কম্বিনেটরিক্স

পাঠের উদ্দেশ্য:

• combinatorics অধ্যয়ন কি খুঁজে বের করুন
• কম্বিনেটরিক্স কিভাবে উদ্ভূত হয়েছিল তা খুঁজে বের করুন
• কম্বিনেটরিক্সের সূত্রগুলি শিখুন এবং সমস্যাগুলি সমাধানে কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা শিখুন

গণিতের একটি শাখা হিসাবে সমন্বয়বিদ্যার জন্ম জুয়া তত্ত্বের উপর ব্লেইস প্যাসকেল এবং পিয়ের ফার্মাটের কাজের সাথে জড়িত।

ব্লেইজ প্যাস্কেল

পিয়েরে ফার্মাট

সমন্বিত পদ্ধতির বিকাশে একটি মহান অবদান জি.ভি. লিবনিজ, জে. বার্নোলি এবং এল. অয়লার।

জি.ভি. লিবনিজ

এল. অয়লার।

I. বার্নৌলি

লেমা। A সেটে m উপাদান এবং B সেটে n উপাদান থাকতে দিন। তারপর সমস্ত স্বতন্ত্র জোড়ার সংখ্যা (a,b) যেখানে a\in A,b\in B হবে mn এর সমান। প্রমাণ। প্রকৃতপক্ষে, সেট A থেকে একটি উপাদান দিয়ে, আমরা n এ জাতীয় বিভিন্ন জোড়া তৈরি করতে পারি এবং মোট A সেটটিতে m উপাদান রয়েছে।

স্থান, স্থানান্তর, সমন্বয় ধরা যাক আমাদের তিনটি উপাদানের একটি সেট আছে a,b,c। কোন উপায়ে আমরা এই উপাদান দুটি চয়ন করতে পারেন? ab,ac,bc,ba,ca,cb.

পারমুটেশন আমরা সেগুলিকে সমস্ত সম্ভাব্য উপায়ে পুনর্বিন্যাস করব (বস্তুর সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকে, শুধুমাত্র তাদের ক্রম পরিবর্তন হয়)। ফলস্বরূপ সংমিশ্রণগুলিকে বলা হয় পারমুটেশন, এবং তাদের সংখ্যা হল পিএন = n! =1 · 2 · 3 · ... · ( n-1) n

প্রতীক n! ফ্যাক্টরিয়াল বলা হয় এবং 1 থেকে n পর্যন্ত সমস্ত পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে বোঝায়। সংজ্ঞা অনুসারে, তারা এটি বিবেচনা করে 0!=1 1!=1 n=3 অবজেক্টের (বিভিন্ন আকৃতি) সমস্ত পারমিউটেশনের একটি উদাহরণ ছবিতে রয়েছে। সূত্র অনুসারে, ঠিক P3=3!=1⋅2⋅3=6 হওয়া উচিত, এবং তাই এটি দেখা যাচ্ছে।

বস্তুর সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে, ক্রমাগত সংখ্যা খুব দ্রুত বৃদ্ধি পায় এবং তাদের দৃশ্যত চিত্রিত করা কঠিন হয়ে পড়ে। উদাহরণস্বরূপ, 10টি আইটেমের পারমুটেশনের সংখ্যা ইতিমধ্যে 3628800 (3 মিলিয়নেরও বেশি!)

থাকার ব্যবস্থা n বিভিন্ন বস্তু হতে দিন. আমরা তাদের থেকে m অবজেক্ট বেছে নেব এবং তাদের নিজেদের মধ্যে সম্ভাব্য সব উপায়ে পুনর্বিন্যাস করব (অর্থাৎ, নির্বাচিত বস্তুর গঠন এবং তাদের ক্রম পরিবর্তন উভয়ই)। ফলস্বরূপ সংমিশ্রণগুলিকে m দ্বারা n অবজেক্টের প্লেসমেন্ট বলা হয় এবং তাদের সংখ্যা সমান Aⁿm =n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

সংজ্ঞা। m উপাদানের উপর n স্বতন্ত্র উপাদানগুলির একটি সেট স্থাপন করে (m ≤ n) ডাকা সংমিশ্রণ , যা m উপাদান দ্বারা প্রদত্ত n উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত এবং উপাদানগুলির মধ্যে বা উপাদানগুলির ক্রম অনুসারে পৃথক হয়৷

কম্বিনেশন n বিভিন্ন বস্তু হতে দিন. আমরা সব সম্ভাব্য উপায়ে তাদের থেকে m অবজেক্ট নির্বাচন করব (অর্থাৎ, নির্বাচিত বস্তুর গঠন পরিবর্তিত হয়, কিন্তু ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়)। ফলস্বরূপ সংমিশ্রণগুলিকে m দ্বারা n বস্তুর সংমিশ্রণ বলা হয় এবং তাদের সংখ্যা সমান Cmn=n!(n−m)!⋅m!

নিচের ছবিতে m=2 দ্বারা n=3 অবজেক্টের (ভিন্ন আকৃতি) সমস্ত সমন্বয়ের উদাহরণ। সূত্র অনুসারে, সেখানে অবশ্যই C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3 থাকতে হবে। এটা স্পষ্ট যে প্লেসমেন্টের তুলনায় সবসময় কম কম্বিনেশন থাকে (কারণ প্লেসমেন্টের জন্য অর্ডারটা গুরুত্বপূর্ণ, কিন্তু কম্বিনেশনের জন্য নয়), এবং এটা ঠিক m-তে! বার, যে, সম্পর্ক সূত্র সঠিক: Amn=Cmn⋅Pm.

পদ্ধতি 1. 2 জন লোক একটি গেমে অংশগ্রহণ করে, অতএব, আপনাকে গণনা করতে হবে কত উপায়ে আপনি 15 জনের মধ্যে 2 জনকে নির্বাচন করতে পারেন এবং এই ধরনের জোড়ায় ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। আমরা m উপাদান দ্বারা n ভিন্ন উপাদানের সংমিশ্রণের সংখ্যা (নমুনা যা শুধুমাত্র গঠনে ভিন্ন) খুঁজে বের করতে সূত্রটি ব্যবহার করি

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n , n=2, m=13 এর জন্য।

পদ্ধতি 2।প্রথম খেলোয়াড় 14টি গেম খেলেছে (15 তারিখ পর্যন্ত 2য়, 3য়, 4র্থ এবং এভাবেই), ২য় প্লেয়ার 15 তম পর্যন্ত 13টি গেম খেলেছে (3য়, 4র্থ, ইত্যাদি, আমরা এই সত্যটি বাদ দিই যে ইতিমধ্যে একটি ছিল প্রথমটির সাথে খেলা), তৃতীয় খেলোয়াড় - 12টি গেম, 4র্থ - 11টি গেম, 5 - 10টি গেম, 6 - 9টি গেম, 7 - 8টি গেম, 8 - 7টি গেম,

