Cлайд 1

Cлайд 2

Трохи з історії софізму Термін "софізм" вперше був введений Аристотелем, походить від давньогрецького слова sophisma - "майстерність, хитра виверт, вигадка, уявна мудрість".

Cлайд 3

Приклади софізмів, відомих ще в давнину «Що ти не втрачав, то маєш; роги ти не втрачав; значить у тебе є роги» «Той, що сидить, встав; хто встав, той стоїть; отже, хто сидить стоїть» «Цей пес твій; він батько; значить, він твій батько» - Чи знаєте ви, про що я зараз хочу вас запитати? - Ні. - Невже ви не знаєте, що брехати погано? - Звичайно знаю. - Але саме про це я й збирався вас спитати, а ви відповіли, що не знаєте; виходить, ви знаєте те, чого не знаєте»

Cлайд 4

Софізми існують уже понад два тисячоліття. Їх виникнення зазвичай пов'язується з філософською діяльністю софістів (Давня Греція V-IV ст. до н.е.) - платних вчителів мудрості, які вчили всіх бажаючих філософії, логіки та, особливо, риторики (науці та мистецтву красномовства). Найвідоміші представники напряму софістики у Стародавній Греції - Протагор, Горгій, Продік.

Cлайд 5

Ліки, що приймаються хворим, є добро. Чим більше робити добра, тим краще. Отже, ліків треба вживати якнайбільше». Злодій «Злодій не хоче придбати нічого поганого. Придбання хорошого є справа хороша. Отже, злодій бажає гарного». логічні алгебраїчні Одиниця дорівнює нулю Візьмемо рівняння х-а=0, розділимо обидві частини рівняння на (х-а), отримуємо (х-а)/(х-а)=0/(х-а) і звідси 1=0. Помилка: Помилка в тому, що х-а нулю, а на нуль ділити не можна.

Cлайд 6

термінологічні «Всі кути трикутника = π» у сенсі «Сума кутів трикутника = π» «скільки п'ять плюс два помножити на два?» Тут важко вирішити чи маються на увазі 9 (тобто 5 + (2 * 2)) або 14 (тобто (5 + 2) * 2). . арифметичні Один рубль не дорівнює ста копійкам. 1 р. = 100 коп. 10 р. = 1000 коп. Помножимо обидві частини цих правильних рівностей, отримаємо: 10 р. = 100000 коп., звідки слідує: 1 р. = 10000 коп., тобто. 1р. не дорівнює 100 коп. Помилка: Помилка, допущена у цьому софізмі, полягає у порушенні правил події з іменованими величинами: всі події, які здійснюються над величинами, потрібно здійснювати ще й з їх розмірностями.

Cлайд 7

Спробуємо "довести", що через точку, що лежить поза прямою, до цієї прямої можна провести два перпендикуляри. Для цього він візьмемо трикутник АВС. На сторонах АВ і ПС цього трикутника, як на діаметрах, побудуємо півкола. Нехай ці півкола перетинаються зі стороною АС в точках Е і D. З'єднаємо точки Е і D прямими з точкою В. Кут АЕВ прямий, як вписаний, що спирається на діаметр; кут ВDС також прямий. Отже, ВЕ перпендикулярна АС і D перпендикулярна АС. Через точку проходять два перпендикуляри до прямої АС.

Cлайд 8

Чим же корисні софізми для тих, хто вивчає фізику? Що можуть дати? Розбір софізмів, насамперед, розвиває логічне мислення, тобто прищеплює навички правильного мислення. Що особливо важливо, розбір софізмів допомагає свідомому засвоєнню матеріалу, що вивчається, розвиває спостережливість, вдумливість і критичне ставлення до того, що вивчається. Нарешті, аналіз софізмів цікавий. Чим важче софізм, тим більше задоволення завдає його аналіз. Цінно, не те, що помилок не зробив, а те, що знайшов причину помилки та усунув її.

Данилов Дмитро, учень 8 класу

Дослідницька робота. Дається визначення софізму, описується історична довідка, розбираються різні софізми: арифметичні, алгебраїчні, геометричні та інші.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

МОУ «ЗОШ с.Мавринка Пугачівського району Саратовської області» Дослідницька робота на муніципальній науково-практичній конференції «Крок у майбутнє» МАТЕМАТИЧНІ СОФІЗМИ ВИКОНАВ: учень 8 класу Данилов

Мета моєї роботи - довести, що софізм є не просто інтелектуальним шахрайством, а важливим двигуном людської думки. Показати практичне застосування, їхню актуальність і в наш час. Завдання: Розглянути математичні, алгебраїчні, геометричні софізми з погляду їх важливості вивчення математики. Спробувати знайти помилки у представлених софізмах. Показати софізму з життя та сучасної практики.

