МАГИЧЕН ПЛОШТАД
Магичен или магичен квадрат е квадратна табела исполнета со броеви на таков начин што збирот на броевите во секој ред, секоја колона и двете дијагонали е ист.
Збирот на броевите во секоја редица, колона и дијагонала се нарекува магична константа, М.
Најмалата магична константа на магичен квадрат 3x3 е 15, квадрат 4x4 е 34, квадрат 5x5 е 65,
Ако збировите на броеви во квадратот се еднакви само во редови и колони, тогаш тоа се нарекува полу-магија.
Изградба на магичен квадрат 3 x 3 со најмалиот
магична константа
Најдете ја најмалата магична константа на магичниот квадрат 3x3
1 начин
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45
4
5 :
3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9
М = 15.
Бројот напишан во средината е 15 : 3 = 5
Утврдено е дека во средината е напишан бројот 5.
каде n е бројот на редови
Ако можете да изградите еден магичен квадрат, тогаш не е тешко да изградите кој било број од нив. Затоа, запомнете ги градежните техники
3x3 магичен квадрат со константа 15.
1 начинградба. Прво ставете ги парните броеви во аглите
2,4,8,6 и 5 во средината. Остатокот од процесот е едноставна аритметика.
15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3
2 начинрешенија
Користејќи го пронајдениот магичен квадрат со константа од 15, можете да поставите многу различни задачи:
Пример.Изградете нови различни магични квадрати 3 x 3
Решение.
Додавајќи го секој број од магичниот квадрат или множејќи го со истиот број, добиваме нов магичен квадрат.
Пример 1Конструирај магичен квадрат 3 x 3 чиј број во средината е 13.
Решение.
Ајде да изградиме позната магија
квадрат со константа 15.
Најдете го бројот што е во
средината на саканиот квадрат
13 – 5 = 8.
За секој магичен број
додадете 8 квадрати.
Пример 2Пополнете ги кафезите на магијата
квадрати, знаејќи ја магичната константа.
Решение.Ајде да го најдеме бројот
напишано во средината 42: 3 = 14
42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10
задачи за самостојно решавање
Примери. 1. Пополнете ги ќелиите на магичните квадрати со магија
константа М =15.
1) 2) 3)
2. Најдете ја магичната константа на магичните квадрати.
1) 2) 3)
3. Пополнете ги ќелиите на магичните квадрати, знаејќи ја магичната константа
1) 2) 3)
М=24 М=30 М=27
4 . Конструирај магичен квадрат 3x3 знаејќи дека магичната константа е
е еднакво на 21.
Решение. Потсетете се како се гради магичен квадрат 3x3 според најмалиот
константа 15. Парните броеви се запишуваат во екстремните полиња
2, 4, 6, 8, а во средината бројот 5 (15 : 3).
Според условот, потребно е да се конструира квадрат според магичната константа
21. Во центарот на саканиот квадрат треба да биде бројот 7 (21 : 3).
Ајде да откриеме уште колку секој член од посакуваниот квадрат
секој член со најмала магична константа 7 - 5 = 2.
Го градиме потребниот магичен квадрат:
21 – (4 + 6) = 
11
21 – (6 + 10) = 5
21 – (8 + 10) = 3
21 – (4 + 8) = 9
4. Конструирај магични квадрати 3x3 знаејќи ги нивните магични константи
М = 42 М = 36 М = 33
М=45 М=40 М=35
Изградба на магичен квадрат 4 x 4 со најмалиот
магична константа
Најдете ја најмалата магична константа на магичен квадрат 4x4
и бројот кој се наоѓа во средината на овој квадрат.
1 начин
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =
(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136
136: 4= 34.
каде n е бројот на редови n = 4.
Збирот на броеви на која било хоризонтална,
вертикална и дијагонала е 34.
Оваа сума се јавува и кај сите
аголни квадрати 2×2, во средишниот дел
на квадрат (10+11+6+7), на квадрат од
аголни ќелии (16+13+4+1).
За да изградите какви било магични квадрати 4x4, треба: да изградите еден
со константа 34.
Пример.Изградете нови различни магични квадрати 4 x 4.
Решение.
Собирање на секој пронајден број
магичен квадрат 4 x 4 или
множејќи го со ист број,
добијте нов магичен квадрат.
Пример.Изградете магично
квадрат 4 x 4 кој има магија
константата е 46.
Решение.Изграден познат магичен
квадрат со константа 34.
46 – 34 = 12. 12: 4 = 3
На секој број од магичниот квадрат
да додадеме 3.
Пред да продолжите да решавате посложени примери на магични квадрати 4 x 4, повторно проверете ги својствата што ги има ако M = 34.
Примери. 1. Пополнете ги ќелиите на магичниот квадрат со магија
константа М =38.
H = 38-(10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3
e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15
b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9
имот 1,3,1 својства 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2
својства 1,1,1,1
Одговори.
Задачи за самостојно решение
Пополнете ги ќелиите на магичниот квадрат со ако е позната магијата
постојана
K = 46 K = 58 K = 62
Запознајте ги магичните квадрати 5x5 и 6x6
Постојат неколку различни класификации на магични квадрати.
петти ред, дизајниран некако да ги систематизира. Во книгата
Мартин Гарднер [GM90, стр. 244-345] опишува еден од овие методи -
според бројот на централниот плоштад. Методот е љубопитен, но ништо повеќе.
Колку квадрати од шестиот ред постојат сè уште не е познато, но има приближно 1,77 x 1019. Бројката е огромна, па нема надеж да се избројат со исцрпно пребарување, но никој не можеше да дојде до формула за пресметување на магични квадрати.
Како да направите магичен квадрат?
Постојат многу начини да се конструираат магични квадрати. Најлесен начин да направите магични квадрати непарен редослед. Ќе го користиме методот предложен од францускиот научник од 17 век A. de la Louber (De La Loubère).Се заснова на пет правила, чија работа ќе ја разгледаме на наједноставниот магичен квадрат 3 x 3 ќелии.
Правило 1. Ставете 1 во средната колона од првиот ред (сл. 5.7).
Ориз. 5.7. Првиот број
Правило 2. Ставете го следниот број, ако е можно, во ќелијата во непосредна близина на сегашниот дијагонално надесно и горе (сл. 5.8).
Ориз. 5.8. Се обидува да го стави вториот број
Правило 3. Ако новата ќелија оди подалеку од квадратот погоре, тогаш запишете го бројот во крајната линија и во следната колона (сл. 5.9).
