Paarisruutu on palju keerulisem ehitada kui paarituid ruute. Nende ehitamise põhimõtete selgitamiseks on palju võimalusi. Selles artiklis kirjeldatakse lõbusat viisi 4 x 4 maagilise ruudu ehitamiseks.
Alustuseks sisestame üksuse ülemise rea vasakpoolsemasse lahtrisse. Kaheosa asub järgmises lahtris ning numbrid 3 ja 4 järgmises. Nii valmib ülemine rida. Järgmisele reale sisestatakse numbrid 5, 6, 7 ja 8.
Jätkake, kuni olete täitnud kõik lahtrid (joonis 1).
Joonis 1
Seejärel tuleb kõigil äärmuslikel ridadel eemaldada keskmistest lahtritest kaks numbrit, see tähendab, et ülemisest reast eemaldatakse numbrid 2 ja 3 ning alumisest reast numbrid 14 ja 15. Lõpuks on numbrid 5 ja 9 eemaldatud vasakpoolses äärmises reas ja paremas äärmises - 8 ja 12 (joonis 2).
Joonis 2 Nüüd saab neid numbreid üsna huvitavalt järjestada. Numbrid 2 ja 3 hõivavad lahtrid, mis varem sisaldasid numbreid 14 ja 15. Seega koosneb alumine rida numbritest 13, 3, 2 ja 16. Samal põhimõttel paiknevad numbrid 14 ja 15, st. , hõivavad need lahtrid, mis varem sisaldasid numbreid 2 ja 3. Selle tulemusel koosneb ülemine rida numbritest 1,15,14 ja 4. Loodan, et saate juba aru, kuidas maagilist ruutu edasi ehitatakse. Numbrid 8 ja 12 hõivavad need lahtrid, mis varem sisaldasid numbreid 5 ja 9. Lõpuks mahuvad numbrid 5 ja 9 kahte lahtrisse kõige parempoolsemas veerus (joonis 3).
Joonis 3 Pange tähele, et selles maagilises ruudus on mis tahes rea numbrite summa 34.
Samamoodi saate luua 4*4 ruudu, asetades lihtsalt kuusteist numbrit järjestikku, alustades mis tahes numbrist. Kui ehitate maagilise ruudu, kus numbrid lähevad järjestuses 3, 6, 9, 12 jne, siis näete, et mis tahes seeria numbrite summa on 102.
Isegi maagiliste ruutude konstrueerimiseks on palju võimalusi. Mõned neist on väga keerulised, aeganõudvad ja huvitavad ainult matemaatikuid. Õnneks on sünnikuupäeva alusel yantra maagiliste ruutude loomine sama lihtne kui võimalik.
Ülesanded:
1. Õpetage võluruutude täitmist.
2. Arendada vaatlusvõimet, üldistusvõimet.
3. Sisestada soovi uute teadmiste järele, huvi matemaatika vastu.
Varustus: arvuti, ekraaniga multimeediaprojektor, PowerPointi esitlus (lisa 1).
Iidsetel aegadel, olles õppinud loendama ja aritmeetikat sooritama, avastasid inimesed üllatusega, et numbritel on iseseisev, hämmastav ja salapärane elu. Erinevaid numbreid liites, üksteise järel või üksteise alla asetades said nad vahel sama summa. Lõpuks, jagades numbrid joontega nii, et igaüks oleks eraldi lahtris, nägid nad ruutu, mille ükskõik milline arv osales kahes summas ja piki diagonaale isegi kolmes ja kõik summad on võrdsed üksteist! Pole ime, et muistsed hiinlased, hindud ja pärast neid araablased omistasid sellistele ehitistele salapäraseid ja maagilisi omadusi. (slaid 1)
Maagilised ruudud ilmusid Vana-Idas juba enne meie ajastut. Üks säilinud legendidest räägib, et kui Shangi dünastia keiser Yu (2000 eKr) seisis Kollase jõe lisajõe Luo kaldal, ilmus järsku suur kala (teistes versioonides tohutu kilpkonn), millele ilmus oli joonistatud kaks müstilist sümbolit – must ja valge ring (slaid 2), mis seejärel realiseeriti 3. järgu maagilise ruudu kujutisena. (slaid 3)
Esimene eriline mainimine sellisest väljakust leiti umbes 1. sajandil eKr. Kuni 10. sajandini pKr. maagilised ruudud kehastati amulettides, loitsus. Neid on kasutatud talismanidena kogu Indias. Need olid maalitud õnnekannidele, meditsiinikruusidele. Siiani on mõned idapoolsed rahvad neid kasutanud talismanina. Neid võib mänguväljakuna leida suurte reisilaevade tekkidelt.
Seega peame maagia all silmas ruute, milles arvude summad mis tahes veerus või reas ja ka diagonaalides on samad.
