snímka 1

Zlomky v Babylone, Egypte, Ríme. Objavovanie desatinných zlomkov PREZENTÁCIA NA POUŽITIE AKO VIZUÁLNA POMOC PRI MIMOKURZOVÝCH AKTIVITÁCH
Markelová G.V., učiteľka matematiky, pobočka Gremyachinsky SOŠ MBOU p. kľúče

snímka 2

snímka 3

O pôvode zlomkov
Potreba zlomkových čísel vznikla v dôsledku ľudskej praktickej činnosti. Potreba nájsť podiely jednotky sa objavila u našich predkov pri delení koristi po poľovačke. Za druhý významný dôvod výskytu zlomkových čísel by sa malo považovať meranie veličín pomocou zvolenej jednotky merania. Takto sa zrodili zlomky.

snímka 4

Potreba presnejších meraní viedla k tomu, že počiatočné merné jednotky sa začali deliť na 2, 3 alebo viac častí. Menšia merná jednotka, ktorá bola získaná v dôsledku fragmentácie, dostala individuálny názov a hodnoty už boli merané touto menšou jednotkou. V súvislosti s touto nevyhnutnou prácou ľudia začali používať výrazy: polovica, tretina, dva a pol kroku. Z čoho sa dalo usudzovať, že zlomkové čísla vznikli ako výsledok merania veličín. Národy prešli mnohými spôsobmi zaznamenávania zlomkov, až kým neprišli k modernej notácii.

snímka 5

V histórii vývoja zlomkového čísla sa stretávame so zlomkami troch typov:
1) zlomky alebo jednotkové zlomky, v ktorých čitateľ je jedna, ale menovateľ môže byť akékoľvek celé číslo; 2) systematické zlomky, v ktorých môžu byť akékoľvek čísla čitateľmi, zatiaľ čo menovateľmi môžu byť iba čísla určitého konkrétneho typu, napríklad mocniny desať alebo šesťdesiat;
3) zlomky všeobecného tvaru, v ktorých čitateľmi a menovateľmi môžu byť ľubovoľné čísla. Vynález týchto troch rôznych typov frakcií predstavoval pre ľudstvo rôzne stupne obtiažnosti, takže rôzne typy frakcií sa objavili v rôznych obdobiach.

snímka 6

Zlomky v Babylone
Babylončania používali iba dve čísla. Vertikálna pomlčka označuje jednu jednotku a uhol dvoch ležiacich pomlčiek označuje desať. Tieto čiary sa získavali vo forme klinov, pretože Babylončania písali ostrou palicou na vlhké hlinené tabuľky, ktoré sa potom vysušili a vypálili.

Snímka 7

Zlomky v starovekom Egypte
V starovekom Egypte dosiahla architektúra vysoký stupeň rozvoja. Aby bolo možné postaviť veľkolepé pyramídy a chrámy, vypočítať dĺžky, plochy a objemy figúr, bolo potrebné poznať aritmetiku. Z rozlúštených informácií na papyrusoch sa vedci dozvedeli, že Egypťania pred 4000 rokmi mali desiatkový (ale nie pozičný) číselný systém, dokázali vyriešiť mnohé problémy súvisiace s potrebami stavebníctva, obchodu a vojenských záležitostí.

Snímka 8

Hexadecimálne zlomky
V starovekom Babylone sa uprednostňoval konštantný menovateľ 60. Sexagesimálne zlomky, zdedené z Babylonu, používali grécki a arabskí matematici a astronómovia. Výskumníci vysvetľujú vzhľad šesťdesiatkového číselného systému u Babylončanov rôznymi spôsobmi. S najväčšou pravdepodobnosťou sa tu bral do úvahy základ 60, čo je násobok 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60, čo značne zjednodušuje všetky druhy výpočtov. Z tohto hľadiska možno šesťdesiatkové zlomky porovnať s našimi desatinnými zlomkami. Namiesto slov „šesťdesiatiny“, „tritisícšesťstotiny“ v skratke povedali: „prvé malé časti“, „druhé malé časti“. Z toho vznikli naše slová „minúta“ (po latinsky „menší“) a „druhý“ (po latinsky „druhý“). Takže babylonský spôsob zapisovania zlomkov si dodnes zachoval svoj význam.

Snímka 9

"egyptské zlomky"
V starovekom Egypte mali niektoré zlomky svoje špeciálne názvy – konkrétne 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 a 1/8, ktoré sa v praxi často objavujú. Okrem toho Egypťania vedeli pracovať s takzvanými alikvotnými zlomkami (z lat. alikvot - niekoľko) typu 1/n - preto sa niekedy nazývajú aj "egyptské"; tieto zlomky mali svoj pravopis: predĺžený vodorovný ovál a pod ním označenie menovateľa. Zvyšok zlomkov zapísali ako súčet podielov. Zlomok 7/8 bol napísaný ako akcie: ½+1/4+1/8.