Вступ. Мозки повинні працювати Софізмами прийнято називати твердження, у доказах яких криються непомітні, а часом і досить тонкі помилки. У будь-якій галузі математики – від простої арифметики до сучасних, складніших областей – є свої софізми. У найкращих з них міркування з ретельно замаскованою помилкою дозволяють приходити до найнеймовірніших висновків. Помилка в геометричних доказах Евклід присвятив цілу книгу, але до наших днів вона не дійшла, і нам залишається лише гадати про те, яку непоправну втрату зазнала через це елементарна математика. Розбір софізмів, передусім, розвиває логічне мислення, тобто. прищеплює навички правильного мислення. Виявити помилку у софізмі - це означає усвідомити її, а усвідомлення помилки попереджає від повторення її в інших математичних міркуваннях. Розвиток критичного мислення дозволить як успішно освоїти точні науки, а й стати жертвою шахраїв у житті. Наприклад, при оформленні кредиту в банку не виявиться довічним його боржником. Думаю, багато хто хоча б раз у житті чув подібні висловлювання: «Всі числа рівні» або «два одно трьом». Таких прикладів може бути дуже багато, але що це означає? Хто це вигадав? Чи можна якось пояснити ці висловлювання чи все це вигадка? На ці запитання та на багато інших я хочу відповісти у своїй роботі. Існують різні софізми: логічні, термінологічні, психологічні, математичні і т.д.

ПОНЯТТЯ «СОФІЗМ» Софізм – (від грецького sophisma , «майстерність, уміння, хитра вигадка, хитрощі») - висновок або міркування, що обґрунтовує якусь явну безглуздість, абсурд або парадоксальне твердження, що суперечить загальноприйнятому. Софізм, на відміну паралогізму, заснований на навмисному, свідомому порушенні правил логіки. Яким би не був софізм, він завжди містить одну або кілька замаскованих помилок. Математичний софізм – дивовижне твердження, на доказ якого криються непомітні, а часом і досить тонкі помилки. Історія математики сповнена несподіваних та цікавих софізмів, дозвіл яких часом служило поштовхом до нових відкриттів. Математичні софізми привчають уважно і насторожено просуватися вперед, ретельно стежити за точністю формулювань, правильністю запису креслень, за законністю математичних операцій. Дуже часто розуміння помилок у софізмі веде до розуміння математики загалом, допомагає розвивати логіку та навички правильного мислення. Якщо знайшов помилку в софізмі, значить, ти її усвідомив, а усвідомлення помилки попереджає її повторення в подальших математичних міркуваннях. Софізм не приносять користі, якщо їх не розуміти.

ЕКСКУРС В ІСТОРІЮ Софістами називали групу давньогрецьких філософів 4-5 століття до н. . Аристотель називав софізмом «уявні докази», у яких обгрунтованість укладання уявна і має суто суб'єктивному враженню, викликаному недостатністю логічного аналізу. . Переконливість на перший погляд багатьох софізмів, їхня «логічність» зазвичай пов'язана з добре замаскованою помилкою: підміна основної думки (тези) доказу, прийняття помилкових посилок за істинні, недотримання допустимих способів міркування (правил логічного висновку), використання «невирішених» або навіть «заборонених» » правил або дій, наприклад поділу на нуль у математичних софізмах.

АРИФМЕТИЧНІ СОФІЗМИ Арифметика - (грец. arithmetika, від arithmys - число), наука про числа, насамперед про натуральні (цілі позитивні) числа і (раціональні) дроби, і дії над ними. То що таке арифметичні софізми? Арифметичні софізми – це числові вирази, що мають неточність чи помилку, не помітну з першого погляду. 1. « Якщо А більше, то А завжди більше, ніж 2В» Візьмемо два довільні позитивні числа А і В, такі, що А>В. Помноживши цю нерівність на, отримаємо нову нерівність АВ>В*В, а відібравши від обох його частин А*А, отримаємо нерівність АВ-А*А>В*В-А*А, яка рівносильна наступному: А(В-А )>(В+А)(В-А). (1) Після поділу обох частин нерівності (1) на В-А отримаємо, що А>В+А (2), А додавши до цієї нерівності почленно вихідну нерівність А>В, маємо 2А>2В+А, звідки А>2В . Отже, якщо А>В, то А>2В. Це означає, наприклад, що з нерівності 6>5 випливає, що 6>10. Де ж помилка?