Seni olete kasutanud peast loendamiseks kõige sagedamini maagilisi ruute. Samal ajal on ruudu lahtritesse juba paigutatud mitu numbrit, sealhulgas keskne. Ülejäänud numbrid on vaja paigutada nii, et igas suunas saadakse teatud summa.
1. ülesanne. Antud on arvud 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Mõned neist on paigutatud lahtritesse. Ülejäänud arvud tuleb järjestada nii, et kogusumma oleks 15. (slaid 4)
Selgub, et kõik teised samadest arvudest koosnevad maagilised ruudud saab antud ruudust sümmeetriliselt rea, veeru või diagonaali suhtes, seega on numbrid kõikides ruutudes paigutatud samade reeglite järgi. (slaid 6)
Võite märgata mitmeid mustreid, mis hõlbustavad ruudu lahtrite täitmist või võimaldavad probleemi lahendada tingimuse väiksema arvu andmetega.
Näiteks ei ole eelnevaga sarnaste ülesannete tingimustes vaja näidata, mis summat üheski suunas tuleks hankida.
2. ülesanne. Leidke viis, kuidas arvutada eelmise ülesande ridade, veergude ja diagonaalide summa.
Vaielda saab järgmiselt: iga rea arvude summa on sama, selliseid ridu on 3, mis tähendab, et igal real olevate arvude summa on kolm korda väiksem kui kõigi arvude summa. Seetõttu on meie näites iga rea summa 15 (45:3). Kuid selle arvu võib leida ka muul viisil: liitke kolm keskmist numbrit 4, 5 ja 6 või korrutage keskne arv 5 3-ga.
3. ülesanne. Arvud on antud: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Need tuleb sisestada ruudu lahtritesse nii, et igas suunas oleks summa sama arv. Osa numbreid on juba ruudule kirjutatud. (slaid 7)
4. ülesanne. Antud on numbrid 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Neist kaks on kantud ruudu lahtritesse. Ülejäänu kirjutage nii, et igas suunas oleks summa sama arv. (slaid 9)
Vaatame kõiki kolme täidetud ruutu ja proovime leida mitmeid mustreid, mis aitaksid ruudu täita veelgi vähema ruudu sisse kirjutatud numbritega. (slaid 11)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Vaata, mis number on väljaku keskel? Kuidas see antud numbrite reas paikneb? (slaid 12) (Ruudu keskele kirjutatakse alati arv, mis on meie jadas viiendal kohal, st võrdselt eemaldatud selle vasakust ja paremast servast.)
Võite märgata mitmeid muid tunnuseid: keskarvu vastaskülgedel olevas ruudus on arvud, mis asuvad jada vasakust ja paremast servast võrdsel kaugusel. Näitame vastavate arvude paare, kasutades ruudu täitmise näidet numbritega 1 kuni 9: (slaid 13)
Seda teades saate ruudu peaaegu ilma loendamata täita.
Vaata, kuidas ruudus asetsevad keskse kõrval olevad numbrid ja ka nendest läbi ühe numbri kirjutatud numbrid. Need on ülaosas ühendatud joontega. (Need asuvad piki ruudu diagonaale.) Ja kus on ülejäänud numbrid, mis on altpoolt joontega ühendatud? (Need on paigutatud vertikaalselt ja horisontaalselt.)
Kontrollime, kas selliseid mustreid täheldatakse ka teistes ruutudes. (slaid 14)
(Jah, sellised mustrid kehtivad.)
Nii et võtame selle kokku. Milliseid maagiliste ruutude omadusi oleme välja selgitanud?
1) Igas veerus või reas olevate arvude summa leidmiseks saate keskse arvu korrutada 3-ga.
2) Ruudu keskel on viiendasse ritta kirjutatud arv.
3) Keskarvu vastaskülgedel olevas ruudus on arvud, mis on võrdsel kaugusel jada vasakust ja paremast servast.
4) Keskmise ja selle kõrval olevad numbrid asuvad piki ruudu diagonaale. Äärel ja sealt läbi ühe seisvad numbrid asetsevad ruudus vertikaalselt ja horisontaalselt.
5. ülesanne. Arvud on antud: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Kirjutage need ruudu lahtritesse nii, et saadakse igas suunas sama arv. (slaid 15)
(Leiame, mis summa tuleks igas suunas saada. Selleks korrutage keskne arv 7 3-ga. Selle tulemusena saame 21. Pange arv 7 ruudu keskele, numbrite 6 ühele diagonaalile ja 8, teiselt poolt - 4 ja 10. Jääb veel puuduvate arvude järjestamine: esimesele reale kirjutatud arvude summa on 10, 11 puudub enne 21, mis tähendab, et ülemise rea tühjas lahtris me kirjutage number 11 (esimene paremal).Seejärel kirjutame alumisele reale numbri 3 (esimene vasakule).Vasakpoolsesse veergu kirjutame numbri 5 ( 21 - (6 + 10)), siis jääb see alles et kirjutada parempoolsesse veergu number 9. Seega paigutasime maagilise ruudu lahtritesse kõik 9 numbrit, samas kui ülesande tingimuse järgi ei pandud ruutu mitte ühtegi numbrit.)
