จตุรัสวิเศษของตัวเลข 4 ตัว สี่เหลี่ยมมายากล (3) - เอกสาร ปริศนานี้คืออะไร

หน้าแรก > เอกสาร

เมจิกสแควร์

ตารางมายากลหรือมายากลคือตารางสี่เหลี่ยมที่เต็มไปด้วยตัวเลขในลักษณะที่ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแถว แต่ละคอลัมน์ และเส้นทแยงมุมทั้งสองจะเท่ากัน

ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแถว คอลัมน์ และแนวทแยงเรียกว่าค่าคงที่เวทย์มนตร์ M

ค่าคงที่เวทย์มนตร์ที่เล็กที่สุดของตารางเวทย์มนตร์ 3x3 คือ 15, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 4x4 คือ 34, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 5x5 คือ 65

หากผลรวมของตัวเลขในช่องสี่เหลี่ยมมีค่าเท่ากันในแถวและคอลัมน์เท่านั้น จะเรียกว่ากึ่งเวทย์มนตร์

สร้างจตุรัสมายากล 3 x 3 ที่เล็กที่สุด

ค่าคงที่วิเศษ

ค้นหาค่าคงที่เวทย์มนตร์ที่เล็กที่สุดของตารางเวทย์มนตร์ 3x3

1 วิธี

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ม = 15.

ตัวเลขที่อยู่ตรงกลางคือ15 : 3 = 5

โดยกำหนดให้มีเลข 5 อยู่ตรงกลาง

โดยที่ n คือจำนวนแถว

ถ้าคุณสามารถสร้างตารางเวทย์มนตร์ได้หนึ่งอัน ก็ไม่ยากที่จะสร้างจำนวนเท่าใดก็ได้ ดังนั้นจำเทคนิคการก่อสร้างไว้

เมจิกสแควร์ 3x3 ที่มีค่าคงที่ 15

1 วิธีการก่อสร้าง. ใส่เลขคู่ตรงมุมก่อน

2,4,8,6 และ 5 ตรงกลาง กระบวนการที่เหลือเป็นเลขคณิตอย่างง่าย

15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

2 ทางโซลูชั่น

การใช้ตารางเวทย์มนตร์ที่ค้นพบที่มีค่าคงที่ 15 คุณสามารถตั้งค่างานที่หลากหลายได้มากมาย:

ตัวอย่าง.สร้างสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ใหม่ 3 x 3

สารละลาย.

การเพิ่มแต่ละตัวเลขของตารางเวทย์มนตร์หรือคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน เราจะได้ตารางเวทย์มนตร์ใหม่

ตัวอย่างที่ 1สร้างสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ 3 x 3 ที่มีตัวเลขอยู่ตรงกลางคือ 13

สารละลาย.

มาสร้างเวทย์มนตร์ที่คุ้นเคยกันเถอะ

สี่เหลี่ยมที่มีค่าคงที่ 15

ค้นหาหมายเลขที่อยู่ใน

ตรงกลางของสี่เหลี่ยมที่ต้องการ

13 – 5 = 8.

สู่ทุกเลขอาถรรพ์

เพิ่ม 8 สี่เหลี่ยม

ตัวอย่าง 2เติมกรงแห่งเวทมนตร์

สี่เหลี่ยม รู้ค่าคงที่เวทย์มนตร์

สารละลาย.มาหาเลขกัน

เขียนไว้ตรงกลาง 42: 3 = 14

42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่าง. 1. เติมเซลล์ของสี่เหลี่ยมมายากลด้วยเวทย์มนตร์

ค่าคงที่ M =15

1) 2) 3)

2. หาค่าคงที่เวทย์มนตร์ของสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์

1) 2) 3)

3. เติมเซลล์ของช่องเวทย์มนตร์รู้ค่าคงที่เวทย์มนตร์

1) 2) 3)

M=24 M=30 M=27

4 . สร้างตารางเวทย์มนตร์ 3x3 โดยรู้ว่าค่าคงที่เวทย์มนตร์คือ

เท่ากับ 21

สารละลาย. จำได้ว่าสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ 3x3 ถูกสร้างขึ้นตามขนาดที่เล็กที่สุด

ค่าคงที่ 15. เลขคู่เขียนในช่องสุดขั้ว

2, 4, 6, 8 และตรงกลางเลข 5 (15 : 3).

ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามค่าคงที่เวทย์มนตร์

21. ตรงกลางของสี่เหลี่ยมที่ต้องการควรเป็นหมายเลข 7 (21 : 3).

มาหาสมาชิกในจตุรัสที่ต้องการมากกว่ากัน

แต่ละเทอมที่มีค่าคงที่เวทย์มนตร์น้อยที่สุด 7 - 5 = 2

เราสร้างตารางเวทย์มนตร์ที่ต้องการ:

21 – (4 + 6) = 11

21 – (6 + 10) = 5

21 – (8 + 10) = 3

21 – (4 + 8) = 9

4. สร้างสี่เหลี่ยมมายากล 3x3 โดยรู้ค่าคงที่เวทย์มนตร์

M = 42 M = 36 M = 33

M=45 M=40 M=35

สร้างสี่เหลี่ยมมายากลขนาด 4 x 4 ที่เล็กที่สุด

ค่าคงที่วิเศษ

ค้นหาค่าคงที่เวทย์มนตร์ที่เล็กที่สุดของสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ 4x4

และหมายเลขที่อยู่ตรงกลางของสี่เหลี่ยมนี้

1 วิธี

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136

136: 4= 34.

โดยที่ n คือจำนวนแถว n = 4

ผลรวมของตัวเลขในแนวนอนใด ๆ

แนวตั้งและแนวทแยงคือ 34

จำนวนนี้ยังเกิดขึ้นในทั้งหมด

สี่เหลี่ยมมุมฉาก 2×2 ตรงกลาง

กำลังสอง (10+11+6+7) กำลังสองจาก

เซลล์มุม (16+13+4+1)

ในการสร้างสี่เหลี่ยมวิเศษ 4x4 คุณต้อง: สร้างหนึ่ง

ด้วยค่าคงที่ 34

ตัวอย่าง.สร้างสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ 4 x 4 ใหม่ที่แตกต่างกัน

สารละลาย.

บวกแต่ละตัวเลขที่พบ

เมจิกสแควร์ 4 x 4 หรือ

คูณด้วยจำนวนเดียวกัน

รับตารางมายากลใหม่

ตัวอย่าง.สร้างเวทย์มนตร์

สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 4 x 4 ที่มีมนต์ขลัง

ค่าคงที่คือ 46

สารละลาย.สร้างเวทย์มนตร์ที่คุ้นเคย

สี่เหลี่ยมที่มีค่าคงที่ 34

46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

ถึงแต่ละหมายเลขของจตุรัสวิเศษ

มาบวก 3 กันเถอะ

ก่อนดำเนินการแก้ไขตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นในสี่เหลี่ยมมายากล 4 x 4 ให้ตรวจสอบคุณสมบัติที่มีอีกครั้งว่า M = 34

ตัวอย่าง. 1. เติมเซลล์ของตารางเวทย์มนตร์ด้วยเวทย์มนตร์

ค่าคงที่ M =38

H = 38- (10+7+13)=8 d = 38-(17+4+11)=6 c = 38-(17+4+14)=3

e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15

b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9

คุณสมบัติ 1,3,1 คุณสมบัติ 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2

คุณสมบัติ 1,1,1,1

ตอบ.

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

กรอกข้อมูลในเซลล์ของตารางเวทย์มนตร์ด้วยถ้ารู้จักเวทย์มนตร์

คงที่

K = 46 K = 58 K = 62

พบกับสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ 5x5 และ 6x6

มีการจำแนกประเภทที่แตกต่างกันหลายอย่างของสี่เหลี่ยมมายากล

ลำดับที่ห้าออกแบบมาเพื่อจัดระบบ ในหนังสือ

มาร์ติน การ์ดเนอร์ [GM90, pp. 244-345] อธิบายวิธีใดวิธีหนึ่งเหล่านี้ -

ตามตัวเลขในจตุรัสกลาง วิธีการนี้น่าสงสัย แต่ไม่มีอะไรมากไปกว่านี้

ยังไม่ทราบจำนวนช่องสี่เหลี่ยมของลำดับที่หก แต่มีประมาณ 1.77 x 1019 ตัวเลขมีจำนวนมาก ดังนั้นจึงไม่มีความหวังที่จะนับโดยใช้การค้นหาอย่างละเอียดถี่ถ้วน แต่ไม่มีใครสามารถคิดสูตรการคำนวณกำลังสองวิเศษได้

วิธีทำเมจิกสแควร์?