এবং 15 তম ইতিমধ্যেই সবার সাথে খেলেছে।

মোট: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 গেম

উত্তর. 105টি দল।

গণিতের শিক্ষক আকসেনোভা স্বেতলানা ভ্যালেরিভনা

লেনিনগ্রাদ অঞ্চলের ভেসেভোলোজস্কি জেলার বুগ্রোভস্কায়া মাধ্যমিক বিদ্যালয়

স্লাইড 1

স্লাইড 2

স্লাইড 3

স্লাইড 4

স্লাইড 5

স্লাইড 6

স্লাইড 7

স্লাইড 8

স্লাইড 9

স্লাইড 10

স্লাইড 11

স্লাইড 12

স্লাইড 13

স্লাইড 14

স্লাইড 15

স্লাইড 16

স্লাইড 17

স্লাইড 18

স্লাইড 19

স্লাইড 20

স্লাইড 21

স্লাইড 22

স্লাইড 23

স্লাইড 24

বিষয়ের উপর উপস্থাপনা "বিচ্ছিন্ন বিশ্লেষণ। সংমিশ্রণ। পারমুটেশন" আমাদের ওয়েবসাইটে একেবারে বিনামূল্যে ডাউনলোড করা যেতে পারে। প্রকল্পের বিষয়: তথ্যবিজ্ঞান। রঙিন স্লাইড এবং চিত্রগুলি আপনাকে আপনার সহপাঠী বা দর্শকদের আগ্রহী রাখতে সাহায্য করবে৷ বিষয়বস্তু দেখতে, প্লেয়ার ব্যবহার করুন, অথবা আপনি যদি প্রতিবেদনটি ডাউনলোড করতে চান, প্লেয়ারের নীচে উপযুক্ত পাঠ্যটিতে ক্লিক করুন৷ উপস্থাপনায় 24টি স্লাইড রয়েছে।

উপস্থাপনা স্লাইড

স্লাইড 1

বিচ্ছিন্ন বিশ্লেষণ

লেকচার 3 কম্বিনেটরিক্স। পারমুটেশন

স্লাইড 2

পারমুটেশন

n উপাদানের একটি সেট দেওয়া যাক। এই উপাদানগুলির ক্রমানুবর্তনকে বলা হয় পারমুটেশন। কখনও কখনও "n উপাদানের বাইরে" যোগ করা হয়। সাধারণত একটি, মৌলিক বা প্রাকৃতিক, ক্রম আলাদা করা হয়, যাকে বলা হয় তুচ্ছ স্থানান্তর। সেট A-এর উপাদানগুলি আমাদের আগ্রহের নয়। প্রায়শই, 1 থেকে n বা 0 থেকে n-1 পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যাগুলিকে উপাদান হিসাবে নেওয়া হয়। Pn দ্বারা n উপাদানের স্থানান্তরের সেট এবং Pn দ্বারা এর মূলত্ব নির্দেশ করুন। আসুন একই তিনটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করি: Pn এর সমান কি, Pn এর উপাদানগুলির উপর কিভাবে পুনরাবৃত্তি করা যায়, কিভাবে তাদের পুনরায় সংখ্যা করা যায়।

স্লাইড 3

স্থানচ্যুতি সংখ্যার উপর উপপাদ্য

n উপাদানের ক্রমাগত সংখ্যা n! - 1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার গুণফল। (n! পড়ে n-গৌণিক) প্রমাণ। আবেশন দ্বারা. n=1 এর জন্য সূত্রটি স্পষ্টতই সঠিক। এটি n-1 এর জন্য সত্য হোক, আমরা প্রমাণ করব যে এটি n-এর জন্যও সত্য। অর্ডারের প্রথম উপাদানটি n উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে, এবং বাকিগুলি বেছে নেওয়া প্রথম উপাদানটিকে উপায়ে বরাদ্দ করা যেতে পারে। অতএব, সূত্র Pn= Pn-1n সঠিক। যদি Pn-1=(n-1)!, তাহলে Pn=n!

স্লাইড 4

পারমুটেশন নাম্বারিং

পারমুটেশন গণনা করার জন্য, আমরা Pn সেটটিকে এক-এক-এক সেট Tn-এ ম্যাপ করি, যার উপর এটি গণনা করা অনেক সহজ হবে, এবং তারপরে যে কোনো উপাদান pPn-এর জন্য আমরা Tn-এ এর চিত্রের সংখ্যাটি তার সংখ্যা হিসাবে নিই। . সেট Tn হল কয়েকটি সংখ্যাসূচক অংশের একটি সরাসরি গুণফল Tn =(0:(n-1))(0:(n-2) ... (0)। অর্থাৎ, Tn-এর প্রতিটি উপাদান একটি সেট। অ-নেতিবাচক সংখ্যা i1, i2, …, in-1, in, এবং iknk.

স্লাইড 5

প্রদর্শন

একটি স্থানান্তর নিন এবং এটির পাশে একটি তুচ্ছ স্থানান্তর লিখুন। প্রথম সূচক হিসাবে, আমরা তুচ্ছ স্থানচ্যুতিতে প্রথম উপাদানটির (শূন্য থেকে গণনা) স্থান নিই। একটি তুচ্ছ স্থানান্তরের পরিবর্তে, বাকি অক্ষরগুলির একটি স্ট্রিং লিখি। দ্বিতীয় সূচক হিসাবে, এই সারিতে স্থানান্তরের দ্বিতীয় উপাদানটির স্থান নিন। শেষ পর্যন্ত প্রক্রিয়া পুনরাবৃত্তি করা যাক. স্পষ্টতই, kth সূচকটি kth সারির দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হবে এবং শেষ সূচকটি শূন্যের সমান হবে। আসুন একটি উদাহরণ সহ এই প্রক্রিয়াটি দেখি।

স্লাইড 6

উদাহরণ প্রদর্শন করুন

0 1 2 3 4 5 6 সূচক cadfgbeabcdefg 2 2 adfgbeabdefg 0 2 0 dfgbebdefg 1 2 0 1 fgbebefg 2 2 0 1 2 গিবেবেগ 2 2 0 1 2 2 2020 201 201 এটা স্পষ্ট যে এই প্রক্রিয়াটি বিপরীতমুখী এবং বিপরীত ম্যাপিং সূচকের সেট থেকে প্রাথমিক স্থানান্তর তৈরি করবে।

স্লাইড 7

সেটের সংখ্যাকরণ Tn

অর্ডার করা সেটের যেকোন প্রত্যক্ষ পণ্যকে একটি পরিবর্তনশীল বেস সহ একটি সংখ্যা সিস্টেম হিসাবে দেখা যেতে পারে। প্রথম বক্তৃতা থেকে সেকেন্ডের উদাহরণে ফিরে চিন্তা করুন, বা কিছু পুরানো আকারের স্কেল বিবেচনা করুন: 1 গজ = 3 ফুট, 1 ফুট = 12 ইঞ্চি, 1 ইঞ্চি = 12 লাইন, 1 লাইন = 6 পয়েন্ট। (2, 0, 4, 2, 3) = 2 গজ 0 ফুট 4 ইঞ্চি 2 লাইন 3 বিন্দু, এটি কত বিন্দু? আপনাকে গণনা করতে হবে (এটিকে হর্নারের স্কিম বলা হয়) (((2  3+0)  12+4)  12+2)  6+3

স্লাইড 8

সেটের সংখ্যা Tn - 2

সূত্র # যেটি সূচক i1, i2, ..., in-1, in-এর সেটের জন্য সংখ্যা খুঁজে বের করে, আমরা রিকার্সিভ এক্সপ্রেশন আকারে লিখতে পছন্দ করি #(i1, i2, ..., in) = a (i1, i2, ..., in-1, n-1); a(i1, i2, …, ik,k) = a(i1, i2, …, ik-1,k-1)(n-k+1)+ ik; a(খালি,0) = 0; এই সূত্র অনুযায়ী #(2,0,1,2,2,0,0) = a(2,0,1,2,2,0,6)। আমাদের আছে a(2,1)=2; a(2,0,2) = 26+0=12; a(2,0,1,3)=125+1=61; a(2,0,1,2,4) =614+2=246; a(2,0,1,2,2,5) =2463+2=740; a(2,0,1,2,2,0,6) =7402+0=1480;

