Párne štvorce sa stavajú oveľa ťažšie ako nepárne štvorce. Existuje mnoho spôsobov, ako vysvetliť princípy ich konštrukcie. Tento článok popisuje zábavný spôsob, ako postaviť magický štvorec 4 x 4.
Začneme zadaním jednotky do bunky úplne vľavo v hornom riadku. Dvojka sa nachádza v ďalšej bunke a čísla 3 a 4 v ďalšej. Týmto spôsobom bude dokončený horný riadok. V ďalšom riadku sa zadávajú čísla 5, 6, 7 a 8.
Pokračujte, kým nevyplníte všetky bunky (obr. 1).
Obr.1
Potom musíte vo všetkých extrémnych riadkoch odstrániť dve čísla z centrálnych buniek, to znamená, že čísla 2 a 3 sú odstránené v hornom riadku a 14 a 15 v spodnom riadku. Nakoniec sú čísla 5 a 9 odstránené v ľavom krajnom rade av pravom krajnom - 8 a 12 (obr. 2).
Obr.2 Teraz môžu byť tieto čísla usporiadané pomerne zaujímavým spôsobom. Čísla 2 a 3 zaberajú bunky, ktoré predtým obsahovali čísla 14 a 15. Spodný riadok teda bude pozostávať z čísel 13, 3, 2 a 16. Na rovnakom princípe sú umiestnené čísla 14 a 15, tj. , zaberajú tie bunky, ktoré predtým obsahovali čísla 2 a 3. V dôsledku toho bude horný riadok pozostávať z čísel 1, 15, 14 a 4. Dúfam, že už chápete, ako sa bude magický štvorec budovať ďalej. Čísla 8 a 12 obsadia tie bunky, ktoré predtým obsahovali čísla 5 a 9. Nakoniec sa čísla 5 a 9 zmestia do dvoch buniek v stĺpci úplne vpravo (obr. 3).
Obr.3 Všimnite si, že v tomto magickom štvorci je súčet čísel v ľubovoľnom riadku 34.
Rovnakým spôsobom môžete vytvoriť štvorec 4*4 jednoduchým umiestnením šestnástich čísel za sebou, počnúc ľubovoľným číslom. Ak postavíte magický štvorec, kde čísla idú v poradí 3, 6, 9, 12 atď., potom uvidíte, že súčet čísel v ľubovoľnej sérii bude 102.
Existuje mnoho spôsobov, ako postaviť dokonca magické štvorce. Niektoré z nich sú veľmi zložité, časovo náročné a zaujímavé len pre matematikov. Našťastie spôsob, ako vytvoriť jantrové magické štvorce na základe dátumu narodenia, je taký jednoduchý, ako sa len dá.
Úlohy:
1. Naučte sa, ako vyplniť magické štvorce.
2. Rozvíjať pozorovanie, schopnosť zovšeobecňovať.
3. Vštepiť túžbu po nových vedomostiach, záujem o matematiku.
Vybavenie: počítač, multimediálny projektor s plátnom, prezentácia v PowerPointe (príloha 1).
V dávnych dobách, keď sa ľudia naučili počítať a vykonávať aritmetiku, boli prekvapení, keď zistili, že čísla majú nezávislý život, úžasný a tajomný. Sčítaním rôznych čísel, ich umiestňovaním za sebou alebo pod seba dostali niekedy rovnakú sumu. Nakoniec, keď čísla rozdelili čiarami tak, že každé bolo v samostatnej bunke, uvideli štvorec, z ktorého sa ktorékoľvek z čísel podieľalo na dvoch súčtoch a čísla umiestnené pozdĺž uhlopriečok dokonca na troch, pričom všetky súčty sa rovnajú navzájom! Niet divu, že starí Číňania, hinduisti a po nich Arabi pripisovali takýmto stavbám tajomné a magické vlastnosti. (snímka 1)
Magické štvorce sa objavili na starovekom východe ešte pred naším letopočtom. Jedna z dochovaných legiend hovorí, že keď cisár Yu z dynastie Shang (2000 pred Kr.) stál na brehu Luo, prítoku Žltej rieky, zrazu sa objavila veľká ryba (v iných verziách obrovská korytnačka), na ktorej bola kresba dvoch mystických symbolov – čiernych a bielych kruhov (snímka 2), ktorý bol potom realizovaný ako obraz magického štvorca rádu 3. (snímka 3)
Prvá zvláštna zmienka o takomto námestí sa našla okolo 1. storočia pred Kristom. Až do 10. storočia nášho letopočtu. magické štvorce boli stelesnené v amuletoch, kúzlach. V Indii sa používali ako talizmany. Boli maľované na džbány šťastia, lekárske hrnčeky. Doteraz ich niektoré východné národy používajú ako talizman. Možno ich nájsť na palubách veľkých osobných lodí ako detské ihrisko.
