Пора квадрати будувати набагато складніше, ніж непарні. Існує безліч способів, що пояснюють принципи їхньої побудови. У цій статті описано захоплюючий спосіб побудови магічного квадрата 4х4.
Починаємо з того, що в крайній лівий осередок верхнього ряду вписуємо одиницю. Двійка розташовується в сусідньому осередку, а цифри 3 та 4 у наступних. Таким чином, верхній ряд буде закінчено. У наступному ряду вписуються цифри 5, 6, 7 та 8.
Продовжуйте, доки не заповніть усі комірки (мал. 1).
Рис.1
Потім у всіх крайніх рядах потрібно прибрати по два числа з центральних осередків, тобто і верхньому ряду забираються числа 2 і 3, а в нижньому - 14 і 15. Нарешті, в лівому крайньому ряду забираються числа 5 і 9, а в правому крайньому - 8 та 12 (рис. 2).
Рис.2 Тепер ці числа можна розмістити досить цікавим способом. Числа 2 і 3 займають осередки, в яких до цього знаходилися числа 14 і 15. Таким чином, нижній ряд складатиметься з чисел 13,3,2 і 16. За тим же принципом розташовуються і числа 14 і 15, тобто вони займають ті осередки, у яких раніше знаходилися числа 2 і 3. У результаті верхній ряд складатиметься з чисел 1,15,14 і 4. Сподіваюся, ви вже розумієте, як магічний квадрат буде будуватися далі. Числа 8 і 12 займуть ті осередки, у яких раніше були числа 5 і 9. Нарешті, числа 5 і 9 вписуються в два осередки в крайній правій колонці (рис. 3).
Рис.3 Зверніть увагу, що у цьому магічному квадраті сума чисел будь-якого ряду дорівнює 34.
У такий же спосіб можна створити квадрат 4*4, просто послідовно розташувавши шістнадцять чисел, починаючи з будь-якого числа. Якщо побудуйте магічний квадрат, де числа будуть йти в послідовності 3, 6, 9, 12 і т. д., то ви побачите, що сума чисел будь-якого ряду дорівнюватиме 102.
Існує безліч способів побудови парних магічних квадратів. Деякі з них дуже складні, трудомісткі та цікаві лише математикам. На щастя, спосіб створення магічних квадратів янтри, заснований на даті народження, є простим до неможливості.
Завдання:
1. Навчити заповнювати магічні квадрати.
2. Розвивати спостережливість, уміння узагальнювати.
3. Прищеплювати прагнення пізнання нового, інтерес до математики.
Обладнання:комп'ютер, мультимедіа-проектор з екраном, презентація PowerPoint (Додаток 1).
У давнину, навчившись рахувати і виконувати арифметичні дії, люди з подиву виявили, що числа мають самостійне життя, дивовижне та таємниче. Складаючи різні числа, маючи їх один за одним або одне під іншим, вони іноді отримували однакову суму. Нарешті, розділивши числа лініями так, щоб кожне опинилося в окремій клітці, побачили квадрат, будь-яке з чисел якого брало участь у двох сумах, а ті, що розташовані вздовж діагоналей – навіть у трьох, і всі суми рівні між собою! Недарма древні китайці, індуси, а за ними і араби приписували таким конструкціям таємничі та магічні властивості. (слайд 1)
Магічні квадрати з'явилися на Стародавньому Сході ще до нашої ери. Одна з легенд, що збереглися, розповідає про те, що коли імператор Ю з династії Шан (2000 р. до н.е.) стояв на березі Ло, притоці Жовтої річки, раптом з'явилася велика риба (в інших випадках - величезна черепаха), у якої на спині був малюнок із двох містичних символів – чорних та білих кружечків (слайд 2), який був усвідомлений як зображення магічного квадрата порядку 3. (Слайд 3)
Першу спеціальну згадку про такий квадрат знайдено близько 1 століття до н. Аж до 10 століття н. магічні квадрати були втілені у амулетах, заклинаннях. Вони використовувалися як талісмани по всій Індії. Їх малювали на глечиках удачі, медичних гуртках. Досі вони використовуються в деяких східних народах як талісман. Їх можна зустріти на палубах великих пасажирських кораблів як майданчик для гри.