มีหลายวิธีในการสร้างสี่เหลี่ยมมายากล วิธีที่ง่ายที่สุดในการสร้างสี่เหลี่ยมมายากล คำสั่งคี่. เราจะใช้วิธีการที่เสนอโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสแห่งศตวรรษที่ 17 A. de la Louber (เดอ ลา ลูแบร์).มันขึ้นอยู่กับกฎห้าข้อซึ่งเราจะพิจารณาจากตารางมายากลที่ง่ายที่สุด 3 x 3 เซลล์

กฎข้อที่ 1 ใส่ 1 ในคอลัมน์กลางของแถวแรก (รูปที่ 5.7)

ข้าว. 5.7. หมายเลขแรก

กฎข้อที่ 2 หากเป็นไปได้ ใส่ตัวเลขถัดไปในเซลล์ที่อยู่ติดกับหมายเลขปัจจุบันในแนวทแยงมุมทางขวาและด้านบน (รูปที่ 5.8)

ข้าว. 5.8. พยายามใส่ตัวเลขที่สอง

กฎข้อที่ 3 หากเซลล์ใหม่เกินช่องสี่เหลี่ยมด้านบน ให้เขียนตัวเลขในบรรทัดล่างสุดและในคอลัมน์ถัดไป (รูปที่ 5.9)

ข้าว. 5.9. เราใส่ตัวเลขที่สอง

กฎข้อที่ 4 หากเซลล์เกินช่องสี่เหลี่ยมด้านขวา ให้เขียนตัวเลขในคอลัมน์แรกสุดและในบรรทัดก่อนหน้า (รูปที่ 5.10)

ข้าว. 5.10. เราใส่ตัวเลขที่สาม

กฎข้อที่ 5 หากเซลล์ถูกครอบครองอยู่แล้ว ให้จดตัวเลขถัดไปใต้เซลล์ปัจจุบัน (รูปที่ 5.11)

ข้าว. 5.11. เราใส่ตัวเลขที่สี่

ข้าว. 5.12. เราใส่ตัวเลขที่ห้าและหก

ปฏิบัติตามกฎข้อ 3, 4, 5 อีกครั้งจนครบทั้งช่อง (รูปที่

จริงหรือ กฎนั้นเรียบง่ายและชัดเจนมาก แต่ก็ยังค่อนข้างน่าเบื่อที่จะจัดเรียงเลข 9 ตัว อย่างไรก็ตาม เมื่อรู้อัลกอริธึมสำหรับการสร้างสี่เหลี่ยมมายากล เราสามารถมอบหมายงานประจำให้คอมพิวเตอร์ทั้งหมด ปล่อยให้ตัวเองทำงานสร้างสรรค์เท่านั้น นั่นคือ การเขียนโปรแกรม

ข้าว. 5.13. เติมลงในช่องสี่เหลี่ยมด้วยตัวเลขต่อไปนี้

โครงการเมจิกสแควร์ (Magic)

ชุดสนามสำหรับโปรแกรม สี่เหลี่ยมมายากลค่อนข้างชัดเจน:

// โครงการเพื่อคนรุ่นใหม่

// จตุรัสมหัศจรรย์

// โดยวิธีเดอลาลูเบิร์ต

คลาสบางส่วนสาธารณะ Form1 : Form

//แม็กซ์. ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส: const int MAX_SIZE = 27; //วาร์

intn=0; // ลำดับสี่เหลี่ยม int [,] mq; //เมจิกสแควร์

จำนวน int=0; // ตัวเลขปัจจุบันยกกำลังสอง

intcol=0; // คอลัมน์ปัจจุบัน แถว int=0; // บรรทัดปัจจุบัน

วิธี de la Louber เหมาะสำหรับการจัดทำสี่เหลี่ยมจัตุรัสคี่ขนาดใดๆ ดังนั้นเราจึงสามารถให้ผู้ใช้เลือกลำดับของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในขณะที่จำกัดเสรีภาพในการเลือกไว้ที่ 27 เซลล์อย่างสมเหตุสมผล

หลังจากที่ผู้ใช้กดปุ่ม btnGen Generate! วิธี btnGen_Click จะสร้างอาร์เรย์เพื่อเก็บตัวเลขและส่งผ่านไปยังวิธีการสร้าง:

// กดปุ่ม "สร้าง"

โมฆะส่วนตัว btnGen_Click (ผู้ส่งวัตถุ EventArgs e)

// ลำดับของสี่เหลี่ยม:

n = (int)udNum.Value;

//สร้างอาร์เรย์:

mq = ใหม่ int ;

// สร้างตารางเวทย์มนตร์: สร้าง ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

ที่นี่เราเริ่มดำเนินการตามกฎของ de la Louber และเขียนตัวเลขแรก - หนึ่ง - ในเซลล์ตรงกลางของแถวแรกของสี่เหลี่ยม (หรืออาร์เรย์ หากคุณต้องการ):

// สร้างโมฆะสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ create()(

// ตัวเลขแรก: number=1;

//คอลัมน์สำหรับตัวเลขแรก - กลาง: col = n / 2 + 1;

//บรรทัดสำหรับตัวเลขแรก - อันแรก: row=1;

//ยกกำลังสอง: mq= จำนวน;

ตอนนี้เราเพิ่มเซลล์ที่เหลือในเซลล์ตามลำดับ - จากสองถึง n * n:

// ย้ายไปยังหมายเลขถัดไป:

เราจำได้ว่า เผื่อไว้ พิกัดของเซลล์จริง

int tc=col; int tr = แถว;

และย้ายไปยังเซลล์ถัดไปในแนวทแยง:

เราตรวจสอบการนำกฎที่สามไปใช้:

ถ้า (แถว< 1) row= n;

แล้วที่สี่:

ถ้า (col > n) ( col=1;

ไปที่กฎ3;

และประการที่ห้า:

ถ้า (mq != 0) ( col=tc;

แถว=tr+1; ไปที่กฎ3;

เราจะรู้ได้อย่างไรว่ามีตัวเลขอยู่ในเซลล์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่แล้ว? - ง่ายมาก: เราเขียนเลขศูนย์อย่างระมัดระวังในทุกเซลล์ และตัวเลขในช่องสี่เหลี่ยมที่เสร็จแล้วมีค่ามากกว่าศูนย์ ดังนั้นโดยค่าขององค์ประกอบอาร์เรย์ เราจะทราบได้ทันทีว่าเซลล์นั้นว่างหรือมีตัวเลขอยู่แล้ว! โปรดทราบว่าที่นี่เราต้องการพิกัดเซลล์ที่เราจำได้ก่อนที่จะค้นหาเซลล์เพื่อหาตัวเลขถัดไป

ไม่ช้าก็เร็ว เราจะพบเซลล์ที่เหมาะสมสำหรับตัวเลขและเขียนลงในเซลล์อาร์เรย์ที่เกี่ยวข้อง:

//ยกกำลังสอง: mq = จำนวน;

ลองวิธีอื่นในการจัดระเบียบการตรวจสอบการยอมรับของการเปลี่ยนผ่านไปยัง

ว้าว เซลล์!

หากหมายเลขนี้เป็นหมายเลขสุดท้าย แสดงว่าโปรแกรมได้ปฏิบัติตามภาระผูกพันแล้ว มิฉะนั้นจะดำเนินการให้หมายเลขต่อไปนี้แก่เซลล์โดยสมัครใจ:

//ถ้าไม่ได้ตั้งค่าตัวเลขทั้งหมดไว้ ถ้า (number< n*n)

// ไปที่หมายเลขถัดไป: goto nextNumber;

และตอนนี้สแควร์ก็พร้อมแล้ว! เราคำนวณผลรวมเวทย์มนตร์และพิมพ์บนหน้าจอ:

) //สร้าง()

การพิมพ์องค์ประกอบของอาร์เรย์นั้นง่ายมาก แต่สิ่งสำคัญคือต้องคำนึงถึงการจัดตำแหน่งของตัวเลขที่มี "ความยาว" ที่แตกต่างกัน เนื่องจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถประกอบด้วยตัวเลขหนึ่ง สอง และสามหลักได้:

//พิมพ์โมฆะตารางเวทย์มนตร์ writeMQ()

lstRes.ForeColor = สี .Black;

string s = "ผลรวมวิเศษ = " + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// พิมพ์ตารางเวทย์มนตร์: สำหรับ (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

สำหรับ (int j= 1; j<= n; ++j){

ถ้า (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()

เราเรียกใช้โปรแกรม - ได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างรวดเร็วและเลี้ยงตา (รูปที่

ข้าว. 5.14. เหลี่ยมจัด!

ในหนังสือโดย S. Goodman, S. Hidetniemiรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการพัฒนาและวิเคราะห์อัลกอริทึม

mov ในหน้า 297-299 เราจะพบอัลกอริธึมเดียวกัน แต่ในการนำเสนอ "ลดลง" ไม่ "โปร่งใส" เท่ากับเวอร์ชันของเรา แต่ทำงานได้อย่างถูกต้อง

เพิ่มปุ่ม btnGen2 สร้าง 2! และเขียนอัลกอริทึมในภาษา

C-sharp ไปยังวิธี btnGen2_Click:

//อัลกอริทึม ODDMS

โมฆะส่วนตัว btnGen2_Click (ผู้ส่งวัตถุ EventArgs e)

// ลำดับของสี่เหลี่ยม: n = (int )udNum.Value;

//สร้างอาร์เรย์:

mq = ใหม่ int ;

//สร้างตารางเวทย์มนตร์: แถว int = 1;

int col = (n+1)/2;

สำหรับ (int i = 1; i<= n * n; ++i)

mq = ผม; ถ้า (ผม% n == 0)

ถ้า (แถว == 1) แถว = n;

ถ้า (col == n) col = 1;

//สี่เหลี่ยมเสร็จสมบูรณ์: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

เราคลิกปุ่มและตรวจสอบให้แน่ใจว่าช่อง "ของเรา" ถูกสร้างขึ้น (รูปที่

ข้าว. 5.15. อัลกอริธึมเก่าในรูปลักษณ์ใหม่

สถาบันการศึกษาเทศบาล "โรงยิมหมายเลข 41"

สี่เหลี่ยมมายากล

หัวหน้างาน: ,

ครูคณิตศาสตร์

Novouralsk, 2012

บทนำ 3

1. ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมมายากล 4

1.1. เมจิกสแควร์คอนเซปต์4

1.2. จากประวัติศาสตร์ของสี่เหลี่ยมมายากล4

1.3. ประเภทของสี่เหลี่ยมมายากล6

2. ไขสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์6

2.1. ไขสี่เหลี่ยมมายากล (วิธีของ Bachet de Mezirac) 7

2.2. คำชี้แจงปัญหา8

2.3. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สี่เหลี่ยมมหัศจรรย์8

2.4. การพิสูจน์อัลกอริทึม (ในรูปแบบพีชคณิต) 9

2.5. ตัวอย่างการแก้ตารางเวทย์มนตร์โดยใช้อัลกอริทึม 10

3. ใช้สี่เหลี่ยมวิเศษ 11

3.1. กรณีต่าง ๆ ของการวางนัยทั่วไปของสี่เหลี่ยมมายากล11

3.2. แอพลิเคชันของสี่เหลี่ยมละติน12

4. ข้อสรุปทั่วไป 13

5. บทสรุป 14

6. การอ้างอิง 15

ภาคผนวก 1

ภาคผนวก 2

ภาคผนวก 3

บทนำ

ในชั้นเรียนของวงกลมคณิตศาสตร์ เราพบปัญหาเกี่ยวกับการเติมเซลล์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามกฎพิเศษ ต้องป้อนตัวเลขที่เสนอเพื่อให้ผลลัพธ์เป็นไปตามเงื่อนไขหลายประการพร้อมกัน:

หากคุณบวกตัวเลขทั้งหมดในแต่ละบรรทัด

หากคุณบวกตัวเลขทั้งหมดในแต่ละคอลัมน์

หากคุณบวกตัวเลขทั้งหมดในแนวทแยงสองเส้น

แล้วผลรวมเหล่านี้จะเท่ากับจำนวนเดียวกัน

แม้ว่าปัญหาจะต่างกันในตัวเลขเริ่มต้น ลำดับของตัวเลข ผลรวมที่ให้มา ล้วนคล้ายกัน และวิธีแก้ปัญหาก็เป็นประเภทเดียวกัน

แนวคิดนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเพียงเพื่อแก้ปัญหาแต่ละงานเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอัลกอริธึมการแก้ปัญหาทั่วไปด้วย เช่นเดียวกับการค้นหาข้อมูลทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับปัญหาประเภทนี้ในวรรณคดี

ปรากฎว่าตัวเลขที่เราสนใจนั้นเรียกว่าสี่เหลี่ยมวิเศษซึ่งรู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ พวกเขาจะหารือกันในงาน

วัตถุประสงค์:จัดระบบข้อมูลเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมมายากล พัฒนาอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปริศนา

งาน:

1. ศึกษาประวัติศาสตร์การเกิดขึ้นของสี่เหลี่ยมวิเศษ

2. ระบุประเภทของสี่เหลี่ยมมายากล

3. เรียนรู้วิธีแก้สี่เหลี่ยมมายากล

4. พัฒนาและพิสูจน์อัลกอริทึมโซลูชันของคุณ

5. กำหนดการใช้สี่เหลี่ยมมายากล

1. ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมมายากล

1.1. แนวคิดของจตุรัสมายากล

สี่เหลี่ยมมายากลเป็นที่นิยมมากแม้ในปัจจุบัน เหล่านี้คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในแต่ละเซลล์ที่มีตัวเลขถูกจารึกไว้ เพื่อให้ผลรวมของตัวเลขตามแนวนอน แนวตั้ง และแนวทแยงใด ๆ เท่ากัน ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือจัตุรัสมายากลที่ปรากฎบนภาพแกะสลักของศิลปินชาวเยอรมัน A. Dürer "Melancholia" (ภาคผนวก 1)

1.2. จากประวัติศาสตร์ของสี่เหลี่ยมมายากล

ตัวเลขเข้ามาในชีวิตของบุคคลมากจนพวกเขาเริ่มระบุคุณสมบัติมหัศจรรย์ทุกประเภทให้กับพวกเขา เมื่อหลายพันปีก่อนในประเทศจีนโบราณพวกเขาถูกดึงดูดโดยการวาดภาพสี่เหลี่ยมมายากล ระหว่างการขุดค้นทางโบราณคดีในจีนและอินเดีย พบพระเครื่องสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกแบ่งออกเป็นช่องสี่เหลี่ยมเล็กๆ เก้าช่อง โดยแต่ละช่องมีการเขียนตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 เป็นที่น่าสังเกตว่าผลรวมของตัวเลขทั้งหมดในแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยงใด ๆ เท่ากับเลข 15 เท่ากัน (รูปที่ 1)

รูปที่ 1

เมจิกสแควร์เป็นที่นิยมอย่างมากในยุคกลาง หนึ่งในสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ปรากฎในภาพแกะสลักของศิลปินชาวเยอรมันชื่อ Albrecht Dürer "Melancholia" 16 เซลล์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 16 และผลรวมของตัวเลขในทุกทิศทางคือ 34 น่าแปลกที่ตัวเลขสองตัวที่อยู่ตรงกลางบรรทัดล่างสุดระบุปีที่สร้างรูปภาพ - 1514 ได้สี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ เป็นงานอดิเรกยอดนิยมในหมู่นักคณิตศาสตร์ สี่เหลี่ยมขนาดใหญ่ถูกสร้างขึ้น ตัวอย่างเช่น 43x43 ที่มีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 1849 และนอกเหนือจากคุณสมบัติที่ระบุของสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์แล้วพวกเขายังมีคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกมากมาย มีการวางแผนวิธีต่างๆ เพื่อสร้างช่องสี่เหลี่ยมมายากลทุกขนาด แต่จนถึงขณะนี้ยังไม่มีสูตรใดที่สามารถหาจำนวนช่องสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ในขนาดที่กำหนดได้ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว และคุณสามารถแสดงด้วยตัวเองได้ง่ายๆ ว่าไม่มีสี่เหลี่ยมมายากล 2x2 มีสี่เหลี่ยมมายากล 3x3 เพียงอันเดียว ส่วนที่เหลือของสี่เหลี่ยมดังกล่าวได้มาจากการหมุนและความสมมาตร มีสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ 4x4 อยู่แล้ว 800 รูปและจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5x5 นั้นใกล้เคียงกับหนึ่งในสี่ของล้าน

1.3. ประเภทของสี่เหลี่ยมมายากล

วิเศษ(เมจิกสแควร์) นตัวเลข 2 ตัว เพื่อให้ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแถว แต่ละคอลัมน์ และทั้งสองเส้นทแยงมุมเท่ากัน

จตุรัสกึ่งเวทย์มนตร์เป็นตาราง nxn ที่เต็มไปด้วย นตัวเลข 2 ตัวในลักษณะที่ผลรวมของตัวเลขจะเท่ากันเฉพาะในแถวและคอลัมน์เท่านั้น

ปกติเป็นตารางวิเศษที่เต็มไปด้วยจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง น 2.

สมาคม (สมมาตร) -จตุรัสวิเศษ ซึ่งผลรวมของตัวเลขสองตัวใดๆ ที่ตั้งอยู่บริเวณจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมสมมาตรกัน เท่ากับ น 2 + 1.

จตุรัสเวทย์มนตร์ปีศาจ (เหลี่ยม)- สี่เหลี่ยมมายากล ซึ่งผลรวมของตัวเลขตามแนวทแยงที่หัก (เส้นทแยงมุมที่เกิดขึ้นเมื่อสี่เหลี่ยมพับเป็นพรู) ในทั้งสองทิศทางยังตรงกับค่าคงที่เวทย์มนตร์

มี 48 4x4 Devil Magic Squares ที่แม่นยำในการหมุนและการสะท้อน หากเราคำนึงถึงความสมมาตรเพิ่มเติมด้วย - การแปลแบบคู่ขนาน toric ก็จะเหลือเพียง 3 ช่องสี่เหลี่ยมที่แตกต่างกันเท่านั้น (รูปที่ 2)

รูปที่ 2

สี่เหลี่ยมจตุรัสของลำดับที่สี่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมจำนวนหนึ่งซึ่งเรียกว่า มุ่งมั่น. ไม่มีกำลังสองที่สมบูรณ์แบบของลำดับคี่ ในบรรดาสี่เหลี่ยมจตุรัสของความเท่าเทียมกันสองเท่าที่สูงกว่า 4 มีอันที่สมบูรณ์แบบ

ลำดับที่ 5 มี 3600 pandiagonal squares โดยพิจารณาจากการแปลแบบขนาน toric มี 144 pandiagonal square ที่แตกต่างกัน

2. การแก้ปัญหาของสี่เหลี่ยมมายากล

2.1 การแก้ปัญหาของสี่เหลี่ยมมายากล (วิธีของ Bacher de Mezirac)

กฎสำหรับการสร้างช่องสี่เหลี่ยมมายากลแบ่งออกเป็นสามประเภท ขึ้นอยู่กับว่าลำดับของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นเลขคี่ เท่ากับสองเท่าของเลขคี่ หรือเท่ากับสี่เท่าของเลขคี่ ไม่ทราบวิธีการทั่วไปในการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด แม้ว่าจะมีการใช้รูปแบบต่างๆ อย่างกว้างขวาง เป็นไปได้ที่จะหาช่องสี่เหลี่ยมมายากลทั้งหมดตามลำดับ n สำหรับ n ≤ 4 เท่านั้น

ในการแก้สี่เหลี่ยมมายากลปกติที่มีขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ เราใช้วิธีการที่อธิบายในปี 1612 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Claude Bachet de Mezirac หนังสือของเขาเป็นภาษารัสเซียซึ่งตีพิมพ์ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กในปี พ.ศ. 2420 ภายใต้ชื่อ "เกมและปัญหาจากคณิตศาสตร์"

สะดวกในการสร้างตารางมายากลบนกระดาษสี่เหลี่ยม ให้ n เป็นเลขคี่ และคุณต้องสร้างสี่เหลี่ยม nxn ด้วยตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง n2 เราดำเนินการทีละขั้นตอน

1. เราเขียนตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง n2 ลงในเซลล์ในแนวทแยง (n ตัวเลขในแถว) เพื่อสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวทแยง

2. เลือก nxn square ตรงกลาง นี่คือพื้นฐาน (ยังไม่เต็มทุกเซลล์) ของจตุรัสเวทมนตร์ในอนาคต