Ориз. 5.9. Го ставаме вториот број
Правило 4. Ако ќелијата оди подалеку од квадратот на десната страна, тогаш запишете го бројот во првата колона и во претходната линија (сл. 5.10).
Ориз. 5.10. Го ставаме третиот број
Правило 5. Ако ќелијата е веќе зафатена, тогаш запишете го следниот број под тековната ќелија (сл. 5.11).
Ориз. 5.11. Го ставаме четвртиот број
Ориз. 5.12. Ги ставаме петтиот и шестиот број
Следете ги правилата 3, 4, 5 повторно додека не го завршите целиот квадрат (Сл.
Зарем не е вистина, правилата се многу едноставни и јасни, но сепак е доста досадно да се подредат дури 9 броеви. Меѓутоа, знаејќи го алгоритмот за конструирање магични квадрати, лесно можеме да му ја довериме на компјутерот целата рутинска работа, оставајќи си само креативна работа, односно пишување програма.
Ориз. 5.13. Пополнете го квадратот со следните броеви
Проект Магични квадрати (Магија)
Поставено поле за програмата магични квадратисосема очигледно:
// ПРОГРАМА ЗА ГЕНЕРАЦИЈА
// ЧУДЕН МАГИЧЕН Плоштад
// СО МЕТОДОТ ДЕ ЛА ЛУБЕРТ
јавна делумна класа Образец1 : Образец
//Мак. квадратни димензии: const int MAX_SIZE = 27; //var
intn=0; // квадратен редослед int [,] mq; // магичен квадрат
int број=0; // тековниот број до квадрат
intcol=0; // тековна колона int ред=0; // тековна линија
Методот de la Louber е погоден за правење непарни квадрати од која било големина, така што можеме да му дозволиме на корисникот да го избере редоследот на квадратот, додека разумно ја ограничува слободата на избор на 27 ќелии.
Откако корисникот ќе го притисне посакуваното копче btnGen Generate! , методот btnGen_Click создава низа за складирање на броеви и преминува во методот за генерирање:
// ПРИТИСТЕТЕ ГО КОПЧЕТО „ГЕНЕРИРАЈ“.
приватна празнина btnGen_Click(испраќач на објекти, EventArgs e)
//ред на плоштадот:
n = (int)udNum.Вредност;
//Креирај низа:
mq = нов int ;
//генерира магичен квадрат: генерира();
lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;
Овде започнуваме да дејствуваме според правилата на де ла Лубер и да го запишеме првиот број - еден - во средната ќелија од првиот ред на квадратот (или низата, ако сакате):
//Генерирајте ја магичната квадратна празнина генерира()(
//прв број: број=1;
//колона за првиот број - средина: колона = n / 2 + 1;
//линија за првиот број - првиот: ред=1;
//на квадрат: mq= број;
Сега последователно ги додаваме останатите ќелии во ќелиите - од две до n * n:
// преминете на следниот број:
Се сеќаваме, за секој случај, на координатите на вистинската ќелија
int tc=col; int tr = ред;
и преминете во следната ќелија дијагонално:
Ја проверуваме имплементацијата на третото правило:
ако (ред< 1) row= n;
И потоа четвртиот:
ако (кол > n) (кол=1;
гото правило3;
И петто:
ако (mq != 0) (col=tc;
ред=tr+1; гото правило3;
Како знаеме дека веќе има број во ќелијата на квадратот? - Многу едноставно: внимателно напишавме нули во сите ќелии, а броевите во готовиот квадрат се поголеми од нула. Значи, според вредноста на елементот низа, веднаш ќе утврдиме дали ќелијата е празна или веќе има број! Забележете дека овде ни се потребни оние координати на ќелиите што ги запаметивме пред да ја бараме ќелијата за следниот број.
Порано или подоцна, ќе најдеме соодветна ќелија за бројот и ќе ја запишеме во соодветната ќелија на низата:
//на квадрат: mq = број;
Обидете се на друг начин да ја организирате проверката на допуштеноста на транзицијата кон
леле ќелија!
Ако овој број бил последен, тогаш програмата ги исполнила своите обврски, во спротивно доброволно продолжува да и го дава на ќелијата следниот број:
//ако не се поставени сите броеви, тогаш ако (број< n*n)
//оди на следниот број: goto nextNumber;
И сега плоштадот е подготвен! Ја пресметуваме неговата магична сума и ја печатиме на екранот:
) //генерира()
Печатењето на елементите на низата е многу едноставно, но важно е да се земе предвид порамнувањето на броевите со различни „должини“, бидејќи квадратот може да содржи едно-, двоцифрени и трицифрени броеви:
//Испечати го магичниот квадрат void writeMQ()
lstRes.ForeColor = Боја .Црна;
string s = "Магичен збир = " + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);
lstRes.Items.Add("" );
// отпечати го магичниот квадрат: за (int i= 1; i<= n; ++i){
s="" ;
за (int j= 1; j<= n; ++j){
ако (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;
lstRes.Items.Add(s);
lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()
Ја стартуваме програмата - квадратите се добиваат брзо и се слават за очи (Сл.
Ориз. 5.14. Сосема квадрат!
Во книгата на С. Гудман, С. ХидетниемиВовед во развој и анализа на алгоритми
mov , на страниците 297-299 ќе го најдеме истиот алгоритам, но во „намалена“ презентација. Не е „транспарентен“ како нашата верзија, но работи правилно.
Додадете копче btnGen2 Генерирајте 2! и напишете го алгоритмот на јазикот
Остро кон методот btnGen2_Click:
//Алгоритам ODDMS
приватна празнина btnGen2_Click(испраќач на објекти, EventArgs e)
//ред на квадрат: n = (int )udNum.Вредност;
//Креирај низа:
mq = нов int ;
//генерира магичен квадрат: int ред = 1;
int col = (n+1)/2;
за (int i = 1; i<= n * n; ++i)
mq = i; ако (i % n == 0)
ако (ред == 1) ред = n;
ако (кол == n) коло = 1;
//пополнет квадрат: writeMQ();
lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;
Ние кликнуваме на копчето и се уверуваме дека се генерираат „нашите“ квадрати (Сл.
