مربع جادویی 4 عددی. مربع های جادویی (3) - سند. این معما چیه

صفحه اصلی > سند

میدان جادویی

مربع جادویی یا جادویی یک جدول مربعی پر از اعداد است به گونه ای که مجموع اعداد هر سطر، هر ستون و هر دو مورب یکسان باشد.

مجموع اعداد هر سطر، ستون و مورب را ثابت جادویی M می نامند.

کوچکترین ثابت جادویی یک مربع جادویی 3x3 15، یک مربع 4x4 برابر با 34، یک مربع 5x5 برابر با 65 است،

اگر مجموع اعداد در مربع فقط در سطرها و ستون ها با هم برابر باشند، آن را نیمه جادو می گویند.

ساخت مربع جادویی 3*3 با کوچکترین

ثابت جادویی

کوچکترین ثابت جادویی مربع جادویی 3x3 را پیدا کنید

1 راه

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M = 15.

عددی که وسط آن نوشته شده 15 است : 3 = 5

مشخص شد که در وسط عدد 5 نوشته شود.

که در آن n تعداد سطرها است

اگر بتوانید یک مربع جادویی بسازید، پس ساختن تعدادی از آنها کار سختی نیست. بنابراین، تکنیک های ساخت و ساز را به خاطر بسپارید

مربع جادویی 3×3 با ثابت 15.

1 راهساخت و ساز. ابتدا اعداد زوج را در گوشه ها قرار دهید

2،4،8،6 و 5 در وسط بقیه مراحل حسابی ساده است.

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 راهراه حل ها

با استفاده از مربع جادویی یافت شده با ثابت 15، می توانید وظایف متنوع زیادی را تنظیم کنید:

مثال.مربع های جادویی متفاوت جدید 3×3 بسازید

تصمیم گیری

با جمع کردن هر عدد از مربع جادویی، یا ضرب آن در همان عدد، یک مربع جادویی جدید به دست می آید.

مثال 1یک مربع جادویی 3×3 بسازید که عدد آن در وسط آن 13 است.

تصمیم گیری

بیایید یک جادوی آشنا بسازیم

مربع با ثابت 15.

عددی را که در آن است پیدا کنید

وسط مربع مورد نظر

13 – 5 = 8.

به هر عدد جادویی

8 مربع اضافه کنید

مثال 2قفس جادو را پر کن

مربع، دانستن ثابت جادویی.

تصمیم گیریبیایید شماره را پیدا کنیم

در وسط نوشته شده 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

وظایف برای تصمیم گیری مستقل

مثال ها. 1. سلول های مربع های جادویی را با ماژیک پر کنید

ثابت M = 15.

1) 2) 3)

2. ثابت جادویی مربع های جادویی را پیدا کنید.

1) 2) 3)

3. با دانستن ثابت جادویی، خانه های مربع های جادویی را پر کنید

1) 2) 3)

M=24 M=30 M=27

4 . با دانستن اینکه ثابت جادویی است، یک مربع جادویی 3x3 بسازید

برابر با 21

تصمیم گیری به یاد بیاورید که چگونه یک مربع جادویی 3x3 با توجه به کوچکترین ساخته می شود

ثابت 15. اعداد زوج در فیلدهای شدید نوشته می شوند

2، 4، 6، 8 و در وسط عدد 5 (15 : 3).

با توجه به شرط، لازم است یک مربع مطابق با ثابت جادویی ساخته شود

21. در مرکز مربع مورد نظر باید عدد 7 (21 : 3).

بیایید دریابیم که هر یک از اعضای مربع مورد نظر چقدر بیشتر است

هر جمله با کوچکترین ثابت جادویی 7 - 5 = 2.

مربع جادویی مورد نظر را می سازیم:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. مربع های جادویی 3x3 را با دانستن ثابت های جادویی آنها بسازید

M = 42 M = 36 M = 33

M=45 M=40 M=35

ساخت مربع جادویی 4*4 با کوچکترین

ثابت جادویی

کوچکترین ثابت جادویی یک مربع جادویی 4x4 را پیدا کنید

و عدد واقع در وسط این مربع.

1 راه

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8 = 136

136: 4= 34.

که در آن n تعداد سطرها n = 4 است.

مجموع اعداد در هر افقی،

عمودی و مورب 34 است.

این مقدار نیز در همه رخ می دهد

مربع های گوشه 2×2، در مرکز

مربع (10+11+6+7)، مربع از

سلول های گوشه (16+13+4+1).

برای ساختن هر مربع جادویی 4×4، باید: یکی بسازید

با ثابت 34.

مثال.مربع های جادویی 4×4 متفاوت جدید بسازید.

تصمیم گیری

جمع کردن هر عدد پیدا شده

مربع جادویی 4*4 یا

ضرب کردن آن در همان عدد،

یک مربع جادویی جدید دریافت کنید.

مثال.یک جادویی بسازید

مربع 4*4 که دارای ماژیک است

ثابت 46 است.

تصمیم گیرییک جادویی آشنا ساخته است

مربع با ثابت 34.

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

به هر عدد مربع جادویی

بیایید 3 را اضافه کنیم.

قبل از اینکه به حل مثال های پیچیده تر روی مربع های جادویی 4×4 بپردازید، دوباره ویژگی هایی را که در صورت M = 34 دارد بررسی کنید.

مثال ها. 1. سلول های مربع جادویی را با ماژیک پر کنید

ثابت M = 38.

H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

دارایی 1,3,1 خواص 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

خواص 1،1،1،1

پاسخ.

وظایف برای راه حل مستقل

اگر جادو مشخص است، سلول های مربع جادویی را پر کنید

مقدار ثابت

K = 46 K = 58 K = 62

با مربع های جادویی 5x5 و 6x6 آشنا شوید

چندین طبقه بندی مختلف از مربع های جادویی وجود دارد.

مرتبه پنجم، طراحی شده است تا به نوعی آنها را نظام مند کند. در کتاب

مارتین گاردنر [GM90, pp. 244-345] یکی از این روش ها را شرح می دهد -

با توجه به تعداد در میدان مرکزی. روش کنجکاو است، اما نه بیشتر.

چند مربع از مرتبه ششم هنوز ناشناخته است، اما تقریباً 1.77 x 1019 وجود دارد. تعداد آنها بسیار زیاد است، بنابراین امیدی به شمارش آنها با استفاده از جستجوی جامع وجود ندارد، اما هیچ کس نتوانست فرمولی برای محاسبه مربع های جادویی ارائه دهد.

چگونه یک مربع جادویی بسازیم؟

راه های زیادی برای ساخت مربع های جادویی وجود دارد. ساده ترین راه برای ساخت مربع های جادویی ترتیب عجیب و غریب. ما از روش پیشنهادی دانشمند فرانسوی قرن هفدهم استفاده خواهیم کرد A. de la Louber (De La Loubère).این بر اساس پنج قانون است که عملکرد آنها را بر روی ساده ترین سلول جادویی 3 در 3 در نظر خواهیم گرفت.

قانون 1. 1 را در ستون وسط ردیف اول قرار دهید (شکل 5.7).

برنج. 5.7. شماره اول

قانون 2. عدد بعدی را، در صورت امکان، در سلول مجاور عدد فعلی به صورت مورب به سمت راست و بالا قرار دهید (شکل 5.8).

برنج. 5.8. تلاش برای قرار دادن شماره دوم

قانون 3. اگر سلول جدید فراتر از مربع بالا است، عدد را در خط پایین و در ستون بعدی بنویسید (شکل 5.9).

برنج. 5.9. عدد دوم را گذاشتیم

قانون 4. اگر سلول از مربع سمت راست فراتر رفت، عدد را در همان ستون اول و در خط قبلی بنویسید (شکل 5.10).