স্লাইড 9

সূচক সেটের উপর পুনরাবৃত্তি

পূর্বোক্তগুলির উপর ভিত্তি করে, স্থানান্তরগুলি গণনা করা সহজ: আপনাকে প্রতিটি সেটের জন্য, অনুরূপ স্থানান্তর তৈরি করতে হবে এবং প্রতিটি সেটের জন্য সূচকের সমস্ত সেট গণনা করতে হবে। সূচকের সেটগুলি গণনা করার জন্য, আমরা লক্ষ্য করি যে প্রকৃতপক্ষে প্রতিটি সেট একটি পরিবর্তনশীল বেস সহ একটি বিশেষ সংখ্যা পদ্ধতিতে একটি সংখ্যার রেকর্ড (সিস্টেমটিকে ফ্যাক্টোরিয়াল বলা হয়)। এই সিস্টেমে 1 যোগ করার নিয়মগুলি প্রায় বাইনারির মতোই সহজ: শেষ বিট থেকে সরে গিয়ে বর্তমান বিটে 1 যোগ করার চেষ্টা করুন। যদি সম্ভব হয়, তাহলে থামাতে 1 যোগ করুন। যদি সম্ভব না হয়, বিট শূন্য লিখুন এবং পরবর্তী বিটে যান।

স্লাইড 10

সূচক সেটের উপর পুনরাবৃত্তি - 2

নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করুন: 7 6 5 4 3 2 1 এগুলি পরিবর্তনশীল বেস 3 4 4 2 1 1 0 3 4 4 2 2 0 0 0 দ্রষ্টব্য যে 3 4 4 2 2 1 0 প্রতিটি লাইন 3 4 4 3 0 দিয়ে শুরু হয় 0 0 আগেরটির মতোই, 3 4 4 3 0 1 0 তারপর উপাদানটি আসে, কঠোরভাবে 3 4 4 3 1 0 0 বড়, . . . , এবং 3 4 4 3 1 1 0 যা অনুসরণ করে তা অপরিহার্য নয়। 3 4 4 3 2 0 0 অতএব, প্রতিটি লাইন 3 4 4 3 2 1 0 অভিধানগতভাবে আগেরটির 3 5 0 0 0 0 0 0 থেকে বেশি। 3 5 0 0 0 1 0

স্লাইড 11

পারমুটেশন থিওরেমের লেক্সিকোগ্রাফিক গণনা

বর্ণিত অ্যালগরিদম আভিধানিক আরোহী ক্রমে স্থানচ্যুতিগুলি গণনা করে। প্রমাণ। আমাদের জন্য এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে যদি আমাদের কাছে I1 এবং I2 সূচকের দুটি সেট থাকে এবং I1 অভিধানিকভাবে I2-এর আগে থাকে, তাহলে ক্রমমুটেশন (I1) অভিধানিকভাবে (I2) এর আগে। এই স্থানান্তরগুলি ক্রমানুসারে গঠিত হয়, এবং যতক্ষণ পর্যন্ত I1 এবং I2 মিলে যায়, ততক্ষণ তাদের স্থানান্তরগুলিও হয়। একটি বৃহত্তর সূচক মান একটি বড় উপাদানের সাথে মিলে যায়।

স্লাইড 12

স্থানচ্যুতিগুলির অভিধানিক গণনার জন্য সরাসরি অ্যালগরিদম

আমরা কিছু স্থানান্তর p নিই এবং সরাসরি অভিধানিকভাবে পরবর্তীটি খুঁজে পাই। চলুন শুরু করা যাক - প্রথম k উপাদান। এর এক্সটেনশনগুলির মধ্যে, সর্বনিম্নটি ​​পরিচিত, যেখানে সমস্ত উপাদানগুলি আরোহী ক্রমে সাজানো হয় এবং সর্বাধিক, যেখানে সেগুলি অবরোহ ক্রমে সাজানো হয়। উদাহরণ স্বরূপ, p =(4, 2, 1, 7, 3, 6, 5) ক্রমানুসারে (4, 2, 1) এর সমস্ত এক্সটেনশন (3, 5, 6, 7) এবং (7, 6, 7) এর মধ্যে রয়েছে 5, 3)। বিদ্যমান ধারাবাহিকতা সর্বাধিকের চেয়ে কম, এবং 3য় উপাদানটি এখনও অপরিবর্তিত রাখা যেতে পারে। এবং ৪র্থটিও। এবং 5 তম পরিবর্তন করা প্রয়োজন. এটি করার জন্য, অবশিষ্ট উপাদানগুলি থেকে, আপনাকে পরবর্তীটি ক্রমানুসারে নিতে হবে, এটিকে 5 তম স্থানে রাখতে হবে এবং সর্বনিম্ন ধারাবাহিকতা নির্ধারণ করতে হবে। দেখা যাচ্ছে (4, 2, 1, 7, 5, 3, 6)।

স্লাইড 13

স্থানচ্যুতিগুলির অভিধানিক গণনার জন্য সরাসরি অ্যালগরিদম - 2

আসুন নিচের পারমুটেশনগুলো লিখি। (4, 2, 1, 7, 5, 3, 6) (4, 2, 1, 7, 5, 6, 3) (4, 2, 1, 7, 6, 5, 3) (4, 2, 3, 1, 5, 6, 7) (4, 2, 3, 1, 5, 7, 6) (4, 2, 3, 1, 6, 5, 7) (4, 2, 3, 1, 6) , 7, 5) (4, 2, 3, 1, 7, 5, 6) (4, 2, 3, 1, 7, 6, 5) (4, 2, 3, 5, 1, 6, 7)

স্লাইড 14

অ্যালগরিদমের আনুষ্ঠানিক বিবরণ

কাজের অবস্থা: পারমুটেশন p এবং বুলিয়ান সাইন সক্রিয়। প্রাথমিক অবস্থা: একটি তুচ্ছ স্থানচ্যুতি লেখা হয় এবং isActive = True। স্ট্যান্ডার্ড ধাপ: সক্রিয় থাকলে, ফলাফল হিসাবে স্থানান্তরটি ফেরত দিন। শেষ থেকে সরে গিয়ে, স্থানচ্যুতিতে সবচেয়ে বড় একঘেয়ে হ্রাসকারী প্রত্যয়টি খুঁজুন। প্রত্যয়ের আগে k-এর অবস্থান ধরা যাক। isActive রাখুন:= (k > 0)। যদি isActive, তাহলে প্রত্যয়টির মধ্যে সবচেয়ে ছোট উপাদানটি খুঁজুন যা pk ছাড়িয়ে যায়, এটি pk দিয়ে অদলবদল করুন এবং তারপর প্রত্যয়টি "উল্টান"৷

স্লাইড 15

আরেকটি পারমুটেশন অ্যালগরিদম

চলুন এখন পারমুটেশন গণনা করার চেষ্টা করি যাতে পরপর দুটি পারমুটেশন একে অপরের থেকে সামান্য আলাদা হয়। এতটুকু? একটি প্রাথমিক স্থানান্তর দ্বারা যেখানে দুটি সন্নিহিত উপাদান অদলবদল করা হয়। এটা কি সম্ভব? আমরা এই ধরনের একটি অ্যালগরিদমের একটি পরিকল্পিত চিত্র দেখাব, এটি আমাদের আগ্রহের হবে। n-1 প্রাথমিক "মেকানিজম" কল্পনা করুন, যার প্রতিটি তার উপাদানকে সেটের মধ্যে নিয়ে যায়। প্রতিটি ধাপে, প্রক্রিয়াটি বাম বা ডান দিকে একটি স্থানান্তর করে। উপাদানটি প্রান্তে পৌঁছালে দিক পরিবর্তন হয়। দিক পরিবর্তন করতে এটি একটি পদক্ষেপ নেয়, যার সময় পরবর্তী প্রক্রিয়াটি একটি পদক্ষেপ নেয়, যা যাইহোক, দিক পরিবর্তন করতে পারে।