Ориз. 5.15. Стар алгоритам во ново руво
Општинска образовна установа „Гимназија бр.41“
магични квадрати
Надзорник: ,
наставник по математика
Новоралск, 2012 година
Вовед 3
1. Општи информации за магичните квадрати 4
1.1. Концепт на магичен квадрат 4
1.2. Од историјата на магичните квадрати 4
1.3. Видови магични квадрати 6
2. Решавање на магични квадрати 6
2.1. Решавање на магични квадрати (метод на Баше де Мезирак) 7
2.2. Изјава за проблемот 8
2.3. Алгоритам за решавање магични квадрати 8
2.4. Доказ за алгоритмот (во алгебарска форма) 9
2.5. Пример за решавање на магичен квадрат со помош на алгоритам 10
3. Користење на магични квадрати 11
3.1. Различни случаи на генерализација на магични квадрати 11
3.2. Примена на латински квадрати 12
4. Општи заклучоци 13
5. Заклучок 14
6. Користена литература 15
Анекс 1
Анекс 2
Анекс 3
Вовед
На часовите од математичкиот круг наидовме на проблеми поврзани со пополнување на ќелиите на квадратот според посебни правила. Предложените броеви требаше да се внесат така што резултатот исполнува неколку услови одеднаш:
Ако ги соберете сите броеви во секоја линија,
Ако ги соберете сите броеви во секоја колона,
Ако ги соберете сите броеви во две дијагонали,
тогаш сите овие збирови ќе бидат еднакви на ист број.
И покрај тоа што проблемите се разликуваа по почетните броеви, редоследот на броевите, дадениот збир, сите беа слични, а решенијата беа од ист тип.
Идејата се појави не само да се реши секоја задача, туку и да се дојде до општ алгоритам за решение, како и да се најдат историски информации за проблеми од овој тип во литературата.
Се покажа дека фигурите од интерес за нас се нарекуваат магични квадрати, познати уште од античко време. За нив ќе се разговара во работата.
Цел:систематизирајте информации за магични квадрати, развијте алгоритам за нивно решавање.
Задачи:
1. Проучете ја историјата на појавата на магични квадрати.
2. Идентификувајте ги видовите магични квадрати.
3. Научете како да решавате магични квадрати.
4. Развијте и докажете го вашиот алгоритам за решение.
5. Одредете ја употребата на магични квадрати.
1. Општи информации за магичните квадрати
1.1. Концептот на магичен квадрат
Магичните квадрати се многу популарни дури и денес. Тоа се квадрати, во секоја ќелија од кои броевите се впишани така што збировите на броевите долж која било хоризонтална, која било вертикала и која било дијагонала се еднакви. Најпознат е магичниот плоштад прикажан на гравурата на германскиот уметник А. Дирер „Меланхолија“ (Прилог 1).
1.2. Од историјата на магичните квадрати
Броевите толку многу влегоа во животот на една личност што почнаа да им припишуваат секакви магични својства. Веќе пред неколку илјади години во античка Кина, тие беа занесени со цртање магични квадрати. За време на археолошките ископувања во Кина и Индија, пронајдени се квадратни амајлии. Квадратот беше поделен на девет мали квадрати, во секој од нив беа напишани броеви од 1 до 9. Впечатливо е што збировите на сите броеви во која било вертикална, хоризонтална и дијагонала беа еднакви на истиот број 15 (слика 1).
Слика 1.
Волшебните квадрати биле многу популарни во средниот век. Еден од волшебните квадрати е прикажан во гравурата на познатиот германски уметник Албрехт Дирер, „Меланхолија“. 16-те ќелии на квадратот содржат броеви од 1 до 16, а збирот на броевите во сите правци е 34. Интересно, двата броја во средината на долната линија ја означуваат годината кога е создадена сликата - 1514 година. Добивање магични квадрати беше популарна забава меѓу математичарите, беа создадени огромни квадрати, на пример, 43x43, кои содржат броеви од 1 до 1849 година, а покрај наведените својства на магичните квадрати, тие имаат и многу дополнителни својства. Смислени се начини да се конструираат магични квадрати со која било големина, но досега не е пронајдена формула со која може да се најде бројот на магични квадрати со дадена големина. Познато е, и можете лесно да покажете дека нема магични квадрати 2x2, има точно еден магичен квадрат 3x3, остатокот од таквите квадрати се добиваат од него со ротации и симетрии. Веќе има 800 магични квадрати 4x4, а бројот на квадрати 5x5 е близу четвртина милион.
1.3. Видови магични квадрати
Магичен(магичен квадрат) n 2 броја на таков начин што збирот на броевите во секој ред, секоја колона и двете дијагонали е ист.
полу-магичен квадрате nxn квадратна табела исполнета со n 2 броја на таков начин што збировите на броевите се еднакви само во редови и колони.
Нормалное магичен квадрат исполнет со цели броеви од 1 до n 2.
Асоцијативен (симетрично) -магичен квадрат, во кој збирот на кои било два броја лоцирани симетрично околу центарот на квадратот е еднаков на n 2 + 1.
Ѓаволски (пандијагонален) магичен квадрат- магичен квадрат, во кој збировите на броеви долж скршените дијагонали (дијагоналите што се формираат кога квадратот е преклопен во торус) во двете насоки исто така се совпаѓаат со магичната константа.
Има 48 4x4 ѓаволски магични квадрати, прецизни на ротации и рефлексии. Ако ја земеме предвид и нивната дополнителна симетрија - торички паралелни преводи, тогаш ќе останат само 3 суштински различни квадрати (слика 2).
Слика 2.
Пандијагоналните квадрати од четврти ред имаат голем број дополнителни својства за кои се нарекуваат посветена. Совршени квадрати со непарен редослед не постојат. Меѓу пандијагоналните квадрати со двоен паритет над 4 има совршени.
Има 3600 пандијагонални квадрати од петти ред.Земајќи ги предвид торичките паралелни преводи, има 144 различни пандијагонални квадрати.
2.Решение на магични квадрати
2.1 Решение на магични квадрати (метод на Бахер де Мезирак)
Правилата за изградба на магични квадрати спаѓаат во три категории, во зависност од тоа дали редоследот на квадратот е непарен, еднаков на двапати непарен број или еднаков на четири пати непарен број. Општиот метод за конструирање на сите квадрати е непознат, иако широко се користат различни шеми. Можно е да се најдат сите магични квадрати од редот n само за n ≤ 4.
За да решиме нормални магични квадрати со произволно големи димензии, го користиме методот опишан во 1612 година од францускиот математичар Клод Баше де Мезирак. Руски превод на неговата книга беше објавен во Санкт Петербург во 1877 година под наслов „Игри и проблеми засновани на математика“.