برنج. 5.10. عدد سوم را گذاشتیم

قانون 5. اگر سلول قبلاً اشغال شده است، عدد بعدی را زیر سلول فعلی بنویسید (شکل 5.11).

برنج. 5.11. عدد چهارم را گذاشتیم

برنج. 5.12. عدد پنجم و ششم را قرار می دهیم

قوانین 3، 4، 5 را دوباره دنبال کنید تا زمانی که کل مربع را کامل کنید (شکل 1).

آیا این درست نیست، قوانین بسیار ساده و واضح هستند، اما هنوز هم مرتب کردن 9 عدد بسیار خسته کننده است. با این حال، با دانستن الگوریتم ساخت مربع های جادویی، به راحتی می توانیم تمام کارهای روتین را به کامپیوتر بسپاریم و فقط کارهای خلاقانه یعنی نوشتن یک برنامه را به خودمان بسپاریم.

برنج. 5.13. مربع را با اعداد زیر پر کنید

پروژه مربع های جادویی (سحر و جادو)

مجموعه فیلد برای برنامه مربع های جادوییکاملا آشکار:

// برنامه برای نسل

// میدان جادوی عجیب و غریب

// با روش DE LA LOUBERT

کلاس جزئی عمومی Form1 : Form

//حداکثر ابعاد مربع: const int MAX_SIZE = 27; //var

intn=0; // مرتبه مربع int [,] mq; // مربع جادویی

int number=0; // عدد فعلی به مربع

intcol=0; // ستون فعلی int row=0; // خط فعلی

روش de la Louber برای ساخت مربع‌های فرد با هر اندازه مناسب است، بنابراین می‌توانیم به کاربر اجازه دهیم ترتیب مربع را انتخاب کند، در حالی که به طور منطقی آزادی انتخاب را به 27 سلول محدود می‌کنیم.

پس از اینکه کاربر دکمه مورد نظر را فشار داد btnGen Generate! ، متد btnGen_Click یک آرایه برای ذخیره اعداد ایجاد می کند و به متد تولید ارسال می کند:

// دکمه "GENERATE" را فشار دهید

private void btnGen_Click(فرستنده شی، EventArgs e)

//ترتیب مربع:

n = (int)udNum.Value;

//ایجاد یک آرایه:

mq = int جدید ;

//تولید مربع جادویی: generate();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

در اینجا ما شروع به عمل بر اساس قوانین د لا لوبر می کنیم و اولین عدد - یک - را در سلول وسط ردیف اول مربع (یا آرایه، در صورت تمایل) می نویسیم:

//تولید مربع جادویی void generate()(

//شماره اول: عدد=1;

//ستون برای شماره اول - وسط: col = n / 2 + 1;

//خط برای اولین شماره - اولین: row=1;

//square it: mq= number;

حالا بقیه سلول ها را به ترتیب در سلول ها اضافه می کنیم - از دو تا n * n:

// به شماره بعدی بروید:

ما مختصات سلول واقعی را به خاطر می آوریم

int tc=col; int tr = ردیف;

و به صورت مورب به سلول بعدی بروید:

اجرای قانون سوم را بررسی می کنیم:

اگر (ردیف< 1) row= n;

و بعد چهارم:

if (col > n) (col=1;

goto rule3;

و پنجم:

اگر (mq != 0) (col=tc;

row=tr+1; goto rule3;

چگونه بفهمیم که قبلاً یک عدد در خانه مربع وجود دارد؟ - خیلی ساده: ما با احتیاط صفرها را در تمام خانه ها نوشتیم و اعداد در مربع تمام شده بزرگتر از صفر هستند. بنابراین، با مقدار عنصر آرایه، بلافاصله مشخص می کنیم که سلول خالی است یا از قبل دارای یک عدد است! لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا به مختصات سلولی نیاز داریم که قبل از جستجوی سلول برای شماره بعدی به خاطر آورده ایم.

دیر یا زود، یک سلول مناسب برای عدد پیدا می کنیم و آن را در سلول آرایه مربوطه می نویسیم:

//مربع آن: mq = عدد;

روش دیگری را برای سازماندهی بررسی قابل پذیرش بودن انتقال به سازماندهی امتحان کنید

عجب سلولی

اگر این آخرین شماره بود، برنامه به تعهدات خود عمل کرده است، در غیر این صورت داوطلبانه اقدام به ارائه شماره زیر به سلول می کند:

//اگر همه اعداد تنظیم نشده باشند، اگر (عدد< n*n)

//به شماره بعدی بروید: goto nextNumber;

و حالا میدان آماده است! مجموع جادویی آن را محاسبه کرده و روی صفحه چاپ می کنیم:

) //تولید می کنند()

چاپ عناصر یک آرایه بسیار ساده است، اما مهم است که ترتیب اعداد با طول های مختلف را در نظر بگیرید، زیرا یک مربع می تواند شامل اعداد یک، دو و سه رقمی باشد:

//چاپ مربع جادویی void writeMQ()

lstRes.ForeColor = رنگ .مشکی.

string s = "مجموع جادویی =" + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// مربع جادویی را چاپ کنید: برای (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

برای (int j= 1; j<= n; ++j){

اگر (n*n > 10 &&mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 &&mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()

ما برنامه را راه اندازی می کنیم - مربع ها به سرعت به دست می آیند و برای چشم ها جشن می گیرند (شکل 2).

برنج. 5.14. کاملا مربع!

در کتاب S. Goodman، S. Hidetniemiمقدمه ای بر توسعه و تحلیل الگوریتم ها

mov ، در صفحات 297-299 ما همان الگوریتم را خواهیم یافت، اما در یک ارائه "کاهش یافته". به اندازه نسخه ما "شفاف" نیست، اما به درستی کار می کند.

اضافه کردن یک دکمه btnGen2 Generate 2! و الگوریتم را در زبان بنویسید

C-sharp به روش btnGen2_Click:

//الگوریتم ODDMS

خصوصی void btnGen2_Click(فرستنده شی، EventArgs e)

//ترتیب مربع: n = (int )udNum.Value;

//ایجاد یک آرایه:

mq = int جدید ;

//تولید مربع جادویی: int row = 1;

int col = (n+1)/2;

برای (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = i; اگر (i % n == 0)

اگر (ردیف == 1) سطر = n;

اگر (col == n) col = 1;

// مربع تکمیل شد: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

ما روی دکمه کلیک می کنیم و مطمئن می شویم که مربع های "ما" تولید شده اند (شکل 1).

برنج. 5.15. الگوریتم قدیمی در ظاهری جدید

موسسه آموزشی شهرداری "سالن 41"

مربع های جادویی

سرپرست: ،

معلم ریاضی

نوورالسک، 2012

مقدمه 3

1. اطلاعات کلی در مورد مربع های جادویی 4

1.1. مفهوم مربع جادویی 4

1.2. از تاریخچه مربع های جادویی 4

1.3. انواع مربع های جادویی 6

2. حل مربع های جادویی 6

2.1. حل مربع های جادویی (روش باشه دو مزیرک) 7

2.2. بیان مسئله 8

2.3. الگوریتم حل مربع های جادویی 8

2.4. اثبات الگوریتم (به صورت جبری) 9

2.5. نمونه ای از حل مربع جادویی با استفاده از الگوریتم 10

3. استفاده از مربع های جادویی 11

3.1. موارد مختلف تعمیم مربع های جادویی 11

3.2. کاربرد مربع های لاتین 12

4. نتیجه گیری کلی 13

5. نتیجه گیری 14

6. مراجع 15

پیوست 1

ضمیمه 2

پیوست 3

معرفی

در کلاس های دایره ریاضی با مسائل مربوط به پرکردن خانه های مربع طبق قوانین خاصی مواجه شدیم. اعداد پیشنهادی باید وارد می شدند تا نتیجه چندین شرط را همزمان برآورده کند:

اگر تمام اعداد را در هر سطر جمع کنید،

اگر تمام اعداد را در هر ستون جمع کنید،

اگر تمام اعداد را در دو قطر جمع کنید،

سپس همه این مجموع برابر با یک عدد خواهد بود.