স্লাইড 16

আরেকটি পারমুটেশন গণনা অ্যালগরিদম -2

একটি উদাহরণ দেখা যাক. 1 2 3 4 মে কার খেলা 1 2 3 4 5 কার চালু এ বি সি ডি ই একটি গ ক খ গ একটি D E একটি সি ডি খ ই বি বি সি ডি বি এ বি সি একটি ই একটি গ ঘ ঙ D E ক খ গ ঘ বি গ খ D E একটি গ একটি ই বি ই বি ই বি একটি গ ঘ ঙ একটি সি ডি ঘ বি গ বি গ খ ঘ একটি ই ঘ একটি ই c দ্বারা D E বি D E একটি গ ঘ ঙ খ গ গ বি d খ একটি গ খ D E খ D E একটি ঘ সি ই একটি সি ই খ একটি সি ডি খ গ একটি ই একটি D E বি গ একটি ঘ খ ই একটি ঘ সি ই বি একটি

স্লাইড 17

পরিবর্তনের তালিকা। এক

ফাংশন ExistsNextPerm(var kCh: integer): বুলিয়ান; var iV, iP, iVC, iPC: পূর্ণসংখ্যা; beginresult:= মিথ্যা; iV এর জন্য:= nV ডাউন টু 2 যদি গণনা করা হয়

স্লাইড 18

পেয়ারওয়াইজ পণ্যের ন্যূনতম যোগফলের সমস্যা

n সংখ্যার দুটি সেট দেওয়া যাক, বলুন, (ak|k1:n) এবং (bk|k1:n)। এই সংখ্যাগুলি জোড়ায় বিভক্ত (ak,bk) এবং তাদের জোড়া ভিত্তিক পণ্যের যোগফল k1:n akbk গণনা করা হয়। আপনি নম্বরকরণ (ak) এবং (bk) পরিবর্তন করতে পারেন। এমন নম্বর নির্বাচন করা প্রয়োজন যাতে যোগফল ন্যূনতম হয়। এই সমস্যায়, কেউ কিছু সংখ্যায়ন (ak) এবং (bk) ঠিক করতে পারে এবং একটি স্থানান্তর  সন্ধান করতে পারে যার জন্য সর্বনিম্ন যোগফল k1:n akb(k) অর্জিত হয়েছে। আমরা সংখ্যা নির্বাচন করব যখন (ak) ঊর্ধ্ব ক্রমে এবং (bk) অবরোহ ক্রমে হবে।

স্লাইড 19

পেয়ারওয়াইজ পণ্যের ন্যূনতম যোগফলের উপর উপপাদ্য

একটি তুচ্ছ স্থানচ্যুতিতে পেয়ারওয়াইজ পণ্যের ন্যূনতম সমষ্টি অর্জন করা হয়। প্রমাণ। ধরুন যে দুটি সূচক আছে k এবং r যেমন ak 0, i.e. ar br + ak bk > ar bk + ak br। আমাদের সংখ্যায় (ak) আরোহী ক্রমে সাজানো হয়। যদি (bk) আরোহী ক্রমে না হয়, তাহলে উপরে উল্লিখিত হিসাবে k এবং r এর জোড়া আছে। এই জোড়ার জন্য bk এবং br পুনর্বিন্যাস করে, আমরা যোগফলের মান কমিয়ে দেব। তাই, সর্বোত্তম দ্রবণে (bk) ঊর্ধ্ব ক্রমে রয়েছে। এই সহজ উপপাদ্যটি পরবর্তীতে বেশ কয়েকবার সম্মুখীন হবে।

স্লাইড 20

সর্বাধিক ক্রমবর্ধমান পরবর্তী সমস্যা

n দৈর্ঘ্যের সংখ্যাগুলির একটি ক্রম (ak|k1:n) দেওয়া হয়েছে। এটির সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের ক্রমটি খুঁজে বের করতে হবে, যেখানে সংখ্যাগুলি (ak) আরোহী ক্রমে যাবে৷ উদাহরণস্বরূপ, অনুক্রম 3, 2, 11, 14, 32, 16, 6, 17, 25, 13, 37, 19, 41, 12, 7, 9, সর্বাধিক পরবর্তী 2, 11, 14, 16 হবে , 17, 25, 37, 41 এই সমস্যাটি পারমুটেশনের সাথে সম্পর্কিত কারণ আসল সিকোয়েন্সটি পারমুটেশন হতে পারে। এই সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করা হয় তা দেখানোর জন্য আমরা নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখব, এবং আমরা অ্যালগরিদমের আনুষ্ঠানিকতা এবং ন্যায্যতা দর্শকদের উপর ছেড়ে দেব।

স্লাইড 21

সর্বাধিক ক্রমবর্ধমান অনুবর্তন খোঁজা

আমরা আমাদেরকে যতটা সম্ভব অর্থনৈতিকভাবে হ্রাসকারী ক্রমগুলিতে বিভক্ত করব (উদাহরণ সংশোধিত) লাইনগুলির শীর্ষে যেখানে এটি ক্রম ভাঙবে না। নীচের সারি থেকে সংখ্যাটি নেওয়া যাক, 21। কেন এটি 8 ম সারিতে আছে? 19 এতে হস্তক্ষেপ করে। কিন্তু 17 19-এর সাথে হস্তক্ষেপ করে। এবং 16 এতে হস্তক্ষেপ করে। এবং আরও অনেক কিছু। ক্রম 9, 11, 14, 16, 17, 19, 21 বৃদ্ধি পায় এবং দৈর্ঘ্য 7 থাকে। বৃহত্তর দৈর্ঘ্যের যেকোনো ক্রম দুটি সংখ্যা ধারণ করে এক লাইন থেকে Dirichlet নীতি) এবং বৃদ্ধি করা যাবে না।

স্লাইড 22

ন্যূনতম সংখ্যার বিপরীতের সমস্যা

n দৈর্ঘ্যের সংখ্যাগুলির একটি ক্রম (ak|k1:n) দেওয়া হয়েছে। একটি ইনভার্সন হল এর কিছু সাবস্ট্রিংগুলির একটি মিরর প্রতিফলন, একটি অবিচ্ছিন্ন অনুগামী, যা জায়গায় সঞ্চালিত হয়৷ ন্যূনতম সংখ্যক বিপরীতের জন্য অনুক্রমের উপাদানগুলিকে আরোহী ক্রমে সাজাতে হবে৷ উদাহরণস্বরূপ, একটি "কঠিন" স্থানান্তর এভাবে রূপান্তরিত হতে পারে (লাল অক্ষরগুলি পুনরায় সাজানো হয়েছে, বড়গুলি ইতিমধ্যেই জায়গায় রয়েছে)

স্লাইড 23

পরীক্ষার প্রশ্ন

পারমুটেশন তাদের গণনা এবং সংখ্যাকরণ। ন্যূনতম স্কেলার পণ্যের সমস্যা। সবচেয়ে বড় ক্রমবর্ধমান পরবর্তী সমস্যা.

