-2) ... (0) یعنی هر عنصر Tn یک مجموعه است. از اعداد غیر منفی i1، i2، …، in-1، in و iknk.

اسلاید 5

نمایش دادن

یک جایگشت بردارید و یک جایگشت بی اهمیت را در کنار آن بنویسید. به عنوان اولین شاخص، جای اولین عنصر (شمارش از صفر) را در جایگشت بی اهمیت می گیریم. به جای یک جایگشت بی اهمیت، یک رشته از کاراکترهای باقی مانده را بنویسیم. به عنوان شاخص دوم، جای عنصر دوم جایگشت را در این ردیف بگیرید. بیایید روند را تا انتها تکرار کنیم. بدیهی است که شاخص k ام کمتر از طول ردیف k و آخرین شاخص برابر با صفر خواهد بود. بیایید این روند را با یک مثال ببینیم.

اسلاید 6

نمایش نمونه

0 1 2 3 4 5 6 Index cadfgbeabcdefg 2 2 adfgbeabdefg 0 2 0 dfgbebdefg 1 2 0 1 fgbebefg 2 2 0 1 2 gbebeg 2 2 0 1 0 2 20 0 be بدیهی است که این فرآیند برگشت پذیر است و نگاشت معکوس، جایگشت اولیه را از مجموعه شاخص ها می سازد.

اسلاید 7

شماره گذاری مجموعه Tn

هر محصول مستقیم مجموعه های مرتب شده را می توان به عنوان یک سیستم اعداد با پایه متغیر مشاهده کرد. به مثال ثانیه‌ای از سخنرانی اول فکر کنید، یا مقیاس اندازه قدیمی را در نظر بگیرید: 1 یارد = 3 فوت، 1 فوت = 12 اینچ، 1 اینچ = 12 خط، 1 خط = 6 امتیاز. (2، 0، 4، 2، 3) = 2 یارد 0 فوت 4 اینچ 2 خط 3 امتیاز، چند امتیاز است؟ باید بشمارید (این طرح هورنر نامیده می شود) ((2  3+0)  12+4)  12+2)  6+3

اسلاید 8

شماره گذاری مجموعه Tn - 2

فرمول # که عدد مجموعه شاخص‌های i1, i2, ..., in-1, in را پیدا می‌کند، ترجیح می‌دهیم به شکل عبارات بازگشتی #(i1, i2, ..., in) = a بنویسیم. (i1, i2, ..., in-1, n-1); a(i1, i2, …, ik,k) = a(i1, i2, …, ik-1,k-1)(n-k+1)+ ik; a (خالی، 0) = 0; طبق این فرمول #(2,0,1,2,2,0,0) = a(2,0,1,2,2,0,6). ما a(2,1)=2 داریم. a(2,0,2) = 26+0=12; a(2,0,1,3)=125+1=61; a(2,0,1,2,4) =614+2=246; a(2,0,1,2,2,5) =2463+2=740; a(2,0,1,2,2,0,6) =7402+0=1480;

اسلاید 9

تکرار بر روی مجموعه ای از شاخص ها

بر اساس موارد فوق، شمارش جایگشت ها آسان است: شما باید همه مجموعه های شاخص را از و برای هر مجموعه، جایگشت مربوطه را بسازید. برای برشمردن مجموعه‌ای از شاخص‌ها، توجه می‌کنیم که در واقع هر مجموعه رکورد یک عدد در یک سیستم عددی خاص با پایه متغیر است (سیستم فاکتوریل نامیده می‌شود). قوانین اضافه کردن 1 در این سیستم تقریباً به همان سادگی در باینری است: از آخرین بیت حرکت کنید، سعی کنید 1 را در بیت فعلی اضافه کنید، در صورت امکان، 1 را برای توقف اضافه کنید. اگر ممکن نیست، بیت صفر را بنویسید و به بیت بعدی بروید.

اسلاید 10

تکرار بر روی مجموعه های شاخص - 2

مثال زیر را در نظر بگیرید: 7 6 5 4 3 2 1 اینها پایه های متغیر هستند 3 4 4 2 1 1 0 3 4 4 2 2 0 0 توجه داشته باشید که در 3 4 4 2 2 1 0 هر خط با 3 4 4 3 0 شروع می شود. 0 0 مانند قبلی، 3 4 4 3 0 1 0 سپس عنصر می آید، دقیقاً 3 4 4 3 1 0 0 بزرگتر، . . . ، و 3 4 4 3 1 1 0 آنچه در زیر می آید ضروری نیست. 3 4 4 3 2 0 0 بنابراین، هر خط 3 4 4 3 2 1 0 از نظر واژگانی بزرگتر از 3 5 0 0 0 0 0 خط قبلی است. 3 5 0 0 0 0 1 0