Snímka 10

Zlomky v starom Ríme
Zaujímavý systém zlomkov bol v starom Ríme. Vychádzal z rozdelenia na 12 častí jednotky hmotnosti, ktorá sa nazývala zadok. Dvanástka esa sa nazývala unca. A spôsob, čas a ďalšie veličiny sa porovnávali s vizuálnou vecou – hmotnosťou. Napríklad Riman by mohol povedať, že prešiel sedem uncí cesty alebo prečítal päť uncí knihy. Zároveň samozrejme nešlo o váženie cesty či knihy. Znamenalo to, že 7/12 cesty bolo pokrytých alebo 5/12 knihy bolo prečítaných. A pre zlomky získané zmenšovaním zlomkov s menovateľom 12 alebo delením dvanástin na menšie boli špeciálne názvy.
1 trójska unca zlata je mierou hmotnosti drahých kovov

snímka 11

Objav desatinných čísel
Už niekoľko tisícročí ľudstvo používalo zlomkové čísla, no napísať ich na vhodné desatinné miesta ho napadlo až oveľa neskôr. Dnes používame desatinné čísla prirodzene a voľne. Západná Európa v 16. storočí spolu s rozšíreným desiatkovým systémom na reprezentáciu celých čísel sa pri výpočtoch všade používali šesťdesiatkové zlomky, ktoré siahajú až do starodávnej tradície Babylončanov.

snímka 12

Bolo potrebné bystrého rozumu holandského matematika Simona Stevina, aby priniesol záznam celočíselných aj zlomkových čísel do jedného systému.

snímka 13

Aplikácia desatinných miest
Od začiatku 17. storočia začína intenzívne prenikanie desatinných zlomkov do vedy a praxe. V Anglicku sa zaviedla bodka ako znak oddeľujúci celočíselné časti od zlomkovej časti. Čiarka, podobne ako bodka, bola navrhnutá ako oddeľovač v roku 1617 matematikom Napierom. oveľa častejšie ako bežné zlomky.
Rozvoj priemyslu a obchodu, vedy a techniky si vyžadoval čoraz ťažkopádnejšie výpočty, ktoré sa dali ľahšie vykonávať pomocou desatinných zlomkov. Desatinné zlomky boli široko používané v 19. storočí po zavedení metrického systému mier a váh, ktorý s nimi úzko súvisí. Napríklad v našej krajine, v poľnohospodárstve a priemysle, sa desatinné zlomky a ich konkrétna forma - percentá - používajú oveľa častejšie ako bežné zlomky.

Snímka 14

Aplikácia desatinných miest
Od začiatku 17. storočia začína intenzívne prenikanie desatinných zlomkov do vedy a praxe. V Anglicku sa zaviedla bodka ako znak oddeľujúci celočíselné časti od zlomkovej časti. Čiarka, podobne ako bodka, bola navrhnutá ako oddeľovač v roku 1617 matematikom Napierom. Rozvoj priemyslu a obchodu, vedy a techniky si vyžadoval čoraz ťažkopádnejšie výpočty, ktoré sa dali ľahšie vykonávať pomocou desatinných zlomkov. Desatinné zlomky boli široko používané v 19. storočí po zavedení metrického systému mier a váh, ktorý s nimi úzko súvisí. Napríklad v našej krajine, v poľnohospodárstve a priemysle, sa desatinné zlomky a ich konkrétna forma - percentá - používajú oveľa častejšie ako bežné zlomky.

snímka 15

Zoznam zdrojov
M.Ya.Vygodsky "Aritmetika a algebra v starovekom svete". G.I.Gleizer "História matematiky v škole". I.Ya.Depman "História aritmetiky". Vilenkin N.Ya. "Z histórie zlomkov" Fridman L.M. "Učenie matematiky" Zlomky v Babylone, Egypte, Ríme. Objav desatinných miest... prezentacii.com›História›Objavovanie desatinných miest...matematika "Zlomky v Babylone, Egypte, Ríme. Objav desatinných miest... ppt4web.ru›…drobi…rime…desjatichnykh-drobejj.html Zlomky v Babylon , Egypt, Rím. Objav desatinných zlomkov"...powerpt.ru›…drobi-v…rime…desyatichnyh-drobey.html Egypt, Staroveký Rím, Babylon. Objav desatinných zlomkov."... uchportal.ru›Metodický vývoj›Objavenie desatinných zlomkov. História matematiky: ...Rím, Babylon. Objav desatinných zlomkov... rusedu.ru›detail_23107.html 9Prezentácia: .. .Staroveký Rím, Babylon Objav desatinných miest... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ Zlomky v Babylone, Egypt, Rím objav desatinných miest... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej…

Zlomky sú dodnes považované za jednu z najťažších častí matematiky. História zlomkov má viac ako jedno tisícročie. Schopnosť rozdeliť celok na časti vznikla na území starovekého Egypta a Babylonu. V priebehu rokov sa operácie vykonávané so zlomkami skomplikovali, menila sa forma ich zaznamenávania. Každý z nich mal vo „vzťahu“ s týmto odvetvím matematiky svoje vlastné charakteristiky.

čo je zlomok?

Keď bolo potrebné rozdeliť celok na časti bez zbytočného úsilia, objavili sa zlomky. História zlomkov je neoddeliteľne spojená s riešením úžitkových problémov. Samotný výraz „zlomok“ má arabské korene a pochádza zo slova, ktoré znamená „rozbiť, rozdeliť“. Od staroveku sa v tomto zmysle zmenilo len málo. Moderná definícia je nasledovná: zlomok je časť alebo súčet častí jednotky. V súlade s tým príklady so zlomkami predstavujú postupné vykonávanie matematických operácií so zlomkami čísel.