Ülesandel on mitu lahendust, kuid kõik ruudud saadakse teistelt keskjoonte või diagonaalide sümmeetria abil. (slaid 16)
6. ülesanne. Antud arvud 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Kirjutage need ruudu lahtritesse nii, et igas suunas saate kokku sama arvu.
Üks lahendustest slaidil. (slaid 17)
Ülesanne 7. Võrrelge ülesannete 1 ja 6 tingimusi ning mõelge, kuidas saaksite probleemi lahendada, teades ülesande 1 lahendust.
(Ülesande 6 numbrid on kaks korda suuremad kui ülesande 1 vastavad numbrid. Seetõttu võite lihtsalt kahekordistada ülesande 1 ruudu iga arvu ja saada soovitud ruudu.)
Maagiliste ruutude ehitamiseks on erinevaid viise. Mõelge terrasside meetodile, mille leiutasid iidsed hiinlased. Seda meetodit järgides on vaja "looduslikku" numbriruutu keskpunkti ümber pöörata poole täisnurga võrra (slaid 19) ja eraldage laud 3´3 kandilise raamiga. (slaid 20) Kui numbrid on kirjutatud väljaspool raami ja moodustades äärised ("terrassid"), täidame tabeli vastasküljel olevad tühjad lahtrid. (slaid 21)
Samamoodi saab konstrueerida mis tahes paaritu järjestusega ruutu. Täidame maagilise ruudu 5´5 lahtrid numbritega 1 kuni 25. (slaidid 22, 23, 24)
4×4 maagilise ruudu konstrueerimiseks on kõige lihtsam ja ligipääsetavam meetod järgmine: "looduslikul" ruudul vahetatakse põhidiagonaalidel olevad lisanumbrid, ülejäänud jäävad muutumatuks. (slaidid 25, 26)
Õppetunni kokkuvõte
Millise võluruutude saladuse avastasid täna tunnis? Mis teid selles aitas?
Testimine Chaturanga Shorin Alexanderiga
5.2.1 Arvude maagiast. Mis on maagilised ruudud
Numbrite võlu kohta võib palju öelda. Näitena mainisime selle uurimuse alguses juba numbrit 4. Nii võib palju öelda mis tahes arvu kohta.
Näiteks number 1 on üks, kõige algus. Number 2 - eraldamine, kahe soo vastand. 3 - kolmnurk ... Ja nii edasi. See on väga viljakas teema, millesse võib lõputult süveneda.
Seetõttu jätame selle vahele ja liigume edasi maagiliste ruutude juurde, mis on otseselt seotud Chaturangaga.
Maagilised ruudud on täisarvude ruudukujulised tabelid, millel on ainulaadsed omadused: näiteks mis tahes rea, veeru ja mis tahes kahe põhidiagonaali arvude summad on võrdsed sama arvuga.
Arvatakse, et maagilised ruudud leiutati Vana-Hiinas ja neid tunti ka Vana-Indias, kust Chaturanga pärineb. Eelkõige tõestab seda N. M. Rudin oma raamatus “Võluruudust maleni”.
Legendi järgi tõusis keiser Yu valitsusajal (u 2200 eKr) Kollase jõe vetest pinnale püha kilpkonn, mille kestale olid kirjutatud salapärased hieroglüüfid. Neid märke tuntakse lo-shu nime all ja need on samaväärsed maagilise ruuduga. 11. sajandil maagilisi ruute õppisid nad tundma Indias ja seejärel Jaapanis, kus 16. saj. Maagilised ruudud on olnud ulatusliku kirjanduse teemaks. Ta tutvustas eurooplastele 15. sajandil võluväljakuid. Bütsantsi kirjanik E. Moshopoulos. Esimene eurooplase leiutatud ruut on A. Düreri väljak, mis on kujutatud tema kuulsal gravüüril "Melanhoolia 1". Graveeringu kuupäev (1514) on tähistatud numbritega alumise rea kahes keskses lahtris. Maagilistele ruutudele omistati mitmesuguseid müstilisi omadusi. 16. sajandil Cornelius Heinrich Agrippa ehitas 3., 4., 5., 6., 7., 8. ja 9. järku ruudud, mida seostati 7 planeedi astroloogiaga. Usuti, et hõbedale graveeritud maagiline ruut kaitseb katku eest. Ka tänapäeval võib Euroopa ennustajate atribuutide hulgas näha maagilisi ruute.