স্লাইড 24

1. দ্বি-মুখী স্থানান্তর স্থানান্তর  সংখ্যা 2. একটি স্থানান্তর খুঁজুন যা প্রদত্ত একটি থেকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ধাপ দূরে। 3. প্রাথমিক স্থানান্তর দ্বারা স্থানান্তর গণনা করা। 4. স্কেলার পণ্যের ন্যূনতম সমস্যার জন্য একটি উদাহরণ চালান।

কীভাবে একটি ভাল উপস্থাপনা বা প্রকল্প প্রতিবেদন তৈরি করবেন তার টিপস

1. গল্পে শ্রোতাদের জড়িত করার চেষ্টা করুন, নেতৃস্থানীয় প্রশ্ন ব্যবহার করে শ্রোতাদের সাথে মিথস্ক্রিয়া সেট করুন, গেমের অংশ, রসিকতা করতে ভয় পাবেন না এবং আন্তরিকভাবে হাসবেন না (যেখানে উপযুক্ত)।
2. আপনার নিজের ভাষায় স্লাইডটি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করুন, অতিরিক্ত আকর্ষণীয় তথ্য যোগ করুন, আপনাকে কেবল স্লাইডগুলি থেকে তথ্য পড়তে হবে না, দর্শকরা নিজেরাই এটি পড়তে পারে।
3. আপনার প্রোজেক্টের স্লাইডগুলিকে টেক্সট ব্লক দিয়ে ওভারলোড করার দরকার নেই, আরও ইলাস্ট্রেশন এবং ন্যূনতম টেক্সট আরও ভালভাবে তথ্য প্রকাশ করবে এবং মনোযোগ আকর্ষণ করবে। শুধুমাত্র মূল তথ্য স্লাইডে থাকা উচিত, বাকিটা শ্রোতাদের মুখে মুখে বলা ভালো।
4. পাঠ্যটি অবশ্যই ভালভাবে পঠনযোগ্য হতে হবে, অন্যথায় শ্রোতারা প্রদত্ত তথ্য দেখতে সক্ষম হবে না, গল্প থেকে ব্যাপকভাবে বিভ্রান্ত হবে, অন্তত কিছু তৈরি করার চেষ্টা করবে বা সম্পূর্ণভাবে সমস্ত আগ্রহ হারাবে। এটি করার জন্য, উপস্থাপনাটি কোথায় এবং কীভাবে সম্প্রচার করা হবে তা বিবেচনায় নিয়ে আপনাকে সঠিক ফন্টটি চয়ন করতে হবে এবং পটভূমি এবং পাঠ্যের সঠিক সংমিশ্রণটিও চয়ন করতে হবে।
5. আপনার প্রতিবেদনের মহড়া করা গুরুত্বপূর্ণ, আপনি কীভাবে শ্রোতাদের শুভেচ্ছা জানাবেন, আপনি প্রথমে কী বলবেন, কীভাবে আপনি উপস্থাপনাটি শেষ করবেন তা নিয়ে ভাবুন। সব অভিজ্ঞতা সঙ্গে আসে.
6. সঠিক পোশাক নির্বাচন করুন, কারণ. বক্তার পোশাকও তার বক্তৃতার উপলব্ধিতে একটি বড় ভূমিকা পালন করে।
7. আত্মবিশ্বাসের সাথে, সাবলীলভাবে এবং সুসঙ্গতভাবে কথা বলার চেষ্টা করুন।
8. কর্মক্ষমতা উপভোগ করার চেষ্টা করুন যাতে আপনি আরও স্বাচ্ছন্দ্য এবং কম উদ্বিগ্ন হতে পারেন।

উপস্থাপনা "Permutations" এই বিষয়ে একটি স্কুল পাঠের জন্য শিক্ষাগত উপাদান উপস্থাপন করে। উপস্থাপনাটিতে রয়েছে পারমিউটেশনের সংজ্ঞা, এই ক্রিয়াকলাপের অর্থ বোঝার জন্য দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ, স্থানান্তরের সাথে সমস্যা সমাধানের জন্য গাণিতিক যন্ত্রপাতির বর্ণনা, সমস্যা সমাধানের উদাহরণ। উপস্থাপনার কাজটি হল শিক্ষার্থীদের কাছে শিক্ষাগত উপাদানগুলিকে একটি সুবিধাজনক, বোধগম্য আকারে পৌঁছে দেওয়া, যাতে এটির আরও ভাল বোঝা এবং মুখস্থ করাতে অবদান রাখা।

উপস্থাপনাটি শিক্ষককে একটি নতুন বিষয় ব্যাখ্যা করতে সাহায্য করার জন্য বিশেষ কৌশল ব্যবহার করে। শিক্ষার উপকরণগুলি প্রাক-গঠিত। অ্যানিমেশন প্রভাবগুলির সাহায্যে, তারা উদাহরণ এবং কার্যগুলি উপস্থাপন করে, প্রদর্শনের সময় উদাহরণ এবং কার্যগুলির গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির উপর জোর দেয়। গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলিকে সহজে মনে রাখার জন্য রঙে হাইলাইট করা হয়।

পাঠের থিম প্রবর্তনের পর, ছাত্রদেরকে একটি নির্দিষ্ট উপাদানের সেট থেকে তৈরি করা যেতে পারে এমন সহজতম সংমিশ্রণ হিসাবে স্থানচ্যুতির সংজ্ঞা দেখানো হয়। পাঠ্যটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ হিসাবে একটি বিস্ময় চিহ্ন দিয়ে হাইলাইট করা হয়েছে।

নীচের রঙিন পেন্সিলগুলিতে স্থানান্তরগুলির একটি উদাহরণ যা একটি ভিন্ন ক্রমে স্থাপন করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, পেন্সিলগুলি তাদের রঙের নামের প্রথম অক্ষর দিয়ে স্বাক্ষরিত হয়: S, K, Zh। একটি অ্যানিমেটেড উপস্থাপনার সাহায্যে, এই পেন্সিলগুলিকে ক্রমানুসারে রাখার বিকল্পগুলি স্পষ্টভাবে প্রদর্শিত হয়। একটি স্লাইডে, নীল পেন্সিলগুলি প্রথমে স্থাপন করা হয়, এবং তাদের পাশে দুটি স্থান নির্ধারণের বিকল্প রয়েছে - লাল এবং হলুদ, হলুদ এবং লাল। পরের স্লাইডে লালের পরে পেন্সিল রাখার বিকল্পগুলি দেখায় - নীল এবং হলুদ, হলুদ এবং নীল। শেষ সম্ভাব্য বিকল্প হল হলুদ লাল এবং নীল, নীল এবং লাল পরে। একটি চাক্ষুষ প্রদর্শনের পরে, সম্পাদিত ক্রিয়াকলাপগুলি তিনটি উপাদানের স্থানান্তর হিসাবে স্বাক্ষরিত হয়। তিনটি উপাদানের স্থানান্তরের আরও সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা একটি পৃথক স্লাইড 7-এ দেওয়া হয়েছে। মেমরি বক্সে, পাঠ্যটি হাইলাইট করা হয়েছে যে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে এই উপাদানগুলির প্রতিটি বিন্যাসকে তিনটি উপাদানের স্থানান্তর বলা হবে।

স্লাইড 8 n উপাদানগুলির স্থানান্তরের জন্য স্বরলিপি দেখায় - P n। এটি নির্দেশিত হয় যে তিনটি উপাদানের স্থানান্তরগুলি পেন্সিলের উদাহরণ ব্যবহার করে বিশদভাবে বিবেচনা করা হয়েছিল, যখন এটি স্পষ্ট যে এই ধরনের 6টি স্থানান্তর থাকবে৷ স্থানান্তরের সংখ্যার গাণিতিক রেকর্ডটি স্লাইডে চিহ্নিত করা হয়েছে: P 3 =6 . আরও স্ক্রিনে এটি উল্লেখ করা হয়েছে যে তিনটি উপাদানের ক্রমাগত সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য একটি সম্মিলিত গুণের নিয়ম রয়েছে।