Mágiou teda rozumieme štvorce, v ktorých sú súčty čísel v ľubovoľnom stĺpci alebo v akomkoľvek riadku, ako aj pozdĺž uhlopriečok rovnaké.
Doteraz ste magické štvorce používali najčastejšie na mentálne počítanie. V celách námestia je zároveň už umiestnených niekoľko čísel vrátane centrálneho. Zostávajúce čísla je potrebné usporiadať tak, aby sa v akomkoľvek smere získala určitá suma.
Úloha 1. Uvedené sú čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Niektoré z nich sú usporiadané do buniek. Zvyšné čísla je potrebné usporiadať tak, aby súčet bol 15. (snímka 4)
Ukazuje sa, že všetky ostatné magické štvorce zložené z rovnakých čísel je možné z daného získať symetriou vzhľadom na riadok, stĺpec alebo uhlopriečku, takže čísla vo všetkých štvorcoch sú usporiadané podľa rovnakých pravidiel. (snímka 6)
Môžete si všimnúť množstvo vzorov, ktoré uľahčujú vypĺňanie buniek štvorca alebo umožňujú vyriešiť problém s menším počtom údajov v podmienke.
Napríklad v podmienkach problémov podobných predchádzajúcim nie je potrebné uvádzať, aké množstvo by sa malo získať v akomkoľvek smere.
Úloha 2. Nájdite spôsob, ako vypočítať súčet pre riadky, stĺpce a uhlopriečky z predchádzajúceho problému.
Môžete argumentovať takto: súčet čísel v každom riadku je rovnaký, sú tam 3 také riadky, čo znamená, že súčet čísel v každom riadku je trikrát menší ako súčet všetkých čísel. Preto je v našom príklade súčet v každom riadku 15 (45:3). Toto číslo však možno nájsť aj inými spôsobmi: pridajte tri centrálne čísla 4, 5 a 6 alebo vynásobte centrálne číslo 5 3.
Úloha 3. Uvádzajú sa čísla: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Je potrebné ich zadať do buniek štvorca tak, aby v akomkoľvek smere bol súčet rovnaké číslo. Niektoré čísla sú už na štvorčeku zapísané. (snímka 7)
Úloha 4. Uvedené sú čísla 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Dve z nich sú vpísané do buniek štvorca. Zvyšok napíšte tak, aby v ľubovoľnom smere bol súčet rovnaké číslo. (snímka 9)
Pozrime sa na všetky tri vyplnené štvorce a skúsme nájsť množstvo vzorov, ktoré pomôžu vyplniť štvorec ešte menším počtom čísel vpísaných do štvorca. (snímka 11)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Vidíte, aké číslo je v strede námestia? Ako sa nachádza v rade daných čísel? (snímka 12) (V strede štvorca je vždy napísané číslo, ktoré je v našom poradí na piatom mieste, t. j. rovnako vzdialené od jeho ľavého a pravého okraja.)
Môžete si všimnúť množstvo ďalších funkcií: vo štvorci na opačných stranách centrálneho čísla sú čísla, ktoré sú rovnako vzdialené od ľavého a pravého okraja postupnosti. Ukážme si dvojice zodpovedajúcich čísel na príklade vyplnenia štvorca číslami od 1 do 9: (snímka 13)
Keď to viete, môžete vyplniť štvorec takmer bez počítania.
Pozrite sa, ako sa vo štvorci nachádzajú čísla vedľa centrálneho, ako aj čísla z nich napísané cez jedno číslo. V hornej časti sú spojené čiarami. (Nachádzajú sa pozdĺž uhlopriečok štvorca.) A kde sú zvyšné čísla, ktoré sú zdola spojené čiarami? (Sú usporiadané vertikálne a horizontálne.)
Pozrime sa, či sú takéto vzory pozorované v iných štvorcoch. (snímka 14)
(Áno, takéto vzory platia.)
Poďme si to teda zhrnúť. Aké vlastnosti magických štvorcov sme zistili?
1) Ak chcete nájsť súčet čísel v každom stĺpci alebo riadku, môžete vynásobiť centrálne číslo 3.
2) V strede štvorca je číslo napísané v piatom riadku.
3) Vo štvorci na opačných stranách centrálneho čísla sú čísla, ktoré sú rovnako vzdialené od ľavého a pravého okraja postupnosti.
4) Čísla vedľa centrálneho čísla a jedno z neho sú umiestnené pozdĺž uhlopriečok štvorca. Čísla stojace na okraji a cez jedno z neho sú umiestnené vo štvorci vertikálne a horizontálne.