2. «Число, що дорівнює іншому числу, одночасно і більше, і менше його». Візьмемо два довільні позитивні рівні числа А і В і напишемо для них такі очевидні нерівності: А>-В і В>-В. (1) Перемноживши обидві ці нерівності почленно, отримаємо нерівність А*В>В*В, а після його поділу на В, що цілком законно, адже В>0, дійти висновку, що А>В. (2) Записавши ж два інших так само безперечних нерівності В>-А і А>-А, (3) Аналогічно попередньому отримаємо, що В*А>А*А, а розділивши на А>0, прийдемо до нерівності А>В . (4) Отже, число А, рівне числу, одночасно і більше, і менше його. Де помилка???

3. «2+2=5» Щоб довести, що 2+2=5, можна лише довести, що 4=5 Почнемо з рівності: 16-36=25-45 Додамо до обох частин 20,25, отримаємо: 16 -36+20,25=25-45+20,25 Зауважимо, що у обох частинах рівності можна вивести повний квадрат: 4²-2*4*4,5+4,5²=5²-2*5*4,5+ 4,5² Отримаємо:: (4-4,5)²=(5-4,5)² Вилучаємо корінь з обох частин рівності, отримаємо: 4-4,5=5-4,5 4=5 що й потрібно довести .

4. «Двічі два і п'ять» Позначимо 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Маємо: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножимо дві останні рівністі частинами. Отримаємо: 2da-a2 = 2db-b2. Помножимо обидві частини рівності, що вийшла на –1 і додамо до результатів d 2 . Будемо мати: a 2 -2da+d 2 =b 2 -2bd+d 2 або (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), звідки a-d=b-d і a=b , тобто. 2 * 2 = 5 Де помилка???

5. «Зниклий рубль» Три подруги зайшли до кафе випити по чашці кави. Випили. Офіціант приніс їм рахунок 30 рублів. Подруги заплатили по 10 рублів та вийшли. Проте господар кафе чомусь вирішив, що подана на цей столик кава коштує 25 рублів, і наказав повернути відвідувачкам 5 рублів. Офіціант взяв гроші і побіг наздоганяти подруг, але поки що біг, подумав, що їм буде важко ділити на трьох 5 рублів, і тому вирішив віддати їм по 1 рублю, а два рублі залишити собі. Так і вчинив. Що ж вийшло? Подруги заплатили по 9 карбованців. 9 * 3 = 27 рублів, і два рублі залишилося у офіціанта. А де ще 1 карбованець?

Алгебратичні софізми Алгебра - один з великих розділів математики, що належить поряд з арифметикою і геометрією до найстаріших гілок цієї науки. Завдання, і навіть методи алгебри, що відрізняють її з інших галузей математики, створювалися поступово, починаючи з давнини. Алгебра виникла під впливом потреб суспільної практики, у результаті пошуків загальних прийомів на вирішення однотипних арифметичних завдань. Прийоми ці полягають зазвичай у складанні та розв'язанні рівнянь. Тобто. алгебраїчні софізми - навмисно приховані помилки в рівняннях та числових виразах.

1. «Два неоднакові натуральні числа рівні між собою» Розв'яжемо систему двох рівнянь: х+2у=6, (1) у=4- х /2 (2) Зробимо це підстановкою у з 2-го рівняння в 1, отримуємо х+8- х = 6, звідки 8 = 6 Де ж помилка?

2. «Негативне число більше позитивного». Візьмемо два позитивні числа а і с. Порівняємо два відношення: а/- c і -а/ c Вони рівні, тому що кожне з них одно-(а/с). Можна скласти пропорцію: a / - c = - a / c Але якщо у пропорції попередній член першого відношення більше наступного, то попередній член другого відношення також більший за свій наступний. У разі а>-с, отже, має бути –а>с, тобто. негативне число більше позитивного. Де помилка???

3.Будь-яке число a дорівнює меншому числу b Почнемо з рівності: a=b+c Помножимо обидві його частини на ab отримаємо: a²-ab = ab+ac-b²-bc Перенесемо ac у ліву частину: a²-ab-ac = ab-b²-bc і розкладемо на множники: a (abc) =b (abc) Розділивши обидві частини рівності на abc , знайдемо a=b що потрібно було довести.

4.Рівняння x-a=0 немає коренів Дане рівняння: x-a=0 Розділимо все на x-a , отримаємо: 1=0 Це рівність неправильне, отже вихідне рівняння немає коренів.