পরের স্লাইডে, স্থানচ্যুতি পদ্ধতিটি ধাপে ধাপে বিভক্ত করা হয়েছে যাতে ক্রমাগত সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য একটি নিয়ম পাওয়া যায়। এটি নির্দেশিত হয় যে গণনার জন্য তিনটি উপাদানের যে কোনো একটিকে প্রথমে রাখা প্রয়োজন। দ্বিতীয় উপাদানটি নির্বাচন করার জন্য তার জন্য দুটি সম্ভাবনা রয়েছে। তৃতীয় উপাদান নির্বাচন করা একমাত্র বিকল্প বাকি। এর মানে হল যে 3.2.1=6 গুণ করলে 3টি উপাদানের পারমুটেশনের সংখ্যা পাওয়া যাবে। আমরা সম্ভাব্য স্থানান্তরের মোট সংখ্যা পাই। অনুরূপভাবে স্থানান্তর বৈকল্পিক অনুসন্ধানের প্রক্রিয়ার জন্য, n উপাদানগুলির পরিবর্তনশীলতা বিবেচনা করা হয়।

n উপাদানের কিছু সেট হতে দিন। এটির জন্য, n-1 উপাদানগুলির মধ্যে একটিকে দ্বিতীয় স্থানে, n-2 উপাদানগুলির একটিকে যথাক্রমে তৃতীয় স্থানে স্থাপন করা হয় এবং আরও অনেক কিছু। এইভাবে, আমরা n উপাদানগুলির স্থানান্তর সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য একটি সাধারণ নিয়ম বের করতে পারি: P n =n(n-1)(n-2).….3.2.1।

11 স্লাইডে, P n সূত্র P n =1.2.3.….(n-2)(n-1)n আকারে প্রদর্শিত হয়। এইভাবে, ফ্যাক্টোরিয়াল ধারণাটি চালু করা হয়েছে, যার নামটি সূত্রের নীচে দেখানো হয়েছে: n!। কিছু সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল বের করার উদাহরণ বিবেচনা করা হয়: 3!=1.2.3=6, এবং এছাড়াও 6!=1.2.3.4.5.6=720। এটি আরও বলে যে 1!=1। n ফ্যাক্টরিয়াল হিসাবে স্থানচ্যুতি সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য সাধারণ নিয়মের পাঠ্যটি স্লাইডের নীচে অবস্থিত।

এর পরে, স্থানান্তরের সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য বেশ কয়েকটি সমস্যা বিবেচনা করার প্রস্তাব করা হয়েছে। স্লাইড 12-এ, সাতটি বলকে সাতটি কোষে পচানোর উপায় খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধানের প্রস্তাব করা হয়েছে। এটি নির্দেশিত হয় যে সমাধানটি হল 7টি উপাদানের ক্রমাগত সংখ্যা গণনা করা: P 7 =7!=5040।

13 নম্বর স্লাইডটি 0,1,2,3 দ্বারা গঠিত চার-অঙ্কের সংখ্যার সংখ্যা খুঁজে বের করার সমস্যার সমাধান নিয়ে আলোচনা করে, যেখানে একটি সংখ্যার সংখ্যা পুনরাবৃত্তি হয় না। সমাধানটি দুটি পর্যায়ে সরবরাহ করা হয়েছে - প্রথমে, 4টি উপাদানের সমস্ত স্থানান্তরের সংখ্যা পাওয়া যায়, এবং তারপরে তাদের থেকে স্থানান্তরগুলির সংখ্যা বিয়োগ করা হয়, যার মধ্যে 0 সামনে রয়েছে, তাই শূন্য থেকে শুরু হওয়া সংখ্যাগুলি চার হবে না- অঙ্ক. এইভাবে, সমাধানটি P 4 -P 3 =4!-3!=18 গণনা করতে নেমে আসে। অর্থাৎ, এই ধরনের সংখ্যা গঠনের জন্য 18টি বিকল্প রয়েছে।

শেষ স্লাইডে সমস্যাটির সমাধান নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে, যা 9টি প্লেট সাজানোর উপায় খুঁজে বের করার প্রস্তাব করে, যার মধ্যে 4টি লাল, যাতে লালগুলি একে অপরের পাশে থাকে। এই সমস্যাটি সমাধানের প্রধান অসুবিধা হল বুঝতে হবে যে এই পারমুটেশনগুলিতে লাল প্লেটগুলিকে এক হিসাবে নিতে হবে। এইভাবে, সমাধানটি P 6 .P 4 =6!.4!=17280 গুণফল খুঁজে পাওয়ার জন্য হ্রাস করা হয়।

"Permutations" উপস্থাপনাটি "Permutations" বিষয়ে শিক্ষকের ব্যাখ্যাকে দৃশ্যত সহসা করার উদ্দেশ্যে। শিক্ষাগত উপাদানের একটি বিশদ, বোধগম্য উপস্থাপনাও দূরশিক্ষণের ক্ষেত্রে উপযোগী হতে পারে, এবং এই ক্ষেত্রে বিবেচনা করা কাজগুলি শিক্ষার্থীকে নিজেরাই সমাধানের সাথে মোকাবিলা করতে সাহায্য করবে।

সমন্বয়বিদ্যার মৌলিক বিষয়।

স্থান, স্থানান্তর,

সংমিশ্রণ

দুষ্টু বানর

গাধা,

ছাগল,

হ্যাঁ, ক্লাবফুট মিশকা

চতুর্দশী বাজাতে শুরু করল

থামো ভাই, থামো! -

বানর চিৎকার করে, - দাঁড়াও!

গান কিভাবে যায়?

তুমি এভাবে বসো না...

এবং তাই, এবং তাই প্রতিস্থাপিত - আবার সঙ্গীত ভাল যাচ্ছে না।

এখানে, আগের চেয়ে আরও বেশি, তাদের বিশ্লেষণ চলে গেছে

এবং বিবাদ

কে কিভাবে বসবে...

জানি:

• সমন্বয়বিদ্যার তিনটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণার সংজ্ঞা:
• m দ্বারা n উপাদান স্থাপন;
• m দ্বারা n উপাদানের সমন্বয়;
• n উপাদানের স্থানান্তর;
• মৌলিক সমন্বয় সূত্র

করতে পারবেন:

• কাজগুলিকে একে অপরের থেকে "পরিম্যুটেশন", "কম্বিনেশন", "প্লেসমেন্ট"-এ আলাদা করতে;
• সহজতম সমন্বিত সমস্যা সমাধানে মৌলিক সমন্বয় সূত্র প্রয়োগ করুন।

একটি গুচ্ছ

একটি সেট একটি একক সমগ্র মধ্যে কিছু সমজাতীয় বস্তুর মিলন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

যে বস্তুগুলো সেট তৈরি করে সেগুলোকে সেটের উপাদান বলে।

আমরা সেটটি লিখব এর উপাদানগুলি কোঁকড়া বন্ধনীতে রেখে ( ক, খ, গ, … , e, চ}.

একটি সেটে, উপাদানগুলির ক্রম কোন ব্যাপার নয়, তাই ( ক, খ} = {খ, ক}.

যে সেটে কোনো উপাদান থাকে না তাকে বলা হয় ফাঁকা সেটএবং ø চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

একটি গুচ্ছ

সেটের প্রতিটি উপাদান থাকলে কসেট B এর একটি উপাদান, তারপর আমরা বলি যে সেট কসেটের একটি উপসেট ভি.