Úloha 5. Sú dané čísla: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Napíšte ich do buniek štvorca tak, aby ste získali rovnaké číslo v ľubovoľnom smere. (snímka 15)
(Poďme zistiť, aké množstvo by sa malo získať v každom smere. Ak to chcete urobiť, vynásobte centrálne číslo 7 číslom 3. Výsledkom je 21. Umiestnite číslo 7 do stredu štvorca na jednu uhlopriečku čísel 6 a 8, na druhej strane - 4 a 10. Zostáva usporiadať chýbajúce čísla: súčet čísel napísaných v prvom riadku je 10, 11 chýba pred 21, čo znamená, že v prázdnej bunke horného riadku napíšte číslo 11 (prvé vpravo).Potom do spodného riadku napíšeme číslo 3 (prvé vľavo).Do ľavého stĺpca napíšeme číslo 5 ( 21 - (6 + 10)), potom zostane do pravého stĺpca zapísať číslo 9. Všetkých 9 čísel sme teda umiestnili do buniek magického štvorca, pričom do štvorca nebolo umiestnené ani jedno číslo podľa stavu úlohy.)
Úloha má niekoľko riešení, ale všetky štvorce sú získané od ostatných symetriou okolo stredových čiar alebo uhlopriečky. (snímka 16)
Úloha 6. Vzhľadom na čísla 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Napíšte ich do buniek štvorca tak, aby ste v akomkoľvek smere dostali celkovo rovnaké číslo.
Jedno z riešení na snímke. (snímka 17)
Úloha 7. Porovnajte podmienky úloh 1 a 6 a premýšľajte o tom, ako by ste mohli problém vyriešiť, ak poznáte riešenie problému 1.
(Čísla z úlohy 6 sú dvojnásobkom zodpovedajúcich čísel z úlohy 1. Preto môžete jednoducho zdvojnásobiť každé číslo štvorca z úlohy 1 a získať požadovaný štvorec.)
Existujú rôzne spôsoby, ako vytvoriť magické štvorce. Zvážte metódu terás, ktorú vynašli starí Číňania. Podľa tejto metódy je potrebné otočiť štvorec „prirodzeného“ čísla okolo stredu o polovicu pravého uhla (snímka 19) a oddeľte stôl 3´3 štvorcovým rámom. (snímka 20)Číslami napísanými mimo rámčeka a tvoriacimi rímsy ("terasy") vyplníme prázdne bunky na opačnej strane tabuľky. (snímka 21)
Podobne je možné zostrojiť ľubovoľný štvorec nepárneho poriadku. Vyplňte bunky magického štvorca 5´5 číslami od 1 do 25. (snímky 22, 23, 24)
Na zostavenie magického štvorca 4'4 je najjednoduchšia a najdostupnejšia metóda nasledovná: v "prirodzenom" štvorci sa ďalšie čísla na hlavných uhlopriečkach vymenia, zatiaľ čo ostatné ostanú nezmenené. (snímky 25, 26)
Zhrnutie lekcie
Aké tajomstvo magických štvorcov ste dnes na hodine objavili? Čo vám v tom pomohlo?
Testovanie s Chaturanga Shorin Alexander
5.2.1 O mágii čísel. Čo sú magické štvorce
O mágii čísel sa dá povedať veľa. Ako príklad sme už na začiatku tejto štúdie uviedli číslo 4. Takto sa dá veľa povedať o akomkoľvek čísle.
Napríklad číslo 1 je jedna, začiatok všetkého. Číslo 2 - odlúčenie, opak dvoch pohlaví. 3 - trojuholník ... A tak ďalej. Toto je veľmi plodná téma, do ktorej sa môžete hrabať donekonečna.
Preto to nechajme a prejdime na magické políčka, ktoré s Chaturanga priamo súvisia.
Magické štvorce sú štvorcové tabuľky celých čísel, ktoré majú jedinečné vlastnosti: napríklad súčty čísel v ľubovoľnom riadku, ľubovoľnom stĺpci a ktorejkoľvek z dvoch hlavných uhlopriečok sa rovnajú rovnakému číslu.
Verí sa, že magické štvorce boli vynájdené v starovekej Číne a boli známe aj v starovekej Indii, odkiaľ Chaturanga pochádza. Dokazuje to najmä N. M. Rudin vo svojej knihe „Od čarovného štvorca k šachu“.
Podľa legendy sa za vlády cisára Yu (asi 2200 pred Kr.) z vôd Žltej rieky vynorila posvätná korytnačka, na ktorej pancieri boli napísané tajomné hieroglyfy. Tieto znaky sú známe ako lo-shu a sú ekvivalentom magického štvorca. V 11. storočí o magických štvorcoch sa dozvedeli v Indii, a potom v Japonsku, kde sa v 16. stor. Magické štvorce boli predmetom rozsiahlej literatúry. V 15. storočí predstavil Európanom magické štvorce. byzantský spisovateľ E. Moshopoulos. Prvým námestím, ktoré vynašiel Európan, je námestie A. Dürera zobrazené na jeho slávnej rytine „Melanchólia 1“. Dátum rytiny (1514) je označený číslami v dvoch centrálnych bunkách spodného riadku. Magickým štvorcom sa pripisovali rôzne mystické vlastnosti. V 16. storočí Cornelius Heinrich Agrippa postavil štvorce 3., 4., 5., 6., 7., 8. a 9. rádu, ktoré súviseli s astrológiou 7 planét. Panovalo presvedčenie, že magický štvorec vyrytý na striebre chráni pred morom. Aj dnes medzi atribútmi európskych veštcov možno vidieť magické štvorce.