اسلاید 11

قضیه شمارش واژگانی جایگشت ها

الگوریتم توصیف شده جایگشت ها را به ترتیب صعودی واژگانی شمارش می کند. اثبات کافی است نشان دهیم که اگر دو مجموعه شاخص I1 و I2 داشته باشیم و I1 از نظر لغوی مقدم بر I2 باشد، جایگشت (I1) از نظر لغوی مقدم بر (I2) است. این جایگشت ها به صورت متوالی تشکیل می شوند و تا زمانی که I1 و I2 با هم مطابقت داشته باشند، جایگشت های آنها نیز مشابه است. مقدار شاخص بزرگتر مربوط به یک عنصر بزرگتر است.

اسلاید 12

الگوریتم مستقیم برای شمارش واژگانی جایگشت

مقداری جایگشت p را می گیریم و مستقیماً بعدی را از نظر لغوی پیدا می کنیم. بیایید شروع را در نظر بگیریم - اولین عناصر k. در میان پسوندهای آن، حداقل شناخته شده است که در آن همه عناصر به ترتیب صعودی و حداکثر که در آن به ترتیب نزولی مرتب شده اند. برای مثال، در جایگشت p =(4، 2، 1، 7، 3، 6، 5) همه پسوندهای (4، 2، 1) بین (3، 5، 6، 7) و (7، 6، قرار دارند. 5، 3). ادامه موجود کمتر از حداکثر است و عنصر 3 همچنان می تواند بدون تغییر باقی بماند. و چهارمین هم و مورد پنجم باید تغییر کند. برای انجام این کار، از عناصر باقی مانده، باید مورد بعدی را به ترتیب انتخاب کنید، آن را در 5 قرار دهید و حداقل ادامه را تعیین کنید. معلوم می شود (4، 2، 1، 7، 5، 3، 6).

اسلاید 13

الگوریتم مستقیم برای شمارش واژگانی جایگشت - 2

اجازه دهید جایگشت های زیر را بنویسیم. (4، 2، 1، 7، 5، 3، 6) (4، 2، 1، 7، 5، 6، 3) (4، 2، 1، 7، 6، 5، 3) (4، 2، 3، 1، 5، 6، 7) (4، 2، 3، 1، 5، 7، 6) (4، 2، 3، 1، 6، 5، 7) (4، 2، 3، 1، 6 ، 7، 5) (4، 2، 3، 1، 7، 5، 6) (4، 2، 3، 1، 7، 6، 5) (4، 2، 3، 5، 1، 6، 7)

اسلاید 14

شرح رسمی الگوریتم

حالت کار: جایگشت p و علامت بولی فعال است. حالت اولیه: یک جایگشت بی اهمیت به و isActive = True نوشته می شود. مرحله استاندارد: اگر isActive است، جایگشت را به عنوان نتیجه برگردانید. با حرکت از انتها، بزرگترین پسوند کاهنده یکنواخت را در جایگشت پیدا کنید. فرض کنید k موقعیت قبل از پسوند باشد. isActive:= (k > 0) را قرار دهید. اگر isActive است، کوچکترین عنصر پسوند را که از pk بیشتر است پیدا کنید، آن را با pk عوض کنید و پسوند را «تغییر» کنید.

اسلاید 15

یک الگوریتم جایگشت دیگر

اکنون سعی می کنیم جایگشت ها را به گونه ای برشماریم که دو جایگشت متوالی تفاوت کمی با یکدیگر داشته باشند. چقدر کم؟ با یک جابجایی ابتدایی که در آن دو عنصر مجاور با هم مبادله می شوند. آیا امکان دارد؟ ما نمودار شماتیک چنین الگوریتمی را نشان خواهیم داد، برای ما جالب خواهد بود. n-1 "مکانیسم" ابتدایی را تصور کنید، که هر کدام عنصر خود را در مجموعه حرکت می دهد. در هر مرحله، مکانیسم یک تغییر به چپ یا راست انجام می دهد. با رسیدن عنصر به لبه جهت تغییر می کند. تغییر جهت یک گام طول می کشد که در طی آن مکانیسم بعدی یک گام برمی دارد که البته می تواند جهت را نیز تغییر دهد.