3. แต่ละ "มุม" ที่เป็นตัวเลขที่อยู่นอกจัตุรัสกลางจะถูกย้ายเข้าด้านในอย่างระมัดระวัง - ไปยังด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยม ตัวเลขของมุมเหล่านี้ควรเติมเซลล์ว่างทั้งหมด จัตุรัสมายากลถูกสร้างขึ้น

มาดูตัวอย่างการเติมช่องสี่เหลี่ยมขนาด 3x3 ด้วยตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มเซลล์ลงในช่องสี่เหลี่ยมเพื่อให้ได้เส้นทแยงมุม ขั้นแรก เติมตัวเลขในเซลล์ในแนวทแยงด้วยตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 (รูปที่ 3) จากนั้น "พับมุม" ลงในเซลล์ว่างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในไปทางด้านตรงข้าม (รูปที่ 4)

รูปที่ 3 รูปที่ 4

2.2. การกำหนดปัญหา

มาอธิบายวิธีการแก้สี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ของเรากัน ให้เราอาศัยการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสี่เหลี่ยมมายากล 3x3

การกำหนดปัญหาทั่วไป

มีเก้าตัวเลข จำเป็นต้องจัดเรียงในเซลล์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 3x3 เพื่อให้ผลรวมของตัวเลขตามเส้นแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยงเท่ากัน

2.3. อัลกอริธึมสี่เหลี่ยมมายากล

คำอธิบายด้วยวาจาของอัลกอริทึม

1. เรียงลำดับตัวเลขจากน้อยไปมาก

2. ค้นหาเลขกลาง (ลำดับที่ห้า)

3. กำหนดคู่ตามกฎ: 1 คู่ - ตัวเลขแรกและเก้า

2 คู่ - หมายเลขที่สองและแปด

3 คู่ - หมายเลขที่สามและเจ็ด

4 คู่ - ตัวเลขที่สี่และที่หก

4. ค้นหาผลรวมของตัวเลข (S) ซึ่งควรจะได้จากการบวกตัวเลขในแต่ละแนวตั้ง แนวนอน เส้นทแยงมุม: เพิ่มตัวเลขที่เล็กที่สุด กลาง มากที่สุด นั่นคือหมายเลข 1 ของคู่ที่มีหมายเลขตรงกลาง

5. วางเลขตรงกลางไว้ตรงกลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

6. บนแนวนอนตรงกลาง (หรือแนวตั้ง) ในเซลล์ว่าง ให้ป้อนตัวเลขคู่แรก

7. เขียนตัวเลขคู่ที่สองตามเส้นทแยงมุมใดๆ (เพื่อให้จำนวนคู่ที่มากกว่าอยู่ในคอลัมน์ที่มีจำนวนน้อยกว่าของคู่ที่สอง)

8. คำนวณจำนวนที่จะเขียนในคอลัมน์สุดขั้วตามกฎ:

จาก S ลบผลรวมของตัวเลขสองตัวที่มีอยู่ในเซลล์ของคอลัมน์ หาตัวเลข

9. ในแนวทแยงของตัวเลขผลลัพธ์ ให้จดหมายเลขที่สองของคู่ของมัน

10. ป้อนคู่ตัวเลขสุดท้ายในเซลล์ที่เหลือตามกฎ: ป้อนตัวเลขที่มากกว่าจากคู่ในบรรทัดที่มีตัวเลขที่น้อยกว่า และจำนวนที่น้อยกว่าในเซลล์ว่างที่เหลือ

2.4. บทพิสูจน์ความถูกต้องของการเติมเมจิกสแควร์

(การแก้ปัญหาในรูปแบบทั่วไป)

เราจะพิสูจน์ว่าผลรวมของตัวเลขที่อยู่ในแนวดิ่ง แนวนอน และแนวทแยงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอันเป็นผลมาจากอัลกอริทึมจะเท่ากัน

ให้หลังจากสั่งซื้อแต่ละหมายเลขที่ตามมาจะแตกต่างจากหมายเลขก่อนหน้าด้วยค่าคงที่ X. มาแสดงตัวเลขทั้งหมดในรูปของ a1(จำนวนน้อยที่สุด) และ X:

a1 , a2=a1+x,

a3=a2+X=a1+2x,

a4=a1+3x,

a5=a1+4x,

a6=a1+5x,

a7=a1+6x,

a8=a1+7x,

เอ9 = เอ1 +8 x.

มาหาผลรวมกันเถอะ สและแสดงเป็นตัวเลข a1และ X: ส= เอ1 + เอ5 + เอ9 =3 เอ1 +12 x.

ให้เติมตารางเวทย์มนตร์ตามอัลกอริทึมที่เสนอ

ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมของตัวเลขที่อยู่ในแนวนอน แนวตั้ง และแนวทแยงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าเท่ากับ ส.

ในแนวตั้ง:

S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S

S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S

S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S

แนวนอน:

S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S

S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S

S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S

ตามแนวทแยงมุม:

S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S

S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3เอ1 +12x=ส

เราได้รับเงินเท่ากัน คำยืนยันได้รับการพิสูจน์แล้ว

บันทึก.

ตัวเลขที่จัดในลักษณะนี้ทำให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในลำดับนี้ (หลังจากจัดลำดับ) a1 เป็นสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ x คือผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สำหรับตัวเลขที่ไม่ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ อัลกอริทึมจะไม่ทำงาน

2.5. ตัวอย่างการแก้โจทย์สี่เหลี่ยมมายากล

ตัวเลขที่กำหนด: 5,2,4,8,1,3,7,9,6 เติมตารางมายากลด้วยตัวเลขที่กำหนด

1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. ได้เลขกลาง 5.

3. คู่: 1 และ 9, 2 และ 8, 3 และ 7, 4 และ 6

4.S=5+1+9= 15 - ผลรวม

8. 15-(9+2)=4

อัลกอริทึมนี้แตกต่างอย่างมากจากวิธี Bachet de Meziriac ในอีกด้านหนึ่ง มันต้องมีการคำนวณเพิ่มเติม (ข้อเสียของวิธีการ) ในทางกลับกัน วิธีการของเราไม่ต้องการโครงสร้างเพิ่มเติม (สี่เหลี่ยมทแยงมุม) ยิ่งไปกว่านั้น วิธีการนี้ไม่เพียงใช้ได้กับจำนวนธรรมชาติที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่ 1 ถึง 9 เท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับตัวเลขเก้าตัวที่เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเราเห็นข้อดีของมันด้วย นอกจากนี้ ค่าคงที่เวทย์มนตร์จะถูกกำหนดโดยอัตโนมัติ - ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแนวทแยง แนวตั้ง และแนวนอน

3. ใช้สี่เหลี่ยมมายากล

3.1. กรณีต่าง ๆ ของการสรุปของสี่เหลี่ยมมายากล

ปัญหาในการรวบรวมและอธิบายสี่เหลี่ยมมายากลเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีคำอธิบายที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์สำคัญทั้งหมดเกี่ยวกับช่องสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ที่เป็นไปได้จนถึงทุกวันนี้ เมื่อขนาด (จำนวนเซลล์) ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพิ่มขึ้น จำนวนช่องมายากลที่เป็นไปได้จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ในบรรดาสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่มีสี่เหลี่ยมที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ ตัวอย่างเช่น ในช่องสี่เหลี่ยมในรูปที่ 5 ไม่เพียงแต่ผลรวมของตัวเลขในแถว คอลัมน์ และเส้นทแยงมุมเท่ากันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลรวมของห้าตามเส้นทแยงมุม "หัก" ที่เชื่อมต่อในรูปด้วยเส้นสี

รูปที่ 5. รูปที่ 6

จตุรัสลาตินเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของ n x n เซลล์ ซึ่งเขียนตัวเลข 1, 2, ..., n ยิ่งไปกว่านั้น ในลักษณะที่ตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้เกิดขึ้นครั้งเดียวในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ บน (รูปที่ 6) แสดงสี่เหลี่ยมละติน 4x4 สองอันดังกล่าว พวกมันมีคุณลักษณะที่น่าสนใจ: หากสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งซ้อนทับกับอีกช่องหนึ่ง ตัวเลขผลลัพธ์ทุกคู่จะแตกต่างกัน สี่เหลี่ยมละตินคู่ดังกล่าวเรียกว่ามุมฉาก งานค้นหาสี่เหลี่ยมละตินฉากตั้งฉากเป็นครั้งแรกโดยแอล. ออยเลอร์และในรูปแบบความบันเทิงดังกล่าว: “ในบรรดาเจ้าหน้าที่ 36 นายมีทวน, ทหารม้า, เสือกลาง, เกราะ, ทหารม้าและทหารราบที่เท่าเทียมกัน, และนอกจากนี้ นายพลที่เท่าเทียมกัน, พันเอก, เอก, แม่ทัพ, ร้อยโทและร้อยโทและแต่ละสาขาการบริการมีเจ้าหน้าที่ของทั้งหกยศเป็นตัวแทน เป็นไปได้ไหมที่จะจัดเจ้าหน้าที่เหล่านี้ในตาราง 6x6 เพื่อให้เจ้าหน้าที่ทุกระดับมาพบกันในคอลัมน์ใดก็ได้? (ภาคผนวก 2).