V 19. a 20. stor záujem o magické štvorce vzplanul s novou silou. Začali sa skúmať metódami vyššej algebry a operačného počtu.
Každý prvok magického štvorca sa nazýva bunka. Štvorec, ktorého strana je n bunky, obsahuje n 2 bunky a nazýva sa štvorec n- poradie. Väčšina magických štvorcov používa prvé n po sebe idúce prirodzené čísla. Sum Sčísla v každom riadku, každom stĺpci a na ľubovoľnej uhlopriečke sa nazýva konštanta štvorca a rovná sa S= n(n 2 + 1)/2. Dokázal to n– 3. Pre štvorec 3. rádu S= 15, 4. rád - S= 34, 5. rád - S= 65.
Dve uhlopriečky prechádzajúce stredom štvorca sa nazývajú hlavné uhlopriečky. Prerušovaná čiara je uhlopriečka, ktorá po dosiahnutí okraja štvorca pokračuje rovnobežne s prvým segmentom od protiľahlého okraja. Bunky, ktoré sú symetrické okolo stredu štvorca, sa nazývajú šikmo symetrické.
Magické štvorce možno zostrojiť napríklad metódou francúzskeho geometra zo 17. storočia. A. de la Lubera.
Podľa metódy A. de la Louberta možno magický štvorec 5 × 5 zostrojiť takto:
Číslo 1 je umiestnené v centrálnej bunke horného riadku. Všetky prirodzené čísla sú usporiadané v prirodzenom poradí cyklicky zdola nahor v bunkách uhlopriečok sprava doľava. Po dosiahnutí horného okraja štvorca (ako v prípade čísla 1) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky od spodnej bunky nasledujúceho stĺpca. Po dosiahnutí pravého okraja štvorca (číslo 3) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky z ľavej bunky o čiaru vyššie. Po dosiahnutí vyplnenej bunky (číslo 5) alebo rohu (číslo 15) trajektória klesne o jednu bunku nadol, po čom proces plnenia pokračuje.
Ukazuje sa taký magický štvorec:
Môžete použiť aj metódu F. de la Hire (1640-1718), ktorá je založená na dvoch pôvodných štvorcoch. Čísla od 1 do 5 sa zapisujú do bunky prvého štvorca tak, aby sa číslo 3 opakovalo v bunkách hlavnej uhlopriečky smerom nahor a ani jedno číslo sa nevyskytovalo dvakrát v jednom riadku alebo v jednom stĺpci. To isté robíme s číslami 0, 5, 10, 15, 20, len s tým rozdielom, že číslo 10 sa teraz opakuje v bunkách hlavnej uhlopriečky zhora nadol. Súčet týchto dvoch políčok po bunke tvorí magický štvorec. Táto metóda sa používa aj pri konštrukcii štvorcov párneho poradia.
Z knihy Majster snov. Slovník snov. autora Smirnov Terenty LeonidovičVýklad snov o čiernej mágii (Symboly snov čiernej mágie) Mnoho duchovných hľadačov, ktorých fascinujú populárne ezoterické koncepty, ani len netuší, že pri rozvíjaní svojich snov praktizujú skutočnú čiernu mágiu! Toto plne platí pre
Z knihy Praktická mágia modernej čarodejnice. Obrady, rituály, proroctvá autorka Mironova DariaTalizmany a magické štvorce Kúzlo talizmanov je úzko späté s tradíciou numerológie. Čísla a písmená abecedy, ako aj špeciálne symboly, bez ktorých je výroba amuletu nevyhnutná, chránia jeho majiteľa pred zlými vplyvmi.Mnohé talizmany vyzerajú ako
Z knihy Rituály mágie peňazí autor Zolotukhina ZoyaKúzlo čísel Vaše magické číslo Pre každého z nás existuje podľa numerológov akýsi kľúč k vzácnemu tajomstvu - magické číselné znamenie. Ak ho chcete určiť, musíte sčítať všetky čísla svojho dátumu narodenia. Sčítajte, kým neskončíte s
Z knihy Poznaj svoju budúcnosť. Nechajte Fortune pracovať za vás autora Korovina Elena AnatolievnaPomer čísel a písmen
Z knihy Hviezda ochrany a talizman peňazí. Protikrízová numerológia autora Korovina Elena AnatolievnaPomer čísel a písmen Tabuľka