Dnes existujú dva spôsoby, ako ich zaznamenať. vznikli v rôznych časoch: prvé sú staršie.

Pochádza z dávnych čias

Prvýkrát začali operovať s frakciami na území Egypta a Babylonu. Prístup matematikov oboch štátov mal značné rozdiely. Začiatok bol však tam aj tam rovnaký. Prvá frakcia bola polovica alebo 1/2. Potom prišla štvrtina, tretina a tak ďalej. Podľa archeologických vykopávok má história vzniku zlomkov asi 5 tisíc rokov. Prvýkrát sa zlomky čísla nachádzajú v egyptských papyroch a na babylonských hlinených doštičkách.

Staroveký Egypt

K typom obyčajných zlomkov dnes patrí egyptský tzv. Sú súčtom niekoľkých členov tvaru 1/n. Čitateľ je vždy jedna a menovateľ je prirodzené číslo. Takéto zlomky sa objavili, bez ohľadu na to, aké ťažké je uhádnuť, v starovekom Egypte. Pri výpočte všetkých podielov sa ich snažili zapísať v podobe takýchto súm (napríklad 1/2 + 1/4 + 1/8). Samostatné označenia mali len zlomky 2/3 a 3/4, ostatné boli rozdelené na termíny. Existovali špeciálne tabuľky, v ktorých boli zlomky čísla prezentované ako súčet.

Najstaršia známa zmienka o takomto systéme sa nachádza v Rhindskom matematickom papyruse, datovanom na začiatok druhého tisícročia pred Kristom. Obsahuje tabuľku zlomkov a matematické úlohy s riešeniami a odpoveďami prezentovanými ako súčty zlomkov. Egypťania vedeli sčítať, deliť a násobiť zlomky čísla. Zlomky v údolí Nílu boli napísané pomocou hieroglyfov.

Znázornenie zlomku čísla ako súčet členov tvaru 1/n, charakteristického pre staroveký Egypt, používali matematici nielen v tejto krajine. Až do stredoveku sa v Grécku a iných štátoch používali egyptské zlomky.

Rozvoj matematiky v Babylone

Matematika vyzerala v babylonskom kráľovstve inak. História vzniku zlomkov tu priamo súvisí s vlastnosťami číselného systému, ktorý zdedil staroveký štát od svojho predchodcu, sumersko-akkadskej civilizácie. Technika výpočtu v Babylone bola pohodlnejšia a dokonalejšia ako v Egypte. Matematika v tejto krajine riešila oveľa širšiu škálu problémov.

Úspechy Babylončanov dnes možno posúdiť podľa zachovaných hlinených tabuliek vyplnených klinovým písmom. Vzhľadom na vlastnosti materiálu sa k nám dostali vo veľkom počte. Podľa niektorých v Babylone bola pred Pytagorasom objavená známa teoréma, ktorá nepochybne svedčí o rozvoji vedy v tomto starovekom štáte.

Zlomky: história zlomkov v Babylone

Číselný systém v Babylone bol šesťdesiatkový. Každá nová kategória sa od predchádzajúcej líšila o 60. Takýto systém sa v modernom svete zachoval na označenie času a uhlov. Zlomky boli tiež šesťdesiatkové. Na nahrávanie boli použité špeciálne ikony. Ako v Egypte, príklady zlomkov obsahovali samostatné symboly pre 1/2, 1/3 a 2/3.

Babylonský systém nezmizol so štátom. Zlomky zapísané v 60. systéme používali starovekí a arabskí astronómovia a matematici.

Staroveké Grécko

História obyčajných zlomkov nebola v starovekom Grécku príliš obohatená. Obyvatelia Hellas verili, že matematika by mala fungovať iba s celými číslami. Preto sa výrazy so zlomkami na stránkach starogréckych pojednaní prakticky nevyskytovali. Pytagoriáni však do tohto odvetvia matematiky určitým spôsobom prispeli. Zlomky chápali ako pomery či proporcie a za nedeliteľnú považovali aj jednotku. Pytagoras a jeho študenti vybudovali všeobecnú teóriu zlomkov, naučili sa vykonávať všetky štyri aritmetické operácie, ako aj porovnávať zlomky ich redukciou na spoločného menovateľa.

Svätá rímska ríša

Rímsky systém zlomkov bol spojený s mierou hmotnosti nazývanou „zadok“. Bola rozdelená na 12 akcií. 1/12 assa sa nazývala unca. Pre zlomky bolo 18 mien. Tu sú niektoré z nich:

semifinále - polovica zadku;

sextante — šiesta časť assa;

pol unca - pol unca alebo 1/24 zadku.

Nevýhodou takéhoto systému bola nemožnosť reprezentovať číslo ako zlomok s menovateľom 10 alebo 100. Rímski matematici tento problém prekonávali používaním percent.