اسلاید 16

یکی دیگر از الگوریتم شمارش جایگشت -2

بیایید یک مثال را ببینیم. 1 2 3 4 کسانی بازی 1 2 3 4 5 که به نوبه خود ب ج د ه ج د ب ه ب ج د ه ج د ب ه ب ج د ه ج د ب E یک ب ب ج د الکترونیکی ج د ه ب ب ج د ه ب ج د ب ج ب د ه A A c، e را د الکترونیکی ب ج ب د الکترونیکی ج د ه ب ج ب د ه A A ج د ه ب ج ج ب د ب ج ب د ه ب د ه A A در روز پ E یک c، e را ب ج د ب د ه ج الکترونیکی ب ج د ب E یک روز پ E یک ب

اسلاید 17

فهرست جایگشت ها یکی

تابع ExistsNextPerm(var kCh: integer): Boolean; var iV,iP,iVC,iPC: عدد صحیح. beginresult:= نادرست; برای iV:= nV تا 2 انجام دهید اگر تعداد

اسلاید 18

مشکل حداقل مجموع محصولات زوجی

بگذارید دو مجموعه از n عدد داده شود، مثلاً (ak|k1:n) و (bk|k1:n). این اعداد به جفت (ak,bk) تقسیم می شوند و مجموع حاصلضرب های زوجی آنها k1:n akbk محاسبه می شود. می توانید شماره گذاری (ak) و (bk) را تغییر دهید. لازم است چنین شماره گذاری را انتخاب کنید که در آن مجموع حداقل باشد. در این مسئله، می‌توان تعدادی از شماره‌ها (ak) و (bk) را اصلاح کرد و به دنبال جایگشت  بود که برای آن حداقل حاصل جمع k1:n akb(k) به دست می‌آید. زمانی شماره گذاری را انتخاب می کنیم که (ak) به ترتیب صعودی و (bk) به ترتیب نزولی باشد.

اسلاید 19

قضیه در مورد حداقل مجموع محصولات زوجی

حداقل مجموع محصولات جفتی در یک جایگشت بی اهمیت به دست می آید. اثبات فرض کنید دو شاخص k و r وجود دارد به طوری که ak 0، یعنی. ar br + ak bk > ar bk + ak br . در شماره گذاری ما (ak) به ترتیب صعودی مرتب شده اند. اگر (bk) به ترتیب صعودی نباشند، همانطور که در بالا ذکر شد یک جفت k و r وجود دارد. با مرتب کردن مجدد bk و br برای این جفت، مقدار مجموع را کاهش می دهیم. از این رو، در جواب بهینه (bk) به ترتیب صعودی هستند. در ادامه با این قضیه ساده چندین بار با آن مواجه خواهیم شد.

اسلاید 20

حداکثر مشکل بعدی افزایشی

دنباله ای (ak|k1:n) از اعداد به طول n داده شده است. لازم است دنباله ای از بزرگترین طول خود را پیدا کند، که در آن اعداد (ak) به ترتیب صعودی باشند. به عنوان مثال، در دنباله 3، 2، 11، 14، 32، 16، 6، 17، 25، 13، 37، 19، 41، 12، 7، 9 حداکثر دنباله های بعدی 2، 11، 14، 16 خواهد بود. , 17, 25, 37, 41 این مشکل به جایگشت ها مربوط می شود زیرا دنباله اصلی می تواند جایگشت باشد. ما خود را به نشان دادن چگونگی حل این مشکل محدود می کنیم و رسمی سازی و توجیه الگوریتم را به مخاطب واگذار می کنیم.

اسلاید 21

یافتن حداکثر دنباله افزایشی

ما خطوط خود را تا حد امکان به لحاظ اقتصادی به دنباله‌های کاهشی تقسیم می‌کنیم (مثلاً اصلاح شده) بالای خطوطی که ترتیب را به هم نمی‌زند. بیایید عدد را از ردیف پایین، 21 بگیریم. چرا در ردیف 8 قرار دارد؟ 19 با آن تداخل دارد اما 17 با 19 تداخل دارد و 16 با آن تداخل دارد و غیره. دنباله 9، 11، 14، 16، 17، 19، 21 افزایش می یابد و دارای طول 7 است. هر دنباله ای با طول بیشتر شامل دو عدد است. از یک خط اصل دیریکله) و نمی تواند افزایش یابد.

اسلاید 22

مشکل حداقل تعداد وارونگی

دنباله ای (ak|k1:n) از اعداد به طول n داده شده است. وارونگی انعکاس آینه ای از برخی از رشته های فرعی آن است، یک دنباله فرعی پیوسته، که در محل انجام می شود. لازم است عناصر دنباله را به ترتیب صعودی برای حداقل تعداد وارونگی ها مرتب کنید. به عنوان مثال، یک جایگشت "جامد" را می توان به این شکل تبدیل کرد (حروف قرمز دوباره مرتب شده اند، حروف بزرگ قبلاً در جای خود قرار دارند)

اسلاید 23

سوالات امتحانی

جایگشت. شمارش و شماره گذاری آنها. مشکل حداقل محصول اسکالر. مشکل بزرگترین دنباله افزایشی.