Отже, під магічними розумітимемо квадрати, в яких суми чисел, що стоять у будь-якому стовпці або в будь-якому рядку, а також по діагоналях, однакові.
До цього часу ви використовували магічні квадрати найчастіше для усного рахунку. При цьому кілька чисел, у тому числі центральне, вже розставлені по клітинах квадрата. Потрібно розставити решту числа так, щоб у будь-якому напрямку вийшла певна сума.
Завдання 1.Дані числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Частина їх розставлена по клітинам Потрібно розставити інші числа, щоб у сумі виходило 15. (слайд 4)
Виявляється, всі інші магічні квадрати, складені з тих же чисел, можна отримати з даного симетрією щодо рядка, стовпця або діагоналі, тому у всіх квадратах числа розставлені за тими самими правилами. (слайд 6)
Можна помітити ряд закономірностей, що полегшують заповнення клітин квадрата або дають змогу вирішити задачу за меншої кількості даних за умови.
Наприклад, в умовах завдань, подібних до попередньої, не обов'язково вказувати, яка сума повинна вийти в будь-якому напрямку.
Завдання 2.Знайдіть спосіб, як порахувати суму за рядками, стовпчиками та діагоналями з попереднього завдання.
Можна розмірковувати так: сума чисел у кожному рядку однакова, таких рядків 3, отже сума чисел у кожному рядку втричі менше суми всіх чисел. Отже, у прикладі, сума у кожному рядку дорівнює 15 (45: 3). Але це число можна знайти й іншими способами: скласти три центральні числа 4, 5 та 6 або помножити центральне число 5 на 3.
Завдання 3.Дані числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Потрібно вписати їх у клітини квадрата так, щоб у будь-якому напрямку в сумі вийшло одне й те саме число. Частина чисел уже вписана у квадрат. (слайд 7)
Завдання 4.Дано числа 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Два з них вписані в клітини квадрата. Впишіть інші так, щоб у будь-якому напрямку вийшло в сумі одне й те саме число. (слайд 9)
Подивимося на всі три заповнені квадрати та спробуємо знайти ще ряд закономірностей, які допоможуть заповнити квадрат ще з меншим чисел, вписаних у квадрат. (слайд 11)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Подивіться, яке число стоїть у центрі квадрата? Як воно розташоване у ряді даних чисел? (слайд 12) (У центрі квадрата завжди записується число, що стоїть на п'ятому місці нашої послідовності, тобто однаково віддалене з лівого та правого її країв.)
Можна помітити ще ряд особливостей: у квадраті з різних боків від центрального числа стоять числа, однаково віддалені від лівого та правого країв послідовності. Покажемо пари відповідних чисел на прикладі заповнення квадрата числами від 1 до 9: (слайд 13)
Знаючи це, можна заповнити квадрат, майже не рахуючи.
Подивіться, як розташовані у квадраті числа, що стоять поряд із центральним, а також числа, записані від них через одне число. Вони з'єднані лініями зверху. (Вони розташовані по діагоналях квадрата.) А де розташовані інші числа, які з'єднані лініями знизу? (Вони розташовані по вертикалі та по горизонталі.)
Давайте перевіримо, чи такі закономірності виконуються в інших квадратах. (слайд 14)
(Так, такі закономірності виконуються.)
Отже, давайте підіб'ємо підсумок. Які властивості магічних квадратів ми з'ясували?
1) Щоб знайти суму чисел у кожному стовпці чи рядку, можна центральне число помножити на 3.
2) У центрі квадрата стоїть число, записане у п'ятому ряду.
3) У квадраті по різні боки від центрального числа стоять числа, однаково віддалені від лівого та правого країв послідовності.
4) Числа, що стоять поряд із центральним і через одне від нього, розташовані по діагоналях квадрата. Числа, що стоять з краю і через одне від нього, розташовані у квадраті по вертикалі та по горизонталі.