Zápis obyčajných zlomkov

Už v staroveku sa zlomky písali známym spôsobom: jedno číslo nad druhým. Bol tu však jeden podstatný rozdiel. Čitateľ bol pod menovateľom. Prvýkrát sa zlomky začali týmto spôsobom písať v starovekej Indii. Arabi začali pre nás používať moderný spôsob. Žiadny z týchto národov však nepoužíval vodorovnú čiaru na oddelenie čitateľa a menovateľa. Prvýkrát sa objavuje v spisoch Leonarda z Pisy, známeho ako Fibonacci, v roku 1202.

Čína

Ak sa história vzniku obyčajných zlomkov začala v Egypte, potom sa v Číne prvýkrát objavili desatinné čísla. V Nebeskej ríši sa začali používať približne od 3. storočia pred Kristom. História desatinných zlomkov začala u čínskeho matematika Liu Hui, ktorý ich navrhol použiť pri extrakcii odmocnín.

V 3. storočí nášho letopočtu sa v Číne začali na výpočet hmotnosti a objemu používať desatinné zlomky. Postupne začali prenikať hlbšie a hlbšie do matematiky. V Európe sa však desatinné čísla začali používať oveľa neskôr.

Al-Kashi zo Samarkandu

Bez ohľadu na čínskych predchodcov, desatinné zlomky objavil astronóm al-Kashi zo starovekého mesta Samarkand. Žil a tvoril v 15. storočí. Vedec načrtol svoju teóriu v pojednaní „Kľúč k aritmetike“, ktoré bolo publikované v roku 1427. Al-Kashi navrhol použiť novú formu zápisu zlomkov. Celé číslo aj zlomkové časti boli teraz napísané v jednom riadku. Samarkandský astronóm na ich oddelenie nepoužil čiarku. Celé číslo a zlomkovú časť napísal rôznymi farbami pomocou čierneho a červeného atramentu. Niekedy al-Kashi používal na ich oddelenie aj zvislú čiaru.

Desatinné čísla v Európe

Od 13. storočia sa v dielach európskych matematikov začal objavovať nový druh zlomkov. Treba poznamenať, že neboli oboznámení s dielami al-Kashi, ako aj s vynálezom Číňanov. Desatinné zlomky sa objavili v spisoch Jordana Nemorariusa. Potom sa začali používať už v 16. storočí Francúzsky vedec napísal Matematický kánon, ktorý obsahoval trigonometrické tabuľky. Viet v nich používal desatinné zlomky. Na oddelenie celočíselnej a zlomkovej časti vedec použil zvislú čiaru, ako aj inú veľkosť písma.

Išlo však len o špeciálne prípady vedeckého využitia. Na riešenie každodenných problémov sa desatinné zlomky v Európe začali používať o niečo neskôr. Stalo sa tak vďaka holandskému vedcovi Simonovi Stevinovi na konci 16. storočia. V roku 1585 vydal matematické dielo Desiaty. Vedec v ňom načrtol teóriu používania desatinných zlomkov v aritmetike, v peňažnom systéme a na určovanie mier a váh.

Bodka, bodka, čiarka

Stevin tiež nepoužil čiarku. Dve časti zlomku oddelil pomocou zakrúžkovanej nuly.

Prvýkrát oddelila čiarka dve časti desatinného zlomku až v roku 1592. V Anglicku sa však namiesto toho používala bodka. V Spojených štátoch sa takto stále píšu desatinné zlomky.

Jedným z iniciátorov používania oboch interpunkčných znamienok na oddelenie celých a zlomkových častí bol škótsky matematik John Napier. Svoj návrh predložil v rokoch 1616-1617. Čiarku použil aj nemecký vedec

Zlomky v Rusku

Na ruskej pôde bol prvým matematikom, ktorý načrtol rozdelenie celku na časti, novgorodský mních Kirik. V roku 1136 napísal dielo, v ktorom načrtol metódu „výpočtu rokov“. Kirik sa zaoberal otázkami chronológie a kalendára. Vo svojej práci uviedol aj rozdelenie hodiny na časti: pätiny, dvadsaťpätiny atď.

Rozdelenie celku na časti sa používalo pri výpočte výšky dane v XV-XVII storočia. Boli použité operácie sčítania, odčítania, delenia a násobenia s dielikmi.

Samotné slovo „frakcia“ sa objavilo v Rusku v VIII storočí. Pochádza zo slovesa „rozdrviť, rozdeliť na časti“. Naši predkovia používali na pomenovanie zlomkov špeciálne slová. Napríklad 1/2 bola označená ako polovica alebo polovica, 1/4 - štyri, 1/8 - pol hodiny, 1/16 - pol hodiny atď.

Kompletná teória zlomkov, ktorá sa príliš nelíši od modernej, bola prezentovaná v prvej učebnici aritmetiky, ktorú v roku 1701 napísal Leonty Filippovič Magnitsky. „Aritmetika“ pozostávala z niekoľkých častí. Autor podrobne hovorí o zlomkoch v časti „O počtoch prerušovaných čiar alebo so zlomkami“. Magnitskij uvádza operácie s „rozbitými“ číslami, ich rôzne označenia.