اسلاید 24

1. جایگشت انتقال دو طرفه  شماره 2. جایگشتی را پیدا کنید که تعداد گام های معینی با آن داده شده فاصله دارد. 3. شمارش جایگشت ها با جابجایی های ابتدایی. 4. یک مثال برای مسئله حداقل حاصل ضرب اسکالر اجرا کنید.

نکاتی در مورد چگونگی ارائه یا گزارش پروژه خوب

1. سعی کنید مخاطب را در داستان مشارکت دهید، با استفاده از سوالات اصلی، بخش بازی، با مخاطب تعامل برقرار کنید، از شوخی نترسید و صمیمانه لبخند بزنید (در صورت لزوم).
2. سعی کنید اسلاید را به زبان خودتان توضیح دهید، حقایق جالب دیگری اضافه کنید، فقط نیازی به خواندن اطلاعات از اسلایدها ندارید، مخاطبان می توانند خودشان آن را بخوانند.
3. بدون نیاز به بارگذاری بیش از حد اسلایدهای پروژه با بلوک های متنی، تصاویر بیشتر و حداقل متن باعث انتقال بهتر اطلاعات و جلب توجه می شود. فقط اطلاعات کلیدی باید در اسلاید باشد، بقیه بهتر است شفاهی به مخاطبان بگویید.
4. متن باید به خوبی خوانا باشد، در غیر این صورت مخاطب نمی تواند اطلاعات ارائه شده را ببیند، به شدت از داستان منحرف می شود، سعی می کند حداقل چیزی را تشخیص دهد یا به طور کامل علاقه خود را از دست می دهد. برای انجام این کار، باید فونت مناسب را با در نظر گرفتن مکان و نحوه پخش ارائه انتخاب کنید و همچنین ترکیب مناسب پس‌زمینه و متن را انتخاب کنید.
5. مهم است که گزارش خود را تکرار کنید، به این فکر کنید که چگونه به مخاطبان سلام می کنید، ابتدا چه خواهید گفت، چگونه ارائه را به پایان می رسانید. همه با تجربه همراه است.
6. لباس مناسب را انتخاب کنید، زیرا. پوشش گوینده نیز نقش زیادی در درک گفتار او دارد.
7. سعی کنید با اطمینان، روان و منسجم صحبت کنید.
8. سعی کنید از اجرا لذت ببرید تا آرامش بیشتری داشته باشید و کمتر مضطرب شوید.

ارائه "تغییرها" مطالب آموزشی را برای یک درس مدرسه در مورد این موضوع ارائه می دهد. ارائه شامل تعریف جایگشت ها، مثال های گویا برای درک معنای این عملیات، شرحی از دستگاه ریاضی برای حل مسائل با جایگشت ها، مثال هایی از حل مسائل است. وظیفه ارائه این است که مطالب آموزشی را به شکلی مناسب و قابل درک به دانش آموزان منتقل کند تا به درک و حفظ بهتر آن کمک کند.

ارائه از تکنیک های خاصی برای کمک به معلم برای توضیح موضوع جدید استفاده می کند. مواد آموزشی از پیش ساخته شده است. آنها با کمک افکت های انیمیشن، با تاکید بر ویژگی های مهم مثال ها و وظایف در حین نمایش، مثال ها و وظایف را ارائه می دهند. مفاهیم مهم با رنگ هایلایت شده اند تا به خاطر سپردن آنها آسان تر شود.

پس از ارائه موضوع درس، تعریف جایگشت به عنوان ساده ترین ترکیب هایی که می توان از مجموعه خاصی از عناصر ایجاد کرد به دانش آموزان نشان داده می شود. متن با علامت تعجب به عنوان مهم برای به خاطر سپردن برجسته می شود.

در زیر نمونه ای از جایگشت روی مدادهای رنگی است که می توان آنها را به ترتیب متفاوتی قرار داد. برای انجام این کار، مدادها با حرف اول نام رنگ خود امضا می شوند: S، K، Zh. با کمک یک ارائه متحرک، گزینه های قرار دادن این مدادها به ترتیب به وضوح نشان داده می شود. در یک اسلاید، ابتدا مدادهای آبی قرار می گیرند و در کنار آنها دو گزینه قرار می گیرند - قرمز و زرد، زرد و قرمز. اسلاید بعدی گزینه هایی برای قرار دادن مداد بعد از قرمز - آبی و زرد، زرد و آبی را نشان می دهد. آخرین گزینه های ممکن بعد از زرد قرمز و آبی، آبی و قرمز هستند. پس از یک نمایش بصری، عملیات انجام شده به عنوان جایگشت سه عنصر امضا می شود. تعریف دقیق تری از جایگشت سه عنصر در اسلاید 7 جداگانه ارائه شده است. در کادر حافظه، متن برجسته شده است که هر ترتیب این عناصر به ترتیب معین، جایگشت سه عنصر نامیده می شود.