علیرغم اینکه مسائل در اعداد اولیه، ترتیب اعداد، مجموع داده شده متفاوت بود، همه آنها مشابه بودند و راه حل ها از یک نوع بودند.

این ایده نه تنها برای حل هر کار، بلکه برای ارائه یک الگوریتم راه حل کلی و همچنین یافتن اطلاعات تاریخی در مورد مسائل از این نوع در ادبیات به وجود آمد.

معلوم شد که چهره هایی که ما به آنها علاقه مندیم مربع های جادویی نامیده می شوند که از زمان های قدیم شناخته شده اند. آنها در کار مورد بحث قرار خواهند گرفت.

هدف، واقعگرایانه:سیستم بندی اطلاعات در مورد مربع های جادویی، ایجاد الگوریتمی برای حل آنها.

وظایف:

1. تاریخچه پیدایش مربع های جادویی را مطالعه کنید.

2. انواع مربع های جادویی را شناسایی کنید.

3. یاد بگیرید چگونه مربع های جادویی را حل کنید.

4. الگوریتم راه حل خود را توسعه و اثبات کنید.

5. استفاده از مربع های جادویی را تعیین کنید.

1. اطلاعات کلی در مورد مربع های جادویی

1.1. مفهوم مربع جادویی

مربع های جادویی حتی امروزه نیز بسیار محبوب هستند. اینها مربع هایی هستند که در هر خانه اعدادی درج شده است که مجموع اعداد در امتداد هر افقی، هر عمودی و هر قطری با هم برابر باشند. معروف ترین مربع جادویی است که بر روی حکاکی هنرمند آلمانی A. Dürer "مالیخولیا" (ضمیمه 1) به تصویر کشیده شده است.

1.2. از تاریخچه مربع های جادویی

اعداد آنقدر وارد زندگی افراد شده اند که شروع به نسبت دادن انواع خاصیت جادویی به آنها کردند. قبلاً چندین هزار سال پیش در چین باستان، آنها با ترسیم مربع های جادویی برده شدند. در طی کاوش های باستان شناسی در چین و هند، طلسم های مربعی پیدا شد. این مربع به 9 مربع کوچک تقسیم شد که در هر کدام اعداد از 1 تا 9 نوشته شده بود، قابل توجه است که مجموع اعداد در هر عمودی، افقی و مورب برابر با همان عدد 15 بود (شکل 1).

تصویر 1.

مربع های جادویی در قرون وسطی بسیار محبوب بودند. یکی از مربع های جادویی در حکاکی هنرمند مشهور آلمانی آلبرشت دورر، "مالیخولیا" به تصویر کشیده شده است. 16 خانه مربع شامل اعداد 1 تا 16 است و مجموع اعداد در همه جهات 34 است. جالب است که دو عدد در وسط خط پایین نشان دهنده سال ایجاد تصویر - 1514 است. به دست آوردن مربع های جادویی یک سرگرمی محبوب در بین ریاضیدانان بود، مربع های عظیمی ایجاد شد، به عنوان مثال، 43x43، ​​حاوی اعداد از 1 تا 1849، و علاوه بر ویژگی های مشخص شده مربع های جادویی، آنها همچنین دارای بسیاری از خواص اضافی هستند. راه هایی برای ساختن مربع های جادویی با هر اندازه ای ابداع شده است، اما تاکنون هیچ فرمولی که با آن بتوان تعداد مربع های جادویی در یک اندازه معین را پیدا کرد، یافت نشده است. معلوم است و شما به راحتی می توانید به آن نشان دهید که هیچ مربع جادویی 2x2 وجود ندارد، دقیقاً یک مربع جادویی 3x3 وجود دارد، بقیه چنین مربع هایی با چرخش و تقارن از آن به دست می آیند. در حال حاضر 800 مربع جادویی 4x4 وجود دارد و تعداد مربع های 5x5 نزدیک به یک چهارم میلیون است.

1.3. انواع مربع جادویی

جادویی(مربع جادویی) n 2 عدد به گونه ای که مجموع اعداد هر سطر، هر ستون و هر دو مورب یکسان باشد.

مربع نیمه جادویییک جدول مربعی nxn است که با n 2 عدد به گونه ای که مجموع اعداد فقط در سطرها و ستون ها برابر باشند.

معمولییک مربع جادویی پر از اعداد صحیح از 1 تا است n 2.

انجمنی (متقارن) -مربع جادویی که در آن مجموع هر دو عددی که به طور متقارن در مرکز مربع قرار دارند برابر است با n 2 + 1.

مربع جادویی اهریمنی (پندیاگونال).- یک مربع جادویی، که در آن مجموع اعداد در امتداد مورب های شکسته (مورب هایی که با تا شدن مربع به صورت چنبره تشکیل می شوند) در هر دو جهت نیز با ثابت جادویی منطبق است.

48 مربع 4x4 شیطان جادویی وجود دارد که دارای دقت چرخش و بازتاب هستند. اگر تقارن اضافی آنها - ترجمه های موازی توریک را نیز در نظر بگیریم، تنها 3 مربع اساساً متفاوت باقی می مانند (شکل 2).

شکل 2.

مربع های پاندیگونال مرتبه چهارم دارای تعدادی ویژگی اضافی هستند که به آنها گفته می شود متعهد شد. مربع کامل از ترتیب فرد وجود ندارد. در میان مربع های پاندیاگونال برابری دوگانه بالای 4، مربع های کامل وجود دارد.

3600 مربع پاندیگونال مرتبه پنجم وجود دارد که با در نظر گرفتن ترجمه های موازی توریک، 144 مربع پاندیگونال مختلف وجود دارد.

2.حل مربع های جادویی

2.1 حل مربع های جادویی (روش باکر دو مزیرک)

قوانین ساخت مربع های جادویی بسته به اینکه ترتیب مربع فرد باشد، برابر با دو برابر یک عدد فرد یا برابر با چهار برابر یک عدد فرد باشد، به سه دسته تقسیم می شود. روش کلی برای ساخت تمام مربع ها ناشناخته است، اگرچه طرح های مختلفی به طور گسترده استفاده می شود. می توان تمام مربع های جادویی مرتبه n را فقط برای n ≤ 4 پیدا کرد.

برای حل مربع‌های جادویی معمولی با اندازه‌های بزرگ دلخواه، از روشی استفاده می‌کنیم که در سال 1612 توسط ریاضی‌دان فرانسوی کلود باشت دو مزیرک توصیف شد. ترجمه روسی کتاب او در سن پترزبورگ در سال 1877 تحت عنوان بازی ها و مسائل مبتنی بر ریاضیات منتشر شد.

ساختن یک مربع جادویی روی کاغذ مربع راحت است. بگذارید n یک عدد فرد باشد و باید یک مربع nxn با اعداد از 1 تا n2 بسازید، مرحله به مرحله عمل می کنیم.

1. تمام اعداد از 1 تا n2 را به صورت مورب (n عدد پشت سر هم) در خانه ها می نویسیم تا یک مربع مورب تشکیل شود.

2. یک مربع nxn را در مرکز آن انتخاب کنید. این اساس (هنوز همه سلول ها پر نشده اند) مربع جادویی آینده است.

3. هر "گوشه" عددی واقع در خارج از مربع مرکزی با دقت به سمت داخل - به طرف مقابل مربع منتقل می شود. اعداد این گوشه ها باید تمام سلول های خالی را پر کنند. میدان جادویی ساخته شده است.