Удобно е да се изгради магичен квадрат на квадрат хартија. Нека n е непарен број, а треба да изградите nxn квадрат со броеви од 1 до n2, ние дејствуваме чекор по чекор.
1. Ги запишуваме сите броеви од 1 до n2 во ќелии дијагонално (n броеви по ред) за да формираме дијагонален квадрат.
2. Изберете nxn квадрат во неговиот центар. Ова е основата (сè уште не се исполнети сите ќелии) на идниот магичен квадрат.
3. Секој нумерички „агол“ лоциран надвор од централниот плоштад е внимателно пренесен навнатре - на спротивната страна на плоштадот. Броевите на овие агли треба да ги пополнат сите празни ќелии. Магичниот плоштад е изграден.
Да дадеме пример за пополнување на квадрат 3x3 со броеви од 1 до 9. За да го направите ова, додадете дополнителни ќелии на квадратот за да добиете дијагонали. Прво, пополнете ги дијагоналните ќелии со броеви од 1 до 9 (слика 3), потоа „свиткајте ги аглите“ во празните ќелии на квадратот навнатре на спротивната страна (слика 4).
Слика 3. Слика 4.
2.2. Формулирање на проблемот.
Ајде да го опишеме нашиот сопствен начин на решавање на магични квадрати. Дозволете ни да се задржиме на проучувањето на математичкиот модел на магични квадрати 3x3.
Општа формулација на проблемот.
Има девет броеви. Неопходно е да се распоредат во ќелии од квадрат 3x3, така што збировите на броевите по која било вертикална, хоризонтална и дијагонална линија се еднакви.
2.3. Алгоритам за магичен квадрат
Вербален опис на алгоритмот
1. Подреди ги броевите по растечки редослед.
2. Најдете го централниот број (петти по ред).
3. Определи парови според правилото: 1 пар - првиот број и деветтиот,
2 пар - вториот број и осмиот,
3 пар - третиот број и седмиот,
4 пар - четвртиот број и шестиот.
4. Откријте го збирот на броевите (S), кој треба да се добие со собирање броеви по секоја вертикална, хоризонтална, дијагонала: додадете го најмалиот, централниот, најголемиот број, односно бројот 1 од парот со централниот број.
5. Ставете го централниот број во центарот на квадратот.
6. На централната хоризонтална (или вертикална) во слободните ќелии, внесете го првиот пар на броеви.
7. Запишете го вториот пар на броеви по која било дијагонала (така што поголемиот број од првиот пар е во колоната со помалиот број од вториот пар).
8. Пресметај го бројот што треба да се запише во една од крајните колони, според правилото:
од S одземете го збирот на двата броја содржани во ќелиите на колоната, добијте го бројот.
9. Дијагонално на добиениот број, запишете го вториот број од неговиот пар.
10. Внесете го последниот пар броеви во преостанатите ќелии според правилото: внесете го поголемиот број од парот во редот со помалиот, а помалиот број во преостанатата празна ќелија.
2.4. Доказ за исправноста на пополнувањето на магичниот квадрат
(Решение на проблемот во општа форма)
Ќе докажеме дека збировите на броеви лоцирани по вертикалите, хоризонталите и дијагоналите на квадратот како резултат на алгоритмот ќе бидат еднакви.
Нека по нарачувањето, секој следен број се разликува од претходниот по константна вредност X. Да ги изразиме сите бројки во однос на а1(најмал број) и X:
a1, a2=a1+x,
a3=a2+X=a1+2x,
a4=a1+3x,
a5=a1+4x,
a6=a1+5x,
a7=a1+6x,
a8=a1+7x,
а9 = а1 +8 x.
Ајде да ја најдеме сумата Си изрази го со бројки а1и X: С= а1 + а5 + а9 =3 а1 +12 x.
Нека магичниот квадрат е пополнет според предложениот алгоритам.
Да докажеме дека збировите на броеви лоцирани по хоризонталата, вертикалата и дијагоналата на квадратот се еднакви на С.
Вертикално:
S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S
S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S
S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S
Хоризонтално:
S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S
S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S
S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S
Дијагонално:
S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S
S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3а1 +12x=S
Истата сума ја добивме. Тврдењето е докажано.
Забелешка.
Броевите организирани на овој начин формираат аритметичка прогресија. Во оваа низа (по подредување), a1 е првиот член на аритметичката прогресија, x е разликата на аритметичката прогресија. За броеви кои не сочинуваат аритметичка прогресија, алгоритмот не работи.
2.5. Пример за решавање магични квадрати
Дадени броеви: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Пополнете го магичниот квадрат со дадените броеви.
1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Го добив централниот број 5.
3. Парови: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6.
4.S=5+1+9= 15 - сума.
8. 15-(9+2)=4
Овој алгоритам значително се разликува од методот Баше де Мезиријак. Од една страна, бара дополнителни пресметки (недостаток на методот), од друга страна, нашиот метод не бара дополнителни конструкции (дијагонален квадрат). Покрај тоа, методот е применлив не само за последователни природни броеви од 1 до 9, туку и за сите девет броеви кои се членови на аритметичка прогресија, во која ги гледаме нејзините предности. Дополнително, автоматски се одредува магична константа - збир на броеви долж секоја дијагонала, вертикална, хоризонтална.
3. Користење на магични квадрати
3.1. Различни случаи на генерализација на магични квадрати
Проблемите за составување и опишување на магични квадрати биле интересни за математичарите уште од античко време. Сепак, до денес не е добиен целосен опис на сите пресвртници на можни магични квадрати. Како што се зголемува големината (бројот на ќелии) на квадратот, бројот на можни магични квадрати брзо расте. Меѓу големите плоштади има квадрати со интересни својства. На пример, на квадратот на сликата бр. 5, не само збировите на броевите во редовите, колоните и дијагоналите се еднакви еден на друг, туку и збировите на петки долж „скршените“ дијагонали поврзани на сликата со обоени линии.
Слика 5. Слика 6.
Латинскиот квадрат е квадрат од n x n ќелии во кои броевите 1, 2, ..., n се напишани, згора на тоа, на таков начин што сите овие броеви се појавуваат еднаш во секој ред и секоја колона. На (слика 6) се прикажани два такви латински квадрати 4x4. Тие имаат интересна карактеристика: ако еден квадрат е надреден на друг, тогаш сите парови од добиените броеви се разликуваат. Таквите парови на латински квадрати се нарекуваат ортогонални. Задачата за пронаоѓање на ортогонални латински квадрати прв ја поставил Л. Ојлер, а во една таква забавна формулација: „Меѓу 36 офицери, подеднакво има копјачи, змејови, хусари, курасиери, коњаници чувари и гранати, а покрај тоа, подеднакво генерали, полковници, мајори, капетани, поручници и второпоручници, а секој службен огранок е претставен со офицери од сите шест чинови. Дали е можно овие офицери да се распоредат на квадрат 6x6 така што офицерите од сите чинови се среќаваат во која било колона? (Прилог 2).