اسلاید 8 نماد جایگشت n عنصر را نشان می دهد - P n. نشان می‌دهد که جایگشت‌های سه عنصر با استفاده از مثال مدادها با جزئیات در نظر گرفته شده است، در حالی که بدیهی است که 6 جایگشت وجود خواهد داشت. رکورد ریاضی تعداد جایگشت‌ها در اسلاید مشخص شده است: P 3 = 6 . در ادامه در صفحه اشاره می شود که یک قانون ضرب ترکیبی برای یافتن تعداد جایگشت های سه عنصر وجود دارد.

در اسلاید بعدی، روش جایگشت به مراحلی تجزیه می‌شود تا قاعده‌ای برای یافتن تعداد جایگشت‌ها به دست آید. نشان داده شده است که برای محاسبه لازم است هر یک از سه عنصر را در وهله اول قرار دهید. دو امکان برای او وجود دارد که عنصر دوم را انتخاب کند. تنها گزینه باقی مانده انتخاب عنصر سوم است. به این معنی که تعداد جایگشت های 3 عنصر با ضرب 3.2.1=6 پیدا می شود. تعداد کل جایگشت های ممکن را بدست می آوریم. مشابه فرآیند جستجوی انواع جایگشت، تنوع برای n عنصر در نظر گرفته می شود.

اجازه دهید مجموعه ای از n عنصر وجود داشته باشد. برای آن، یکی از عناصر n-1 در رتبه دوم، یکی از عناصر n-2 به ترتیب در رتبه سوم قرار می گیرد و به همین ترتیب. بنابراین، می‌توانیم یک قانون کلی برای یافتن تعداد جایگشت‌های n عنصر استخراج کنیم: P n =n(n-1)(n-2).….3.2.1.

در اسلاید 11، فرمول P n به شکل P n = 1.2.3.….(n-2)(n-1)n نمایش داده می شود. بنابراین، مفهوم فاکتوریل معرفی می شود که نام آن در زیر فرمول نشان داده شده است: n!. نمونه هایی برای یافتن فاکتوریل فلان عدد در نظر گرفته می شود: 3!=1.2.3=6 و همچنین 6!=1.2.3.4.5.6=720. همچنین بیان می کند که 1!=1. متن قانون کلی برای یافتن تعداد جایگشت ها به صورت n فاکتوریل در پایین اسلاید قرار دارد.

در مرحله بعد، پیشنهاد می شود چندین مشکل برای یافتن تعداد جایگشت ها در نظر گرفته شود. در اسلاید 12، حل مشکل یافتن تعداد روش‌های تجزیه هفت توپ به هفت سلول پیشنهاد شده است. نشان داده شده است که راه حل محاسبه تعداد جایگشت های 7 عنصر است: P 7 = 7! = 5040.

اسلاید 13 حل مسئله یافتن تعداد اعداد چهار رقمی را که از 0،1،2،3 تشکیل شده اند، بحث می کند، در حالی که اعداد در یک عدد تکرار نمی شوند. راه حل در دو مرحله ارائه می شود - ابتدا تعداد همه جایگشت های 4 عنصر پیدا می شود و سپس تعداد جایگشت ها از آنها کم می شود که در آن اعداد با 0 در جلو هستند، بنابراین اعدادی که از صفر شروع می شوند چهار نخواهند بود. رقم بنابراین، راه حل به محاسبه P 4 -P 3 = 4!-3! = 18 می رسد. یعنی 18 گزینه برای تشکیل چنین اعدادی وجود دارد.

اسلاید آخر راه حل مسئله را مورد بحث قرار می دهد، که پیشنهاد می کند به تعداد روش هایی که می توان 9 صفحه را که 4 تای آنها قرمز هستند، پیدا کرد، به طوری که قرمزها در کنار یکدیگر قرار گیرند. مشکل اصلی در حل این مشکل درک این است که صفحات قرمز در این جایگشت ها باید به عنوان یکی در نظر گرفته شوند. بنابراین، راه حل به یافتن محصول P 6 .P 4 =6!.4!=17280 کاهش می یابد.

ارائه "جایگشتی ها" برای همراهی بصری توضیحات معلم در مورد موضوع "جایگزینی" در نظر گرفته شده است. ارائه دقیق و قابل فهم مطالب آموزشی می تواند در آموزش از راه دور نیز مفید باشد و وظایفی که در این مورد در نظر گرفته می شود به دانش آموز کمک می کند تا به تنهایی با راه حل مقابله کند.