بیایید مثالی از پر کردن یک مربع 3×3 با اعداد 1 تا 9 ارائه دهیم. برای این کار، سلول های اضافی را به مربع اضافه کنید تا مورب ها را بدست آورید. ابتدا سلول های مورب را با اعداد از 1 تا 9 پر کنید (شکل 3)، سپس "گوشه ها" را در سلول های خالی مربع به سمت داخل به سمت مقابل تا کنید (شکل 4).

شکل 3. شکل 4.

2.2. فرمول بندی مسئله.

بیایید روش خودمان برای حل مربع های جادویی را شرح دهیم. اجازه دهید به مطالعه مدل ریاضی مربع های جادویی 3x3 بپردازیم.

فرمول کلی مسئله

نه عدد وجود دارد. لازم است آنها را در خانه های مربع 3x3 مرتب کنید، به طوری که مجموع اعداد در امتداد هر خط عمودی، افقی و مورب برابر باشد.

2.3. الگوریتم مربع جادویی

توصیف شفاهی الگوریتم

1. اعداد را به ترتیب صعودی مرتب کنید.

2. عدد مرکزی (پنجم به ترتیب) را پیدا کنید.

3. جفت ها را طبق قانون تعیین کنید: 1 جفت - عدد اول و نهم،

2 جفت - شماره دوم و هشتم،

3 جفت - شماره سوم و هفتم،

4 جفت - شماره چهارم و ششم.

4. یافتن مجموع اعداد (S)، که باید با جمع اعداد در امتداد هر عمودی، افقی، مورب به دست آید: جمع کردن کوچکترین، مرکزی، بزرگترین عدد، یعنی عدد 1 جفت با عدد مرکزی.

5. عدد مرکزی را در مرکز مربع قرار دهید.

6. در قسمت افقی مرکزی (یا عمودی) در سلول های آزاد، اولین جفت اعداد را وارد کنید.

7. جفت دوم اعداد را در امتداد هر قطری بنویسید (به طوری که عدد بزرگتر جفت اول در ستون با عدد کوچکتر جفت دوم باشد).

8. عددی را که باید در یکی از ستون های انتهایی نوشته شود، بر اساس قانون محاسبه کنید:

از S مجموع دو عدد موجود در خانه های ستون را کم کنید، عدد را بدست آورید.

9. مورب به عدد حاصل، عدد دوم جفت آن را یادداشت کنید.

10. آخرین جفت اعداد را در خانه های باقیمانده طبق قانون وارد کنید: عدد بزرگتر را از جفت در خط با عدد کوچکتر و عدد کوچکتر را در سلول خالی باقیمانده وارد کنید.

2.4. اثبات درستی پر کردن مربع جادویی

(حل مسئله به صورت کلی)

ثابت خواهیم کرد که مجموع اعدادی که در امتداد عمودها، افقی ها و مورب های مربع در نتیجه الگوریتم قرار دارند برابر خواهند بود.

اجازه دهید پس از سفارش، هر عدد بعدی با یک مقدار ثابت با عدد قبلی متفاوت باشد ایکس. بیایید همه اعداد را بر حسب بیان کنیم a1(کوچکترین عدد) و ایکس:

a1، a2=a1+x،

a3=a2+ایکس=a1+2x،

a4=a1+3x،

a5=a1+4x،

a6=a1+5x،

a7=a1+6x،

a8=a1+7x،

آ9 = آ1 +8 ایکس.

بیایید جمع را پیدا کنیم اسو آن را با اعداد بیان کنید a1و ایکس: اس= آ1 + آ5 + آ9 =3 آ1 +12 ایکس.

اجازه دهید مربع جادویی طبق الگوریتم پیشنهادی پر شود.

اجازه دهید ثابت کنیم که مجموع اعداد واقع در امتداد افقی، عمودی و مورب مربع برابر است اس.

عمودی:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

به صورت افقی:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

مورب:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3آ1 +12x=S

ما همین مبلغ را دریافت کردیم. ادعا ثابت شده است.

توجه داشته باشید.

اعدادی که به این ترتیب سازماندهی شده اند یک پیشروی حسابی را تشکیل می دهند. در این دنباله (پس از ترتیب)، a1 اولین عضو پیشروی حسابی است، x تفاوت پیشروی حسابی است. برای اعدادی که پیشرفت حسابی را تشکیل نمی دهند، الگوریتم کار نمی کند.

2.5. نمونه ای از حل مربع های جادویی

اعداد داده شده: 5،2،4،8،1،3،7،9،6. مربع جادویی را با اعداد داده شده پر کنید.

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. شماره مرکزی 5 را گرفتید.

3. زوج ها: 1 و 9، 2 و 8، 3 و 7، 4 و 6.

4.S=5+1+9= 15 - مجموع

8. 15-(9+2)=4

این الگوریتم تفاوت قابل توجهی با روش Bachet de Meziriac دارد. از یک طرف، به محاسبات اضافی نیاز دارد (یک نقطه ضعف روش)، از طرف دیگر، روش ما به ساخت و سازهای اضافی (مربع مورب) نیاز ندارد. علاوه بر این، این روش نه تنها برای اعداد طبیعی متوالی از 1 تا 9، بلکه برای هر 9 عددی که عضو یک پیشروی حسابی هستند، که در آنها مزایای آن را می‌بینیم نیز قابل استفاده است. علاوه بر این، یک ثابت جادویی به طور خودکار تعیین می شود - مجموع اعداد در امتداد هر مورب، عمودی، افقی.

3. استفاده از مربع های جادویی

3.1. موارد مختلف تعمیم مربع های جادویی

مسائل مربوط به گردآوری و توصیف مربع های جادویی از زمان های قدیم مورد توجه ریاضیدانان بوده است. با این حال، شرح کاملی از تمام نقاط عطف مربع های جادویی ممکن تا به امروز به دست نیامده است. با افزایش اندازه (تعداد سلول ها) مربع، تعداد مربع های جادویی ممکن به سرعت افزایش می یابد. در میان مربع های بزرگ، مربع هایی با خواص جالب وجود دارد. به عنوان مثال، در مربع شکل شماره 5، نه تنها مجموع اعداد در ردیف ها، ستون ها و مورب ها برابر است، بلکه مجموع پنج ها در امتداد مورب های "شکسته" که در شکل با خطوط رنگی به هم وصل شده اند، برابر است.

شکل 5. شکل 6.

مربع لاتین مربعی از n x n خانه است که در آن اعداد 1، 2، ...، n نوشته شده اند، علاوه بر این، به گونه ای که همه این اعداد یک بار در هر سطر و هر ستون قرار می گیرند. در (شکل 6) دو مربع لاتین 4x4 نشان داده شده است. آنها یک ویژگی جالب دارند: اگر یک مربع روی مربع دیگر قرار گیرد، تمام جفت اعداد به دست آمده متفاوت هستند. چنین جفت هایی از مربع های لاتین متعامد نامیده می شوند. وظیفه یافتن مربع های متعامد لاتین برای اولین بار توسط L. Euler تعیین شد و در چنین فرمول سرگرم کننده ای: "در بین 36 افسر، به طور مساوی لنسرها، اژدها، هوسرها، کویراسیرها، نگهبانان سواره نظام و نارنجک انداز و علاوه بر این، به همان اندازه ژنرال ها وجود دارند. سرهنگ ها، سرگرد ها، سروان ها، ستوان ها و ستوان های دوم و هر شاخه خدماتی توسط افسران هر شش درجه نمایندگی می شود. آیا می توان این افسران را در یک مربع 6*6 مرتب کرد تا افسران همه رده ها در هر ستونی با هم ملاقات کنند؟ (پیوست 2).