Z knihy Dátum narodenia je kľúčom k pochopeniu človeka autora Alexandrov Alexander FedorovičPRECHODY ČÍSEL Môžeme vám zablahoželať k tomu, že boli preštudované všetky charakteristiky čísel. Pokojne sa pustite do výpočtu dátumov narodenia všetkých vašich blízkych, priateľov, známych, neznámych aj nepriateľov. skvelé! Teraz každý odhalí svoju „skrytú podstatu“. Začnite, samozrejme, od seba - a okamžite to urobíte
Z knihy Slovanská karmická numerológia. Vylepšite svoju maticu osudu autora Maslova Natalia NikolaevnaVZŤAH ČÍSEL 5 A 9 Posledný prechod nemožno nazvať vlastným prechodom, keďže nepôjde o prechod jednej číslice na druhú, ale o zosilnenie jednej číslice cez druhú. Zvážte vzájomný vplyv čísel 5 (logika) a 9 (pamäť) na seba. Predtým, ako definujeme
Z knihy Čo sa dá o človeku dozvedieť podľa dátumu narodenia a mena autora Zyurnyaeva TamaraAdresár. Význam čísel Toto je sila charakteru, jangová energia človeka, jeho slnko. Prítomnosť jednotiek v matici určuje cieľavedomosť človeka, jeho sebaúctu, vodcovské vlastnosti, stupeň jeho
Z knihy Matematika pre mystikov. Tajomstvá posvätnej geometrie od Chesso RennaKúzlo s číslami alebo matematika? Od staroveku sa ľudia obracali na čísla a pripisovali im posvätný význam. Rozlúštiť tajomstvo čísla znamenalo rozlúštiť tajomstvo života. Dokonca aj staroveký grécky mudrc Pytagoras veril, že všetko na svete je známe prostredníctvom čísel
Z knihy múdrosti. Všetko v jednej knihe. Splňte akékoľvek želanie autor Levin PetrKapitola #5 Magické štvorce Hovoríme im magické štvorce alebo planetárne štvorce. Alebo pečate, portréty, tabuľky. Rovnako ako mnohé iné magické nástroje sú v rôznych systémoch známe pod rôznymi názvami, ale akokoľvek sa nazývajú, pochádzajú
Z knihy Numerický rodný kód a jeho vplyv na osud. ako vypočítať šťastie autora Mikheeva Irina Firsovna Z knihy O mágii je vtipné, o mágii vážne autora Kartavcev VladislavEnergia čísel Na určenie významu narodeninového genetického čísla je potrebné v prvom rade určiť význam samotného čísla, jeho stav a energetický obsah. Podľa koncepcií nášho každodenného života „váha“ každej číselnej hodnoty rastie so zvyšujúcou sa hodnotou samotnou.
Z knihy Testovanie s Chaturanga autora Shorin AlexanderCharakteristika čísel Číslo 1 - červená. Bod reality, základ, jadro celej digitálnej nadstavby, ktorá určuje Typ toho či onoho toku energie. Účelom čísla 1 je určiť význam, dôležitosť a váhu vzniknutej reality. Takže vo svete biznisu ďalej
Z knihy autora"Magický dôkaz" alebo "Dôkaz mágie" "Si zlý človek!" Alebo: "Je to zlý človek" Alebo: "Je to dobrý človek!" Alebo: "Si dobrý človek!" Vyberte si! Čo máte radšej? Nie je zábavné sledovať „rituál Zulu, ako tancuje ďalej
Z knihy autora5.2. Magické štvorce v Chaturanga. Chaturanga ako veštenie 5.2.1 O mágii čísel. Čo sú magické štvorce O mágii čísel sa dá veľa povedať. Ako príklad sme už na začiatku tejto štúdie uviedli číslo 4. Takto sa dá veľa povedať o akomkoľvek
Z knihy autora5.2.2. Magické štvorce v Chaturanga 5.2.2.1 Mágia nemagického štvorca Je zvláštne, že najjednoduchší (nemagický) štvorec 5x5, kde čísla idú len jedno po druhom – od 1 do 25, môže mať aj nezvyčajné vlastnosti. Takže v tomto jednoduchom štvorci je súčet „sloieho kríža“
Kúzelný, alebo magický štvorec- štvorcový stôl n × n (\displaystyle n\times n), vyplnené rôznymi číslami tak, aby súčet čísel v každom riadku, každom stĺpci a na oboch uhlopriečkach bol rovnaký. Ak sú súčty čísel v štvorci rovnaké iba v riadkoch a stĺpcoch, potom sa volá polomagický. normálne sa nazýva magický štvorec vyplnený prirodzenými číslami z 1 (\displaystyle 1) predtým n 2 (\displaystyle n^(2)). Magický štvorec je tzv asociatívne alebo symetrické, ak súčet akýchkoľvek dvoch čísel umiestnených symetricky okolo stredu štvorca je rovný n 2 + 1 (\displaystyle n^(2)+1).