Завдання 5.Дані числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Впишіть їх у клітини квадрата так, щоб у будь-якому напрямку вийшло одне й те саме число. (слайд 15)
(Знайдемо, яка сума має виходити в кожному напрямку. Для цього помножимо центральне число 7 на 3. В результаті отримаємо 21. У центр квадрата поставимо число 7, по одній діагоналі числа 6 і 8, по іншій – 4 і 10. Залишилося розставити відсутні. числа: сума записаних у першому рядку чисел дорівнює 10, до 21 бракує 11, отже, в порожній клітці верхнього рядка запишемо число 11 (перше праворуч).Тоді в нижньому рядку запишемо число 3 (перше ліворуч). 21 – (6 + 10)), тоді в правому стовпчику залишиться записати число 9. Таким чином, ми розставили всі 9 чисел у клітини магічного квадрата, при цьому жодна кількість за умовою завдання у квадраті не була поставлена.)
Завдання має кілька рішень, але всі квадрати виходять з інших симетрії щодо середніх ліній або діагоналі. (слайд 16)
Завдання 6.Дано числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Впишіть їх у клітини квадрата так, щоб у будь-якому напрямку вийшло в сумі одне й те саме число.
Один із варіантів рішення на слайді. (слайд 17)
Завдання 7.Порівняйте умову задач 1 і 6 і подумайте, як можна було розв'язати задачу, знаючи рішення задачі 1.
(Числа із задачі 6 у два рази більші за відповідні числа задачі 1. Тому можна кожне число квадрата із задачі 1 просто подвоїти і отримати шуканий квадрат.)
Існують різні способи побудови магічних квадратів. Розглянемо спосіб терас, який вигадали древні китайці. За цим методом треба «природний» числовий квадрат повернути щодо центру на половину прямого кута. (Слайд 19)та відокремити квадратною рамкою таблицю 3´3. (слайд 20)Числами, записаними поза рамкою, що утворюють виступи («тераси»), заповнюємо порожні клітини у протилежному боці таблиці. (слайд 21)
Аналогічно можна побудувати будь-який квадрат непарного порядку. Заповнимо клітини магічного квадрата 5'5 числами від 1 до 25. (слайди 22, 23, 24)
Для побудови магічного квадрата 44 найбільш простим і доступним є наступний метод: у «природному» квадраті міняються місцями додаткові числа на головних діагоналях, а решта залишаються без зміни. (Слайди 25, 26)
Підбиття підсумків заняття
Яку таємницю магічних квадратів ви відкрили сьогодні на занятті? Що вам у цьому допомогло?
Тестування за допомогою Чатуранги Шорін Олександр
5.2.1 Про магію цифр. Що таке магічні квадрати
Про магію цифр можна розповідати багато. Як приклад на початку цього дослідження ми вже згадували про цифру 4. Дуже багато можна сказати подібним чином про будь-яку цифру.
Наприклад, цифра 1 – одиниця, початок всього. Цифра 2 – розподіл, протилежність двох статей. 3 – трикутник… І так далі. Це дуже благодатна тема, заглиблюватися в яку можна безкінечно.
Тому залишимо її і перейдемо до магічних квадратів, які мають пряме відношення до Чатуранге.
Магічними квадратами називають квадратні таблиці з цілих чисел, які мають унікальні властивості: наприклад, суми чисел вздовж будь-якого рядка, будь-якого стовпця і будь-якої з двох головних діагоналей дорівнюють тому самому числу.
Вважається, що магічні квадрати винайдені в Стародавньому Китаї, а також були відомі в Стародавній Індії, звідки бере початок Чатуранга. Це доводить Н. М. Рудін у своїй книзі «Від магічного квадрата – до шахів».
Згідно з легендою, за часів правління імператора Ю (бл. 2200 до н. Ці знаки відомі під назвою ло-шу і рівносильні магічному квадрату. У 11 ст. про магічні квадрати дізналися в Індії, а потім у Японії, де у 16 ст. магічним квадратам була присвячена велика література. Європейців із магічними квадратами познайомив у 15 ст. візантійський письменник Еге. Мосхопулос. Першим квадратом, придуманим європейцем, вважається квадрат А. Дюрера, зображений на його знаменитій гравюрі «Меланхолія 1». Дата створення гравюри (1514) вказана числами, що стоять у двох центральних клітинах нижнього рядка. Магічним квадратам приписували різні містичні властивості. У 16 ст. Корнелій Генріх Агріппа побудував квадрати 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го та 9-го порядків, пов'язаних з астрологією 7 планет. Існувало повір'я, що вигравіруваний на сріблі магічний квадрат захищає від чуми. Навіть сьогодні серед атрибутів європейських віщунів можна побачити магічні квадрати.