مبانی ترکیبیات.

جایگیری ها، جایگشت ها،

ترکیبات

میمون شیطون

الاغ،

بز،

آره میشکا فوت پرانتزی

شروع به نواختن یک کوارتت کرد

بس کن برادران بس کن! -

میمون فریاد می زند، - صبر کن!

موسیقی چگونه پیش می رود؟

اینطوری ننشین...

و بنابراین، و بنابراین پیوند - دوباره موسیقی خوب پیش نمی رود.

اینجا، بیش از هر زمان دیگری، تحلیل آنها پیش رفت

و اختلافات

چه کسی و چگونه بنشیند ...

بدانید:

• تعاریف سه مفهوم مهم ترکیبیاتریک:
• قرار دادن n عنصر توسط m.
• ترکیبی از n عنصر توسط m.
• جایگشت n عنصر؛
• فرمول های ترکیبی پایه

قادر بودن به:

• برای تشخیص وظایف به "جایگشت"، "ترکیب"، "جایگزینی" از یکدیگر؛
• از فرمول های ترکیبی اصلی در حل ساده ترین مسائل ترکیبی استفاده کنید.

یک دسته از

یک مجموعه با اتحاد برخی از اشیاء همگن در یک کل واحد مشخص می شود.

اشیایی که یک مجموعه را تشکیل می دهند، عناصر مجموعه نامیده می شوند.

مجموعه را با قرار دادن عناصر آن در پرانتز فرفری می نویسیم ( آ, ب, ج, … , ه, f}.

در یک مجموعه، ترتیب عناصر مهم نیست، بنابراین ( آ, ب} = {ب, آ}.

مجموعه ای که حاوی هیچ عنصری نباشد نامیده می شود مجموعه تهیو با علامت ø نشان داده می شود.

یک دسته از

اگر هر عنصر از مجموعه آعنصری از مجموعه B است، سپس می گوییم که مجموعه آزیر مجموعه ای از مجموعه است V.

یک دسته از ( آ, ب) زیر مجموعه ای از مجموعه ( آ, ب, ج, … , ه, f}.

نشان داده شده است

گزینه های ممکن برای یک زیر مجموعه از مجموعه را فهرست کنید ( 3 , 4 , 5 , 7, 9 }.

ترکیب شناسی شاخه ای از ریاضیات است که به بررسی سوالاتی در مورد اینکه چند ترکیب مختلف مشروط به شرایط خاص می توانند از عناصر متعلق به یک مجموعه معین ساخته شوند، می پردازد.

ترکیب شناسی شاخه مهمی از ریاضیات است که به مطالعه الگوهای چینش، ترتیب، انتخاب و توزیع عناصر از یک مجموعه ثابت می پردازد.

قانون جمع

در صورتی که دو عمل متقابلاً غیر قابل انجام بر اساس کو مترروش ها، سپس یکی از این اقدامات را می توان انجام داد k+mراه ها.

مثال شماره 1

از شهر A به شهر B می توان با 12 قطار، 3 هواپیما، 23 اتوبوس رسید. از شهر A به شهر B چند راه می توانید بروید؟

راه حل

مثال شماره 2

n توپ رنگی در یک جعبه وجود دارد. به طور تصادفی یک توپ را بیرون بیاورید. از چند طریق می توان این کار را انجام داد؟

راه حل. قطعا، nراه ها.

حالا این n توپ در دو جعبه توزیع شده است: در جعبه اول مترتوپ، در دوم ک. به طور تصادفی یک توپ را از هر جعبه بیرون بیاورید. به چند روش مختلف می توان این کار را انجام داد؟

راه حل.

توپ را می توان از جعبه اول کشید متربه طرق مختلف، از دوم کبه طرق مختلف، مجموع N = متر + کراه ها.

قانون محصول

اجازه دهید دو عمل انجام شده یکی پس از دیگری مطابق با آن انجام شود کو مترراه ها سپس هر دوی آنها را می توان انجام داد k ∙ mراه ها.

مثال شماره 3

8 تیم هاکی در مسابقات شرکت می کنند. چند راه برای توزیع رتبه های اول، دوم و سوم وجود دارد؟

راه حل

مثال شماره 4

چند عدد دو رقمی را می توان به صورت اعشاری نوشت؟

راه حل.از آنجایی که عدد دو رقمی است، تعداد ده ها ( متر) می تواند یکی از ۹ مقدار را بگیرد: ۱،۲،۳،۴،۵،۶،۷،۸،۹. تعداد واحدها ( ک) می تواند مقادیر یکسانی داشته باشد و علاوه بر این می تواند برابر با صفر باشد. از این رو نتیجه می شود که متر= 9 و ک= 10. در مجموع اعداد دو رقمی به دست می آوریم

N= متر · ک= 9 10 = 90.