5.Вага слона дорівнює вазі комара. Нехай х – вага слона, а у – вага комара. Позначимо суму цих ваг 2п, отримаємо х + у = 2п. З цієї рівності можна отримати ще два: х – 2п = -у та х = -у + 2п. Перемножимо почленно ці дві рівності: х 2 – 2пх + п 2 = 2 – 2пу + п 2 або (х – п) 2 = (у – п) 2 . Виймаючи квадратний корінь з обох частин останньої рівності, отримаємо: х - п = у - п або х = у, тобто. вага слона дорівнює вазі комара! У чому тут річ?

ГЕОМЕТРИЧНІ СОФІЗМИ Геометричні софізми - це умовиводи або міркування, що обґрунтовують якусь явну безглуздість, абсурд або парадоксальне твердження, пов'язане з геометричними фігурами та діями над ними. 1. «Сірник удвічі довший за телеграфний стовп» Нехай, а дм- довжина сірника і b дм - довжина стовпа. Різниця між b і a позначимо через c. Маємо b - a = c, b = a + c. Перемножуємо ці дві рівності частинами, знаходимо: b 2 - ab = ca + c 2 . Віднімемо з обох частин bc. Отримаємо: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc або b (b - a - c) = - c (b - a - c), звідки b = - c , але c = b - a , тому b = a - b або a = 2b. Де помилка???

2. Завдання про трикутник Даний прямокутний трикутник 13×5 клітин, складений із 4 частин. Після перестановки елементів при візуальному збереженні початкових пропорцій утворюється додаткова, не зайнята жодною частиною, клітина. Звідки вона береться?

Твердження легко перевірити обчисленнями.

3. Зникаючий квадрат Великий квадрат складається з чотирьох однакових чотирикутників та маленького квадрата. Якщо чотирикутники розгорнути, то вони заповнять площу, яку займає маленький квадрат, хоча площа великого квадрата візуально не зміниться.

Софізм Аристотеля Усі кола мають однакову довжину. Адже при обертанні двох кіл з різними діаметрами ОА 1 і ОА 2 кожна з них за один оборот спрямовується на однаковий відрізок OO 1

Для виявлення помилки побудований креслення, що показує, яку насправді траєкторію проходять різні точки кола, і стає очевидною помилка підтвердження. Точки А1 і А2 під час руху колеса описують криві різної довжини, їх називають циклоїдальними кривими.

ІНШІ СОФІЗМИ Крім математичних софізмів, існує безліч інших, наприклад: логічні, термінологічні, психологічні тощо. Зрозуміти абсурдність таких тверджень простіше, але від цього вони не стають менш цікавими. Дуже багато софізмів виглядають як позбавлена ​​сенсу і мети гра з мовою; гра, що спирається на багатозначність мовних висловів, їх неповноту, недомовленість, залежність їх значень від тих контексту тощо. Ці софізми здаються особливо наївними та несерйозними. «Напівпорожнє та напівповне» «Напівпорожнє є те саме, що й напівповне. Якщо рівні половини, значить рівні і цілі. Отже, порожнє є те саме, що й повне». «Парне та непарне» «5 є 2 + 3 («два і три»). Два - число парне, три - непарне, виходить, що п'ять - число і парне і непарне. П'ять не ділиться на два, так само, як і 2 + 3, отже, обидва числа не парні! «Ліки» «Ліки, які приймають хворі, є добро. Чим більше робити добра, тим краще. Отже, ліків треба вживати якнайбільше».

«Найшвидша істота не здатна наздогнати найповільніше» Бистроногий Ахіллес ніколи не наздожене повільну черепаху. Поки Ахіллес добігне до черепахи, вона просунеться трохи вперед. Він швидко подолає і цю відстань, але черепаха піде ще трішки вперед. І так до безкінечності. Щоразу, коли Ахіллес досягатиме місця, де була перед цим черепаха, вона виявлятиметься хоча б трохи, але попереду. "Немає кінця" Рухомий предмет повинен дійти до половини свого шляху перш, ніж він досягне його кінця. Потім він повинен пройти половину половини, що залишилася, потім половину цієї четвертої частини і т.д. до нескінченності. Предмет постійно наближатиметься до кінцевої точки, але так ніколи її не досягне.

"Куча" Одна піщинка не є купа піску. Якщо n піщинок немає купа піску, те й n+1 піщинка - теж купа. Отже, жодна кількість піщин не утворює купу піску. "Чи може всемогутній маг створити камінь, який не зможе підняти?" Якщо не може – значить, він не всемогутній. Якщо може - отже, не всемогутній, т.к. він не може підняти цей камінь. «Чи дорівнює повна склянка порожньому?» Так. Проведемо міркування. Нехай є склянка, наповнена водою до половини. Тоді можна сказати, що склянка, наполовину повна дорівнює склянці, наполовину порожній. Збільшуючи обидві частини рівності вдвічі, отримаємо, що склянка повна дорівнює склянці порожній.