У 19-20 ст. інтерес до магічних квадратів спалахнув з новою силою. Їх стали досліджувати за допомогою методів вищої алгебри та операційного обчислення.
Кожен елемент магічного квадрата називається кліткою. Квадрат, сторона якого складається з nклітин, містить n 2 клітин і називається квадратом n-го порядку. У більшості магічних квадратів використовуються перші nпослідовних натуральних чисел. Сума Sчисел, що стоять у кожному рядку, кожному стовпці і на будь-якій діагоналі, називається постійною квадрата і дорівнює S= n(n 2+1)/2. Доведено, що n- 3. Для квадрата 3-го порядку S= 15, 4-го порядку - S= 34, 5-го порядку - S= 65.
Дві діагоналі, що проходять через центр квадрата, називаються головними діагоналями. Ломаною називається діагональ, яка, дійшовши до краю квадрата, продовжується паралельно першому відрізку протилежного краю. Клітини, симетричні щодо центру квадрата, називаються кососиметричними.
Магічні квадрати можна будувати, наприклад, з допомогою методу французького геометра 17 в. А. де ла Лубер.
За методом А. де ла Лубер магічний квадрат 5?5 можна побудувати так:
Число 1 міститься в центральну клітину верхнього рядка. Усі натуральні числа розташовуються в природному порядку циклічно знизу вгору у клітинах діагоналей праворуч наліво. Дійшовши до верхнього краю квадрата (як у випадку числа 1), продовжуємо заповнювати діагональ, що починається від нижньої клітки наступного стовпця. Дійшовши до правого краю квадрата (число 3), продовжуємо заповнювати діагональ, що йде від лівої клітини рядком вище. Дійшовши до заповненої клітини (число 5) або кута (число 15), траєкторія спускається одну клітину вниз, після чого процес заповнення триває.
Виходить такий магічний квадрат:
Можна також скористатися методом Ф. де ла Іра (1640-1718), який заснований на двох початкових квадратах. У клітину першого квадрата вписуються числа від 1 до 5 так, що число 3 повторюється в клітинах головної діагоналі, що йде вправо вгору, і жодне число не зустрічається двічі в одному рядку або в одному стовпці. Те саме ми проробляємо з числами 0, 5, 10, 15, 20 з тією різницею, що число 10 тепер повторюється в клітинах головної діагоналі, що йде зверху вниз. Клітинна сума цих двох квадратів утворює магічний квадрат. Цей метод використовується при побудові квадратів парного порядку.
З книги Майстер сновидінь. Словник-сонник. автора Смирнов Терентій ЛеонідовичСонник чорної магії (символи сновидінь чорної магії) Багато духовних шукачів, захоплених популярними езотеричними концепціями, самі того не підозрюють, що у своєму розвитку сновидінь практикують справжнісіньку чорну магію! Це повною мірою відноситься до
Практична магія сучасної відьми. Обряди, ритуали, пророцтва автора Миронова Дар'яТалісмани та магічні квадрати Магія талісманів тісно пов'язана із традицією нумерології. Числа та літери алфавіту, а також спеціальні символи, без яких не обходиться виготовлення амулету, оберігають його власника від поганого впливу. Багато талісманів мають вигляд
З книги Ритуали грошової магії автора Золотухіна ЗояМагія цифр Ваше магічне число Для кожного з нас, стверджують нумерологи, існує своєрідний ключик до заповітної таємниці – магічний числовий знак. Щоб визначити його, вам треба скласти всі цифри вашої дати народження.