L. Euler نتوانست راه حلی برای این مشکل بیابد. در سال 1901 ثابت شد که چنین راه حلی وجود ندارد.

3.2. کاربرد مربع های لاتین

مربع های جادویی و لاتین خویشاوندان نزدیک هستند. تئوری مربع های لاتین کاربردهای متعددی هم در خود ریاضیات و هم در کاربردهای آن پیدا کرده است. بیایید یک مثال بزنیم. فرض کنید می خواهیم دو نوع گندم را برای بهره وری در یک منطقه معین آزمایش کنیم و می خواهیم تأثیر درجه پراکندگی محصولات و تأثیر دو نوع کود را در نظر بگیریم. برای این کار قسمت مربع را به 16 قسمت مساوی تقسیم می کنیم (شکل 7). اولین رقم گندم را در کرت های مربوط به نوار افقی پایینی، رقم بعدی را در چهار کرت مربوط به نوار بعدی و ... می کاریم (در شکل رقم با رنگ مشخص شده است.)

کشاورزی" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">کشاورزی، فیزیک، شیمی و فناوری.

4. نتیجه گیری کلی

در طول کار با انواع مربع های جادویی آشنا شدم، نحوه حل مربع های معمولی جادویی را به روش Bachet de Mezirac یاد گرفتم. از آنجایی که راه حل ما از مربع های جادویی 3x3 با روش مشخص شده متفاوت بود، اما هر بار که به ما اجازه می داد سلول های مربع را به درستی پر کنیم، تمایل به توسعه الگوریتم خودمان ایجاد شد. این الگوریتم به تفصیل در کار توضیح داده شده است و به شکل جبری اثبات شده است. معلوم شد که نه تنها برای مربع های معمولی، بلکه برای مربع های 3x3 نیز کاربرد دارد، جایی که اعداد یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند. ما همچنین موفق به یافتن نمونه هایی از استفاده از مربع های جادویی و لاتین شدیم.

من یاد گرفتم چگونه: حل چند مربع جادویی، توسعه و توصیف الگوریتم ها، اثبات عبارات به شکل جبری. مفاهیم جدیدی را یاد گرفتم: پیشرفت حسابی، مربع جادویی، ثابت جادویی، انواع مربع ها را مطالعه کردم.

متأسفانه، نه الگوریتم توسعه یافته من و نه روش Bachet de Mezirac نمی توانند مربع های جادویی 4x4 را حل کنند. بنابراین، من می خواستم الگوریتمی را برای حل چنین مربع هایی توسعه دهم.

5. نتیجه

در این اثر مربع های جادویی بررسی شد، تاریخچه پیدایش آنها در نظر گرفته شد. انواع مربع های جادویی تعریف شد: مربع جادویی یا جادویی، مربع نیمه جادویی، عادی، انجمنی، مربع جادویی شیطانی، کامل.

از بین روش های موجود برای حل آنها، روش باشه دی مزیریاک انتخاب شد که بر روی نمونه هایی آزمایش شد. علاوه بر این، برای حل مربع های جادویی 3x3، یک الگوریتم حل خود پیشنهاد شده است و یک اثبات ریاضی به شکل جبری ارائه می شود.

الگوریتم پیشنهادی به طور قابل توجهی با روش Bacher de Meziriac متفاوت است. از یک طرف، نیاز به محاسبات اضافی دارد (یک نقطه ضعف روش)، از طرف دیگر، هیچ ساخت و ساز اضافی مورد نیاز نیست. این روش نه تنها برای اعداد طبیعی متوالی از 1 تا 9، بلکه برای هر 9 عددی که عضو یک پیشروی حسابی هستند، که در آنها مزایای آن را می بینیم نیز قابل استفاده است. علاوه بر این، یک ثابت جادویی به طور خودکار تعیین می شود - مجموع اعداد در امتداد هر مورب، عمودی، افقی.

این مقاله تعمیم مربع های جادویی - مربع های لاتین را ارائه می دهد و کاربرد عملی آنها را شرح می دهد.

این کار را می توان در درس ریاضیات به عنوان یک ماده اضافی و همچنین در کلاس درس و در کارهای فردی با دانش آموزان استفاده کرد.

6. مراجع

1. معماهای دنیای اعداد / Comp. - D .: Stalker، 1997.-448s.

2. فرهنگ لغت دانشنامه یک ریاضیدان جوان / Comp. - M .: Pedagogy, 1989 - 352 pp.: ill.

3. دایره المعارف برای کودکان. T11. ریاضیات / فصل. ویرایش - M .: Avanta +، 2000 - 688s.: ill.

4. من جهان را می شناسم: دایره المعارف کودکان: ریاضیات / Comp. - و دیگران - M.: AST، 1996. - 480s.: ill.

میدان جادویی،جدول مربعی از اعداد صحیح که در آن مجموع اعداد در امتداد هر سطر، هر ستون و هر یک از دو قطر اصلی برابر با همان عدد است.

میدان جادویی منشا چینی باستانی دارد. بر اساس افسانه، در زمان امپراتور یو (حدود 2200 سال قبل از میلاد)، یک لاک پشت مقدس از آب های رودخانه زرد ظاهر شد که روی پوسته آن هیروگلیف های اسرارآمیزی حک شده بود (شکل 1، آ) و این نشانه ها به عنوان لو شو شناخته می شوند و معادل مربع جادویی نشان داده شده در شکل هستند. یکی، ب. در قرن یازدهم آنها در مورد مربع های جادویی در هند، و سپس در ژاپن، جایی که در قرن 16th. مربع های جادویی موضوع ادبیات گسترده ای بوده است. او اروپایی ها را در قرن پانزدهم با میدان های جادویی آشنا کرد. نویسنده بیزانسی E. Moskhopoulos. اولین مربعی که توسط یک اروپایی اختراع شد، مربع A. Durer (شکل 2) است که بر روی حکاکی معروف او به تصویر کشیده شده است. مالیخولیا 1. تاریخ حکاکی (1514) با اعداد در دو خانه مرکزی خط پایین نشان داده شده است. خواص عرفانی مختلفی به مربع های جادویی نسبت داده شد. در قرن شانزدهم کورنلیوس هاینریش آگریپا مربع هایی از ردیف های 3، 4، 5، 6، 7، 8 و 9 ساخت که با طالع بینی 7 سیاره مرتبط بود. این اعتقاد وجود داشت که یک مربع جادویی حکاکی شده روی نقره از طاعون محافظت می کند. امروزه نیز در میان صفات پیشگویان اروپایی می توان مربع های جادویی را دید.

در قرن 19 و 20 علاقه به مربع های جادویی با قدرتی تازه شعله ور شد. آنها با استفاده از روش های جبر عالی و حساب عملیاتی مورد بررسی قرار گرفتند.

هر عنصر مربع جادویی یک سلول نامیده می شود. مربعی که ضلع آن است nسلول ها، حاوی n 2 سلول و مربع نامیده می شود n- مرتبه اکثر مربع های جادویی از اولی استفاده می کنند nاعداد طبیعی متوالی مجموع اساعداد در هر سطر، هر ستون و روی هر قطری ثابت مربع نامیده می شود و برابر است با اس = n(n 2 + 1)/2. ثابت کرد که n i 3. برای مربعی از مرتبه 3 اس= 15، مرتبه چهارم - اس= 34، مرتبه پنجم - اس = 65.

به دو قطری که از مرکز مربع می گذرند، قطرهای اصلی می گویند. خط شکسته قطری است که پس از رسیدن به لبه مربع، به موازات اولین بخش از لبه مقابل ادامه می یابد (چنین مورب توسط سلول های سایه دار در شکل 3 تشکیل شده است). به سلول هایی که در مرکز مربع متقارن هستند، چوله متقارن می گویند. مثلا سلول ها آو بدر شکل 3.