مثال شماره 5

در گروه دانش آموزی 14 دختر و 6 پسر حضور دارند. به چند روش می توان دو دانش آموز از یک جنس را برای انجام وظایف مختلف انتخاب کرد؟

راه حل.طبق قانون ضرب دو دختر می توانید 14 13 = 182 راه و دو پسر 6 5 = 30 راه انتخاب کنید. دو دانش آموز از یک جنس باید انتخاب شوند: دو دانش آموز یا دانش آموز دختر. با توجه به قانون جمع چنین انتخاب هایی،

N = 182 + 30 = 212.

انواع اتصال

مجموعه ای از عناصر نامیده می شود ترکیبات.

سه نوع اتصال وجود دارد:

• جایگشت از nعناصر؛
• اقامت از nعناصر توسط متر;
• ترکیبی از nعناصر توسط متر (متر < n).

تعریف: جایگشت از nعناصر هر مجموعه مرتب شده ای از nعناصر.

به عبارت دیگر، این مجموعه ای است که برای آن مشخص می شود که کدام عنصر در رتبه اول، کدام یک در رتبه دوم، کدام یک در رتبه سوم، ...، کدام یک در مکان n ام قرار دارد.

جایگشت

جایگشتچنین ارتباطاتی هستند nعناصری از عناصر داده شده که از نظر ترتیب عناصر با یکدیگر متفاوت هستند.

تعداد جایگشت های n عنصر با Pn نشان داده می شود.

Рn = n · ( n- یک) · ( n– 2) · … · 2 · 1 = n!

تعریف:

اجازه دهید n- عدد طبیعی. در سراسر n! (بخوانید "en factorial") عددی برابر با حاصلضرب تمام اعداد طبیعی 1 از تا را نشان می دهد n:

n! = 1 2 3 ... n.

اگر n= 0، طبق تعریف فرض می شود: 0! = 1.

فاکتوریل

مثال شماره 6

بیایید مقادیر عبارات زیر را پیدا کنیم: 1! 2 3

مثال شماره 7

چه چیزی برابر است

آ) آر 5 ;

ب) آر 3.

مثال شماره 8

ساده کردن

ب) 12! 13 14

v) κ ! · ( κ + 1)

مثال شماره 9

از چند طریق می توان 8 شرکت کننده در مسابقه نهایی را روی هشت تردمیل قرار داد؟

راه حل.

آر 8=8 = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320

محل اقامت

تعریف.اسکان از n عنصر توسط mهر مجموعه سفارش داده شده نامیده می شود مترعناصر، متشکل از عناصر مجموعه عناصر n

تعداد قرارگیری از مترعناصر توسط nایستادن برای:

با فرمول محاسبه می شود:

مثال شماره 9

دانش آموزان کلاس یازدهم 9 موضوع را مطالعه می کنند. در برنامه جلسات آموزشی یک روزه می توانید 4 موضوع مختلف قرار دهید. چند راه مختلف برای برنامه ریزی در روز وجود دارد؟

راه حل.

ما یک مجموعه 9 عنصری داریم که عناصر آن موضوعات آموزشی است. هنگام برنامه ریزی، یک زیرمجموعه 4 عنصری (از دروس) را انتخاب کرده و ترتیب آن را تنظیم می کنیم. تعداد این راه ها برابر است با تعداد قرارگیری از نه در چهار ( m=9، n=4)به این معنا که آ 94:

مثال شماره 10

از بین یک کلاس 24 نفره می توان بخشدار و معاون بخشدار را از چند طریق انتخاب کرد؟

راه حل.

ما یک مجموعه 24 عنصری داریم که عناصر آن دانش آموزان کلاس هستند. در انتخاب رئیس و معاون یک زیرمجموعه 2 عنصری (دانشجو) را انتخاب کرده و در آن نظم می دهیم. تعداد این راه ها برابر است با تعداد قرارگیری از نه در چهار ( m=24, n=2)، به این معنا که آ 242:

ترکیبات

تعریف.ترکیبی بدون تکرار از nعناصر توسط متر- به نام هر مترزیر مجموعه عنصری nمجموعه عناصر

تعداد ترکیبات n عنصر را با m نشان می دهند

و با فرمول محاسبه می شود:

مثال شماره 11

از بین یک کلاس 24 نفره دو نفر از دانشجویان به چند روش می توان انتخاب کرد؟

راه حل.

n =24, متر=2

ترکیبات

محل اقامت

جایگشت

Рn = n!