L. Euler ไม่สามารถหาวิธีแก้ไขปัญหานี้ได้ ในปี พ.ศ. 2444 ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว

3.2. การประยุกต์ใช้สี่เหลี่ยมละติน

สี่เหลี่ยมมายากลและละตินเป็นญาติสนิท ทฤษฏีของสี่เหลี่ยมละตินพบการประยุกต์มากมาย ทั้งในคณิตศาสตร์เองและในการประยุกต์ ลองมาดูตัวอย่างกัน สมมติว่าเราต้องการทดสอบข้าวสาลีสองสายพันธุ์สำหรับผลผลิตในพื้นที่ที่กำหนด และเราต้องคำนึงถึงอิทธิพลของระดับความกระจัดกระจายของพืชผลและอิทธิพลของปุ๋ยสองประเภท ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งส่วนสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็น 16 ส่วนเท่าๆ กัน (รูปที่ 7) เราจะปลูกข้าวสาลีชนิดแรกบนแปลงที่สอดคล้องกับแถบแนวนอนด้านล่าง เราจะปลูกพันธุ์ต่อไปในสี่แปลงที่สอดคล้องกับแถบถัดไป ฯลฯ (ในรูป ความหลากหลายจะแสดงด้วยสี)

เกษตรกรรม" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">การเกษตร ฟิสิกส์ เคมีและเทคโนโลยี

4. ข้อสรุปทั่วไป

ในระหว่างการทำงาน ฉันได้รู้จักกับ Magic Squares ประเภทต่างๆ เรียนรู้วิธีการแก้ Magic Squares ปกติโดยใช้วิธี Bachet de Mezirac เนื่องจากวิธีแก้ปัญหาของสี่เหลี่ยมมายากล 3x3 ของเรานั้นแตกต่างจากวิธีที่ระบุ แต่ทุกครั้งที่มันอนุญาตให้เราเติมเซลล์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้อย่างถูกต้อง ความปรารถนาก็เกิดขึ้นเพื่อพัฒนาอัลกอริทึมของเราเอง อัลกอริธึมนี้อธิบายอย่างละเอียดในงาน ซึ่งพิสูจน์แล้วในรูปแบบพีชคณิต ปรากฎว่าไม่เพียงใช้กับกำลังสองปกติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกำลังสอง 3x3 ซึ่งตัวเลขเหล่านี้ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ นอกจากนี้เรายังพยายามหาตัวอย่างการใช้เวทมนตร์และสี่เหลี่ยมละติน

ฉันเรียนรู้วิธีการ: แก้สมการกำลังสอง พัฒนาและอธิบายอัลกอริธึม พิสูจน์ประโยคในรูปแบบพีชคณิต ฉันได้เรียนรู้แนวคิดใหม่: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, จตุรัสวิเศษ, ค่าคงที่เวทย์มนตร์, ศึกษาประเภทของกำลังสอง

น่าเสียดายที่อัลกอริธึมที่พัฒนาขึ้นของฉันและวิธีการของ Bachet de Mezirac ไม่สามารถแก้สี่เหลี่ยมมายากล 4x4 ได้ ดังนั้นฉันจึงต้องการพัฒนาอัลกอริทึมเพิ่มเติมสำหรับการแก้กำลังสองดังกล่าว

5. บทสรุป

ในงานนี้ได้ทำการศึกษาช่องสี่เหลี่ยมวิเศษโดยพิจารณาถึงประวัติความเป็นมาของต้นกำเนิด ประเภทของสี่เหลี่ยมมายากลถูกกำหนด: มายากลหรือมายากลสแควร์, กึ่งมายากล, ปกติ, เชื่อมโยง, มายากลปีศาจ, สมบูรณ์แบบ

ในบรรดาวิธีการที่มีอยู่สำหรับการแก้ปัญหาพวกเขาเลือกวิธี Basche de Meziriac ซึ่งได้รับการทดสอบจากตัวอย่าง นอกจากนี้ สำหรับการแก้สมการกำลังสอง 3x3 จะเสนออัลกอริธึมโซลูชันของตัวเอง และการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์จะให้ในรูปแบบพีชคณิต

อัลกอริธึมที่เสนอแตกต่างอย่างมากจากวิธี Bacher de Meziriac ในอีกด้านหนึ่ง มันต้องมีการคำนวณเพิ่มเติม (ข้อเสียของวิธีการ) ในทางกลับกัน ไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างเพิ่มเติม วิธีนี้ใช้ได้ไม่เฉพาะกับจำนวนธรรมชาติที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่ 1 ถึง 9 เท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับตัวเลขเก้าตัวที่เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเราเห็นข้อดีของมันด้วย นอกจากนี้ ค่าคงที่เวทย์มนตร์จะถูกกำหนดโดยอัตโนมัติ - ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแนวทแยง แนวตั้ง และแนวนอน

บทความนี้นำเสนอภาพรวมของสี่เหลี่ยมมายากล - สี่เหลี่ยมละตินและอธิบายการใช้งานจริง

งานนี้สามารถใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์เป็นสื่อการสอนเพิ่มเติมได้ เช่นเดียวกับในห้องเรียนและในการทำงานกับนักเรียนรายบุคคล

6. การอ้างอิง

1. ปริศนาแห่งโลกแห่งตัวเลข / คอมพ์ - D.: Stalker, 1997.-448s.

2. พจนานุกรมสารานุกรมของนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ / คอมพ์ - ม.: การสอน, 1989 - 352 หน้า: ป่วย

3. สารานุกรมสำหรับเด็ก T11. คณิตศาสตร์ / บทที่. เอ็ด - M.: Avanta +, 2000 - 688s.: ป่วย

4. ฉันรู้จักโลก: Children's Encyclopedia: Mathematics / Comp. - และอื่น ๆ - ม.: AST, 1996. - 480s.: ป่วย

เมจิกสแควร์,ตารางจำนวนเต็มกำลังสอง ซึ่งผลรวมของตัวเลขในแถวใดๆ คอลัมน์ใดๆ และเส้นทแยงมุมหลักใดๆ ในสองเส้น มีค่าเท่ากับตัวเลขเดียวกัน

จัตุรัสมายากลมีต้นกำเนิดจากจีนโบราณ ตามตำนานในช่วงรัชสมัยของจักรพรรดิหยู (ค. 2200 ปีก่อนคริสตกาล) เต่าศักดิ์สิทธิ์โผล่ขึ้นมาจากน่านน้ำของแม่น้ำเหลืองบนเปลือกซึ่งมีการจารึกอักษรอียิปต์โบราณ (รูปที่ 1, เอ) และเครื่องหมายเหล่านี้เรียกว่า lo-shu และเทียบเท่ากับตารางมายากลที่แสดงในรูปที่ หนึ่ง, ข. ในศตวรรษที่ 11 พวกเขาเรียนรู้เกี่ยวกับเวทมนตร์สแควร์ในอินเดีย และจากนั้นในญี่ปุ่น ซึ่งในศตวรรษที่ 16 สี่เหลี่ยมมายากลเป็นเรื่องของวรรณกรรมที่กว้างขวาง เขาแนะนำชาวยุโรปให้รู้จักกับจัตุรัสเวทมนตร์ในศตวรรษที่ 15 นักเขียนไบแซนไทน์ E. Moskhopoulos จตุรัสแรกที่ชาวยุโรปประดิษฐ์ขึ้นคือจตุรัสของ A. Durer (รูปที่ 2) ซึ่งปรากฎจากการแกะสลักที่มีชื่อเสียงของเขา ความเศร้าโศก 1. วันที่แกะสลัก (1514) ระบุด้วยตัวเลขในเซลล์กลางสองเซลล์ของบรรทัดล่าง คุณสมบัติลึกลับต่าง ๆ มาจากช่องสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ ในศตวรรษที่ 16 Cornelius Heinrich Agrippa สร้างช่องสี่เหลี่ยมของคำสั่งที่ 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ซึ่งเกี่ยวข้องกับโหราศาสตร์ของดาวเคราะห์ทั้ง 7 มีความเชื่อว่าจตุรัสวิเศษที่สลักเงินไว้ป้องกันกาฬโรค แม้กระทั่งทุกวันนี้ ท่ามกลางคุณลักษณะของผู้ทำนายชาวยุโรป เราสามารถเห็นสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์

ในศตวรรษที่ 19 และ 20 ความสนใจในสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์พุ่งขึ้นด้วยพลังใหม่ พวกเขาเริ่มที่จะตรวจสอบโดยใช้วิธีการของพีชคณิตที่สูงขึ้นและแคลคูลัสปฏิบัติการ

องค์ประกอบของสี่เหลี่ยมเวทมนตร์แต่ละอันเรียกว่าเซลล์ สี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็น นเซลล์ ประกอบด้วย น 2 เซลล์และเรียกว่า สี่เหลี่ยม น-คำสั่งที่ สี่เหลี่ยมมายากลส่วนใหญ่ใช้อันแรก นตัวเลขธรรมชาติต่อเนื่องกัน ซำ สตัวเลขในแต่ละแถว แต่ละคอลัมน์ และในแนวทแยงใด ๆ เรียกว่า ค่าคงที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีค่าเท่ากับ ส = น(น 2 + 1)/2. พิสูจน์แล้วว่า นผม 3. สำหรับกำลังสองของคำสั่ง 3 ส= 15 ลำดับที่ 4 - ส= 34 ลำดับที่ 5 - ส = 65.

เส้นทแยงมุมสองเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่าเส้นทแยงมุมหลัก เส้นหักเป็นเส้นทแยงมุมที่เมื่อถึงขอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้วจะขนานไปกับส่วนแรกจากขอบตรงข้าม (เส้นทแยงมุมดังกล่าวเกิดจากเซลล์ที่แรเงาในรูปที่ 3) เซลล์ที่มีความสมมาตรรอบจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่าสมมาตรแบบเบ้ ตัวอย่างเช่น เซลล์ เอและ ขในรูป 3.