Normálne magické štvorce existujú pre všetky objednávky n ≥ 1 (\displaystyle n\geq 1), s výnimkou n = 2 (\displaystyle n=2), aj keď prípad n = 1 (\displaystyle n=1) triviálne - štvorec pozostáva z jedného čísla. Minimálny netriviálny prípad je uvedený nižšie, má poradie 3.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → (\displaystyle\rightarrow ) | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → (\displaystyle\rightarrow ) | 15 | ||
| ↙ (\displaystyle \swarrow ) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↘ (\displaystyle \searrow ) | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Súčet čísel v každom riadku, stĺpci a uhlopriečke sa nazýva magická konštanta, M. Magická konštanta normálneho magického štvorca závisí len od n a je určený vzorcom
M (n) = n (n 2 + 1) 2 (\displaystyle M(n)=(\frac (n(n^(2)+1))(2)))prečo je to tak? |
|
|---|---|
Nech je štvorec so stranou n. (\displaystyle č.) Potom bude mať n 2 (\displaystyle n^(2))čísla. Na jednej strane súčet čísel S \u003d 1 + 2 + 3 + ... + n 2 \u003d n 2 2 (n 2 + 1) . (\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^(2)=(\cfrac (n^(2))(2))(n^(2)+1).) Na druhej strane, S = nM. (\displaystyle S=nM.) Vyrovnaním dostaneme požadovaný vzorec. |
|
Prvé hodnoty magických konštánt sú uvedené v nasledujúcej tabuľke (sekvencia A006003 v OEIS):
| objednať n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Encyklopedický YouTube
1 / 5
✪ Magický štvorec - párty trik
✪ Parker Square
✪ Strana 35 Úloha v teréne (prvý štvorec) - Matematika 3. ročník Moreau - Učebnica 1. časť
✪ Magický štvorec - nová metóda
✪ Magické štvorce. Otvorená lekcia.
titulky
Historicky významné magické štvorce
Námestie Lo Shu
Čarovné námestie Yang Hui (Čína)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Námestie Albrechta Dürera
Magický štvorec 4 × 4 zobrazený na rytine Albrechta Dürera „Melancholia I“ sa považuje za najstarší v európskom umení. Dve stredné čísla v spodnom rade označujú dátum vytvorenia rytiny ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Súčet čísel na ľubovoľnej vodorovnej, zvislej a uhlopriečke je 34. Tento súčet sa vyskytuje aj vo všetkých rohových štvorcoch 2×2, v centrálnom štvorci (10+11+6+7), v štvorci rohových buniek (16+ 13+4+1 ), vo štvorcoch postavených „ťahom rytiera“ (2+12+15+5 a 3+8+14+9), vo vrcholoch obdĺžnikov rovnobežných s uhlopriečkami (2+8+ 15+9 a 3+12+14+5 ), v obdĺžnikoch tvorených pármi stredných buniek na opačných stranách (3+2+15+14 a 5+8+9+12). Väčšina dodatočných symetrií je spôsobená skutočnosťou, že súčet akýchkoľvek dvoch centrálne symetrických čísel je 17.
Squares od Henryho E. Dudeneyho a Allana W. Johnsona Jr.
Ak do štvorcovej matice n × n nie je zadaný striktne prirodzený rad čísel, potom tento magický štvorec - nekonvenčné. Nižšie sú uvedené dva takéto magické štvorce vyplnené prvočíslami (hoci 1 sa v modernej teórii čísel nepovažuje za prvočíslo). Prvý je v poradí n=3(námestie Dyudeni); druhá (veľkosť 4x4) je Johnsonovo námestie. Oba boli vyvinuté na začiatku dvadsiateho storočia:
|
|
Existuje niekoľko ďalších podobných príkladov:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Posledný štvorec, ktorý postavil v roku 1913 J. N. Munsey, je pozoruhodný tým, že je zložený zo 143 za sebou idúcich prvočísiel, s výnimkou dvoch bodov: ide o jednotku, ktorá nie je prvočíslom a jediné párne prvočíslo 2 je nepoužité.
Štvorce s ďalšími vlastnosťami
Diabolské magické námestie
diablove námestie alebo pandiagonálny štvorec- magický štvorec, v ktorom súčty čísel pozdĺž prerušených uhlopriečok (uhlopriečok, ktoré sa tvoria pri zložení štvorca do torusu) v oboch smeroch sa tiež zhodujú s magickou konštantou.
K dispozícii je 48 diabolských políčok 4x4 až po rotácie a odrazy. Ak vezmeme do úvahy aj symetriu vzhľadom na torické paralelné preklady, potom zostanú iba 3 v podstate odlišné štvorce:
|
|
|
Pandiagonálne štvorce existujú pre nepárne poradie n>3, pre akékoľvek poradie dvojitej parity n=4k (k=1,2,3…) a neexistujú pre poradie s jednou paritou n = 4k + 2 (\displaystyle n=4k+2) (k = 1 , 2 , 3 , … (\displaystyle k=1,2,3,\dots )).