19. ja 20. sajandil huvi võluväljakute vastu puhkes uue hooga. Neid hakati uurima kõrgema algebra ja operatiivarvutuse meetoditega.
Iga maagilise ruudu elementi nimetatakse rakuks. Ruut, mille külg on n rakke, sisaldab n 2 lahtrit ja seda nimetatakse ruuduks n- järjekorras. Enamik maagilisi ruute kasutab esimest n järjestikused naturaalarvud. Summa S numbreid igas reas, igas veerus ja mis tahes diagonaalis nimetatakse ruudu konstandiks ja see on võrdne S= n(n 2 + 1)/2. Seda tõestas n– 3. 3. järku ruudule S= 15, 4. järk - S= 34, 5. järjekord - S= 65.
Kaks diagonaali, mis läbivad ruudu keskpunkti, nimetatakse põhidiagonaalideks. Katkendjoon on diagonaal, mis, olles jõudnud ruudu servani, jätkub paralleelselt vastasservast esimese lõiguga. Lahtreid, mis on ruudu keskpunkti suhtes sümmeetrilised, nimetatakse kaldsümmeetrilisteks.
Maagilisi ruute saab konstrueerida näiteks 17. sajandi prantsuse geomeetri meetodil. A. de la Lubera.
A. de la Louberti meetodi kohaselt saab maagilise ruudu 5 × 5 konstrueerida järgmiselt:
Number 1 asetatakse ülemise rea keskmisse lahtrisse. Kõik naturaalarvud on diagonaalide lahtrites paremalt vasakule paigutatud loomulikus järjekorras tsükliliselt alt üles. Jõudnud ruudu ülemisse serva (nagu numbri 1 puhul), jätkame diagonaali täitmist alustades järgmise veeru alumisest lahtrist. Jõudnud ruudu paremasse serva (number 3), jätkame vasakust lahtrist tuleva diagonaali täitmist ülaltoodud joonega. Jõudnud täidetud lahtrisse (number 5) või nurka (number 15), laskub trajektoor ühe lahtri võrra allapoole, misjärel täitmisprotsess jätkub.
Selgub selline maagiline ruut:
Võite kasutada ka F. de la Hire'i (1640-1718) meetodit, mis põhineb kahel algsel ruudul. Arvud 1 kuni 5 sisestatakse esimese ruudu lahtrisse nii, et number 3 korduks põhidiagonaali paremale lahtrites ja ühes reas või veerus ei esine kaks korda ühtegi numbrit. Teeme sama numbritega 0, 5, 10, 15, 20, ainult selle erinevusega, et nüüd korratakse numbrit 10 põhidiagonaali lahtrites ülalt alla. Nende kahe ruudu summa lahtri kaupa moodustab maagilise ruudu. Seda meetodit kasutatakse ka ühtlase järjestusega ruutude ehitamisel.
Raamatust Unistuste meister. Unistuste sõnastik. autor Smirnov Terenty LeonidovitšMusta maagia unenägude tõlgendamine (Musta maagia unenägude sümbolid) Paljud spirituaalsed otsijad, kes on lummatud populaarsetest esoteerilistest kontseptsioonidest, isegi ei kahtlusta, et nad praktiseerivad unenägude arendamisel tõelist musta maagiat! See kehtib täielikult
Raamatust Kaasaegse nõia praktiline maagia. Tseremooniad, rituaalid, ettekuulutused autor Mironova DariaTalismanid ja võluruudud Talismanide maagia on tihedalt seotud numeroloogia traditsiooniga. Tähestiku numbrid ja tähed ning erisümbolid, ilma milleta on amuleti valmistamine hädavajalik, kaitsevad selle omanikku halbade mõjude eest Paljud talismanid näevad välja nagu
Raamatust Rahamaagia rituaalid autor Zolotukhina ZoyaNumbrite maagia Sinu võlunumber Numeroloogide sõnul on meist igaühe jaoks omamoodi võti hinnalise saladuse juurde – maagiline numbrimärk. Selle määramiseks peate liitma kõik oma sünnikuupäeva numbrid. Liitke, kuni jõuate
Raamatust Tunne oma tulevikku. Pange Fortune enda heaks tööle autor Korovina Jelena AnatolievnaTähtede ja numbrite suhe
Raamatust Kaitse täht ja rahatalisman. Kriisivastane numeroloogia autor Korovina Jelena AnatolievnaNumbrite ja tähtede suhe Tabel
Raamatust Sünnikuupäev on inimese mõistmise võti autor Aleksandrov Aleksander FedorovitšNUMBRIDE ÜLEMINEKUD Võime teid õnnitleda selle puhul, et kõik numbrite omadused on läbi uuritud. Alustage julgelt kõigi oma lähedaste, sõprade, tuttavate, võõraste ja vaenlaste sünnikuupäevade arvutamist. Suurepärane! Nüüd paljastavad kõik oma "varjatud olemuse". Alusta muidugi iseendast – ja kohe teed
Raamatust Slaavi karmaline numeroloogia. Parandage oma saatuse maatriksit autor Maslova Natalia NikolaevnaARVUDE 5 JA 9 SUHE Viimast üleminekut ei saa nimetada õigeks üleminekuks, kuna see ei puuduta ühe numbri üleminekut teisele, vaid ühe numbri tugevdamist teise kaudu. Mõelge arvude 5 (loogika) ja 9 (mälu) vastastikusele mõjule üksteisele. Enne kui määratleme
Raamatust Mida saab inimese kohta teada tema sünnikuupäeva ja nime järgi autor Zyurnyaeva TamaraKataloog. Numbrite tähendus See on iseloomu tugevus, inimese yang-energia, tema päike. Üksuste olemasolu maatriksis määrab inimese eesmärgipärasuse, tema enesehinnangu, tema juhiomadused, tema sihikindluse.