กฎสำหรับการสร้างช่องสี่เหลี่ยมมายากลแบ่งออกเป็นสามประเภท ขึ้นอยู่กับว่าลำดับของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นเลขคี่ เท่ากับสองเท่าของเลขคี่ หรือเท่ากับสี่เท่าของเลขคี่ ไม่ทราบวิธีการทั่วไปในการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด แม้ว่าจะมีการใช้รูปแบบต่างๆ กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งเราจะพิจารณาบางส่วนด้านล่าง

สี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ที่มีลำดับแปลก ๆ สามารถสร้างได้โดยใช้วิธี geometer ของฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 อ. เดอ ลา ลูเบรา พิจารณาวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างช่องสี่เหลี่ยมลำดับที่ 5 (รูปที่ 4) หมายเลข 1 อยู่ในเซลล์กลางของแถวบนสุด จำนวนธรรมชาติทั้งหมดถูกจัดเรียงในลำดับที่เป็นธรรมชาติจากล่างขึ้นบนในเซลล์ของเส้นทแยงมุมจากขวาไปซ้าย เมื่อถึงขอบบนของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (เช่นในกรณีของหมายเลข 1) เรายังคงเติมเส้นทแยงมุมโดยเริ่มจากเซลล์ด้านล่างของคอลัมน์ถัดไป เมื่อถึงขอบด้านขวาของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (หมายเลข 3) เรายังคงเติมเส้นทแยงมุมที่มาจากเซลล์ด้านซ้ายด้วยบรรทัดด้านบนต่อไป เมื่อถึงเซลล์ที่เติม (หมายเลข 5) หรือมุม (หมายเลข 15) วิถีโคจรลงมาหนึ่งเซลล์ หลังจากนั้นกระบวนการเติมจะดำเนินต่อไป

วิธีการของ F. de la Ira (1640-1718) ขึ้นอยู่กับสี่เหลี่ยมดั้งเดิมสองอัน ในรูป รูปที่ 5 แสดงวิธีการสร้างช่องลำดับที่ 5 โดยใช้วิธีนี้ ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 5 จะถูกป้อนลงในเซลล์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก เพื่อให้ตัวเลข 3 ซ้ำกันในเซลล์ของเส้นทแยงมุมหลักที่ขึ้นไปทางขวา และไม่มีตัวเลขใดเกิดขึ้นสองครั้งในหนึ่งแถวหรือในหนึ่งคอลัมน์ เราทำเช่นเดียวกันกับตัวเลข 0, 5, 10, 15, 20 โดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่ตอนนี้หมายเลข 10 ถูกทำซ้ำในเซลล์ของเส้นทแยงมุมหลักจากบนลงล่าง (รูปที่ 5, ข). ผลรวมแบบเซลล์ต่อเซลล์ของสองสี่เหลี่ยมนี้ (รูปที่ 5 วี) สร้างจตุรัสวิเศษ วิธีนี้ใช้ในการสร้างกำลังสองที่มีลำดับเท่ากัน

หากทราบวิธีการสร้างกำลังสองคำสั่ง มและสั่งซื้อ น, จากนั้นเราก็สามารถสร้างกำลังสองของคำสั่ง มґ น. สาระสำคัญของวิธีนี้แสดงไว้ในรูปที่ 6. ที่นี่ ม= 3 และ น= 3 สี่เหลี่ยมจตุรัสลำดับที่ 3 ที่ใหญ่กว่า (พร้อมตัวเลขลงสีพื้น) สร้างขึ้นโดยวิธีของเดอลาลูเบอร์ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีหมายเลข 1ў (เซลล์ตรงกลางของแถวบนสุด) ถูกจารึกไว้ในช่องของลำดับที่ 3 จากตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ซึ่งสร้างโดยวิธี de la Louber ด้วย สี่เหลี่ยมของลำดับที่ 3 ที่มีตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 18 จะถูกป้อนลงในเซลล์ด้วยตัวเลข 2ў (ขวาที่บรรทัดล่างสุด) ลงในเซลล์ที่มีตัวเลข 3ў - สี่เหลี่ยมจัตุรัสตัวเลขตั้งแต่ 19 ถึง 27 เป็นต้น เป็นผลให้เราได้กำลังสองของลำดับที่ 9 สี่เหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่าคอมโพสิต

บทนำ

นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ในสมัยโบราณถือว่าความสัมพันธ์เชิงปริมาณเป็นพื้นฐานของแก่นแท้ของโลก ดังนั้นตัวเลขและอัตราส่วนของพวกเขาจึงครอบครองจิตใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของมนุษยชาติ เบนจามิน แฟรงคลินเขียนว่า “ในสมัยเด็กๆ สี่เหลี่ยมมายากลคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีผลรวมของตัวเลขในแต่ละแถวแนวนอน ในแต่ละแถวแนวตั้งและตามแนวทแยงแต่ละเส้นเท่ากัน

นักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นบางคนอุทิศผลงานของตนให้กับสี่เหลี่ยมมายากล และผลลัพธ์ของพวกเขามีอิทธิพลต่อการพัฒนากลุ่ม โครงสร้าง สี่เหลี่ยมละติน ดีเทอร์มิแนนต์ พาร์ติชั่น เมทริกซ์ ความสอดคล้อง และส่วนที่ไม่สำคัญอื่นๆ ของคณิตศาสตร์

บทความนี้มีจุดประสงค์เพื่อแนะนำสี่เหลี่ยมมายากลต่างๆ สี่เหลี่ยมละติน และศึกษาขอบเขตการใช้งาน

สี่เหลี่ยมมายากล

ทุกวันนี้ยังไม่มีคำอธิบายที่สมบูรณ์ของช่องสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ไม่มีสี่เหลี่ยมมายากล 2x2 มีตารางมายากล 3x3 เดียว เนื่องจากส่วนที่เหลือของตารางมายากล 3x3 ได้มาจากการหมุนรอบศูนย์กลางหรือโดยการสะท้อนเกี่ยวกับแกนสมมาตรอันใดอันหนึ่ง

มี 8 วิธีในการจัดเรียงตัวเลขธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 9 ในสี่เหลี่ยมมายากล 3x3:

  • 9+5+1
  • 9+4+2
  • 8+6+2
  • 8+5+2
  • 8+4+3
  • 7+6+2
  • 7+5+3
  • 6+5+4

ในตารางมายากล 3x3 ค่าคงที่มหัศจรรย์ 15 ต้องเท่ากับผลรวมของตัวเลขสามตัวใน 8 ทิศทาง ได้แก่ 3 แถว 3 คอลัมน์ และ 2 เส้นทแยงมุม เนื่องจากตัวเลขที่อยู่ตรงกลางเป็นของ 1 แถว 1 คอลัมน์และ 2 เส้นทแยงมุม จึงรวมอยู่ในเลขสามตัว 4 ใน 8 ตัว ซึ่งรวมกันเป็นค่าคงที่เวทย์มนตร์ มีเพียงตัวเลขเดียวเท่านั้น: มันคือ 5 ดังนั้นตัวเลขที่อยู่ตรงกลางของตารางเวทย์มนตร์ 3x3 จึงเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว: มันเท่ากับ 5

พิจารณาหมายเลข 9 รวมอยู่ในตัวเลขแฝด 2 เท่านั้น เราไม่สามารถใส่มันในมุมได้ เนื่องจากแต่ละเซลล์มุมอยู่ในสามสาม: แถว คอลัมน์ และแนวทแยง ดังนั้น หมายเลข 9 ต้องอยู่ในบางเซลล์ที่อยู่ติดกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ตรงกลาง เนื่องจากความสมมาตรของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ไม่สำคัญว่าเราเลือกด้านไหน เราจึงเขียน 9 ไว้เหนือเลข 5 ในช่องตรงกลาง ทั้งสองข้างของเก้าตัวบนบรรทัดบน เราใส่ได้เฉพาะตัวเลข 2 และ 4 ซึ่งในสองตัวนี้จะอยู่ที่มุมขวาบน และตัวไหนอยู่ทางซ้าย อีกทีก็ไม่เป็นไร เพราะการเรียงหนึ่งของ ตัวเลขจะไปที่อื่นเมื่อมิเรอร์ เซลล์ที่เหลือจะถูกเติมโดยอัตโนมัติ การสร้างจัตุรัสมายากล 3x3 ที่เรียบง่ายของเราพิสูจน์ให้เห็นถึงความเป็นเอกลักษณ์

จตุรัสวิเศษดังกล่าวเป็นสัญลักษณ์ของความสำคัญอย่างยิ่งในหมู่ชาวจีนโบราณ เลข 5 ตรงกลางหมายถึงโลก และรอบๆ อย่างสมดุลคือไฟ (2 และ 7) น้ำ (1 และ 6)

ไม้ (3 และ 8) โลหะ (4 และ 9)

เมื่อขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (จำนวนเซลล์) เพิ่มขึ้น จำนวนช่องสี่เหลี่ยมมายากลที่เป็นไปได้ของขนาดนั้นจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว มี 880 magic square ของคำสั่ง 4 และ 275,305,224 magic square ของคำสั่ง 5 นอกจากนี้ 5x5 squares เป็นที่รู้จักในยุคกลาง ตัวอย่างเช่น ชาวมุสลิมมีความคารวะต่อจตุรัสที่มีเลข 1 อยู่ตรงกลางมาก โดยถือว่าเป็นสัญลักษณ์ของความสามัคคีของอัลลอฮ์

จตุรัสมหัศจรรย์แห่งพีทาโกรัส

นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ Pythagoras ผู้ก่อตั้งหลักคำสอนทางศาสนาและปรัชญาซึ่งประกาศความสัมพันธ์เชิงปริมาณที่เป็นพื้นฐานของสาระสำคัญของสิ่งต่าง ๆ เชื่อว่าสาระสำคัญของบุคคลนั้นอยู่ในตัวเลขเช่นกัน - วันเดือนปีเกิด ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือจากจตุรัสมหัศจรรย์แห่งพีทาโกรัส เราสามารถรู้ลักษณะของบุคคล ระดับของสุขภาพที่ปล่อยออกมาและศักยภาพของมัน เผยให้เห็นข้อดีและข้อเสีย และด้วยเหตุนี้จึงระบุสิ่งที่ควรทำเพื่อปรับปรุง

เพื่อให้เข้าใจว่าสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ของพีทาโกรัสคืออะไรและคำนวณตัวบ่งชี้อย่างไร ฉันจะคำนวณโดยใช้ตัวอย่างของฉันเอง และเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ของการคำนวณตรงกับลักษณะที่แท้จริงของบุคคลนี้หรือบุคคลนั้นจริง ๆ ฉันจะตรวจสอบด้วยตัวเองก่อน ฉันจะทำการคำนวณตามวันเกิดของฉัน ดังนั้นวันเกิดของฉันคือ 08/20/1986 มาบวกเลขวันเดือนปีเกิดกัน (ไม่รวมศูนย์): 2+8+1+9+8+6=34 ถัดไป บวกตัวเลขของผลลัพธ์: 3 + 4 = 7 จากผลรวมแรก เราลบเลขหลักแรกของวันเกิดเป็นสองเท่า: 34-4=30 และเพิ่มตัวเลขของตัวเลขสุดท้ายอีกครั้ง:

3+0=3. มันยังคงทำการเพิ่มเติมครั้งสุดท้าย - ผลรวมที่ 1 และ 3 และ 2 และ 4: 34+30=64, 7+3=10 เราได้รับหมายเลข 08/20/1986,34,7,30, 64,10.