З книги Дізнайся про своє майбутнє. Примусь Фортуну працювати на себе автора Коровіна Олена АнатоліївнаСпіввідношення цифр та букв
З книги Зірка захисту та Грошовий талісман. Антикризова нумерологія автора Коровіна Олена АнатоліївнаСпіввідношення цифр та букв Таблиця
З книги Дата народження - ключ до розуміння людини автора Олександров Олександр ФедоровичПЕРЕХОДИ ЦИФР Можна привітати вас з тим, що всі характеристики цифр вивчені. Сміливо приступайте до розрахунків дат народження всіх своїх близьких, друзів, знайомих, незнайомих та ворогів. Здорово! Тепер усі розкриють свою «приховану сутність». Почніть, звичайно, з себе - і ви відразу
Із книги Слов'янська кармічна нумерологія. Поліпши матрицю своєї долі автора Маслова Наталія МиколаївнаВЗАЄМОВІДНОСИНИ ЦИФР 5 І 9 Останній перехід не можна назвати власне переходом, оскільки йдеться не про перехід однієї цифри в іншу, а про посилення однієї цифри через іншу. Розглянемо взаємний вплив один на одного цифр 5 (логіка) та 9 (пам'ять). Перш ніж ми визначимо
З книги Що можна дізнатися про людину за датою її народження та ім'ям автора Зюрняєва ТамараДовідник Значення цифр Це сила характеру, янська енергія людини, її сонце. Від наявності одиниць у матриці залежить цілеспрямованість людини, її самооцінка, наявність у неї лідерських якостей, ступінь її
З книги Математика для містиків. Таємниці сакральної геометрії автора Шессо РеннаМагія цифр чи математика? З давніх-давен люди зверталися до чисел і надавали їм сакральне значення. Розгадати таємницю числа – означало розгадати таємницю життя. Ще давньогрецький мудрець Піфагор вважав, що все у світі пізнається через числа. Числам надавали
З книги Мудрий. Усі в одній книзі. Виконай будь-яке бажання автора Левін ПетрРозділ №5 Магічні квадрати Ми називаємо їх магічними квадратами або планетарними квадратами. Або печатками, камеями, таблицями. Як і багато інших магічних інструментів, вони під різними іменами відомі в різних системах, але як би їх не називали, вони датуються
З книги Числовий код народження та його вплив на долю. Як прорахувати удачу автора Міхєєва Ірина Фірсівна З книги Про магію смішно, про магію серйозно автора Картавців ВладиславЕнергія цифр Щоб визначити значення числа генетики дня народження, треба, перш за все, визначити значення самої цифри, її статус і енергетичне наповнення. За поняттями нашого повсякденного життя «вага» кожного числового значення зростає в міру збільшення самої
З книги Тестування за допомогою Чатуранги автора Шорін ОлександрЦифра 1 – червоний колір. Точка реальності, основа, стрижень усієї цифрової надбудови, що визначає Рід тієї чи іншої течії енергії. Призначення цифри 1 – визначення значення, важливості та вагомості реальності, що виникла. Так у світі бізнесу на
З книги автора"Магічні докази" або "Докази магії" "Ти - погана людина!" Або: «Він – погана людина» Або: «Він – хороша людина!» Або: «Ти – хороша людина!» Вибирайте! Що Вам більше до душі? Не правда, смішно спостерігати за «ритуальними зулуськими танцями
З книги автора5.2. Магічні квадрати в Чатуранзі. Чатуранга як ворожіння 5.2.1 Про магію цифр. Що таке магічні квадрати Про магію цифр можна розповідати багато. Як приклад на початку цього дослідження ми вже згадували про цифру 4. Дуже багато можна сказати подібним чином про будь-яку
З книги автора5.2.2. Магічні квадрати в Чатурангу 5.2.2.1 Магія немагічного квадрата Цікаво, що найпростіший (немагічний) квадрат 5?5, де цифри йдуть просто одна за одною – від 1 до 25 може також мати незвичайні властивості. Так, у цьому простому квадраті сума «Хреста Слона»
Магічний, або чарівний квадрат- Квадратна таблиця n × n (\displaystyle n\times n), заповнена різними числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці та обох діагоналях однакова. Якщо у квадраті рівні суми чисел лише у рядках і стовпцях, він називається напівмагічним. Нормальнимназивається магічний квадрат, заповнений натуральними числами від 1 (\displaystyle 1)до n 2 (\displaystyle n^(2)). Магічний квадрат називається асоціативнимабо симетричнимякщо сума будь-яких двох чисел, розташованих симетрично щодо центру квадрата, дорівнює n 2 + 1 (\displaystyle n^(2)+1).