Pandiagonálne štvorce štvrtého rádu majú množstvo ďalších vlastností, pre ktoré sú nazývané spáchaný. Dokonalé štvorce nepárneho poriadku neexistujú. Medzi pandiagonálnymi štvorcami s dvojitou paritou nad 4 sú dokonalé.
Pandiagonálnych štvorcov piateho rádu je 3600. Ak vezmeme do úvahy torické paralelné preklady, existuje 144 rôznych pandiagonálnych štvorcov. Jeden z nich je uvedený nižšie.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Ak je aj pandiagonálny štvorec asociatívny, potom sa nazýva ideálne. Príklad dokonalého magického štvorca:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Je známe, že neexistujú dokonalé magické štvorce poriadku n = 4k+2 a štvorec rádu n=4. Zároveň existujú dokonalé štvorce poriadku n = 8. Pomocou metódy konštrukcie zložených štvorcov je možné na základe daného štvorca ôsmeho rádu zostrojiť ideálne štvorce rádu. n=8k, k=5,7,9… a poriadok n = 8^p, p=2,3,4… V roku 2008 kombinatorická metóda na zostavenie dokonalých štvorcov poriadku n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Konštrukcia magických štvorcov
Terasová metóda
Opísal Yu.V. Chebrakov v Teórii magických matíc.
Pre dané nepárne n nakreslite štvorcovú tabuľku n x n. Na tento stôl pripevníme terasy (pyramídy) zo všetkých štyroch strán. V dôsledku toho získame stupňovitú symetrickú postavu.
|
Začnite od ľavého vrcholu stupňovitého útvaru a jeho diagonálne riadky vyplňte po sebe idúcimi prirodzenými číslami od 1 do N 2 (\displaystyle N^(2)).
Potom, aby sa získala klasická matica N-tého rádu, čísla na terasách sa umiestnia na tie miesta tabuľky NxN, v ktorých by boli, keby sa posúvali spolu s terasami, až kým základne terás nepriliehajú opačnej strane stola.
|
|
Okrem toho je táto metóda pravdivá aj vtedy, ak magický štvorec treba poskladať nie z čísel od 1 do N, ale aj z K po N, kde 1<= K< N.
Iné spôsoby
Pravidlá pre vytváranie magických štvorcov spadajú do troch kategórií v závislosti od toho, či je poradie štvorca nepárne, rovná sa dvojnásobku nepárneho čísla alebo sa rovná štvornásobku nepárneho čísla. Všeobecná metóda konštrukcie všetkých štvorcov nie je známa, hoci sa široko používajú rôzne schémy. Nájdite všetky magické štvorce poriadku n (\displaystyle n) uspeje len pre n ≤ 4 (\displaystyle n\leq 4), preto sú veľmi zaujímavé konkrétne postupy na zostavovanie magických štvorcov pre n > 4 (\displaystyle n>4). Najjednoduchšia konštrukcia je pre magický štvorec nepárneho poriadku. Potrebujete bunku so súradnicami (i, j) (\displaystyle (i,j))(kde i (\displaystyle i) a j (\displaystyle j) zmeniť z 1 na n (\displaystyle n)) zadajte číslo
1 + ((i + j − 1 + (n − 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n) . (\displaystyle 1+((i+j-1+(n-1)/2)(\bmod (n)))n+((i+2j+2)(\bmod (n))).) [ ]Ešte jednoduchšie je postaviť konštrukciu nasledovne. Zoberie sa matica n x n. V jeho vnútri je zabudovaný stupňovitý kosoštvorec. V ňom sú bunky zľava nahor pozdĺž uhlopriečok vyplnené po sebe idúcim radom nepárnych čísel. Určí sa hodnota centrálnej bunky C. Potom budú hodnoty v rohoch magického štvorca nasledovné: pravá horná bunka C-1; ľavá spodná bunka C+1 ; pravá spodná bunka C-n; ľavá horná bunka C+n. Vypĺňanie prázdnych buniek v stupňovitých rohových trojuholníkoch sa vykonáva v súlade s jednoduchými pravidlami: 1) v riadkoch sa čísla zvyšujú zľava doprava v prírastkoch n + 1; 2) v stĺpcoch zhora nadol sa čísla zvyšujú s krokom n-1.