একগুচ্ছ ( ক, খ) সেটের একটি উপসেট ( ক, খ, গ, … , e, চ}.

নির্দেশিত

সেটের একটি উপসেটের জন্য সম্ভাব্য বিকল্পগুলি তালিকাভুক্ত করুন ( 3 , 4 , 5 , 7, 9 }.

কম্বিনেটরিক্স হল গণিতের একটি শাখা যা একটি নির্দিষ্ট সেটের উপাদান থেকে কতগুলি নির্দিষ্ট শর্ত সাপেক্ষে বিভিন্ন সংমিশ্রণ তৈরি করা যায় সে সম্পর্কে প্রশ্নগুলি অধ্যয়ন করে।

কম্বিনেটরিক্স হল গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা যা একটি নির্দিষ্ট সেট থেকে উপাদানগুলির বিন্যাস, ক্রম, নির্বাচন এবং বিতরণের প্যাটার্নগুলি অধ্যয়ন করে।

সমষ্টির নিয়ম

যদি দুটি পারস্পরিক একচেটিয়া কাজ অনুযায়ী সম্পাদন করা যেতে পারে kএবং মিউপায়, তারপর এই কর্মের একটি সঞ্চালিত করা যেতে পারে k+mউপায়

উদাহরণ # 1

শহর A থেকে শহর B পর্যন্ত 12টি ট্রেন, 3টি প্লেন, 23টি বাসে করে যাওয়া যায়। শহর A থেকে শহর B তে আপনি কয়টি উপায়ে যেতে পারেন?

সমাধান

উদাহরণ #2

একটি বাক্সে n রঙিন বল আছে। এলোমেলোভাবে একটি বল বের করুন। কত উপায়ে এটি করা যেতে পারে?

সমাধান. নিশ্চয়ই, nউপায়

এখন এই n বল দুটি বাক্সে বিতরণ করা হয়: প্রথমটিতে মিবল, দ্বিতীয় k. যেকোনো বক্স থেকে এলোমেলোভাবে একটি বল বের করুন। কত বিভিন্ন উপায়ে এটি করা যেতে পারে?

সমাধান.

প্রথম বক্স থেকে বল টানা যায় মিবিভিন্ন উপায়ে, দ্বিতীয় থেকে kবিভিন্ন উপায়ে, মোট N = মি + kউপায়

পণ্যের নিয়ম

একের পর এক সঞ্চালিত দুইটি কর্ম সেই অনুযায়ী করা যেতে পারে kএবং মিউপায় তারপর তাদের উভয় করা যেতে পারে k ∙ মিউপায়

উদাহরণ #3

টুর্নামেন্টে ৮টি হকি দল অংশ নেয়। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় স্থান বণ্টনের কয়টি উপায় আছে?

সমাধান

উদাহরণ #4

দশমিক স্বরলিপিতে কয়টি দুই অঙ্কের সংখ্যা লেখা যায়?

সমাধান।যেহেতু সংখ্যাটি দুই-অঙ্কের, দশের সংখ্যা ( মি) নয়টি মানগুলির একটি নিতে পারে: 1,2,3,4,5,6,7,8,9৷ ইউনিট সংখ্যা ( k) একই মান নিতে পারে এবং উপরন্তু, শূন্যের সমান হতে পারে। তাই এটি অনুসরণ করে মি= 9, এবং k= 10. মোট আমরা দুই-অঙ্কের সংখ্যা পাই

N= মি · k= 9 10 = 90।

উদাহরণ #5

ছাত্র দলে 14 জন মেয়ে এবং 6 জন ছেলে রয়েছে। কয়টি উপায়ে একই লিঙ্গের দুইজন ছাত্রকে ভিন্ন ভিন্ন কাজ সম্পন্ন করার জন্য বেছে নেওয়া যেতে পারে?

সমাধান।দুই মেয়ের গুণের নিয়ম অনুযায়ী, আপনি 14 13 = 182 উপায় এবং দুই ছেলে 6 5 = 30 উপায় বেছে নিতে পারেন। একই লিঙ্গের দুইজন শিক্ষার্থীকে নির্বাচন করতে হবে: দুইজন শিক্ষার্থী বা মহিলা শিক্ষার্থী। এই ধরনের পছন্দের যোগ নিয়ম অনুযায়ী,

N = 182 + 30 = 212।

সংযোগের ধরন

উপাদানের সেট বলা হয় যৌগ.

তিন ধরনের সংযোগ আছে:

• থেকে permutations nউপাদান;
• থেকে বাসস্থান nদ্বারা উপাদান মি;
• এর সমন্বয় nদ্বারা উপাদান মি (মি < n).

সংজ্ঞা: থেকে স্থানান্তর nউপাদানের কোনো অর্ডার করা সেট nউপাদান

অন্য কথায়, এটি এমন একটি সেট যার জন্য এটি নির্দেশিত হয় কোন উপাদানটি প্রথম স্থানে, কোনটি দ্বিতীয় স্থানে, কোনটি তৃতীয় স্থানে, ..., কোনটি নবম স্থানে রয়েছে।

পারমিউটেশন

পারমুটেশনযেমন সংযোগ nপ্রদত্ত উপাদানগুলির উপাদানগুলি যা উপাদানগুলির ক্রম অনুসারে একে অপরের থেকে পৃথক।

n উপাদানের ক্রমাগত সংখ্যা Pn দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

রন = n · ( n- এক) · ( n– 2) · … · 2 · 1 = n!

সংজ্ঞা:

দিন n- প্রাকৃতিক সংখ্যা। জুড়ে n! (পড়ুন "en factorial") 1 থেকে থেকে পর্যন্ত সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফলের সমান একটি সংখ্যা নির্দেশ করে n:

n! = 1 2 3 ... n.

যদি n= 0, সংজ্ঞা অনুসারে এটি ধরে নেওয়া হয়: 0! = 1।

ফ্যাক্টরিয়াল

উদাহরণ #6

চলুন নিচের অভিব্যক্তিগুলোর মান খুঁজে দেখি: 1! 2! 3!

উদাহরণ #7

কিসের সমান

ক) আর 5 ;

খ) আর 3.

উদাহরণ #8

সহজতর করা

খ) 12! 13 14

v) κ ! · ( κ + 1)

উদাহরণ #9

চূড়ান্ত দৌড়ে 8 জন অংশগ্রহণকারীকে কত উপায়ে আটটি ট্রেডমিলে বসানো যেতে পারে?

সমাধান।

আর৮=৮! = 8 7 6 5 4 3 2 1 =40320

বাসস্থান

সংজ্ঞা।থেকে বাসস্থান m দ্বারা n উপাদানযে কোন অর্ডার করা সেট বলা হয় মিউপাদান, উপাদান নিয়ে গঠিত n উপাদান সেট।

থেকে প্লেসমেন্ট সংখ্যা মিদ্বারা উপাদান nজন্য দাঁড়ানো:

সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

উদাহরণ #9

একাদশ শ্রেণির শিক্ষার্থীরা ৯টি বিষয়ে অধ্যয়ন করে। একদিনের জন্য প্রশিক্ষণের সময়সূচীতে, আপনি 4টি ভিন্ন বিষয় রাখতে পারেন। একটি দিন নির্ধারণ করার জন্য কতগুলি ভিন্ন উপায় রয়েছে?