Нормальні магічні квадрати є для всіх порядків n ≥ 1 (\displaystyle n\geq 1), за винятком n = 2 (\displaystyle n=2), хоча випадок n = 1 (\displaystyle n=1)тривіальний – квадрат складається з одного числа. Мінімальний нетривіальний випадок показаний нижче, має порядок 3.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → (\displaystyle \rightarrow) | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → (\displaystyle \rightarrow) | 15 | ||
| ↙ (\displaystyle \swarrow ) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↘ (\displaystyle \searrow ) | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Сума чисел у кожному рядку, стовпці та на діагоналях називається магічною константою, M. Магічна константа нормального чарівного квадрата залежить лише від nі визначається формулою
M (n) = n (n 2 + 1) 2 (\displaystyle M(n)=(\frac (n(n^(2)+1))(2)))Чому це так? |
|
|---|---|
Нехай є квадрат зі стороною n. (\displaystyle n.)Тоді в ньому буде n 2 (\displaystyle n^(2))чисел. З одного боку, сума чисел S = 1 + 2 + 3 + … + n 2 = n 2 2 (n 2 + 1). (\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^(2)=(\cfrac (n^(2))(2))(n^(2)+1).) З іншого боку, S = n M. (Displaystyle S=nM.) Прирівнявши, отримаємо шукану формулу. |
|
Перші значення магічних констант наведені в наступній таблиці (послідовність A006003 OEIS):
| Порядок n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Енциклопедичний YouTube
1 / 5
✪ Магічний квадрат - фокус для вечірок
✪ Квадрат Паркера
✪ Сторінка 35 Завдання на полях (перший квадрат) – Математика 3 клас Моро – Підручник Частина 1
✪ Магічний квадрат – новий метод
✪ Магічні квадрати. Відкрите заняття.
Субтитри
Історично значущі магічні квадрати
Квадрат Ло Шу
Магічний квадрат Ян Хуея (Китай)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Квадрат Альбрехта Дюрера
Магічний квадрат 4×4, зображений на гравюрі Альбрехта Дюрера «Меланхолія I», вважається раннім у європейському мистецтві. Два середні числа в нижньому ряду вказують на дату створення гравюри ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Сума чисел на будь-якій горизонталі, вертикалі та діагоналі дорівнює 34. Ця сума також зустрічається у всіх кутових квадратах 2×2, у центральному квадраті (10+11+6+7), у квадраті з кутових клітин (16+13+4+1 ), у квадратах, побудованих «ходом коня» (2+12+15+5 та 3+8+14+9), у вершинах прямокутників, паралельних діагоналям (2+8+15+9 та 3+12+14+5) ), у прямокутниках, утворених парами середніх клітин на протилежних сторонах (3+2+15+14 та 5+8+9+12). Більшість додаткових симетрій пов'язані з тим, що сума будь-яких двох центрально симетрично розташованих чисел дорівнює 17.
Квадрати Генрі Е. Дьюдені та Аллана У. Джонсона-мол.
Якщо у квадратну матрицю n × nзаноситься не суворо натуральний ряд чисел, то цей магічний квадрат - нетрадиційний. Нижче представлені два таких магічних квадрати, заповнені простими числами (хоча 1 у сучасній теорії чисел не вважається простим числом). Перший має порядок n=3(квадрат Дьюдені); другий (розміром 4x4) - Квадрат Джонсона. Обидва вони були розроблені на початку двадцятого століття.
|
|
Є ще кілька подібних прикладів:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Останній квадрат, побудований в 1913 р. Дж. Н. Мансі примітний тим, що він складений із 143 послідовних простих чисел за винятком двох моментів: залучена одиниця, яка не є простим числом, і не використано єдине парне просте число 2.
Квадрати з додатковими властивостями
Диявольський магічний квадрат
Диявольський квадратабо пандіагональний квадрат- магічний квадрат, у якому також із магічною константою збігаються суми чисел за ламаними діагоналями (діагоналі, що утворюються при згортанні квадрата в тор) в обох напрямках.
Існує 48 диявольських квадратів 4×4 з точністю до поворотів та відбитків. Якщо взяти до уваги ще й симетрію щодо торичних паралельних переносів, то залишається тільки 3 істотно різних квадрати:
|
|
|
Пандіагональні квадрати існують для непарного порядку n>3, для будь-якого порядку подвійної парності n=4k (k=1,2,3…) і немає для порядку одинарної парності n = 4 k + 2 (\displaystyle n=4k+2) (k = 1, 2, 3, … (\displaystyle k=1,2,3,\dots)).