قوانین ساخت مربع های جادویی بسته به اینکه ترتیب مربع فرد باشد، برابر با دو برابر یک عدد فرد یا برابر با چهار برابر یک عدد فرد باشد، به سه دسته تقسیم می شود. روش کلی برای ساخت تمام مربع ها ناشناخته است، اگرچه طرح های مختلفی به طور گسترده استفاده می شود که در زیر به برخی از آنها خواهیم پرداخت.

مربع‌های جادویی با نظم فرد را می‌توان با استفاده از روش هندسه‌سنج فرانسوی قرن هفدهمی ساخت. A. de la Lubera. این روش را با استفاده از مثال مربع مرتبه 5 در نظر بگیرید (شکل 4). عدد 1 در سلول مرکزی ردیف بالا قرار می گیرد. همه اعداد طبیعی به صورت چرخه‌ای از پایین به بالا در سلول‌های مورب از راست به چپ مرتب شده‌اند. پس از رسیدن به لبه بالایی مربع (مانند مورد شماره 1)، از سلول پایینی ستون بعدی به پر کردن مورب ادامه می دهیم. پس از رسیدن به لبه سمت راست مربع (شماره 3)، به پر کردن مورب از سلول سمت چپ با خط بالا ادامه می دهیم. با رسیدن به یک سلول پر (شماره 5) یا یک گوشه (شماره 15)، مسیر یک سلول به پایین پایین می آید و پس از آن فرآیند پر کردن ادامه می یابد.

روش F. de la Ira (1640-1718) بر اساس دو مربع اصلی است. روی انجیر شکل 5 نشان می دهد که چگونه یک مربع مرتبه 5 با استفاده از این روش ساخته می شود. اعداد از 1 تا 5 در خانه مربع اول وارد می شوند به طوری که عدد 3 در خانه های مورب اصلی به سمت راست تکرار می شود و یک عدد در یک ردیف یا یک ستون دو بار تکرار نمی شود. ما همین کار را با اعداد 0، 5، 10، 15، 20 انجام می دهیم، تنها با این تفاوت که اکنون عدد 10 در سلول های مورب اصلی از بالا به پایین تکرار می شود (شکل 5، ب). مجموع سلول به سلول این دو مربع (شکل 5، که در) یک مربع جادویی را تشکیل می دهد. از این روش در ساخت مربع هایی با مرتبه زوج نیز استفاده می شود.

اگر روشی برای ساخت مربع های مرتبه شناخته شده باشد مترو سفارش دهید n، سپس می توانیم یک مربع ترتیب بسازیم مترґ n. ماهیت این روش در شکل نشان داده شده است. 6. اینجا متر= 3 و n= 3. یک مربع مرتبه 3 بزرگتر (با اعداد اولیه) با روش د لا لوبر ساخته می شود. مربع با عدد 1ў (سلول مرکزی ردیف بالا) در یک مربع مرتبه 3 از اعداد 1 تا 9 حک شده است، همچنین به روش de la Louber ساخته شده است. یک مربع از مرتبه سوم با اعداد از 10 تا 18 به سلول با عدد 2 وارد می شود (در سمت راست در خط پایین). به سلولی با عدد 3 - مربعی از اعداد 19 تا 27 و غیره. در نتیجه مربعی از مرتبه 9 بدست می آوریم. چنین مربع هایی را مرکب می نامند.

معرفی

دانشمندان بزرگ دوران باستان، روابط کمی را اساس جوهر جهان می دانستند. بنابراین، اعداد و نسبت آنها بزرگترین ذهن بشر را به خود مشغول کرده است. بنجامین فرانکلین نوشت: "در روزهای جوانی، در اوقات فراغت خود را با ساختن ... مربع های جادویی سرگرم می کردم." مربع جادویی مربعی است که مجموع اعداد آن در هر ردیف افقی، در هر ردیف عمودی و در امتداد هر یک از مورب ها یکسان است.

برخی از ریاضیدانان برجسته آثار خود را به مربع های جادویی اختصاص دادند و نتایج آنها بر توسعه گروه ها، ساختارها، مربع های لاتین، تعیین کننده ها، پارتیشن ها، ماتریس ها، همخوانی ها و سایر بخش های غیر پیش پا افتاده ریاضیات تأثیر گذاشت.

هدف این مقاله معرفی انواع مربع های جادویی، مربع های لاتین و بررسی حوزه های کاربرد آنهاست.

مربع های جادویی

شرح کاملی از تمام مربع های جادویی ممکن تا به امروز به دست نیامده است. هیچ مربع جادویی 2x2 وجود ندارد. یک مربع جادویی 3x3 وجود دارد، زیرا بقیه مربع های جادویی 3x3 یا با چرخش به دور مرکز یا با انعکاس حول یکی از محورهای تقارن از آن به دست می آیند.

8 روش مختلف برای مرتب کردن اعداد طبیعی از 1 تا 9 در یک مربع جادویی 3x3 وجود دارد:

  • 9+5+1
  • 9+4+2
  • 8+6+2
  • 8+5+2
  • 8+4+3
  • 7+6+2
  • 7+5+3
  • 6+5+4

در یک مربع جادویی 3×3، ثابت جادویی 15 باید برابر با مجموع سه عدد در 8 جهت باشد: 3 ردیف، 3 ستون و 2 مورب. از آنجایی که عدد در مرکز به 1 ردیف، 1 ستون و 2 مورب تعلق دارد، در 4 عدد از 8 ثلاث گنجانده شده است که جمع آنها ثابت جادویی است. فقط یک عدد وجود دارد: آن 5 است. بنابراین، عدد در مرکز مربع جادویی 3x3 از قبل مشخص است: برابر با 5 است.

عدد 9 را در نظر بگیرید. فقط در 2 عدد سه قلو گنجانده شده است. ما نمی توانیم آن را در یک گوشه قرار دهیم، زیرا هر سلول گوشه به 3 سه گانه تعلق دارد: یک ردیف، یک ستون و یک مورب. بنابراین، عدد 9 باید در سلولی مجاور ضلع مربع در وسط آن باشد. به دلیل تقارن مربع، فرقی نمی کند که کدام سمت را انتخاب کنیم، بنابراین در خانه مرکزی عدد 9 را بالای عدد 5 می نویسیم. در دو طرف نه در خط بالا، فقط می توانیم اعداد 2 و 4 را وارد کنیم. کدام یک از این دو عدد در گوشه بالا سمت راست و کدام در سمت چپ، باز هم مهم نیست، زیرا یک ترتیب از اعداد هنگام آینه به دیگری می روند. سلول های باقی مانده به طور خودکار پر می شوند. ساخت ساده ما از یک مربع جادویی 3x3 منحصر به فرد بودن آن را ثابت می کند.

چنین مربع جادویی نمادی از اهمیت زیادی در میان چینی های باستان بود. عدد 5 در وسط به معنای زمین بود و در اطراف آن در تعادل دقیق آتش (2 و 7)، آب (1 و 6)،

چوب (3 و 8)، فلز (4 و 9).

با افزایش اندازه مربع (تعداد سلول ها)، تعداد مربع های جادویی ممکن با آن اندازه به سرعت افزایش می یابد. 880 مربع جادویی درجه 4 و 275305224 مربع جادویی درجه 5 وجود دارد. علاوه بر این، مربع های 5x5 در قرون وسطی شناخته شده بودند. به عنوان مثال مسلمانان نسبت به چنین مربعی که عدد 1 در وسط آن بود بسیار احترام می گذاشتند و آن را نماد وحدت خداوند می دانستند.

مربع جادویی فیثاغورث

دانشمند بزرگ فیثاغورث، که آموزه دینی و فلسفی را پایه گذاری کرد، که روابط کمی را اساس جوهر چیزها اعلام می کرد، معتقد بود که ماهیت یک شخص نیز در عدد - تاریخ تولد نهفته است. بنابراین، با کمک مربع جادویی فیثاغورس، می توان شخصیت یک فرد، درجه سلامت آزاد شده و پتانسیل آن را شناخت، مزایا و معایب را آشکار کرد و از این طریق تشخیص داد که برای بهبود آن چه باید کرد.