Zlomky dnes stále patria medzi najťažšie časti matematiky. História zlomkov tiež nebola jednoduchá. Rôzne národy, niekedy nezávisle od seba a niekedy si vypožičali skúsenosti svojich predchodcov, dospeli k potrebe zaviesť, ovládať a používať zlomky čísla. Náuka o zlomkoch vždy vyrastala z praktických pozorovaní a vďaka naliehavým problémom. Bolo potrebné rozdeliť chlieb, označiť rovnaké pozemky, vypočítať dane, merať čas atď. Vlastnosti používania zlomkov a matematických operácií s nimi záviseli od číselného systému v štáte a od všeobecnej úrovne rozvoja matematiky. Tak či onak, po prekonaní viac ako tisíc rokov sa sekcia algebry venovaná zlomkom čísel vytvorila, rozvinula a dnes sa úspešne používa pre rôzne potreby, praktické aj teoretické.

1 snímka

2 snímka

* * http://aida.ucoz.ru Horace Z „Vedy o poézii“ „Syn Albín! Povedz mi, ak vezmeme päť uncí a odpočítame jednu, čo zostane? - "Tretia časť esa." „Nádherné! No svoj majetok nepremárniš! A ak k predchádzajúcim piatim pridáme jeden, aký bude celkový súčet? - "Polovica." (Preložil M. Dmitriev.) http://aida.ucoz.ru

3 snímka

* http://aida.ucoz.ru * Mladý Roman mal pravdu! Pri riešení tohto problému sme tiež dostali: 5/12-1/12=1/3; 5/12 + 1/12 = 1/2. http://aida.ucoz.ru

4 snímka

* http://aida.ucoz.ru "Pedantne" Synonymá: presný, jemný, opatrný, presný, svedomitý, šperkársky, dochvíľny, pedantský, filigránsky, neprehliadnuteľný. A toto zvláštne slovo „skrupulózne“ pochádza z rímskeho názvu 1/288 assa – „scrupulus“. http://aida.ucoz.ru

5 snímka

* http://aida.ucoz.ru * Používali sa aj také mená: "semis" - polovica zadku, "sextans" - jeho šiesta, "sedem unca" - pol unca, to znamená 1 /24 zadku atď. .d. Celkovo bolo použitých 18 rôznych názvov zlomkov. Pre prácu so zlomkami bolo potrebné zapamätať si tabuľku sčítania a tabuľku násobenia. Rímski obchodníci preto s istotou vedeli, že pri pridávaní triencie (1/3 zadku) a sextanov sa získa semis a keď sa bes (2/3 zadku) vynásobí sescution (2/3 unce, tj. 1/8 zadku), získa sa unca. Na uľahčenie práce boli zostavené špeciálne tabuľky, z ktorých niektoré sa dostali až k nám. http://aida.ucoz.ru

6 snímka

Po víťazstve sa Gaius Julius Caesar rozhodol odmeniť svoj predvoj a pridelil im najskôr 24 uncí a potom ďalších 36 uncí. Koľko es získalo oddelenie? Rozhodnutie: 24 uncí sú 2 zadky a 36 uncí sú 3 zadky, 3 + 2 = 5 zadkov dostal oddiel. Odpoveď: 5 zadkov. Problém Miša Ivanova

7 snímka

Úloha Angeliny Glibiny V starovekom Ríme boli čestne ocenení bojovníci, ktorí preukázali silu a odvahu v boji. Koľko es bolo potrebných na odmenu 6 bojovníkov, ak každý dostal 2 esá a 6 uncí. Riešenie: vynásobíme 6 x 2 zadkami, dostaneme 12 zadkov - to je dané len pre 6 bojovníkov, potom vynásobíme 6 x 6, dostaneme 36 uncí a v jednom zadku - 12 uncí dostaneme 3 zadky, pridáme 3 k 12, dostaneme 15 somárov. Odpoveď: 15 zadok.

Zlomky v starom Ríme. Zaujímavý systém zlomkov bol v starom Ríme. Vychádzal z rozdelenia na 12 častí jednotky hmotnosti, ktorá sa nazývala zadok. Dvanástka esa sa nazývala unca. A spôsob, čas a ďalšie veličiny sa porovnávali s vizuálnou vecou – hmotnosťou. Napríklad Riman by mohol povedať, že prešiel sedem uncí cesty alebo prečítal päť uncí knihy. V tomto prípade samozrejme nešlo o váženie cesty alebo knihy. Znamenalo to, že 7/12 cesty bolo pokrytých alebo 5/12 knihy bolo prečítaných. A pre zlomky získané zmenšovaním zlomkov s menovateľom 12 alebo delením dvanástin na menšie boli špeciálne názvy.

snímka 12 z prezentácie "História zlomkov". Veľkosť archívu s prezentáciou je 403 KB.

6. ročník z matematiky

zhrnutie ďalších prezentácií

"Telo revolučného kužeľa" - Kužeľ. Druhá vetva pravouhlého trojuholníka r je polomer základne kužeľa. Spojenie generátorov kužeľa sa nazýva tvoriaca čiara (alebo bočný) povrch kužeľa. Segment spájajúci vrchol a okraj základne sa nazýva tvoriaca čiara kužeľa. skenovať. Uhol sektora vo vývoji bočného povrchu kužeľa je určený vzorcom: ? = 360° (r/l). Tvoriaca čiara kužeľa je kužeľová plocha.