«Софізм Еватла» Еватл брав уроки софістики у софіста Протагора за умови, що гонорар він сплатить лише тому випадку, якщо виграє перший процес. Учень після навчання не взяв він ведення будь-якого процесу і тому вважав себе вправі не платити гонорару. Вчитель погрожував подати скаргу до суду, кажучи йому наступне: "Судді або присудять тебе до сплати гонорару або не присудять. В обох випадках ти повинен будеш сплатити. У першому випадку через вирок судді, у другому випадку через наш договір". На це Еватл відповідав: "Ні в тому, ні в іншому випадку я не заплачу. Якщо мене присудять до сплати, то я, програвши перший процес, не заплачу через наш договір, якщо ж мене не присудять до сплати гонорару, то я не заплачу через вирок суду". (Помилка стає ясною, якщо ми роздільно поставимо два питання: 1) чи повинен Еватл платити чи ні і 2) виконані чи умови договору чи ні.) «Софізм Кратіла» і ту ж річку (образ природи) не можна увійти двічі, бо коли той, хто входить, буде входити наступного разу, на нього тектиме вже інша вода. Його учень Кратіл, зробив із твердження вчителя інші висновки: в одну й ту саму річку не можна увійти навіть один раз, бо поки що ти входиш, вона вже зміниться.

Висновок. Про математичні софізм можна говорити нескінченно багато, як і про математику в цілому. День у день народжуються нові парадокси, деякі з них залишаться в історії, а деякі проіснують один день. Софізм є сумішшю філософії та математики, яка не тільки допомагає розвивати логіку і шукати помилку в міркуваннях. Буквально згадавши, хто ж такі були софісти, можна зрозуміти, що основним завданням було розуміння філософії. Проте, у нашому сучасному світі, якщо й перебувають люди, яким цікаві софізми, особливо математичні, вони вивчають їх як явище лише з боку математики, щоб поліпшити навички правильності і логічності міркувань.

Зрозуміти софізм як такий (вирішити його і знайти помилку) виходить не відразу. Потрібна певна навичка і кмітливість. Розвинена логіка мислення може стати в нагоді в житті. Софістика-це ціла наука, а саме математичні софізми - це лише частина однієї великої течії. Дослідити софізми справді дуже цікаво та незвично. Часом у них міркування здаються бездоганними! Завдяки софізмам можна навчитися шукати помилки у міркуваннях інших, навчиться грамотно будувати свої міркування та логічні пояснення.

учитель математики

Лівадійського НВК

Постернакова Ольга Глібівна

ПОНЯТТЯ СОФІЗМУ

Софізм - (від грецького sophisma - прийом, хитрощі, вигадка, головоломка), умовивід або міркування, що обґрунтовує якусь явну безглуздість, абсурд або парадоксальне твердження, що суперечить загальноприйнятим уявленням.

• Софістами називали групу давньогрецьких філософів 4-5 століття е., досягли великого мистецтва у логіці. У період падіння звичаїв давньогрецького суспільства (5 століття) виникають звані вчителі красномовства, які метою своєї діяльності вважали і називали набуття і поширення мудрості, унаслідок чого вони називали себе софістами.

• Найбільш відома діяльність старших софістів, до яких відносять Протагора з Абдери, Горгія з Леонтіп, Гіппія з Еліди та Продіка з Кеоса.

• Найвідоміший учений і філософ Сократ спочатку був софістом, брав активну участь у суперечках та обговореннях софістів, але незабаром став критикувати вчення софістів та софістику в цілому. Філософія Сократа була заснована на тому, що мудрість набуває зі спілкуванням, у процесі розмови.

• заборонені дії;
• нехтування умовами теорем; формул та правил;
• помилкове креслення;
• опора на помилкові умовиводи.

ФОРМУЛА УСПІШНОСТІ СОФІЗМУ

• Успішність софізму визначається такою формулою:

a + b + c + d + e + f ,

де (a+с+е) становить показник сили діалектика, (b+d+f) є показник слабкості його жертви.