และสร้างตารางมายากลเพื่อให้หน่วยทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้รวมอยู่ในเซลล์ 1 ทั้งสองอยู่ในเซลล์ 2 ฯลฯ โดยจะไม่นับเลขศูนย์ เป็นผลให้สี่เหลี่ยมของฉันจะมีลักษณะดังนี้:

เซลล์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหมายถึงสิ่งต่อไปนี้:

เซลล์ 1 - เด็ดเดี่ยว, เจตจำนง, ความเพียร, ความเห็นแก่ตัว

  • 1 - นักอัตตาที่สมบูรณ์ มุ่งมั่นที่จะได้รับประโยชน์สูงสุดจากทุกสถานการณ์
  • 11 - ตัวละครที่ใกล้ชิดกับความเห็นแก่ตัว
  • 111 - "ค่าเฉลี่ยสีทอง" ตัวละครสงบ ยืดหยุ่น เข้ากับคนง่าย
  • 1111 - คนที่มีบุคลิกเข้มแข็งมีความมุ่งมั่น ผู้ชายที่มีบุคลิกเช่นนี้เหมาะสำหรับบทบาทของผู้ประกอบอาชีพทางทหารและผู้หญิงก็รักษาครอบครัวไว้ได้
  • 11111 - เผด็จการเผด็จการ
  • 111111 - คนโหดร้ายสามารถทำสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ มักตกอยู่ภายใต้อิทธิพลของความคิดบางอย่าง

เซลล์ 2 - พลังงานชีวภาพ, อารมณ์, ความจริงใจ, ราคะ จำนวนสองครั้งกำหนดระดับของพลังงานชีวภาพ

ไม่มีผี - ช่องทางสำหรับชุดพลังงานชีวภาพแบบเข้มข้นเปิดอยู่ คนเหล่านี้มีการศึกษาและมีเกียรติโดยธรรมชาติ

  • 2 - คนธรรมดาในแง่ของพลังงานชีวภาพ คนเหล่านี้อ่อนไหวต่อการเปลี่ยนแปลงของบรรยากาศมาก
  • 22 - แหล่งพลังงานชีวภาพที่ค่อนข้างใหญ่ คนเหล่านี้ทำให้แพทย์ พยาบาล ระเบียบวินัยที่ดี ในครอบครัวของคนเหล่านี้แทบไม่มีใครมีความเครียดทางประสาท
  • 222 เป็นสัญญาณของพลังจิต

เซลล์ 3 - ความแม่นยำ, ความจำเพาะ, องค์กร, ความแม่นยำ, ตรงต่อเวลา, ความสะอาด, ความตระหนี่, แนวโน้มที่จะ "ฟื้นฟูความยุติธรรม" อย่างต่อเนื่อง

การเจริญเติบโตของแฝดสามช่วยเพิ่มคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมด กับพวกเขา มันสมเหตุสมผลแล้วที่บุคคลจะแสวงหาตัวเองในด้านวิทยาศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่แน่นอน ความเหนือกว่าของสามเท่าก่อให้เกิดคนอวดรู้ในกรณี

เซลล์ 4 - สุขภาพ นี่เป็นเพราะ egregor นั่นคือพื้นที่พลังงานที่บรรพบุรุษพัฒนาขึ้นและปกป้องบุคคล การขาดสี่บ่งบอกถึงความเจ็บปวดของบุคคล

  • 4 - สุขภาพโดยเฉลี่ย มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะทำให้ร่างกายอบอุ่น กีฬาที่แนะนำคือว่ายน้ำและวิ่ง
  • 44 - สุขภาพดี
  • 444 ขึ้นไป - คนที่มีสุขภาพที่ดีมาก

เซลล์ 5 - สัญชาตญาณ, การมีญาณทิพย์ซึ่งเริ่มปรากฏให้เห็นในคนเหล่านี้แล้วที่ระดับสามห้า

ไม่มีห้าช่อง - ช่องทางการสื่อสารที่มีช่องว่างถูกปิด คนๆนี้มักจะ

ผิด

  • 5 - ช่องทางการสื่อสารเปิดอยู่ คนเหล่านี้สามารถคำนวณสถานการณ์ได้อย่างถูกต้องเพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุด
  • 55 - สัญชาตญาณที่พัฒนาอย่างมาก เมื่อพวกเขาเห็น "ความฝันพยากรณ์" พวกเขาสามารถทำนายเหตุการณ์ได้ อาชีพที่เหมาะสมกับพวกเขาคือทนายความ นักสืบสวน
  • 555 - เกือบมีญาณทิพย์
  • 5555 - ผู้มีญาณทิพย์

เซลล์ 6 - ความมีเหตุผล ความมีสาระสำคัญ การคำนวณ แนวโน้มที่จะพัฒนาเชิงปริมาณของโลก และไม่ไว้วางใจในการก้าวกระโดดเชิงคุณภาพ และปาฏิหาริย์ของระเบียบทางวิญญาณที่ยิ่งกว่านั้นอีก

ไม่มีการแบ่ง - คนเหล่านี้ต้องการแรงงานทางกายภาพแม้ว่าปกติพวกเขาจะไม่ชอบก็ตาม พวกเขาเต็มไปด้วยจินตนาการจินตนาการและรสนิยมทางศิลปะที่ไม่ธรรมดา ธรรมชาติที่ละเอียดอ่อน พวกมันยังสามารถดำเนินการได้

  • 6 - สามารถมีส่วนร่วมในความคิดสร้างสรรค์หรือวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน แต่การใช้แรงงานทางกายภาพเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการดำรงอยู่
  • 66 - ผู้คนมีเหตุมีผลมาก ดึงดูดให้ใช้แรงงานกายภาพ แม้ว่าจะไม่จำเป็นสำหรับพวกเขาก็ตาม กิจกรรมทางจิตหรือชั้นเรียนศิลปะเป็นที่พึงปรารถนา
  • 666 - สัญลักษณ์ของซาตาน สัญลักษณ์พิเศษและน่ากลัว คนเหล่านี้มีอารมณ์สูง มีเสน่ห์ กลายเป็นศูนย์กลางของความสนใจในสังคมอย่างสม่ำเสมอ
  • 6666 - คนเหล่านี้ในชาติก่อนของพวกเขามีพื้นฐานมากเกินไป พวกเขาทำงานหนักมากและไม่สามารถจินตนาการถึงชีวิตของพวกเขาโดยปราศจากงาน ถ้าสี่เหลี่ยมของพวกเขามี

เก้า พวกเขาจำเป็นต้องมีส่วนร่วมในกิจกรรมทางจิต พัฒนาสติปัญญา อย่างน้อยก็ได้รับการศึกษาที่สูงขึ้น

เซลล์ 7 - จำนวนสามัคคีกำหนดการวัดความสามารถ

  • 7 - ยิ่งทำงาน ยิ่งได้รับภายหลัง
  • 77 คนมีพรสวรรค์มาก ดนตรี มีรสนิยมทางศิลปะที่ละเอียดอ่อน อาจชอบงานศิลปะ
  • 777 - ตามกฎแล้วคนเหล่านี้มายังโลกในช่วงเวลาสั้น ๆ พวกเขาใจดี สงบสุข และรับรู้ถึงความอยุติธรรมอย่างเจ็บปวด อ่อนไหว ชอบฝัน มักไม่รู้สึกเป็นจริง
  • 7777 เป็นสัญลักษณ์ของเทวดา คนที่มีสัญลักษณ์นี้เสียชีวิตในวัยเด็กและหากพวกเขามีชีวิตอยู่ชีวิตของพวกเขาก็จะตกอยู่ในอันตรายตลอดเวลา

เซลล์ 8 - กรรม, หน้าที่, หน้าที่, ความรับผิดชอบ จำนวนแปดกำหนดระดับของความรู้สึกต่อหน้าที่

ไม่มีแปดคน - คนเหล่านี้แทบไม่มีสำนึกในหน้าที่เลย

  • 8 - มีความรับผิดชอบ, มีมโนธรรม, ลักษณะที่ถูกต้อง
  • 88 - คนเหล่านี้มีสำนึกในหน้าที่ที่พัฒนาแล้ว พวกเขามักจะโดดเด่นด้วยความปรารถนาที่จะช่วยเหลือผู้อื่น โดยเฉพาะผู้อ่อนแอ คนป่วย คนเหงา
  • 888 - สัญลักษณ์ของหน้าที่อันยิ่งใหญ่, สัญลักษณ์ของการบริการเพื่อประชาชน ไม้บรรทัดที่มีสามแปดบรรลุผลลัพธ์ที่โดดเด่น
  • 8888 - คนเหล่านี้มีความสามารถด้านจิตศาสตร์และความอ่อนไหวเป็นพิเศษต่อวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน เส้นทางเหนือธรรมชาติเปิดกว้างสำหรับพวกเขา