"Matematický krúžok mozgu" - výber poroty. Skúška. Injekcia. Trojuholník a štvorec. percent. Vymýšľajte matematické pojmy. Kužeľ. Koľko rezov ste urobili? Chyby. Zavolajte. Vážna téma. tím. Zlomok. Súťaž kapitánov. Čo je ťažšie ako jeden kilogram nechtov alebo vaty. Anagram. Turnajová tabuľka. Zahriať sa. Päť minút. Anagramy. Centimetre. Prezentácia príkazov. Číslo, ktoré nie je ani prvočíslo, ani zložené. Najmenšie prirodzené číslo.

"Paralelné čiary v rovine" - Pappus (III storočie nášho letopočtu). Moderná definícia. (Euclid). Rôzne definície paralelných čiar... V živote sa často stretávame s pojmom paralelizmus. "Dve čiary ležiace v rovnakej rovine a rovnako vzdialené od seba." Nehoda vlaku. Skrat, bez elektriny. Z histórie paralelných línií. W. Outred (1575-1660). Začaté. Euklides (v 11. storočí pred Kristom). Rovnobežné sú aj stĺpy Parthenónu (staroveké Grécko, 447-438 pred Kristom).

"Units of measurements" - Merné jednotky. Časové jednotky. Úlohy na pomer jednotiek času. Úlohy pre jednotky dĺžky. V ktorom storočí bolo v Rusku zrušené nevoľníctvo. Dĺžka tela trpasličej opice. Jednotky dĺžky. plošné jednotky. Jednotky objemu. Rozmery akvária.

"Problémy v oblasti obrázkov" - doslovný výraz na nájdenie S a P. Zapíšte si vzorce pre oblasť a obvod obrázkov. Obdĺžnikový rovnobežnosten. Pozemok záhrady je oplotený plotom. Kúpené 39 m koberca. Nájdite S a P celého obrázku. Štvorec a obdĺžnik. Na výstavbu bytového domu je pridelený pozemok. Nájdite oblasť tieňovanej postavy. Súčasťou rezortu je bazén. Rovnobežníkovité. V detskej izbe musí byť podlaha izolovaná kobercom.

"Vzťah v matematike" - Alebo aká časť je prvé číslo z druhého. Zahriať sa. Čo ukazuje pomer dvoch čísel? Priateľské vzťahy. Koľkokrát je prvé číslo väčšie ako druhé. Čo ukazuje postoj? Učiteľ je na žiakov prísny. Ktorá časť je prvým číslom druhého. Pomer dĺžky. Rodinné vzťahy. Hmotnostný pomer. Odpoveď môže byť napísaná aj ako desatinné číslo alebo ako percento. Z plátna dlhého 5 m boli odrezané 2 m. Aká časť plátna bola odrezaná?

História vzniku zlomkov

Úvod

Potreba zlomkových čísel vznikla u človeka vo veľmi ranom štádiu vývoja. Už rozdelenie koristi, ktorá pozostávala z niekoľkých zabitých zvierat, medzi účastníkov poľovačky, keď sa ukázalo, že počet zvierat nie je násobkom počtu lovcov, mohlo primitívneho človeka priviesť k pojmu zlomkové číslo.

Spolu s potrebou počítať predmety majú ľudia z dávnych čias potrebu merať dĺžku, plochu, objem, čas a ďalšie veličiny. Nie vždy je možné výsledok meraní vyjadriť prirodzeným číslom a treba brať do úvahy aj časti použitej miery. Historicky frakcie vznikali v procese merania.

Potreba presnejších meraní viedla k tomu, že počiatočné merné jednotky sa začali deliť na 2, 3 alebo viac častí. Menšia merná jednotka, ktorá bola získaná v dôsledku fragmentácie, dostala individuálny názov a hodnoty už boli merané touto menšou jednotkou.

Zlomky v starom Ríme

Medzi Rimanmi bola hlavnou jednotkou merania hmotnosti, ako aj peňažná jednotka slúžila ako "zadok". Zadoček bol rozdelený na 12 rovnakých častí - uncí. Z toho sa pridali všetky zlomky s menovateľom 12, teda 1 / 12, 2 / 12, 3 / 12 ... Postupom času sa na meranie akýchkoľvek veličín začali používať unce.

Takto je rímsky dvanástnikové zlomky, teda zlomky, ktorých menovateľom je vždy číslo 12 . Namiesto 1/12 Rimania hovorili „jedna unca“, 5/12 – „päť uncí“ atď. Tri unce sa nazývali štvrtina, štyri unce tretina, šesť uncí polovica.

Používalo sa iba 18 rôznych frakcií:

SIMIS - polovičné eso;

SEKSTANCE - jeho šiesty podiel;

SESSION - ôsmy;

TRIENCE - tretina esa;

BES - dve tretiny;

unca - dvanástina zadku;

SEMI-UNCE - pol unca.

Zlomky v starovekom Egypte

Egypťania po mnoho storočí nazývali zlomky „zlomené čísla“ a prvý zlomok, s ktorým sa stretli, bola 1/2. Nasledovala 1/4, 1/8, 1/16, ..., potom 1/3, 1/6, ..., t.j. najjednoduchšie zlomky sa nazývajú jednotkové resp základné zlomky. Ich čitateľ je vždy jeden. Až oveľa neskôr medzi Grékmi, potom medzi Indmi a inými národmi sa začali používať zlomky všeobecného tvaru, nazývané obyčajné zlomky, v ktorých čitateľom a menovateľom môžu byť akékoľvek prirodzené čísla.