• а - негативні якості особи (відсутність розвитку здатності керувати увагою). b - позитивні якості особи (здатність активно мислити);
• а - негативні якості особи (відсутність розвитку здатності керувати увагою).
• b - позитивні якості особи (здатність активно мислити)
• с - афективний елемент у душі майстерного діалектика
• d - якості, що пробуджуються в душі жертви софіста і затьмарюють у ній ясність мислення
• е – категоричність тону, що не допускає заперечення, певна міміка
• f - пасивність слухача

• Сума будь-яких двох однакових чисел дорівнює нулю.
• Візьмемо довільне не рівне нулю число аі напишемо рівняння х = а.Помножуючи обидві його частини (-4а), отримаємо -4ах = -4а 2 . Додаючи до обох частин останньої рівності х 2 і перенісши член -4а 2 вліво з протилежним знаком, отримаємо х 2 -4ах + 4a 2 = х 2 звідки, помічаючи, що зліва стоїть повний квадрат, маємо
• (х-2а) 2 = х 2 х-2а = х.
• Замінюючи в останній рівності хна рівне йому число а, отримаємо а-2а = а, або -а = а,звідки 0 = a + a,
• тобто сума двох довільних однакових чисел адорівнює 0.

• Усі числа рівні між собою
• Доведемо, що 5 = 6.
• Запишемо рівність:
• 35+10-45=42+12-54
• Винесемо за дужку спільну
• множники: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
• Розділимо обидві частини цієї рівності на
• загальний множник (він укладений у дужки):
• 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
• Значить, 5=6 .

• «Двічі два дорівнює п'яти».
• Позначимо 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Маємо: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножимо дві останні рівністі частинами. Отримаємо: 2da-a*a=2db-b*b. Помножимо обидві частини рівності на –1 і додамо до результатів d*d. Будемо мати: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, або (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), звідки a-d=b-d та a=b, тобто. 2*2=5

• « Сірник удвічі довший за телеграфний стовп»
• Нехай а дм- Довжина сірника і b дм -довжина стовпа. Різниця між b і a позначимо через c.
• Маємо b – a = c, b = a + c. Перемножуємо ці дві рівності частинами, знаходимо: b 2 - ab = ca + c 2 . Віднімемо з обох частин bc. Отримаємо: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc, або b(b - a - c) = - c(b - a - c), звідки: b = - c, але c = b - a, тому b = a – b, або a = 2b.

ТРИГОНОМЕТРИЙ СОФІЗ м

• Нескінченна велика кількість дорівнює нулю
• Якщо гострий кут збільшується. Наближаючись до 900 як до межі, його тангенс, як відомо, необмежено зростає по абсолютній величині, залишаючись позитивним: tg90 0 = +∞.
• Але якщо взяти тупий кут і зменшити його, наближаючи до 900 як до межі, його тангенс, залишаючись негативним, також необмежено зростає за абсолютною величиною: tg90 0 = - ∞.
• Зіставимо формули (1) та (2): - ∞ = +∞

• «Найшвидша істота не здатна наздогнати найповільнішу»
• Бистроногий Ахіллес ніколи не наздожене повільну черепаху. Поки Ахіллес добігне до черепахи, вона просунеться трохи вперед. Він швидко подолає і цю відстань, але черепаха піде ще трішки вперед. І так до безкінечності. Щоразу, коли Ахіллес досягатиме місця, де була перед цим черепаха, вона виявлятиметься хоча б трохи, але попереду.

• «Софізм Кратіла»
• Діалектик Геракліт, проголосивши тезу "все тече", пояснював, що в ту саму річку (образ природи) не можна увійти двічі, бо коли той, хто входить, буде входити наступного разу, на нього тектиме вже інша вода. Його учень Кратіл, зробив із твердження вчителя інші висновки: в одну й ту саму річку не можна увійти навіть один раз, бо поки що ти входиш, вона вже зміниться.

• «Сидячий встав; хто встав, той стоїть; отже, хто сидить стоїть».
• «Сократ – людина; людина - не те саме, що Сократ; отже, Сократ – це щось інше, ніж Сократ».
• «Для того, щоб бачити, зовсім необов'язково мати очі, адже без правого ока ми бачимо, без лівого теж бачимо; крім правого та лівого, інших очей у нас немає; тому ясно, що очі є необхідними зору».
• «Той, хто бреше, говорить про справу, про яку йдеться, або не говорить про неї; якщо він говорить про справу, він не бреше; якщо він не говорить про справу, він говорить про щось неіснуюче, а про нього неможливо не тільки брехати, а й навіть мислити і говорити».

• «Одна й та сама річ не може мати якусь властивість і не мати її. Госпрозрахунок передбачає самостійність, зацікавленість та відповідальність. Зацікавленість – це, очевидно, не відповідальність, а відповідальність – не самостійність. Виходить всупереч сказаному спочатку, що госпрозрахунок включає самостійність та несамостійність, відповідальність та безвідповідальність».

• «Акціонерне суспільство, що отримав колись позику від держави, тепер йому вже не повинно, тому що воно стало іншим: у його правлінні не залишилося нікого з тих, хто просив позику».