เซลล์ 9 - จิตใจปัญญา การขาดเก้าเป็นหลักฐานว่าความสามารถทางจิตมี จำกัด อย่างมาก

  • 9 - คนเหล่านี้ต้องทำงานหนักตลอดชีวิตเพื่อชดเชยการขาดสติปัญญา
  • 99 - คนเหล่านี้ฉลาดตั้งแต่เกิด พวกเขามักไม่เต็มใจที่จะเรียนรู้เพราะความรู้นั้นให้ง่ายแก่พวกเขา พวกเขาเต็มไปด้วยอารมณ์ขันด้วยการสัมผัสแดกดันเป็นอิสระ
  • 999 ฉลาดมาก ไม่มีความพยายามใดๆ ในการเรียนรู้เลย คู่สนทนาที่ยอดเยี่ยม
  • 9999 - ความจริงถูกเปิดเผยต่อคนเหล่านี้ หากพวกเขาได้พัฒนาสัญชาตญาณด้วย พวกเขาก็จะได้รับการรับประกันว่าจะไม่ล้มเหลวในความพยายามใดๆ ของพวกเขา ทั้งหมดนี้มักเป็นที่พอใจ เพราะจิตใจที่เฉียบแหลมทำให้พวกเขาหยาบคาย ไม่ปรานี และโหดร้าย

ดังนั้น เมื่อรวบรวมจตุรัสมหัศจรรย์ของพีทาโกรัสและรู้ความหมายของชุดค่าผสมของตัวเลขทั้งหมดที่รวมอยู่ในเซลล์แล้ว คุณจะสามารถชื่นชมคุณลักษณะของธรรมชาติของคุณที่ธรรมชาติของมารดาได้มอบให้อย่างเพียงพอ

สี่เหลี่ยมละติน

แม้ว่าที่จริงแล้วนักคณิตศาสตร์จะสนใจเรื่องสี่เหลี่ยมมายากลเป็นหลัก แต่สี่เหลี่ยมจตุรัสลาตินกลับพบว่ามีการประยุกต์ใช้ทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมากที่สุด

สี่เหลี่ยมจตุรัสละตินคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเซลล์ nxn ซึ่งเขียนตัวเลข 1, 2, ..., n ยิ่งไปกว่านั้น ในลักษณะที่ตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้เกิดขึ้นครั้งเดียวในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ รูปที่ 3 แสดงสี่เหลี่ยม 4x4 สองอันดังกล่าว พวกมันมีคุณลักษณะที่น่าสนใจ: หากสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งซ้อนทับกับอีกช่องหนึ่ง ตัวเลขผลลัพธ์ทุกคู่จะแตกต่างกัน สี่เหลี่ยมละตินคู่ดังกล่าวเรียกว่ามุมฉาก

งานค้นหาสี่เหลี่ยมละตินฉากตั้งฉากเป็นครั้งแรกโดยแอล. ออยเลอร์ และในรูปแบบความบันเทิงดังกล่าว: “ในบรรดาเจ้าหน้าที่ 36 นาย มีทวน, ทหารม้า, เสือกลาง, เกราะ, ทหารม้าและทหารราบที่เท่าเทียมกัน, และยิ่งไปกว่านั้น นายพลที่เท่าเทียมกัน , พันเอก, เอก, แม่ทัพ, ร้อยโท, ร้อยตรี และแต่ละสาขาการบริการจะมีเจ้าหน้าที่ประจำตำแหน่งทั้ง 6 ตำแหน่งเป็นตัวแทน เป็นไปได้ไหมที่จะจัดแถวเจ้าหน้าที่ทั้งหมดในตาราง 6 x 6 เพื่อให้เจ้าหน้าที่ทุกระดับมาพบกันในคอลัมน์และแถวใดก็ได้?

ออยเลอร์ไม่สามารถหาวิธีแก้ไขปัญหานี้ได้ ในปี พ.ศ. 2444 ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว ในเวลาเดียวกัน ออยเลอร์ได้พิสูจน์ว่าคู่มุมฉากของสี่เหลี่ยมละตินมีอยู่สำหรับค่าคี่ทั้งหมดของ n และสำหรับค่าคู่ของ n ที่หารด้วย 4 ลงตัว ออยเลอร์ตั้งสมมติฐานว่าสำหรับค่าที่เหลือของ n นั่นคือ ถ้าตัวเลข n เมื่อหารด้วย 4 ให้เหลือเศษ 2 จะไม่มีช่องสี่เหลี่ยมมุมฉาก ในปี 1901 มีการพิสูจน์แล้วว่าสี่เหลี่ยมมุมฉาก 6 6 ไม่มีอยู่จริง และเพิ่มความมั่นใจในความถูกต้องของการคาดเดาของออยเลอร์ อย่างไรก็ตามในปี 2502 โดยใช้คอมพิวเตอร์พบสี่เหลี่ยมมุมฉากแรก 10x10 จากนั้น 14x14, 18x18, 22x22 แล้วมันก็แสดงว่าสำหรับ n ใดๆ ยกเว้น 6 จะมี nxn สี่เหลี่ยมมุมฉาก

สี่เหลี่ยมมายากลและละตินเป็นญาติสนิท ให้เรามีสี่เหลี่ยมมุมฉากสองอัน กรอกข้อมูลในเซลล์ของสี่เหลี่ยมใหม่ที่มีขนาดเท่ากันดังนี้ ลองใส่ตัวเลข n(a - 1) + b ตรงนั้น โดยที่ a คือตัวเลขในเซลล์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก และ b คือตัวเลขในเซลล์เดียวกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สอง เข้าใจได้ง่ายว่าในผลลัพธ์กำลังสอง ผลรวมของตัวเลขในแถวและคอลัมน์ (แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นทแยงมุม) จะเท่ากัน

ทฤษฏีของสี่เหลี่ยมละตินพบการใช้งานมากมายทั้งในด้านคณิตศาสตร์และในการใช้งาน ลองมาดูตัวอย่างกัน สมมติว่าเราต้องการทดสอบข้าวสาลี 4 สายพันธุ์สำหรับผลผลิตในพื้นที่ที่กำหนด และเราต้องการพิจารณาอิทธิพลของระดับความเบาบางของพืชผลและอิทธิพลของปุ๋ยสองประเภท ในการทำเช่นนี้เราจะแบ่งที่ดินออกเป็น 16 แปลง (รูปที่ 4) เราจะปลูกข้าวสาลีชนิดแรกบนแปลงที่สอดคล้องกับแถบแนวนอนด้านล่าง พันธุ์ถัดไป - บนสี่แปลงที่สอดคล้องกับแถบถัดไป ฯลฯ (ในรูป ความหลากหลายจะแสดงด้วยสี) ในกรณีนี้ ให้ความหนาแน่นของการหว่านสูงสุดอยู่ในแปลงที่สอดคล้องกับคอลัมน์แนวตั้งด้านซ้ายของรูป และลดลงเมื่อเคลื่อนไปทางขวา (ในรูป ค่านี้สอดคล้องกับความเข้มของสีที่ลดลง) ตัวเลขในเซลล์ของรูปภาพ ให้หมายถึง:

แบบแรกเป็นจำนวนกิโลกรัมปุ๋ยของชนิดแรกที่ใช้กับพื้นที่นี้ และแบบที่สองคือปริมาณปุ๋ยชนิดที่สองที่ใช้ เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าในกรณีนี้คู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการรวมกันของทั้งความหลากหลายและความหนาแน่นของการหว่านและองค์ประกอบอื่น ๆ ได้รับการตระหนัก: ความหลากหลายและปุ๋ยประเภทที่หนึ่ง, ปุ๋ยของประเภทที่หนึ่งและที่สอง, ความหนาแน่นและปุ๋ยประเภทที่สอง .

การใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสละตินแบบตั้งฉากช่วยในการพิจารณาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการทดลองทางการเกษตร ฟิสิกส์ เคมี และเทคโนโลยี

มายากลสี่เหลี่ยมพีทาโกรัสละติน

บทสรุป

บทความนี้กล่าวถึงประเด็นที่เกี่ยวข้องกับประวัติศาสตร์ของการพัฒนาหนึ่งในประเด็นของคณิตศาสตร์ ซึ่งครอบงำจิตใจของผู้ยิ่งใหญ่มากมาย - สี่เหลี่ยมมายากล แม้ว่าช่องสี่เหลี่ยมวิเศษจะไม่พบการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี แต่ก็เป็นแรงบันดาลใจให้คนเก่งๆ หลายคนเรียนคณิตศาสตร์และมีส่วนในการพัฒนาสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ (ทฤษฎีกลุ่ม ดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์ เป็นต้น)

ญาติสนิทของ Magic Squares, Latin Squares พบแอปพลิเคชั่นมากมายทั้งในคณิตศาสตร์และในการใช้งานในการตั้งค่าและประมวลผลผลลัพธ์ของการทดลอง บทคัดย่อให้ตัวอย่างการตั้งค่าการทดลองดังกล่าว

บทคัดย่อยังพิจารณาคำถามของจตุรัสพีทาโกรัสซึ่งมีความสนใจทางประวัติศาสตร์และอาจเป็นประโยชน์ในการวาดภาพบุคคลทางจิตวิทยา

บรรณานุกรม

  • 1. พจนานุกรมสารานุกรมของนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ ม. "การสอน", 1989.
  • 2. M. Gardner "Time Travel", M. , "Mir", 1990.
  • 3. วัฒนธรรมทางกายภาพและการกีฬา ครั้งที่ 10, 1998

อ่านยัง