Л. Ојлер не можеше да најде решение за овој проблем. Во 1901 година е докажано дека такво решение не постои.
3.2. Примена на латински квадрати
Магичните и латинските квадрати се блиски роднини. Теоријата на латински квадрати најде бројни примени, како во самата математика, така и во нејзината примена. Да земеме пример. Да претпоставиме дека сакаме да тестираме две сорти пченица за продуктивност во дадена област и сакаме да го земеме предвид влијанието на степенот на реткост на културите и влијанието на два вида ѓубрива. За да го направите ова, ние го делиме квадратниот дел на 16 еднакви делови (Слика 7). Првата сорта пченица ќе ја засадиме на парцели што одговараат на долната хоризонтална лента, следната сорта ќе ја засадиме на четири парцели што одговараат на следната лента итн. (на сликата, сортата е означена со боја.)
Земјоделство" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">земјоделство, физика, хемија и технологија.
4. Општи заклучоци
Во текот на работата, се запознав со различни видови магични квадрати, научив како да решавам нормални магични квадрати користејќи го методот Баше де Мезирак. Бидејќи нашето решение на магични квадрати 3x3 се разликуваше од наведениот метод, но секој пат кога ни дозволуваше правилно да ги пополниме ќелиите на квадратот, се појави желба да развиеме сопствен алгоритам. Овој алгоритам е детално опишан во трудот, докажан во алгебарска форма. Се покажа дека тоа се однесува не само на нормални квадрати, туку и на квадрати 3x3, каде што броевите формираат аритметичка прогресија. Успеавме да најдеме и примери за употреба на магија и латински квадрати.
Научив како да: решавам неколку магични квадрати, развивам и опишувам алгоритми, докажувам искази во алгебарска форма. Научив нови поими: аритметичка прогресија, магичен квадрат, магична константа, ги проучував видовите квадрати.
За жал, ниту мојот развиен алгоритам ниту методот на Баше де Мезирак не можат да решат магични квадрати 4x4. Затоа, сакав дополнително да развијам алгоритам за решавање на такви квадрати.
5. Заклучок
Во ова дело се проучуваа магични квадрати, се разгледуваше историјата на нивното потекло. Се дефинираа типовите на магични квадрати: магичен или магичен квадрат, полумагичен квадрат, нормален, асоцијативен, ѓаволски магичен квадрат, совршен.
Меѓу постојните методи за нивно решавање беше избран методот Баше де Мезиријак, тестиран на примери. Дополнително, за решавање на волшебни квадрати 3х3, предложен е сопствен алгоритам за решение, а даден е и математички доказ во алгебарска форма.
Предложениот алгоритам значително се разликува од методот Бахер де Мезиријак. Од една страна, бара дополнителни пресметки (недостаток на методот), од друга страна, не се потребни дополнителни конструкции. Методот е применлив не само за последователни природни броеви од 1 до 9, туку и за сите девет броеви кои се членови на аритметичка прогресија, во која ги гледаме нејзините предности. Дополнително, автоматски се одредува магична константа - збир на броеви долж секоја дијагонала, вертикална, хоризонтална.
Во трудот е претставена генерализација на магични квадрати - латински квадрати и се опишува нивната практична примена.
Оваа работа може да се користи на часовите по математика како дополнителен материјал, како и во училницата и во индивидуалната работа со учениците.
6. Референци
1. Загатки на светот на броевите / Комп. - Д .: Сталкер, 1997.-448s.
2. Енциклопедиски речник на еден млад математичар / Комп. - М .: Педагогија, 1989 - 352 стр.: илустрација.
3. Енциклопедија за деца. Т11. Математика / Поглавје. ед. - М .: Аванта +, 2000 - 688s.: ill.
4. Го познавам светот: Детска енциклопедија: Математика / Комп. - и други - М.: AST, 1996. - 480-ти: илустр.
МАГИЧЕН Плоштад,квадратна табела со цели броеви во која збировите на броевите по која било редица, која било колона и која било од двете главни дијагонали се еднакви на истиот број.
Волшебниот плоштад е од античко кинеско потекло. Според легендата, за време на владеењето на императорот Ју (околу 2200 г. п.н.е.), од водите на Жолтата река се појавила света желка, на чија школка биле испишани мистериозни хиероглифи (сл. 1. а), а овие знаци се познати како ло-шу и се еквивалентни на магичниот квадрат прикажан на сл. еден, б. Во 11 век научиле за магичните плоштади во Индија, а потоа и во Јапонија, каде што во 16 век. Волшебните квадрати се предмет на обемна литература. Тој ги запозна Европејците со магичните плоштади во 15 век. Византискиот писател Е. Москопулос. Првиот квадрат измислен од Европеец е плоштадот на А. Дурер (сл. 2), прикажан на неговата позната гравура Меланхолија 1. Датумот на гравирањето (1514) е означен со бројки во двете централни ќелии на долната линија. На волшебните квадрати им се припишувале различни мистични својства. Во 16 век Корнелиј Хајнрих Агрипа изградил квадрати од 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 ред, кои биле поврзани со астрологијата на 7-те планети. Имаше верување дека магичен квадрат врежан на сребро штити од чума. И денес, меѓу атрибутите на европските бајачи, може да се забележат магични квадрати.
Во 19 и 20 век интересот за магичните квадрати се разгоре со обновена енергија. Тие почнаа да се истражуваат користејќи методи на повисока алгебра и оперативна пресметка.
Секој елемент од магичниот квадрат се нарекува ќелија. Плоштад чија страна е nклетки, содржи n 2 ќелии и се нарекува квадрат n-ти ред. Повеќето магични квадрати го користат првиот nпоследователни природни броеви. Збир Сброеви во секој ред, секоја колона и на која било дијагонала се нарекува константа на квадратот и е еднаква на С = n(n 2 + 1)/2. Тоа го докажа n i 3. За квадрат од редот 3 С= 15, 4-ти ред - С= 34, 5-ти ред - С = 65.