• "Предмет математики настільки серйозний, що корисно не упускати випадків зробити його трохи цікавим".
• Б. Паскаль

• Тема заняття
• «Математичні софізми»

• Ціль заняття:
• Поглибити знання з математики. Цікаво та організовано перевірити знання у присутніх з математики.
• 2. Розвивати логіку, уяву, творчість.
• 3. Вплинути на пізнавальну активність колег у її інтенсифікації.

• Софізм - доказ помилкового твердження, причому помилка у доказі майстерно замаскована

• Софізм - слово грецького походження і в перекладі означає головоломку, хитромудру вигадку. Математичні софізми є прикладами таких помилок у математичних міркуваннях, коли при очевидній неправильності результату помилка, що веде до нього, добре замаскована.

• До софізмів можна віднести доказ того, що Ахіллес, що біжить у 10 разів швидше за черепаху, не зможе її наздогнати.
• Нехай черепаха на 100 м попереду Ахілеса.
• Тоді Ахілес пробіжить ці 100 м, черепаха буде попереду його на 10 м.
• Пробіжить Ахілес ці 10 м, а черепаха виявиться попереду на 1 м і т.д.
• Відстань між ними скорочуватиметься, але ніколи не обернеться в нуль. Значить, Ахіллес ніколи не наздожене черепаху

• Софістами називають групу давньогрецьких філософів 4-5 ст. е., досягли великого мистецтва у логіці.
• В історії математики софізму
• грали істотну роль, вони сприяли глибшому усвідомленню понять та методів математики.

• Академік Іван Петрович Павлов говорив, що "правильно зрозуміла помилка - це шлях до одкровення". З'ясування помилок у математичних міркуваннях часто сприяло розвитку математики. У цьому плані особливо повчальна історія аксіоми Евкліда про паралельні прямі.

• Приклади
• Якщо рівні половини, то рівні й цілі.
• Напівповне є те саме, що й напівпорожнє, повне – те саме, що й порожнє

• Знайдіть помилки в наступних міркуваннях:
• Завдання №1.
• Чотири рази чотири – двадцять п'ять.
• Доказ:
• 16:16=25:25
• 16 (1:1)=25(1:1)
• 4*4=25
• Відповідь: Помилка полягає в тому, що розподільний закон множення автоматично переноситься на поділ, що не так

• Завдання №2
• З руб. = 10000 З коп.
• Доказ:
• З руб. = 100 З коп.
• 1 руб. = 100 коп.
• Відповідь: Помножувати З руб., На 1 рубль не можна, тому що ніяких «квадратних рублів» і «квадратних копійок»

• Практичне завдання
• Після нового року ціна на товар підвищилася двічі на 20%. На скільки відсотків підвищилася ціна товару після двох послідовних підвищень?
• Рішення: вартість товару - а руб.
• після 1 підвищення – 1,2 а руб.
• після 2 підвищення - 1,44 а руб.
• Висновок: ціна товару підвищилася на 44 %.

• Будь-які дві рівності можна почленно перемножити. Застосуємо це твердження до написаних вище рівностей, отримаємо нові рівності
• З руб. = 10000 З коп

• Відповідь: слід запитати: «Ви живете у цьому місті?»
• Відповідь: «Так» - незалежно від того, хто відповідає – житель міста А або житель міста Б означає, що Ви знаходитесь у місті А. Відповідь: «Ні» за будь-яких умов означатиме, що Ви знаходитесь у місті Б.

• Логічна задача – жарт:
• Два міста А та Б розташовані поруч. Жителі обох міст часто відвідують одне одного. Відомо, що всі жителі міста А завжди кажуть лише правду, а жителі міста Б завжди брешуть.
• Яке питання слід поставити жителю, якого Ви зустрічаєте в одному з міст (Ви не знаєте в якому), щоб за його відповіддю «Так» або «Ні» можна було одразу визначити, в якому місті Ви знаходитесь.

• Математичні софізми можуть бути дуже корисними. Розбір софізмів розвиває логічне мислення, допомагає свідомому засвоєнню матеріалу, що навчається, виховує вдумливість, спостережливість, критичне ставлення до того, що вивчається. Крім того, розбір софізмів цікавий. Учні з великим інтересом сприймають софізми, і що складніше софізм, то більше задоволення завдає його розбір.

• Особливо цікаво ця робота може бути поставлена ​​на додаткові заняття учнів старших класів. Знання з математики у початковій та середній ланці ще невеликі. Однак на додаткових заняттях можна познайомити учнів з нескладними математичними софізмами, що ґрунтуються на порушенні законів дії. При цьому якщо врахувати, що учні початкової та середньої школи схильні емоційно реагувати на абсурдність тверджень, міцність засвоєння математичного факту значно підвищується.