تعیین کنید که وظیفه به چه نوع اتصالاتی تعلق دارد.

1. به چند روش می توانید یک روز مدرسه را از 5 درس مختلف برنامه ریزی کنید؟

2. در کلاس 9B 12 دانش آموز وجود دارد. برای شرکت در المپیاد ریاضی از چند طریق می توان یک تیم 4 نفره تشکیل داد؟

آیا ترتیب عناصر در اتصال در نظر گرفته شده است؟

آیا همه عناصر در اتصال گنجانده شده است؟

نتیجه: جایگشت

آیا ترتیب عناصر در اتصال در نظر گرفته شده است؟

آیا همه عناصر در اتصال گنجانده شده است؟

(این سوال نیازی به پاسخ ندارد)

نتیجه گیری: ترکیبات

3. چند عدد دو رقمی مختلف وجود دارد که می توان از اعداد 1، 2، 3، 4، 5، 6 استفاده کرد، در صورتی که اعداد موجود در عدد باید متفاوت باشند؟

آیا ترتیب عناصر در اتصال در نظر گرفته شده است؟

آیا همه عناصر در اتصال گنجانده شده است؟

نتیجه گیری: قرار دادن

میمون شیطون

آره میشکا فوت پرانتزی

شروع به نواختن یک کوارتت کرد

بس کن برادران بس کن! -

میمون فریاد می زند، - صبر کن!

موسیقی چگونه پیش می رود؟

اینطوری ننشین...

و بنابراین، و بنابراین پیوند - دوباره موسیقی خوب پیش نمی رود.

اینجا، بیش از هر زمان دیگری، تحلیل آنها پیش رفت

چه کسی و چگونه بنشیند ...

چند تنظیم مختلف از نوازندگان امکان پذیر است؟

راه حل.

آیا ترتیب عناصر در اتصال در نظر گرفته شده است؟

آیا همه عناصر در اتصال گنجانده شده است؟

نتیجه: جایگشت

Рn = n! =n · ( n- یک) · ( n– 2) · … · 2 · 1

P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24

"دیر یا زود هر ایده ریاضی درستی در این یا آن تجارت کاربرد پیدا می کند"؟

جایگشت

محل اقامت

ترکیبی

نتایج حل مسئله

مشق شب

چکیده و فرمول ها را یاد بگیرید.

S. 321 شماره 1062

جایگشت ها ترکیباتی هستند که از عناصر یکسانی تشکیل شده و ترتیب آنها متفاوت است. تعداد همه جایگشت های ممکن عناصر با P n نشان داده می شود و می توان آن را با فرمول محاسبه کرد: فرمول جایگشت: Pn =n! در طول جایگشت، تعداد اشیا بدون تغییر باقی می‌ماند، فقط ترتیب آنها تغییر می‌کند، با افزایش تعداد اشیا، تعداد جایگشت‌ها خیلی سریع رشد می‌کند و به تصویر کشیدن آنها به صورت بصری مشکل می‌شود.

وظیفه 1. هفت تیم در مسابقات شرکت می کنند. چند گزینه برای تقسیم صندلی ها بین آنها امکان پذیر است؟ Р 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 پاسخ: 5040 مسئله 2. 10 نفر به چند صورت می توانند سر میز گرد بنشینند؟ P 10 = 10! = = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = پاسخ:

اجازه دهید n شی مختلف وجود داشته باشد. ما از بین آنها m اشیاء را انتخاب می کنیم و آنها را به همه روش های ممکن در بین خود مرتب می کنیم. ترکیب های حاصل را قرار دادن n شی با m می نامند و تعداد آنها برابر است با: هنگام قرار دادن، هم ترکیب اشیاء انتخاب شده و هم ترتیب آنها تغییر می کند. فرمول قرار دادن:

تکلیف: سه کوپن به یک آسایشگاه از چند طریق می توان بین پنج نفر توزیع کرد؟ از آنجایی که کوپن ها به یک آسایشگاه ارائه می شود، گزینه های توزیع حداقل برای یک نفر با یکدیگر متفاوت است. بنابراین، تعداد روش های توزیع پاسخ: 10 راه.

وظیفه: 12 نفر در کارگاه کار می کنند: 5 زن و 7 مرد. از چند طریق می توان یک تیم 7 نفره تشکیل داد که 3 زن در آن حضور داشته باشند؟ از بین پنج زن، سه زن باید انتخاب شوند، بنابراین تعداد روش های انتخاب. از آنجایی که انتخاب چهار مرد از هفت نفر الزامی است، تعداد راه های انتخاب مرد پاسخ: 350