সমাধান।

আমাদের একটি 9-উপাদানের সেট রয়েছে, যার উপাদানগুলি শিক্ষামূলক বিষয়। সময়সূচী করার সময়, আমরা একটি 4-উপাদানের উপসেট (পাঠের) নির্বাচন করব এবং এতে ক্রম সেট করব। এই ধরনের উপায়গুলির সংখ্যা নয়টি দ্বারা চারটির মধ্যে বসানো সংখ্যার সমান ( m=9, n=4)এটাই ক 94:

উদাহরণ #10

24 জন শিক্ষার্থীর একটি ক্লাস থেকে কত উপায়ে একজন প্রিফেক্ট এবং একজন সহকারী প্রিফেক্ট নির্বাচন করা যেতে পারে?

সমাধান।

আমাদের একটি 24-উপাদানের সেট রয়েছে, যার উপাদানগুলি হল ক্লাসের ছাত্র। হেডম্যান এবং সহকারী হেডম্যানের নির্বাচনে, আমরা একটি 2-উপাদান উপসেট (ছাত্র) বেছে নেব এবং এতে একটি ক্রম স্থাপন করব। এই ধরনের উপায়গুলির সংখ্যা নয়টি দ্বারা চারটি স্থানের সংখ্যার সমান ( m=24, n=2), এটাই ক 242:

সংমিশ্রণ

সংজ্ঞা।থেকে পুনরাবৃত্তি ছাড়া একটি সমন্বয় nদ্বারা উপাদান মি- যে কোন নামে ডাকা হয় মিমৌলিক উপসেট n- উপাদান সেট

m দ্বারা n উপাদানের সংমিশ্রণের সংখ্যা নির্দেশ করা হয়

এবং সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

উদাহরণ #11

24 জন শিক্ষার্থীর একটি ক্লাস থেকে কত উপায়ে দুজন পরিচারক বাছাই করা যায়?

সমাধান।

n =24, মি=2

সংমিশ্রণ

বাসস্থান

পারমিউটেশন

রন = n!

টাস্কটি কোন ধরণের সংযোগের সাথে সম্পর্কিত তা নির্ধারণ করুন।

1. 5টি ভিন্ন পাঠ থেকে আপনি কতটি উপায়ে একটি স্কুলের দিন নির্ধারণ করতে পারেন?

2. 9B শ্রেণীতে 12 জন ছাত্র আছে। গণিত অলিম্পিয়াডে অংশগ্রহণের জন্য কত পদ্ধতিতে 4 জনের একটি দল গঠন করা যায়?

যোগদানের উপাদানগুলির ক্রম কি বিবেচনায় নেওয়া হয়?

সব উপাদান সংযোগ অন্তর্ভুক্ত করা হয়?

উপসংহার: স্থানান্তর

যোগদানের উপাদানগুলির ক্রম কি বিবেচনায় নেওয়া হয়?

সব উপাদান সংযোগ অন্তর্ভুক্ত করা হয়?

(এই প্রশ্নের উত্তরের প্রয়োজন নেই)

উপসংহার: সংমিশ্রণ

3. কয়টি ভিন্ন দুই-সংখ্যার সংখ্যা আছে, যেখানে 1, 2, 3, 4, 5, 6 সংখ্যাগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে, যদি সংখ্যার সংখ্যাগুলি আলাদা হতে হবে?

যোগদানের উপাদানগুলির ক্রম কি বিবেচনায় নেওয়া হয়?

সব উপাদান সংযোগ অন্তর্ভুক্ত করা হয়?

উপসংহার: বসানো

দুষ্টু বানর

হ্যাঁ, ক্লাবফুট মিশকা

চতুর্দশী বাজাতে শুরু করল

থামো ভাই, থামো! -

বানর চিৎকার করে, - দাঁড়াও!

গান কিভাবে যায়?

তুমি এভাবে বসো না...

এবং তাই, এবং তাই প্রতিস্থাপিত - আবার সঙ্গীত ভাল যাচ্ছে না।

এখানে, আগের চেয়ে আরও বেশি, তাদের বিশ্লেষণ চলে গেছে

কে কিভাবে বসবে...

মিউজিশিয়ানদের কয়টা ভিন্ন আয়োজন সম্ভব?

সমাধান।

যোগদানের উপাদানগুলির ক্রম কি বিবেচনায় নেওয়া হয়?

সব উপাদান সংযোগ অন্তর্ভুক্ত করা হয়?

উপসংহার: স্থানান্তর

রন = n! =n · ( n- এক) · ( n– 2) · … · 2 · 1

P4 = 4! = 4 3 2 1=24

"শীঘ্রই বা পরে প্রতিটি সঠিক গাণিতিক ধারণা এই বা সেই ব্যবসায় প্রয়োগ খুঁজে পায়"?

স্থানান্তর

বাসস্থান

সংমিশ্রণ

সমস্যা সমাধানের ফলাফল

বাড়ির কাজ

বিমূর্ত এবং সূত্র শিখুন.

এস. 321 নং 1062

পারমুটেশন হল একই উপাদানের সমন্বয়ে গঠিত এবং তাদের ক্রম অনুসারে ভিন্ন। উপাদানগুলির সমস্ত সম্ভাব্য স্থানচ্যুতিগুলির সংখ্যা P n দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এবং সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে: পারমুটেশন সূত্র: P n =n! স্থানান্তরের সময়, বস্তুর সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকে, শুধুমাত্র তাদের ক্রম পরিবর্তিত হয়। বস্তুর সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে স্থানান্তরের সংখ্যা খুব দ্রুত বৃদ্ধি পায় এবং তাদের দৃশ্যত চিত্রিত করা কঠিন হয়ে পড়ে।

টাস্ক 1. টুর্নামেন্টে সাতটি দল অংশগ্রহণ করে। তাদের মধ্যে আসন বণ্টনের জন্য কয়টি বিকল্প সম্ভব? Р 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 উত্তর: 5040 সমস্যা 2. গোল টেবিলে 10 জন লোক কত উপায়ে বসতে পারে? পি 10 = 10! == 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = উত্তর:

n বিভিন্ন বস্তু হতে দিন. আমরা তাদের থেকে m অবজেক্ট বেছে নেব এবং তাদের নিজেদের মধ্যে সম্ভাব্য সব উপায়ে পুনর্বিন্যাস করব। ফলস্বরূপ সংমিশ্রণগুলিকে m দ্বারা n অবজেক্টের প্লেসমেন্ট বলা হয় এবং তাদের সংখ্যা সমান: স্থাপন করার সময়, নির্বাচিত বস্তুর গঠন এবং তাদের ক্রম উভয়ই পরিবর্তিত হয়। বসানো সূত্র:

কাজ: একটি স্যানিটোরিয়ামে তিনটি ভাউচার পাঁচ জনের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? যেহেতু ভাউচারগুলি একটি স্যানিটোরিয়ামে সরবরাহ করা হয়, তাই বিতরণের বিকল্পগুলি কমপক্ষে একজন ব্যক্তির জন্য একে অপরের থেকে আলাদা। অতএব, উত্তর বিতরণের উপায় সংখ্যা: 10 উপায়.

কাজ: কর্মশালায় 12 জন কাজ করেন: 5 জন মহিলা এবং 7 জন পুরুষ। 7 জনের একটি দল কতভাবে গঠন করা যায় যাতে এতে 3 জন মহিলা থাকে? পাঁচ নারীর মধ্যে তিনজনকে নির্বাচন করতে হবে, তাই নির্বাচন পদ্ধতির সংখ্যা। যেহেতু সাতজনের মধ্যে চারজন পুরুষ নির্বাচন করতে হবে, তাই পুরুষ নির্বাচনের উপায় সংখ্যা উত্তর: 350