• У педагогічному плані математичні софізми повинні використовуватися не так для попередження помилок, як для перевірки ступеня свідомості засвоєння матеріалу. Починати треба з найпростіших софізмів, доступних розумінню учнів, поступово ускладнюючи завдання з накопичення учнями математичних знань.
• (Клікніть на картинці)

1 слайд

2 слайд

Цілі та завдання Метою нашого проекту є всебічний аналіз поняття «софізму», встановлення зв'язку між софістикою та математикою, вплив софізмів на розвиток логіки. Ми поставили собі завдання: 1. Дізнатися: що таке софізм? як знайти помилку у зовні безпомилкових міркуваннях? критерії класифікації софізмів. 2. Скласти збірник завдань на софізму з різних розділів математики для 6-10 класів.

3 слайд

Що таке софізм? Софізм - навмисна помилка, що робиться з метою заплутати супротивника і видати хибне судження за справжнє.

4 слайд

Небагато з історії софізму Софізми існують і обговорюються більше двох тисячоліть, причому гострота їхнього обговорення не знижується з роками.

5 слайд

Дещо з історії софізму Виникнення софізмів зазвичай пов'язується з філософією софістів, яка їх обгрунтовувала і виправдовувала. Термін "софізм" вперше ввів Аристотель, який охарактеризував софістику як уявну, а не справжню мудрість.

6 слайд

Софізм «Мед» - Скажи, - звертається софіст до молодого любителя суперечок, - може одна й та сама річ мати якусь властивість і не мати її? - Очевидно, що ні. - Подивимося. Мед солодкий? - Так. – І жовтий теж? - Так, мед солодкий та жовтий. Але що з того? - Значить, мед солодкий та жовтий одночасно. Але жовтий – це солодкий чи ні? - Звичайно, ні. Жовтий – це жовтий, а не солодкий. – Значить, жовтий – це не солодкий? - Звичайно. - Про мед ти сказав, що він солодкий і жовтий, а потім погодився, що жовтий означає не солодкий, і тому як би сказав, що мед є солодким і не солодким водночас. Адже спочатку ти твердо говорив, що жодна річ не може і мати і не мати якусь властивість.

7 слайд

Софізм «Навчання» The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study?

8 слайд

9 слайд

Логічні помилки Оскільки зазвичай висновок може бути виражений у силогістичній формі, то і всякий софізм може бути зведений до порушення правил силогізму.

10 слайд

Термінологічні помилки Неточне чи неправильне слововживання і побудова фрази, складніші софізми походять з неправильної побудови цілого складного перебігу доказів, де логічні помилки є замаскованими неточностями зовнішнього висловлювання.

11 слайд

Психологічні помилки Правдоподібність софізму залежить від спритності того, хто захищає його і поступливості опонента, а ці властивості залежать від різних психологічних особливостей обох індивідуальностей.

12 слайд

Формула успішності софізму Успішність софізму визначається наступною формулою: a + b + c + d + e + f, де (a + с + е) становить показник сили діалектика, (b + d + f) є показник слабкості його жертви. а - негативні якості особи (відсутність розвитку здатності керувати увагою). b - позитивні якості особи (здатність активно мислити);

13 слайд

«Предмет математики настільки серйозний, що корисно не втрачати нагоди, робити його трохи цікавим», - писав видатний учений XVII століття Блез Паскаль.

14 слайд

Збірник задач Алгебраїчні софізми Геометричні софізми Тригонометричні софізми

15 слайд

Алгебраїчні софізми Усі числа рівні між собою Доведемо, що 5=6. Запишемо рівність: 35+10-45=42+12-54 Винесемо за дужку загальні множники: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9). Розділимо обидві частини цієї рівності на загальний множник (він укладений у дужки): 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9). Отже, 5 = 6.

16 слайд

Розглянемо трикутник ABC. Проведемо пряму MN паралельно AB так, як показано на малюнку. Тепер для будь-якої точки L сторони AB проведемо пряму CL, яка перетне MN у точці K. Таким чином встановимо однозначну відповідність між відрізками AB та MN, тобто. вони обидва містять однакову кількість точок. Отже, мають однакову довжину.

18 слайд

Висновок Розглянувши софізм, ми дізналися багато зі світу логіки. Навіть невелике уявлення про софізм значно розширює кругозір. Багато речей, що здаються спочатку незрозумілими, виглядають зовсім інакше. Жаль, що у шкільному курсі математики не вивчаються основи логіки. Логічне мислення - ключ до розуміння того, що відбувається, недолік його позначається у всьому.