Пандіагональні квадрати четвертого порядку мають низку додаткових властивостей, за які їх називають досконалими. Досконалих квадратів непарного порядку немає. Серед пандіагональних квадратів подвійної парності вище 4 є досконалі.
Пандіагональних квадратів п'ятого порядку 3600. З урахуванням торичних паралельних переносів є 144 різних пандіагональних квадратів. Один із них показаний нижче.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Якщо пандіагональний квадрат ще й асоціативний, то він зветься ідеальний. Приклад ідеального магічного квадрата:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Відомо, що немає ідеальних магічних квадратів порядку n = 4k+2та квадрата порядку n = 4. У той же час існують ідеальні квадрати порядку n = 8. Методом побудови складових квадратів можна побудувати на базі даного квадрата восьмого порядку ідеальні квадрати порядку n = 8k, k = 5,7,9 ...та порядку n = 8^p, p=2,3,4…У 2008 р. розроблено комбінаторний метод побудови ідеальних квадратів порядку n = 4k, k = 2, 3, 4, ...
Побудова магічних квадратів
Метод терас
Описаний Ю. В. Чебраковим у «Теорії магічних матриць».
Для заданого непарного n накреслити квадратну таблицю розміром n на n. Прилаштуємо до цієї таблиці з усіх чотирьох сторін тераси (пірамідки). В результаті отримаємо ступінчасту симетричну фігуру.
|
Починаючи з лівої вершини ступінчастої фігури, заповнимо її діагональні ряди послідовними натуральними числами від 1 до N 2 (\displaystyle N^(2)).
Після цього для отримання класичної матриці N-го порядку числа, що знаходяться в терасах, поставимо на ті місця таблиці розміром NxN, в яких вони виявилися б, якщо переміщувати їх разом з терасами доти, поки підстави терас не приєднаються до протилежної сторони таблиці.
|
|
Крім того, цей спосіб є вірним і в тому випадку, якщо магічний квадрат потрібно скласти не з чисел від 1 до N, але і від K до N, де 1<= K< N.
Інші способи
Правила побудови магічних квадратів діляться на три категорії залежно від того, який порядок квадрата: непарний, дорівнює подвоєному непарному числу або дорівнює вчетверному непарному числу. Загальний спосіб побудови всіх квадратів невідомий, хоча широко використовуються різні схеми. Знайти всі магічні квадрати порядку n (\displaystyle n)вдається тільки для n ≤ 4 (\displaystyle n\leq 4), тому становлять великий інтерес приватні процедури побудови магічних квадратів при n > 4 (\displaystyle n>4). Найпростіше конструкція для магічного квадрата непарного порядку. Потрібно в клітку з координатами (i, j) (\displaystyle (i,j))(де i (\displaystyle i)і j (\displaystyle j)змінюються від 1 до n (\displaystyle n)) поставити число
1 + ((i + j − 1 + (n − 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n) . (\displaystyle 1+((i+j-1+(n-1)/2)(\bmod (n)))n+((i+2j+2)(\bmod (n))).) [ ]Ще простіше побудову виконати в такий спосіб. Береться матриця n x n. Усередині її будується ступінчастий ромб. У ньому осередки зліва нагору по діагоналях заповнюються послідовним рядом непарних чисел. Визначається значення центрального осередку C. Тоді в кутах магічного квадрата значення будуть такими: верхній правий осередок C-1; нижній лівий осередок C+1 ; нижній правий осередок C-n; верхній лівий осередок C+n. Заповнення порожніх осередків у ступінчастих кутових трикутниках ведеться з дотриманням простих правил: 1) по рядках числа зліва направо збільшуються з кроком n + 1; 2) по шпальтах зверху вниз числа збільшуються з кроком n-1.