V starovekom Egypte dosiahla architektúra vysoký stupeň rozvoja. Aby bolo možné postaviť veľkolepé pyramídy a chrámy, vypočítať dĺžky, plochy a objemy figúr, bolo potrebné poznať aritmetiku.

Z rozlúštených informácií na papyrusoch sa vedci dozvedeli, že Egypťania pred 4000 rokmi mali desiatkový (ale nie pozičný) číselný systém, dokázali vyriešiť mnohé problémy súvisiace s potrebami stavebníctva, obchodu a vojenských záležitostí.

Jedným z prvých známych odkazov na egyptské zlomky je matematický papyrus Rhind. Tri staršie texty, ktoré spomínajú egyptské zlomky, sú Egyptský matematický kožený zvitok, Moskovský matematický papyrus a Akhmimská drevená doska. Rhinda papyrus obsahuje tabuľku egyptských zlomkov pre racionálne čísla v tvare 2/ n, ako aj 84 matematických úloh, ich riešení a odpovedí, napísaných vo forme egyptských zlomkov.

Egypťania umiestnili hieroglyf ( ep, „[jeden] z“ alebo re, ústa) nad číslom na označenie jednotkového zlomku v bežnej notácii a v posvätných textoch používali čiaru. Napríklad:

Mali aj špeciálne symboly pre zlomky 1/2, 2/3 a 3/4, ktoré sa dali použiť aj na zápis iných zlomkov (väčších ako 1/2).

Zvyšok zlomkov zapísali ako súčet podielov. Zlomok napísali ako
, ale znamienko „+“ nebolo uvedené. A množstvo
zaznamenané vo formulári . Preto odvtedy prežil takýto záznam zmiešaných čísel (bez znamienka „+“).

Babylonské šesťdesiatkové zlomky

Obyvatelia starovekého Babylonu, asi tritisíc rokov pred naším letopočtom, vytvorili systém mier podobný tomu nášmu metrickému, len nevychádzal z čísla 10, ale z čísla 60, v ktorom bola menšia merná jednotka. časť vyššieho celku. Tento systém plne udržiavali Babylončania na meranie času a uhlov a my sme od nich zdedili delenie hodiny a stupňa na 60 minút a minúty na 60 sekúnd.

Výskumníci vysvetľujú vzhľad šesťdesiatkového číselného systému u Babylončanov rôznymi spôsobmi. S najväčšou pravdepodobnosťou sa tu bral do úvahy základ 60, čo je násobok 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60, čo značne zjednodušuje všetky druhy výpočtov.

Šesťdesiate roky boli v živote Babylončanov bežné. Preto použili šesťdesiatkový zlomky, ktoré majú ako menovateľ vždy číslo 60 alebo jeho mocniny: 60 2, 60 3 atď. Z tohto hľadiska možno šesťdesiatkové zlomky porovnať s našimi desatinnými zlomkami.

Babylonská matematika ovplyvnila grécku matematiku. Stopy babylonského šesťdesiatkového číselného systému prežili v modernej vede pri meraní času a uhlov. Dodnes sa zachovalo delenie hodiny na 60 minút, minúty na 60 sekúnd, kruhu na 360 stupňov, stupňa na 60 minút, minúty na 60 sekúnd.

Babylončania cenným spôsobom prispeli k rozvoju astronómie. Sexagesimálne zlomky používali v astronómii vedci všetkých národov až do 17. storočia a nazývali ich astronomický zlomky. Naproti tomu všeobecné zlomky, ktoré používame, boli tzv obyčajný.

Číslovanie a zlomky v starovekom Grécku

Keďže Gréci sa zlomkom zaoberali len sporadicky, používali rôzne zápisy. Heron a Diophantus, najznámejší aritmetici medzi starovekými gréckymi matematikmi, písali zlomky v abecednom tvare, s čitateľom pod menovateľom. V zásade sa však uprednostňovali buď zlomky s jedným čitateľom, alebo šesťdesiatkové zlomky.

Nedostatky gréckeho zápisu zlomkových čísel, vrátane použitia šesťdesiatkových zlomkov v desiatkovej sústave, neboli spôsobené chybami v základných princípoch. Nedostatky gréckeho číselného systému možno skôr pripísať ich tvrdohlavej túžbe po prísnosti, čo výrazne zvýšilo ťažkosti spojené s analýzou pomeru neporovnateľných veličín. Gréci chápali slovo „číslo“ ako množinu jednotiek, takže to, čo dnes považujeme za jediné racionálne číslo – zlomok – Gréci chápali ako pomer dvoch celých čísel. To vysvetľuje, prečo boli bežné zlomky v gréckej aritmetike zriedkavé.