Двете дијагонали кои минуваат низ центарот на квадратот се нарекуваат главни дијагонали. Скршена линија е дијагонала која, откако стигна до работ на квадратот, продолжува паралелно со првиот сегмент од спротивниот раб (таквата дијагонала е формирана од засенчените ќелии на слика 3). Клетките кои се симетрични во однос на центарот на квадратот се нарекуваат коси-симетрични. На пример, клетки аи бна сл. 3.
Правилата за изградба на магични квадрати спаѓаат во три категории, во зависност од тоа дали редоследот на квадратот е непарен, еднаков на двапати непарен број или еднаков на четири пати непарен број. Општиот метод за конструирање на сите квадрати е непознат, иако широко се користат различни шеми, од кои некои ќе разгледаме подолу.
Магични квадрати со непарен редослед може да се конструираат со методот на француски геометар од 17 век. А. де ла Лубера. Размислете за овој метод користејќи го примерот на квадрат од 5-ти ред (сл. 4). Бројот 1 е поставен во централната ќелија од горниот ред. Сите природни броеви се распоредени по природен редослед циклично од дното кон врвот во ќелиите на дијагоналите од десно кон лево. Откако стигнавме до горниот раб на квадратот (како во случајот со бројот 1), продолжуваме да ја пополнуваме дијагоналата почнувајќи од долната ќелија на следната колона. Откако стигнавме до десниот раб на квадратот (број 3), продолжуваме да ја пополнуваме дијагоналата што доаѓа од левата ќелија со линијата погоре. Откако стигна до пополнета ќелија (број 5) или агол (број 15), траекторијата се спушта една ќелија надолу, по што процесот на полнење продолжува.
Методот на Ф. де ла Ира (1640-1718) се заснова на два оригинални квадрати. На сл. Слика 5 покажува како се конструира квадрат од 5-ти ред користејќи го овој метод. Броевите од 1 до 5 се внесуваат во ќелијата на првиот квадрат, така што бројот 3 се повторува во ќелиите на главната дијагонала што оди надесно, а ниту еден број не се појавува двапати во еден ред или во една колона. Истото го правиме и со броевите 0, 5, 10, 15, 20 со единствена разлика што бројот 10 сега се повторува во ќелиите на главната дијагонала од горе до долу (сл. 5, б). Збирот од ќелија по ќелија на овие два квадрати (сл. 5, v) формира магичен квадрат. Овој метод се користи и при изградба на квадрати со рамномерен редослед.
Ако е познат метод за конструирање на квадрати на ред ми нарачајте n, тогаш можеме да конструираме квадрат со редослед мґ n. Суштината на овој метод е прикажана на сл. 6. Еве м= 3 и n= 3. Поголем квадрат од 3 ред (со пропишани броеви) е конструиран со методот на Де ла Лубер. Квадратот со бројот 1ў (средишната клетка на горниот ред) е впишан во квадрат од трет ред од броевите од 1 до 9, исто така конструиран со методот de la Louber. Квадрат од трет ред со броеви од 10 до 18 се внесува во ќелијата со бројот 2ў (десно во долната линија); во ќелија со број 3ў - квадрат од броеви од 19 до 27, итн. Како резултат на тоа, добиваме квадрат од 9-ти ред. Таквите квадрати се нарекуваат композитни.
Вовед
Големите научници од антиката ги сметале квантитативните односи за основа на суштината на светот. Затоа, бројките и нивните соодноси ги окупираа најголемите умови на човештвото. „Во деновите на мојата младост, се забавував во слободното време правејќи ... магични квадрати“, напиша Бенџамин Френклин. Магичен квадрат е квадрат чиј збир на броеви во секој хоризонтален ред, во секој вертикален ред и по секоја од дијагоналите е ист.
Некои извонредни математичари ги посветиле своите дела на магични квадрати и нивните резултати влијаеле на развојот на групи, структури, латински квадрати, детерминанти, партиции, матрици, конгруенции и други нетривијални делови од математиката.
Целта на овој есеј е да се воведат различни магични квадрати, латински квадрати и да се проучат нивните области на примена.
магични квадрати
Целосен опис на сите можни магични квадрати не е добиен до ден-денес. Нема магични квадрати 2x2. Постои еден магичен квадрат 3x3, бидејќи остатокот од 3x3 магични квадрати се добиваат од него или со ротација околу центарот или со рефлексија околу една од неговите оски на симетрија.
Постојат 8 различни начини да се подредат природните броеви од 1 до 9 во магичен квадрат 3x3:
- 9+5+1
- 9+4+2
- 8+6+2
- 8+5+2
- 8+4+3
- 7+6+2
- 7+5+3
- 6+5+4
Во магичен квадрат 3x3, магичната константа 15 мора да биде еднаква на збирот на три броја во 8 насоки: 3 реда, 3 колони и 2 дијагонали. Бидејќи бројот во центарот припаѓа на 1 ред, 1 колона и 2 дијагонали, тој е вклучен во 4 од 8-те тројки, кои се собираат до магичната константа. Има само еден таков број: тој е 5. Затоа, бројот во центарот на волшебниот квадрат 3x3 е веќе познат: тој е еднаков на 5.
Размислете за бројот 9. Вклучен е само во 2 тројки броеви. Не можеме да го ставиме во агол, бидејќи секоја аголна ќелија припаѓа на 3 тројки: ред, колона и дијагонала. Затоа, бројот 9 мора да биде во некоја ќелија во непосредна близина на страната на квадратот во неговата средина. Поради симетријата на квадратот, не е важно која страна ќе ја избереме, па над бројот 5 во централната ќелија пишуваме 9. Од двете страни на деветте во горната линија можеме да ги внесеме само броевите 2 и 4. Кој од овие два броја ќе биде во горниот десен агол, а кој во левиот, повторно, не е важно, бидејќи еден распоред на броевите влегуваат во друг кога се пресликуваат. Останатите ќелии се пополнуваат автоматски. Нашата едноставна конструкција на магичен квадрат 3x3 ја докажува својата уникатност.
Таков магичен плоштад бил симбол од големо значење кај древните Кинези. Бројот 5 во средината означуваше земјата, а околу неа во строга рамнотежа беа оган (2 и 7), вода (1 и 6),
дрво (3 и 8), метал (4 и 9).
Како што се зголемува големината на квадратот (бројот на ќелии), бројот на можни магични квадрати со таа големина брзо расте. Има 880 магични квадрати од редот 4 и 275.305.224 магични квадрати од редот 5. Покрај тоа, квадратите 5x5 биле познати во средниот век. Муслиманите, на пример, беа многу почит кон таков квадрат со број 1 во средината, сметајќи го за симбол на единството на Алах.