Також розроблені алгоритми побудови пандіагональних квадратів та ідеальних магічних квадратів 9x9. Ці результати дозволяють будувати ідеальні магічні квадрати порядків n = 9 (2 k + 1) (\displaystyle n=9(2k+1))для k = 0, 1, 2, 3, … (\displaystyle k=0,1,2,3,\dots). Існують також загальні методи компонування ідеальних магічних квадратів непарного порядку n > 3 (\displaystyle n>3). Розроблено методи побудови ідеальних магічних квадратів порядку n=8k, k=1,2,3…та досконалих магічних квадратів. Пандіагональні та ідеальні квадрати парно-непарного порядку вдається скомпонувати лише в тому випадку, якщо вони нетрадиційні. Тим не менш, можна знаходити майже пандіагональні квадрати Знайдено особливу групу ідеально-досконалих магічних квадратів (традиційних та нетрадиційних).
Приклади складніших квадратів
Методично суворо відпрацьовані магічні квадрати непарного порядку та порядку подвійної парності. Формалізація квадратів порядку одинарної парності набагато складніше, що ілюструють такі схеми:
|
|
|
Існують кілька десятків інших методів побудови магічних квадратів
У стародавні часи великі вчені вважали основою суті світу числа. Магічний квадрат, секрет якого полягає в тому, що сума чисел в квадраті, що утворився в кожній горизонталі, у кожній вертикалі, і в кожній діагоналі однакова, несе в собі цю суть.
Але повного опису магічних квадратів досі немає.
Магічний квадрат Піфагора, що «притягує» енергію багатства, складений основоположником
Великий вчений, який заснував релігійно-філософське вчення та проголосив кількісні відносини основою речей, вважав, що у дати народження людини полягає його сутність.
Знаючи, як працює магічний квадрат, можна не тільки дізнатися про риси характеру людини, стан її здоров'я, її інтелектуальні та творчі можливості, а й скласти програму її вдосконалення та розвитку. Цифри, які особливим чином записуються в квадрат, притягують як багатство, а й необхідні енергетичні потоки для людини. Наприклад, Парацельс зобразив свій квадрат як талісмана здоров'я. Цифри утворюють три ряди, тобто всього у квадраті дев'ять цифр. Щоб визначити свій нумерологічний код, необхідно вирахувати ці дев'ять чисел.
Як працює магічний квадрат?
Перший горизонтальний ряд квадрата утворюють числа: день, місяць та рік народження людини. Наприклад, дата народження людини відповідає 9.08.1971 року. Тоді перше число в квадраті буде 9, яке записується в перший осередок. Друге число є числом місяця, тобто 8
При цьому варто звернути увагу, якщо місяць народження людини відповідає грудню, тобто числу 12, то його, отже, потрібно перетворити за допомогою додавання до простого числа 3. Третя цифра відповідає числу року. Для цього 1971 необхідно розкласти на складові цифри та порахувати їхню загальну суму, рівну 18 і далі спростити 1+8=9. Заповнюємо верхнє горизонтальне поле квадрата числами, що вийшли: 9,8,9.
У другий ряд квадрата записуються числа, що відповідають імені, по батькові та прізвищу людини за нумерологією. Кожна літера має своє цифрове значення. Цифри можна отримати з таблиці відповідності літери та цифр з нумерології. Далі потрібно підсумувати числа імені, по батькові та прізвища та привести їх до простих значень.
Другий ряд квадрата заповнюємо цифрами, що утворилися. Четверте число відповідає числу імені, п'яте - по батькові, і шосте - прізвища. Тепер вийшов другий рядок енергетичного квадрата.
Подальший принцип того, як працює магічний квадрат, ґрунтується на астрології.
Сьома цифра відповідає номеру знака зодіаку людини. Овен є першим знаком під цифрою 1, і далі по порядку до знака Риб - 12. При заповненні третього ряду квадрата двозначні числа приводити до простих не слід, всі вони мають власне значення.
Восьма цифра є номером знака за тобто у нашому варіанті 1971 рік - це рік Кабана.
Дев'ята цифра є нумерологічним кодом бажання людини. Наприклад, людина прагне мати чудове здоров'я, отже, необхідно визначити цифри, відповідні буквам у цьому слові. У результаті виходить сума 49, яка потім спрощується додаванням до 4. Числа від 10 до 12, як і у випадку зі знаком зодіаку людини, скорочувати не потрібно. Тепер знаючи, як працює магічний квадрат, можна легко його скласти та носити із собою, як талісман чи оформити, як картину та повісити вдома.