Raamatust Mathematics for Mystics. Püha geomeetria saladused autor Chesso RennaNumbrimaagia või matemaatika? Iidsetest aegadest on inimesed pöördunud numbrite poole ja omistanud neile püha tähenduse. Arvu müsteeriumi lahti harutamine tähendas elu mõistatuse lahtiharutamist. Isegi Vana-Kreeka tark Pythagoras uskus, et kõike maailmas teatakse läbi numbrite.
Tarkuse raamatust. Kõik ühes raamatus. Täida mis tahes soov autor Levin Petr5. peatükk Maagilised ruudud Me nimetame neid maagilisteks ruutudeks või planeetide ruutudeks. Või tihendid, kameed, lauad. Nagu paljusid teisi maagilisi tööriistu, tuntakse neid erinevates süsteemides erinevate nimede all, kuid ükskõik kuidas neid nimetatakse, pärinevad nad aastast
Raamatust Numbriline sünnikood ja selle mõju saatusele. kuidas õnne arvutada autor Mihheeva Irina Firsovna Raamatust Maagiast on naljakas, maagiast tõsine autor Kartavtsev VladislavArvude energia Sünnipäevageneetika numbri tähenduse väljaselgitamiseks on vaja ennekõike välja selgitada numbri enda tähendus, olek ja energiasisaldus. Meie igapäevaelu kontseptsioonide kohaselt kasvab iga arvväärtuse "kaal" väärtuse enda kasvades.
Raamatust Testing with Chaturanga autor Šorin AleksanderNumbrite tunnused Number 1 - punane. Kogu digitaalse pealisehitise reaalsuspunkt, alus, tuum, mis määrab selle või selle energiavoo tüübi. Numbri 1 eesmärk on kindlaks teha tekkinud reaalsuse tähendus, tähtsus ja kaal. Nii et ärimaailmas edasi
Autori raamatust"Magic Proof" või "Proof of Magic" "Sa oled halb inimene!" Või: "Ta on halb inimene" Või: "Ta on hea inimene!" Või: "Sa oled hea inimene!" Vali! Mida sa eelistad? Kas pole naljakas vaadata "rituaal Zulu tantsib edasi
Autori raamatust5.2. Maagilised ruudud Chaturangas. Chaturanga kui ennustamine 5.2.1 Numbrimaagiast. Mis on maagilised ruudud? Numbrite maagia kohta on palju rääkida. Näitena mainisime selle uurimuse alguses juba numbrit 4. Sel moel võib palju öelda mis tahes kohta
Autori raamatust5.2.2. Maagilised ruudud rakenduses Chaturanga 5.2.2.1 Mittemaagilise ruudu maagia Huvitav on see, et kõige lihtsamal (mittemaagilisel) ruudul 5x5, kus numbrid lähevad ainult ükshaaval – 1 kuni 25, võib olla ka ebatavalisi omadusi. Nii et sellel lihtsal ruudul on "Elevandi risti" summa
Maagiline, või maagiline ruut- ruudukujuline laud n × n (\displaystyle n\times n), täidetud erinevate numbritega nii, et igas reas, veerus ja mõlemas diagonaalis olevate numbrite summa on sama. Kui ruudus olevate arvude summad on võrdsed ainult ridades ja veergudes, siis seda nimetatakse poolmaagiline. Tavaline nimetatakse maagiliseks ruuduks, mis on täidetud naturaalarvudega alates 1 (\displaystyle 1) enne n 2 (\displaystyle n^(2)). Maagiline ruut on nn assotsiatiivne või sümmeetriline, kui kahe ruudu keskpunkti suhtes sümmeetriliselt paikneva arvu summa on võrdne n 2 + 1 (\displaystyle n^(2)+1).