Магичен плоштад на Питагора
Големиот научник Питагора, кој ја основал религиозната и филозофската доктрина, која ги прогласувала квантитативните односи за основа на суштината на нештата, верувал дека суштината на една личност лежи и во бројот - датумот на раѓање. Затоа, со помош на магичниот плоштад на Питагора, може да се знае карактерот на една личност, степенот на ослободеното здравје и неговиот потенцијал, да се откријат предностите и недостатоците и со тоа да се идентификува што треба да се направи за да се подобри.
За да разберам што е магичниот квадрат на Питагора и како се пресметуваат неговите показатели, ќе го пресметам користејќи го мојот сопствен пример. И за да се уверам дека резултатите од пресметката навистина одговараат на вистинскиот карактер на оваа или онаа личност, прво ќе го проверам на себе. За да го направам ова, ќе ја направам пресметката според мојот датум на раѓање. Значи, мојот датум на раѓање е 20.08.1986 година. Да ги собереме броевите на денот, месецот и годината на раѓање (без нули): 2+8+1+9+8+6=34. Следно, додадете ги броевите на резултатот: 3 + 4 = 7. Потоа од првиот збир ја одземаме удвоената прва цифра на роденденот: 34-4=30. И повторно додадете ги броевите од последниот број:
3+0=3. Останува да се направат последните дополнувања - 1. и 3. и 2. и 4. збирови: 34+30=64, 7+3=10. Ги добивме броевите 20.08.1986,34,7,30, 64,10.
и направи магичен квадрат, така што сите единици од овие броеви се вклучени во ќелијата 1, сите две се во ќелијата 2 итн. Нулите не се земаат предвид. Како резултат на тоа, мојот квадрат ќе изгледа вака:
Клетките на квадратот значат следново:
Ќелија 1 - целост, волја, упорност, себичност.
- 1 - комплетни егоисти, настојувајте да извлечете максимална корист од секоја ситуација.
- 11 - лик близок до егоистичен.
- 111 - „златна средина“. Ликот е мирен, флексибилен, друштвен.
- 1111 - луѓе со силен карактер, со силна волја. Мажите со таков карактер одговараат за улогата на воени професионалци, а жените го држат своето семејство во тупаница.
- 11111 - диктатор, тиранин.
- 111111 - сурова личност, способна да го направи невозможното; често потпаѓа под влијание на некоја идеја.
Клетка 2 - биоенергетика, емотивност, искреност, сензуалност. Бројот на два го одредува нивото на биоенергетика.
Нема заптивки - отворен е канал за интензивен сет на биоенергетика. Овие луѓе се образовани и благородни по природа.
- 2 - обични луѓе во однос на биоенергетиката. Таквите луѓе се многу чувствителни на промените во атмосферата.
- 22 - релативно голема понуда на биоенергија. Таквите луѓе прават добри лекари, медицински сестри, редари. Во семејството на такви луѓе ретко кој има нервен стрес.
- 222 е знак на психичар.
Ќелија 3 - точност, специфичност, организација, точност, точност, чистота, скржавост, склоност кон постојано „враќање на правдата“.
Растот на тројки ги подобрува сите овие квалитети. Со нив има смисла човек да се бара во науките, особено во точните. Преовладувањето на тројките доведува до појава на педанти, луѓе во случај.
Клетка 4 - здравје. Ова се должи на егрегорот, односно енергетскиот простор развиен од предците и заштита на личноста. Отсуството на четири укажува на болка на една личност.
- 4 - просечно здравје, неопходно е да се смири телото. Препорачани спортови се пливање и трчање.
- 44 - добро здравје.
- 444 и повеќе - луѓе со многу добро здравје.
Ќелија 5 - интуиција, јасновидство, која почнува да се манифестира кај такви луѓе веќе на ниво од три петки.
Нема петки - каналот за комуникација со просторот е затворен. Овие луѓе се често
грешат.
- 5 - канал за комуникација е отворен. Овие луѓе можат правилно да ја пресметаат ситуацијата за да извлечат максимум од неа.
- 55 - високо развиена интуиција. Кога ќе видат „пророчки соништа“, тие можат да го предвидат текот на настаните. Професии погодни за нив се адвокат, истражител.
- 555 - речиси јасновидец.
- 5555 - видовити.
Ќелија 6 - втемеленост, материјалност, калкулација, склоност кон квантитативен развој на светот и недоверба кон квалитативните скокови, а уште повеќе кон чудата на духовниот поредок.
Нема шестки - на овие луѓе им треба физичка работа, иако тоа обично не им се допаѓа. Тие се обдарени со извонредна имагинација, фантазија, уметнички вкус. Суптилни природи, тие сепак се способни за акција.
- 6 - може да се занимава со креативност или точни науки, но физичкиот труд е предуслов за постоење.
- 66 - луѓето се многу приземјени, привлечени кон физичка работа, иако тоа не е задолжително за нив; ментална активност или часови по уметност се пожелни.
- 666 - знакот на сатаната, посебен и злобен знак. Овие луѓе имаат висок темперамент, шармантни се, секогаш стануваат центар на вниманието во општеството.
- 6666 - овие луѓе во нивните претходни инкарнации добија премногу основа, работеа многу напорно и не можат да го замислат својот живот без работа. Ако нивниот квадрат има
девет, тие дефинитивно треба да се занимаваат со ментална активност, да развијат интелигенција, барем да добијат високо образование.
Ќелија 7 - бројот на седум ја одредува мерката на талентот.
- 7 - колку повеќе работат, толку повеќе добиваат потоа.
- 77 - многу надарени, музички луѓе, имаат нежен уметнички вкус, можеби имаат склоност кон ликовната уметност.
- 777 - овие луѓе, по правило, доаѓаат на Земјата за кратко време. Тие се љубезни, спокојни, болно ја перцепираат секоја неправда. Тие се чувствителни, сакаат да сонуваат, не секогаш ја чувствуваат реалноста.
- 7777 е знакот на Ангелот. Луѓето со овој знак умираат во детството, а доколку живеат, тогаш нивниот живот е постојано во опасност.
Ќелија 8 - карма, должност, должност, одговорност. Бројот на осум го одредува степенот на чувството за должност.
Нема осмици - на овие луѓе речиси целосно им недостасува чувство за должност.
- 8 - одговорни, совесни, точни природи.