برای اینکه بفهمیم مربع جادویی فیثاغورث چیست و شاخص های آن چگونه محاسبه می شود، با استفاده از مثال خودم آن را محاسبه می کنم. و برای اطمینان از اینکه نتایج محاسبه واقعاً با شخصیت واقعی این یا آن شخص مطابقت دارد، ابتدا آن را روی خودم بررسی می کنم. برای این کار محاسبه را با توجه به تاریخ تولدم انجام می دهم. بنابراین تاریخ تولد من 1365/08/20 است. بیایید اعداد روز، ماه و سال تولد را با هم جمع کنیم (بدون صفر): 2+8+1+9+8+6=34. سپس اعداد حاصل را اضافه کنید: 3 + 4 = 7. سپس از مجموع اول عدد دو برابر شده اول تولد را کم می کنیم: 34-4=30. و دوباره اعداد آخرین عدد را اضافه کنید:

3+0=3. باقی مانده است که آخرین اضافات را انجام دهیم - مجموع 1 و 3 و 2 و 4: 34+30=64، 7+3=10. شماره های 1986/08/20,34,7,30,64,10 را دریافت کردیم.

و یک مربع جادویی بسازید که تمام واحدهای این اعداد در خانه 1، هر دو در خانه 2 و غیره قرار گیرند. صفرها در نظر گرفته نمی شوند. در نتیجه مربع من به شکل زیر خواهد بود:

سلول های مربع به معنای موارد زیر است:

سلول 1 - هدفمندی، اراده، پشتکار، خودخواهی.

  • 1- خودخواهان کامل، تلاش کنید تا از هر موقعیتی حداکثر بهره را ببرید.
  • 11 - شخصیتی نزدیک به خودخواه.
  • 111 - "میانگین طلایی". شخصیت آرام، انعطاف پذیر، اجتماعی است.
  • 1111 - افراد با شخصیت قوی، با اراده. مردانی با چنین شخصیتی برای نقش حرفه ای نظامی مناسب هستند و زنان خانواده خود را در مشت نگه می دارند.
  • 11111 - دیکتاتور، ظالم.
  • 111111 - یک فرد ظالم که قادر به انجام غیرممکن است. اغلب تحت تأثیر برخی ایده ها قرار می گیرد.

سلول 2 - انرژی زیستی، عاطفه، صداقت، احساس. تعداد دو تا سطح انرژی زیستی را تعیین می کند.

هیچ فریبنده ای وجود ندارد - کانالی برای مجموعه ای فشرده از انرژی های زیستی باز است. این افراد ذاتاً تحصیل کرده و نجیب هستند.

  • 2- افراد عادی از نظر انرژی زیستی. چنین افرادی نسبت به تغییرات جو بسیار حساس هستند.
  • 22 - عرضه نسبتاً زیادی از انرژی زیستی. چنین افرادی پزشکان، پرستاران، مراقبان خوبی هستند. در خانواده چنین افرادی به ندرت کسی استرس عصبی دارد.
  • 222 نشانه یک روان است.

سلول 3 - دقت، ویژگی، سازماندهی، دقت، وقت شناسی، پاکیزگی، خساست، تمایل به "بازگرداندن عدالت".

رشد سه قلوها همه این ویژگی ها را افزایش می دهد. با آنها معقول است که انسان خود را در علوم به ویژه علوم دقیق جستجو کند. غلبه سه گانه باعث پدید آمدن افراد در یک پرونده می شود.

سلول 4 - سلامت. این به دلیل egregor است، یعنی فضای انرژی که توسط اجداد توسعه یافته و از شخص محافظت می کند. نبودن چهار عدد نشان دهنده درد و رنج فرد است.

  • 4- سلامت متوسط، لازم است بدن را معتدل کرد. ورزش های توصیه شده شنا و دویدن است.
  • 44 - تندرستی
  • 444 و بیشتر - افراد با سلامت بسیار خوب.

سلول 5 - شهود، روشن بینی، که در چنین افرادی در سطح سه پنج شروع می شود.

هیچ پنجی وجود ندارد - کانال ارتباطی با فضا بسته است. این افراد اغلب هستند

اشتباه هستند.

  • 5- کانال ارتباطی باز است. این افراد می توانند موقعیت را به درستی محاسبه کنند تا بیشترین بهره را از آن ببرند.
  • 55 - شهود بسیار توسعه یافته. وقتی «رویاهای نبوی» می بینند، می توانند سیر وقایع را پیش بینی کنند. حرفه های مناسب برای آنها یک وکیل، یک بازپرس است.
  • 555 - تقریباً روشن بین.
  • 5555 - روشن بینان.

سلول 6 - زمینی بودن، مادیت، محاسبه، تمایل به توسعه کمی جهان و بی اعتمادی به جهش های کیفی، و حتی بیشتر از معجزات یک نظم معنوی.

شش ها وجود ندارند - این افراد به کار فیزیکی نیاز دارند، اگرچه معمولاً آن را دوست ندارند. آنها دارای تخیل فوق العاده، فانتزی، ذوق هنری هستند. طبیعت های ظریف، با این وجود قادر به عمل هستند.

  • 6- می توان به خلاقیت یا علوم دقیق مشغول شد، اما کار بدنی لازمه وجود است.
  • 66 - مردم بسیار زمینگیر هستند و به کار بدنی کشیده می شوند، هر چند بر آنها واجب نیست. فعالیت ذهنی یا کلاس های هنری مطلوب است.
  • 666 - نشان شیطان، علامت خاص و شوم. این افراد خلق و خوی بالایی دارند، جذاب هستند، همیشه در مرکز توجه جامعه قرار می گیرند.
  • 6666 - این افراد در تجسم های قبلی خود زمینه بسیار زیادی به دست آوردند، آنها بسیار سخت کار کردند و نمی توانند زندگی خود را بدون کار تصور کنند. اگر مربع آنها داشته باشد

نه، آنها قطعا نیاز به فعالیت ذهنی، توسعه هوش، حداقل تحصیلات عالی دارند.

سلول 7 - تعداد هفت ها معیار استعداد را تعیین می کند.

  • 7- هر چه بیشتر کار کنند بعد از آن بیشتر می گیرند.
  • 77 - افراد بسیار با استعداد، موزیکال، دارای ذوق هنری ظریف، ممکن است تمایل به هنرهای زیبا داشته باشند.
  • 777 - این افراد معمولاً برای مدت کوتاهی به زمین می آیند. آنها مهربان، آرام هستند، هر بی عدالتی را با دردناکی درک می کنند. آنها حساس هستند، دوست دارند رویا ببینند، همیشه واقعیت را احساس نمی کنند.
  • 7777 علامت فرشته است. افراد دارای این علامت در دوران نوزادی می میرند و اگر زنده بمانند، زندگی آنها دائماً در خطر است.

سلول 8 - کارما، وظیفه، تعهد، مسئولیت. تعداد هشت تا درجه احساس وظیفه را مشخص می کند.

هیچ هشتی وجود ندارد - این افراد تقریباً کاملاً فاقد احساس وظیفه هستند.

  • 8- ذات مسئول، وظیفه شناس، دقیق.
  • 88 - این افراد دارای احساس وظیفه توسعه یافته هستند، آنها همیشه با تمایل به کمک به دیگران، به ویژه افراد ضعیف، بیمار، تنها، متمایز می شوند.
  • 888 - نشانه وظیفه بزرگ، نشانه خدمت به مردم. خط کش با سه هشت به نتایج فوق العاده ای دست می یابد.
  • 8888 - این افراد دارای توانایی های فراروانی و استعداد استثنایی نسبت به علوم دقیق هستند. مسیرهای فراطبیعی به روی آنها باز است.