Tavalised maagilised ruudud on olemas kõigi tellimuste jaoks n ≥ 1 (\displaystyle n\geq 1), erandiga n = 2 (\displaystyle n = 2), kuigi juhtum n = 1 (\displaystyle n = 1) triviaalne – ruut koosneb ühest numbrist. Allpool on näidatud minimaalne mittetriviaalne juhtum, selle järjekord on 3.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → (\displaystyle\paremnool ) | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → (\displaystyle\paremnool ) | 15 | ||
| ↙ (\displaystyle \swarrow) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↓ (\displaystyle \downarrow ) | ↘ (\displaystyle \searrow ) | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Igas reas, veerus ja diagonaalis olevate numbrite summat nimetatakse maagiliseks konstandiks, M. Tavalise maagilise ruudu maagiline konstant sõltub ainult sellest n ja määratakse valemiga
M (n) = n (n 2 + 1) 2 (\displaystyle M(n)=(\frac (n(n^(2)+1))(2)))Miks see nii on? |
|
|---|---|
Olgu küljega ruut n. (\displaystyle n.) Siis saab n 2 (\displaystyle n^(2)) numbrid. Ühelt poolt arvude summa S \u003d 1 + 2 + 3 + ... + n 2 \u003d n 2 2 (n 2 + 1). (\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^(2)=(\cfrac (n^(2))(2))(n^(2)+1). Teisel pool, S = nM. (\displaystyle S=nM.) Võrdstades saame soovitud valemi. |
|
Maagiliste konstantide esimesed väärtused on toodud järgmises tabelis (järjestus A006003 OEIS-is):
| Telli n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Entsüklopeediline YouTube
1 / 5
✪ Võluväljak – peotrikk
✪ Parkeri väljak
✪ Lk 35 Väljaülesanne (esimene ruut) – matemaatika 3. klass Moreau – õpiku 1. osa
✪ Maagiline ruut – uus meetod
✪ Maagilised ruudud. Avatud õppetund.
Subtiitrid
Ajalooliselt olulised võluväljakud
Lo Shu väljak
Yang Hui maagiline väljak (Hiina)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Albrecht Düreri väljak
Albrecht Düreri gravüüril "Melancholia I" kujutatud maagilist ruudu suurust 4 × 4 peetakse Euroopa kunsti kõige varasemaks. Kaks keskmist numbrit alumises reas näitavad graveeringu loomise kuupäeva ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Arvude summa mis tahes horisontaalsel, vertikaalil ja diagonaalil on 34. See summa esineb ka kõigis nurgaruutudes 2×2, keskruudus (10+11+6+7), nurgalahtrite ruudus (16+). 13+4+1 ), "rüütlikäiguga" ehitatud ruutudes (2+12+15+5 ja 3+8+14+9), diagonaalidega paralleelsete ristkülikute tippudes (2+8+ 15+9 ja 3+12+14+5 ), ristkülikutena, mis on moodustatud vastaskülgede keskmiste lahtrite paaridest (3+2+15+14 ja 5+8+9+12). Enamik täiendavaid sümmeetriaid on tingitud asjaolust, et mis tahes kahe tsentraalselt sümmeetrilise arvu summa on 17.
Henry E. Dudeney ja Allan W. Johnson Jr. väljakud.
Kui ruutmaatriksisse n × n ei sisestata rangelt loomulikku numbrijada, siis see maagiline ruut - ebatraditsiooniline. Allpool on kaks sellist maagilist ruutu, mis on täidetud algarvudega (kuigi 1-st ei peeta tänapäevases arvuteoorias algarvuks). Esimene on korras n = 3(Dyudeni väljak); teine (suurus 4x4) on Johnsoni väljak. Mõlemad töötati välja kahekümnenda sajandi alguses:
|
|
On mitmeid teisi sarnaseid näiteid:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Viimane ruut, mille ehitas 1913. aastal JN Munsey, on tähelepanuväärne selle poolest, et see koosneb 143 järjestikusest algarvust, välja arvatud kaks punkti: kaasatud on ühik, mis ei ole algarv, ja ainus paaris algarv 2 on pole kasutatud.
Lisaomadustega ruudud
Devil Magic Square
kuradi väljak või pandiagonaalne ruut- maagiline ruut, milles katkiste diagonaalide (diagonaalid, mis tekivad ruudu toruks voltimisel) mõlemas suunas olevate arvude summad langevad kokku ka maagilise konstandiga.
Seal on 48 4x4 kuradi ruutu kuni pöörlemiste ja peegeldusteni. Kui võtta arvesse ka sümmeetriat tooriliste paralleeltõlgete suhtes, siis jääb alles vaid 3 sisuliselt erinevat ruutu:
|
|
|
Pandiagonaalsed ruudud on olemas paaritu järjekorra n>3 korral, iga topeltpaarsusjärjestuse korral n=4k (k=1,2,3…) ja neid ei eksisteeri ühekordse paarsusjärjestuse korral n = 4k + 2 (\displaystyle n = 4k+2) (k = 1 , 2 , 3 , … (\displaystyle k=1,2,3,\dots)).