Boli vyvinuté aj algoritmy na vytváranie pandiagonálnych štvorcov a ideálnych magických štvorcov 9x9. Tieto výsledky umožňujú zostaviť ideálne magické štvorce príkazov n = 9 (2k + 1) (\displaystyle n=9(2k+1)) pre k = 0 , 1 , 2 , 3 , … (\displaystyle k=0,1,2,3,\bodky ). Existujú aj všeobecné metódy na usporiadanie dokonalých magických štvorcov nepárneho poriadku n > 3 (\displaystyle n>3). Metódy konštrukcie ideálnych magických štvorcov poriadku n=8k, k=1,2,3… a dokonalé magické štvorce. Pandiagonálne a ideálne štvorce párneho-nepárneho poradia je možné kombinovať len vtedy, ak sú netradičné. Napriek tomu je možné nájsť takmer pandiagonálne štvorce.Nachádza sa špeciálna skupina ideálne dokonalých magických štvorcov (tradičných i netradičných).
Príklady zložitejších štvorcov
Magické štvorce nepárneho rádu a rádu dvojitej parity boli metodicky prísne vypracované. Formalizácia štvorcov rádu jednej parity je oveľa zložitejšia, čo ilustrujú nasledujúce schémy:
|
|
|
Existujú desiatky ďalších metód na vytváranie magických štvorcov.
V dávnych dobách považovali veľkí vedci čísla za základ podstaty sveta. Túto podstatu nesie magický štvorec, ktorého tajomstvom je, že súčet čísel vo výslednom štvorci v každej horizontále, v každej vertikále a v každej diagonále je rovnaký.
Ale úplný popis magických štvorcov ešte neexistuje.
Magický štvorec Pytagoras, „priťahujúci“ energiu bohatstva, zostavil zakladateľ
Veľký vedec, ktorý založil náboženskú a filozofickú doktrínu a vyhlásil kvantitatívne vzťahy za základ vecí, veril, že podstata človeka spočíva v dátume narodenia človeka.
Keď viete, ako magický štvorec funguje, môžete nielen zistiť charakterové vlastnosti človeka, jeho zdravotný stav, jeho intelektuálne a tvorivé schopnosti, ale aj zostaviť program na jeho zlepšenie a rozvoj. Čísla, ktoré sú zvláštnym spôsobom zapísané do štvorca, priťahujú nielen bohatstvo, ale aj potrebné energetické toky pre človeka. Napríklad Paracelsus zobrazil svoj štvorec ako talizman zdravia. Čísla tvoria tri riadky, to znamená, že v štvorci je deväť čísel. Ak chcete určiť svoj numerologický kód, musíte vypočítať týchto deväť čísel.
Ako funguje magický štvorec?
Prvý vodorovný rad štvorca tvoria čísla: deň, mesiac a rok narodenia osoby. Napríklad dátum narodenia osoby zodpovedá 08.09.1971. Potom prvé číslo vo štvorci bude 9, ktoré je napísané v prvej bunke. Druhé číslo je číslo mesiaca, teda 8.
Zároveň stojí za to venovať pozornosť, ak mesiac narodenia osoby zodpovedá decembru, to znamená číslu 12, musí sa preto previesť pridaním jednoduchého čísla 3. Tretia číslica zodpovedá číslo roka. Na to je potrebné rozložiť 1971 na zložené čísla a vypočítať ich celkové množstvo rovnajúce sa 18 a ďalej zjednodušiť 1 + 8 = 9. Horné vodorovné pole štvorca vyplníme výslednými číslami: 9,8,9.
V druhom rade štvorca sú napísané čísla zodpovedajúce menu, patronymu a priezvisku osoby podľa numerológie. Každé písmeno má svoju vlastnú číselnú hodnotu. Čísla možno získať z korešpondenčnej tabuľky písmen a čísel podľa numerológie. Ďalej musíte sčítať čísla krstného mena, priezviska a priezviska a priviesť ich na jednoduché hodnoty.
Druhý riadok štvorca je vyplnený výslednými číslami. Štvrté číslo zodpovedá číslu mena, piate - priezvisku a šieste - priezvisku. Teraz máme druhý riadok energetického štvorca.
Ďalší princíp fungovania magického štvorca je založený na astrológii.
Siedma číslica zodpovedá číslu znamenia zverokruhu danej osoby. Baran je prvé znamenie pod číslom 1 a potom v poradí znamenia Rýb - 12. Pri vypĺňaní tretieho riadku štvorca by sa dvojciferné čísla nemali redukovať na prvočísla, všetky majú svoj vlastný význam.
Ôsma číslica je číslo znamenia podľa To znamená, že v našej verzii je rok 1971 rokom kanca.
Deviata číslica predstavuje numerologický kód túžby človeka. Napríklad, človek sa snaží mať vynikajúce zdravie, preto musíte nájsť čísla zodpovedajúce písmenám v tomto slove. Výsledkom je 49, ktoré sa potom zjednoduší pridaním 4. Čísla od 10 do 12, ako v prípade ľudského znamenia zverokruhu, netreba zmenšovať. Teraz, keď viete, ako magický štvorec funguje, môžete si ho jednoducho zložiť a nosiť so sebou ako talizman alebo ozdobiť ako obrázok a zavesiť si ho doma.