سلول 9 - ذهن، خرد. عدم وجود 9 گواه بر این است که توانایی های ذهنی بسیار محدود است.

  • 9- این افراد برای جبران کمبود هوش باید تمام عمر خود را سخت کوشند.
  • 99 - این افراد از بدو تولد باهوش هستند. آنها همیشه تمایلی به یادگیری ندارند، زیرا دانش به راحتی به آنها داده می شود. آنها دارای حس شوخ طبعی با لمس کنایه آمیز، مستقل هستند.
  • 999 بسیار هوشمند هستند. هیچ تلاشی برای یادگیری به هیچ وجه انجام نمی شود. همکارهای عالی
  • 9999 - حقیقت برای این افراد آشکار می شود. اگر شهود نیز توسعه یافته باشد، در مقابل شکست در هر یک از تلاش های خود تضمین می شود. با همه اینها، آنها معمولاً بسیار خوشایند هستند، زیرا ذهن تیز آنها را بی ادب، بی رحم و بی رحم می کند.

بنابراین، با گردآوری مربع جادویی فیثاغورث و دانستن معنای تمام ترکیبات اعداد موجود در سلول های آن، می توانید به اندازه کافی از ویژگی های طبیعت خود که طبیعت مادر به آن اعطا کرده است، قدردانی کنید.

مربع های لاتین

علیرغم این واقعیت که ریاضیدانان عمدتاً به مربع های جادویی علاقه داشتند، مربع های لاتین بیشترین کاربرد را در علم و فناوری پیدا کردند.

مربع لاتین مربعی از سلول‌های nxn است که اعداد 1، 2، ...، n در آن نوشته می‌شود، به‌علاوه، به گونه‌ای که همه این اعداد یک بار در هر سطر و هر ستون وجود داشته باشند. شکل 3 دو مربع 4*4 را نشان می دهد. آنها یک ویژگی جالب دارند: اگر یک مربع روی مربع دیگر قرار گیرد، تمام جفت اعداد به دست آمده متفاوت هستند. چنین جفت هایی از مربع های لاتین متعامد نامیده می شوند.

وظیفه یافتن مربع های متعامد لاتین برای اولین بار توسط ال. اویلر تعیین شد، و در چنین فرمول سرگرم کننده ای: "در بین 36 افسر، به طور مساوی لنسرها، اژدها، هوسرها، کویراسیرها، نگهبانان سواره نظام و نارنجک داران و علاوه بر این، ژنرال ها به همان اندازه وجود دارند. ، سرهنگ ها، سرگردها، سروان ها، ستوان ها و ستوان های دوم و هر شعبه خدماتی توسط افسران هر شش درجه نمایندگی می شود. آیا می توان همه افسران را در یک مربع 6*6 ردیف کرد تا افسران همه رده ها در هر ستون و هر خطی به هم برسند؟

اویلر نتوانست راه حلی برای این مشکل بیابد. در سال 1901 ثابت شد که چنین راه حلی وجود ندارد. در همان زمان، اویلر ثابت کرد که جفت های متعامد مربع های لاتین برای همه مقادیر فرد n و برای مقادیر زوج n که بر 4 بخش پذیر هستند وجود دارد. اویلر فرض کرد که برای مقادیر باقی مانده از n، یعنی ، اگر عدد n هنگام تقسیم بر 4 باقیمانده 2 را بدست آورد، هیچ مربع متعامد وجود ندارد. در سال 1901، ثابت شد که مربع های متعامد 6 6 وجود ندارند، و این اعتماد به اعتبار حدس اویلر را افزایش داد. با این حال، در سال 1959، با استفاده از یک کامپیوتر، ابتدا مربع های متعامد 10x10، سپس 14x14، 18x18، 22x22 پیدا شد. و سپس نشان داده شد که برای هر n به جز 6، مربع متعامد nxn وجود دارد.

مربع های جادویی و لاتین خویشاوندان نزدیک هستند. اجازه دهید دو مربع متعامد داشته باشیم. سلول های مربع جدید هم اندازه را به صورت زیر پر کنید. بیایید عدد n(a - 1) + b را در آنجا قرار دهیم، که a عدد چنین خانه ای از مربع اول است، و b عددی است در همان خانه مربع دوم. به راحتی می توان فهمید که در مربع حاصل، مجموع اعداد در سطرها و ستون ها (اما نه لزوماً روی مورب ها) یکسان خواهد بود.

تئوری مربع های لاتین کاربردهای زیادی هم در خود ریاضیات و هم در کاربردهای آن پیدا کرده است. بیایید یک مثال بزنیم. فرض کنید می خواهیم 4 نوع گندم را برای بهره وری در یک منطقه معین آزمایش کنیم و می خواهیم تأثیر درجه پراکندگی محصولات و تأثیر دو نوع کود را در نظر بگیریم. برای این کار یک قطعه زمین مربعی را به 16 قطعه تقسیم می کنیم (شکل 4). اولین رقم گندم را در کرت های مربوط به نوار افقی پایین، رقم بعدی - در چهار قطعه مربوط به نوار بعدی و غیره (در شکل، رقم با رنگ مشخص شده است) می کاریم. در این حالت، بگذارید حداکثر تراکم کاشت در آن کرت هایی باشد که با ستون عمودی سمت چپ شکل مطابقت دارد و هنگام حرکت به سمت راست کاهش یابد (در شکل، این مربوط به کاهش شدت رنگ است). اعداد موجود در خانه های شکل به این معنی هستند:

اولی تعداد کیلوگرم کود نوع اول مصرفی در این منطقه و دومی مقدار کود نوع دوم مصرفی. به راحتی می توان فهمید که در این صورت تمام جفت های ترکیبی ممکن از هر دو رقم و تراکم کاشت و سایر اجزاء تحقق می یابد: تنوع و کودهای نوع اول، کودهای نوع اول و دوم، تراکم و کودهای نوع دوم. .

استفاده از مربع های متعامد لاتین به در نظر گرفتن تمام گزینه های ممکن در آزمایش های کشاورزی، فیزیک، شیمی و فناوری کمک می کند.

مربع جادوی فیثاغورث لاتین

نتیجه

این مقاله به مسائل مربوط به تاریخچه توسعه یکی از مسائل ریاضیات می پردازد که ذهن بسیاری از افراد بزرگ را به خود مشغول کرده است - مربع های جادویی. علیرغم این واقعیت که خود مربع های جادویی کاربرد گسترده ای در علم و فناوری پیدا نکرده اند، آنها الهام بخش بسیاری از افراد برجسته برای مطالعه ریاضیات شدند و به توسعه شاخه های دیگر ریاضیات (نظریه گروه ها، تعیین کننده ها، ماتریس ها و غیره) کمک کردند.

نزدیک ترین بستگان مربع های جادویی، مربع های لاتین، کاربردهای متعددی هم در ریاضیات و هم در کاربردهای آن در تنظیم و پردازش نتایج آزمایش ها پیدا کرده اند. چکیده نمونه ای از راه اندازی چنین آزمایشی را ارائه می دهد.

چکیده همچنین مسئله مربع فیثاغورث را مورد توجه تاریخی قرار می دهد و شاید برای ترسیم پرتره روانشناختی یک شخص مفید باشد.

کتابشناسی - فهرست کتب

  • 1. فرهنگ لغت دانشنامه یک ریاضیدان جوان. م.، "آموزش شناسی"، 1368.
  • 2. ام گاردنر «سفر در زمان»، م.، «میر»، 1990.
  • 3. تربیت بدنی و ورزش شماره 10 1377

همچنین بخوانید