Neljandat järku pandiagonaalsetel ruutudel on mitmeid lisaomadusi, mille jaoks neid kutsutakse pühendunud. Täiuslikke paaritu järjestusega ruute ei eksisteeri. Pandiagonaalsete ruutude hulgas, mille topeltpaarsus on üle 4, on täiuslikke ruute.
Viiendat järku pandiagonaalruutusid on 3600. Võttes arvesse torilisi paralleeltõlkeid, on erinevat pandiagonaali 144. Üks neist on näidatud allpool.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Kui ka pandiagonaalruut on assotsiatiivne, siis seda nimetatakse ideaalne. Täiusliku maagilise ruudu näide:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Teada on, et täiuslikke maagilisi korraväljakuid pole olemas n = 4k+2 ja ordeni ruut n = 4. Samas on täiuslikud korraruudud n = 8. Liitruutude konstrueerimise meetodil on võimalik kaheksandat järku antud ruudu põhjal konstrueerida ideaalseid järku ruute n = 8 k, k = 5, 7, 9… ja tellida n = 8^p, p = 2,3,4… 2008. aastal kombinatoorne meetod täiuslike järjekordade ruutude konstrueerimiseks n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Maagiliste väljakute ehitamine
Terrassi meetod
Kirjeldanud Yu. V. Chebrakov teoses Theory of Magic Matrices.
Antud paaritu n jaoks joonistage n x n ruuttabel. Selle laua külge kinnitame terrassid (püramiidid) kõigist neljast küljest. Selle tulemusena saame astmelise sümmeetrilise kujundi.
|
Alustades astmelise kujundi vasakust tipust, täitke selle diagonaalread järjestikuste naturaalarvudega vahemikus 1 kuni N 2 (\displaystyle N^(2)).
Seejärel asetatakse N-ndat järku klassikalise maatriksi saamiseks terrasside numbrid NxN tabeli nendesse kohtadesse, kus need oleksid, kui neid nihutada koos terrassidega, kuni terrasside alused külgnevad laua vastasküljel.
|
|
Lisaks kehtib see meetod ka siis, kui maagiline ruut tuleb koostada mitte numbritest 1 kuni N, vaid ka K kuni N, kus 1<= K< N.
Muud viisid
Maagiliste ruutude konstrueerimise reeglid jagunevad kolme kategooriasse, olenevalt sellest, kas ruudu järjekord on paaritu, võrdne kahekordse paaritu arvuga või neljakordse paaritu arvuga. Kõigi ruutude konstrueerimise üldine meetod pole teada, kuigi laialdaselt kasutatakse erinevaid skeeme. Leia kõik maagilised ruudud n (\displaystyle n)õnnestub ainult n ≤ 4 (\displaystyle n\leq 4), seetõttu pakuvad suurt huvi konkreetsed protseduurid maagiliste ruutude ehitamiseks n > 4 (\displaystyle n>4). Lihtsaim konstruktsioon on paaritu järjestusega maagilise ruudu jaoks. Vaja on koordinaatidega lahtrit (i , j) (\displaystyle (i,j))(kus i (\displaystyle i) ja j (\displaystyle j) muuda 1-lt n (\displaystyle n)) pane number
1 + ((i + j − 1 + (n − 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n) . (\displaystyle 1+((i+j-1+(n-1)/2)(\bmod (n)))n+((i+2j+2)(\bmod (n))).) [ ]Veelgi lihtsam on konstruktsiooni ehitada järgmiselt. Võetakse n x n maatriks. Selle sisse on ehitatud astmeline romb. Selles täidetakse piki diagonaale vasakult ülespoole suunatud lahtrid järjestikuse paaritute numbrite reaga. Määratakse keskse lahtri C väärtus. Seejärel on maagilise ruudu nurkades olevad väärtused järgmised: ülemine parem lahter C-1 ; alumine vasak lahter C+1 ; alumine parem lahter C-n; ülemine vasak lahter C+n. Astmelise nurgakolmnurga tühjade lahtrite täitmine toimub lihtsate reeglite järgi: 1) ridades suurenevad arvud vasakult paremale sammuga n + 1; 2) veergudes ülalt alla suurenevad arvud sammuga n-1.