- 88 - овие луѓе имаат развиено чувство за должност, тие секогаш се одликуваат со желба да им помогнат на другите, особено на слабите, болните, осамените.
- 888 - знак на голема должност, знак на услуга на луѓето. Владетелот со три осмици постигнува извонредни резултати.
- 8888 - овие луѓе имаат парапсихолошки способности и исклучителна подложност на точните науки. За нив се отворени натприродни патишта.
Ќелија 9 - ум, мудрост. Отсуството на деветки е доказ дека менталните способности се крајно ограничени.
- 9 - овие луѓе мора да работат напорно цел живот за да го надополнат недостатокот на интелигенција.
- 99 - овие луѓе се паметни од раѓање. Тие секогаш не сакаат да учат, бидејќи знаењето лесно им се дава. Тие се обдарени со смисла за хумор со ироничен допир, независни.
- 999 се многу паметни. Воопшто не се вложуваат напори за учење. Одлични соговорници.
- 9999 година - вистината им е откриена на овие луѓе. Ако и тие имаат развиена интуиција, тогаш им се гарантира неуспех во кој било од нивните напори. Со сето ова, тие се обично доста пријатни, бидејќи остриот ум ги прави груби, немилосрдни и сурови.
Така, откако го составивте волшебниот квадрат на Питагора и знаејќи го значењето на сите комбинации на броеви вклучени во неговите ќелии, ќе можете соодветно да ги цените квалитетите на вашата природа што ги дала мајката природа.
латински квадрати
И покрај фактот дека математичарите главно биле заинтересирани за магични квадрати, латинските квадрати најдоа најголема примена во науката и технологијата.
Латински квадрат е квадрат од nxn ќелии во кои броевите 1, 2, ..., n се напишани, згора на тоа, на таков начин што сите овие броеви се појавуваат еднаш во секој ред и секоја колона. Слика 3 прикажува два такви квадрати 4x4. Тие имаат интересна карактеристика: ако еден квадрат е надреден на друг, тогаш сите парови од добиените броеви се разликуваат. Таквите парови на латински квадрати се нарекуваат ортогонални.
Задачата за пронаоѓање на ортогонални латински квадрати прв ја поставил Л. Ојлер, а во таква забавна формулација: „Меѓу 36-те офицери, подеднакво има копјачи, змејови, хусари, курасиери, коњаници чувари и гранати, а покрај тоа, подеднакво генерали , полковници, мајори, капетани, поручници и второпоручници, а секој службен огранок е претставен со офицери од сите шест чинови. Дали е можно да се поредат сите офицери на квадрат 6 x 6 така што офицерите од сите чинови се среќаваат во која било колона и која било линија?
Ојлер не можеше да најде решение за овој проблем. Во 1901 година е докажано дека такво решение не постои. Во исто време, Ојлер докажа дека постојат ортогонални парови на латински квадрати за сите непарни вредности на n и за парни вредности на n кои се деливи со 4. Ојлер претпостави дека за преостанатите вредности на n, т.е. , ако бројот n кога се дели со 4 го дава остатокот 2, нема ортогонални квадрати. Во 1901 година, беше докажано дека ортогоналните квадрати 6 6 не постојат, и ова ја зголеми довербата во валидноста на претпоставката на Ојлер. Меѓутоа, во 1959 година, со помош на компјутер, најпрвин беа пронајдени ортогонални квадрати 10x10, потоа 14x14, 18x18, 22x22. И тогаш се покажа дека за кое било n освен 6, има nxn ортогонални квадрати.
Магичните и латинските квадрати се блиски роднини. Нека имаме два ортогонални квадрати. Пополнете ги ќелиите на новиот квадрат со иста големина на следниов начин. Да го ставиме бројот n(a - 1) + b таму, каде што a е бројот во таква ќелија од првиот квадрат, а b е бројот во истата ќелија од вториот квадрат. Лесно е да се разбере дека на добиениот квадрат, збировите на броевите во редовите и колоните (но не нужно на дијагоналите) ќе бидат исти.
Теоријата на латински квадрати најде бројни примени и во самата математика и во нејзината примена. Да земеме пример. Да претпоставиме дека сакаме да тестираме 4 сорти пченица за продуктивност во дадена област и сакаме да го земеме предвид влијанието на степенот на реткост на културите и влијанието на два вида ѓубрива. За да го направите ова, ќе поделиме квадратна парцела на 16 парцели (слика 4). Првата сорта пченица ќе ја засадиме на парцели што одговараат на долната хоризонтална лента, следната сорта - на четири парцели што одговараат на следната лента итн. (на сликата, сортата е означена со боја). Во овој случај, максималната густина на сеење нека биде на оние парцели што одговараат на левата вертикална колона на сликата, а се намалува кога се движите надесно (на сликата, ова одговара на намалување на интензитетот на бојата). Броевите во ќелиите на сликата нека значат:
првиот е бројот на килограми ѓубриво од првиот тип нанесено на оваа површина, а вториот е количината на ѓубриво од вториот тип нанесено. Лесно е да се разбере дека во овој случај се реализираат сите можни парови на комбинации и од сорта и од густина на сеидба, и други компоненти: сорта и ѓубрива од прв тип, ѓубрива од прв и втор тип, густина и ѓубрива од втор тип. .
Употребата на ортогонални латински квадрати помага да се земат предвид сите можни опции во експериментите во земјоделството, физиката, хемијата и технологијата.
квадратна магија питагора латински
Заклучок
Овој есеј се занимава со прашања поврзани со историјата на развојот на едно од прашањата на математиката, што ги окупирало главите на толку многу големи луѓе - магични квадрати. И покрај фактот што самите магични квадрати не најдоа широка примена во науката и технологијата, тие инспирираа многу извонредни луѓе да учат математика и придонесоа за развој на други гранки на математиката (теорија на групи, детерминанти, матрици итн.).
Најблиските роднини на магичните квадрати, латинските квадрати, пронајдоа бројни примени и во математиката и во нејзините примени во поставувањето и обработката на резултатите од експериментите. Апстрактот дава пример за поставување таков експеримент.
Апстрактот го разгледува и прашањето за плоштадот на Питагора, што е од историски интерес и, можеби, корисно за изготвување психолошки портрет на личност.
Библиографија
- 1. Енциклопедиски речник на млад математичар. М., „Педагогија“, 1989 г.
- 2. М. Гарднер „Патување низ времето“, М., „Мир“, 1990 година.
- 3. Физичка култура и спорт бр.10, 1998 год