Zlomky v Rusku

V ruskej ručnej aritmetike 17. storočia sa zlomky nazývali zlomky, neskôr „lomené čísla“. V starých príručkách nájdeme v Rusku tieto názvy zlomkov:

1/2 - polovica, polovica

1/3 - tretina

1/4 - štyri

1/6 - polovica tretiny

1/8 - pol hodiny

1/12 - polovica tretiny

1/16 - pol hodiny

1/24 - pol tretiny (malá tretina)

1/32 - pol a pol a pol (malá štvrtina)

1/5 - päť

1/7 - týždeň

1/10 - desiata

Slovanské číslovanie sa v Rusku používalo do 16. storočia, potom postupne do krajiny začal prenikať desiatkový pozičný číselný systém. Slovanské číslovanie napokon vymenila za Petra I.

Zlomky v iných štátoch staroveku

V čínskej „Matematike v deviatich oddieloch“ už prebieha redukcia zlomkov a všetky akcie so zlomkami.

U indického matematika Brahmagupta nájdeme dosť rozvinutú sústavu zlomkov. Má rôzne zlomky: základné aj odvodené s ľubovoľným čitateľom. Čitateľ a menovateľ sa píšu rovnakým spôsobom ako teraz, ale bez vodorovnej čiary, ale jednoducho umiestnené nad sebou.

Arabi boli prví, ktorí oddelili čitateľa od menovateľa čiarou.

Leonardo z Pisy už zapisuje zlomky, v prípade zmiešaného čísla umiestňuje celé číslo vpravo, ale číta ho ako zvyčajne. Jordan Nemorarius (XIII. storočie) delí zlomky delením čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom, čím sa delenie prirovnáva k násobeniu. Aby ste to dosiahli, musíte doplniť výrazy prvého zlomku o faktory:

V XV-XVI storočia nadobúda doktrína zlomkov podobu, ktorá je nám už známa, a formuje sa približne v tých častiach, ktoré sa nachádzajú v našich učebniciach.

Treba poznamenať, že rozdelenie aritmetiky o zlomky je už dlho jedným z najťažších. Niet divu, že Nemci sa držali príslovia: "Padať sa na zlomky", čo znamenalo - ísť do bezvýchodiskovej situácie. Verilo sa, že kto nepozná zlomky, nevie ani aritmetiku.

Desatinné čísla

Desatinné zlomky sa objavili v dielach arabských matematikov v stredoveku a nezávisle v starovekej Číne. Ale ešte skôr, v starovekom Babylone, sa používali zlomky rovnakého typu, len šesťdesiatkové.

Neskôr vedec Hartmann Beyer (1563-1625) publikoval esej „Decimal Logistics“, kde napísal: „... Všimol som si, že technici a remeselníci, keď merajú akúkoľvek dĺžku, veľmi zriedkavo a len vo výnimočných prípadoch ju vyjadrujú celými číslami. s rovnakým názvom; zvyčajne musia buď prijať malé opatrenia, alebo sa uchýliť k zlomkom. Tak isto astronómovia merajú veličiny nielen v stupňoch, ale aj v zlomkoch stupňa, t.j. minúty, sekundy atď. Ich delenie na 60 častí nie je také pohodlné ako delenie na 10, 100 častí atď., pretože v druhom prípade je oveľa jednoduchšie sčítať, odčítať a vo všeobecnosti vykonávať aritmetické operácie; Zdá sa mi, že ak by sa namiesto šesťdesiatkovej zaviedli desatinné časti, boli by užitočné nielen pre astronómiu, ale aj pre všetky druhy výpočtov.

Dnes používame desatinné čísla prirodzene a voľne. To, čo sa nám však zdá prirodzené, slúžilo vedcom stredoveku ako skutočný kameň úrazu. Západná Európa v 16. storočí spolu s rozšíreným desiatkovým systémom na reprezentáciu celých čísel sa pri výpočtoch všade používali šesťdesiatkové zlomky, ktoré siahajú až do starodávnej tradície Babylončanov. Bolo potrebné bystrého rozumu holandského matematika Simona Stevina, aby priniesol záznam celočíselných aj zlomkových čísel do jedného systému. Podnetom na vznik desatinných zlomkov boli zrejme ním zostavené tabuľky zloženého úročenia. V roku 1585 vydal knihu „Desatok“, v ktorej vysvetlil desatinné zlomky.

Od začiatku 17. storočia začína intenzívne prenikanie desatinných zlomkov do vedy a praxe. V Anglicku sa zaviedla bodka ako znak oddeľujúci celočíselné časti od zlomkovej časti. Čiarka, podobne ako bodka, bola navrhnutá ako oddeľovač v roku 1617 matematikom Napierom.

Rozvoj priemyslu a obchodu, vedy a techniky si vyžadoval čoraz ťažkopádnejšie výpočty, ktoré sa dali ľahšie vykonávať pomocou desatinných zlomkov. Desatinné zlomky boli široko používané v 19. storočí po zavedení metrického systému mier a váh, ktorý s nimi úzko súvisí. Napríklad v našej krajine, v poľnohospodárstve a priemysle, sa desatinné zlomky a ich konkrétna forma - percentá - používajú oveľa častejšie ako bežné zlomky.

Literatúra:

M. Ya. Vygodsky „Aritmetika a algebra v starovekom svete“ (M. Nauka, 1967)

G.I. Glazer „Dejiny matematiky v škole“ (M. Education, 1964)

I.Ya.Depman „História aritmetiky“ (M. Enlightenment, 1959)