Samuti on välja töötatud algoritmid pandiagonaalsete ruutude ja ideaalsete 9x9 maagiliste ruutude konstrueerimiseks. Need tulemused võimaldavad konstrueerida ideaalseid tellimuste maagilisi ruute n = 9 (2k + 1) (\displaystyle n=9(2k+1)) jaoks k = 0 , 1 , 2 , 3 , … (\displaystyle k=0,1,2,3,\dots). Samuti on olemas üldised meetodid täiuslike paaritu järjestusega maagiliste ruutude paigutamiseks n > 3 (\displaystyle n>3). Ideaalsete maagiliste järjestuste ruutude konstrueerimise meetodid n=8k, k=1,2,3… ja täiuslikud maagilised ruudud. Pandiagonaalseid ja ideaalseid paaris-paaritu järjestusega ruute saab kombineerida ainult siis, kui need on ebatraditsioonilised. Sellegipoolest on võimalik leida peaaegu pandiagonaalseid ruute.Leitakse eriline rühm ideaalselt täiuslikke maagilisi ruute (traditsioonilised ja mittetraditsioonilised).
Näited keerulisematest ruutudest
Paaritu ja topeltpaarsusega maagilised ruudud on metoodiliselt rangelt välja töötatud. Ühepariteedi järgu ruutude vormistamine on palju keerulisem, mida illustreerivad järgmised skeemid:
|
|
|
Maagiliste ruutude konstrueerimiseks on veel kümneid muid meetodeid.
Iidsetel aegadel pidasid suured teadlased numbreid maailma olemuse aluseks. Maagiline ruut, mille saladus seisneb selles, et igas horisontaalis, vertikaalis ja igas diagonaalis olevate numbrite summa saadud ruudus on sama, kannab seda olemust.
Kuid maagiliste ruutude täielikku kirjeldust pole veel olemas.
Pythagorase maagilise ruudu, mis "meelitab" jõukuse energiat, koostas asutaja
Suur teadlane, kes pani aluse religioossele ja filosoofilisele doktriinile ning kuulutas kvantitatiivsed suhted asjade aluseks, uskus, et inimese olemus peitub inimese sünnikuupäevas.
Teades, kuidas maagiline ruut töötab, saate mitte ainult teada saada inimese iseloomuomadusi, tervislikku seisundit, intellektuaalseid ja loomingulisi võimeid, vaid ka koostada programmi tema parandamiseks ja arendamiseks. Arvud, mis on erilisel viisil ruutu kirjutatud, tõmbavad inimesele mitte ainult rikkust, vaid ka vajalikke energiavooge. Näiteks kujutas Paracelsus oma väljakut tervise talismanina. Numbrid moodustavad kolm rida, see tähendab, et ruudus on üheksa numbrit. Numeroloogilise koodi määramiseks peate arvutama need üheksa numbrit.
Kuidas maagiline ruut töötab?
Ruudu esimese horisontaalse rea moodustavad numbrid: inimese sünnipäev, kuu ja aasta. Näiteks inimese sünniaeg vastab 08.09.1971. Siis on ruudu esimene number 9, mis kirjutatakse esimesse lahtrisse. Teine number on kuu number, st 8.
Samas tasub tähelepanelik olla, kui inimese sünnikuu vastab detsembrile ehk siis arvule 12, siis tuleb see seega teisendada lihtarvuks 3 liites. Kolmas number vastab aasta number. Selleks on vaja 1971 jaotada liitarvudeks ja arvutada nende kogusumma 18-ga ning veelgi lihtsustada 1 + 8 = 9. Täidame ruudu ülemise horisontaalse välja saadud arvudega: 9,8,9.
Ruudu teisele reale kirjutatakse numbrid, mis vastavad inimese nimele, isanimele ja perekonnanimele vastavalt numeroloogiale. Igal tähel on oma arvväärtus. Numbrid saab tähtede ja numbrite vastavustabelist numeroloogia järgi. Järgmisena peate liitma eesnime, isanime ja perekonnanime numbrid ning viima need lihtsate väärtusteni.
Ruudu teine rida täidetakse saadud numbritega. Neljas number vastab nime numbrile, viies - isanimele ja kuues - perekonnanimele. Nüüd on meil energiaruudu teine rida.
Veel üks maagilise ruudu toimimise põhimõte põhineb astroloogial.
Seitsmes number vastab inimese sodiaagimärgi numbrile. Jäär on esimene märk numbri 1 all ja seejärel Kalade märgini - 12. Ruudu kolmanda rea täitmisel ei tohiks kahekohalisi numbreid taandada algarvudeks, neil kõigil on oma tähendus.
Kaheksas number on märgi number vastavalt See tähendab, et meie versioonis on 1971 metssiga aasta.
Üheksas number tähistab inimese soovi numeroloogilist koodi. Näiteks püüdleb inimene suurepärase tervise poole, seetõttu peate leidma selle sõna tähtedele vastavad numbrid. Tulemuseks on 49, mida siis lihtsustatakse, lisades 4-le. Numbrid 10-st 12-ni, nagu inimese sodiaagimärgi puhul, ei pea vähendama. Nüüd, teades, kuidas maagiline ruut töötab, saate selle hõlpsalt kokku panna ja endaga nagu talismani kaasas kanda või pildina kaunistada ja koju riputada.
