MAGICKÉ NÁMESTIE
Magický alebo magický štvorec je štvorcová tabuľka vyplnená číslami tak, že súčet čísel v každom riadku, každom stĺpci a oboch uhlopriečkach je rovnaký.
Súčet čísel v každom riadku, stĺpci a uhlopriečke sa nazýva magická konštanta M.
Najmenšia magická konštanta magického štvorca 3x3 je 15, štvorca 4x4 je 34, štvorca 5x5 je 65,
Ak sú súčty čísel vo štvorci rovnaké iba v riadkoch a stĺpcoch, potom sa to nazýva polomágia.
Postavte magický štvorec 3 x 3 s najmenším
magická konštanta
Nájdite najmenšiu magickú konštantu magického štvorca 3x3
1 spôsob
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45
4
5 :
3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9
M = 15.
Číslo napísané v strede je 15 : 3 = 5
Zistené, že v strede je napísané číslo 5.
kde n je počet riadkov
Ak dokážete postaviť jeden magický štvorec, potom nie je ťažké postaviť ich ľubovoľný počet. Preto pamätajte na stavebné techniky
Magický štvorec 3x3 s konštantou 15.
1 spôsob výstavby. Najprv vložte párne čísla do rohov
V strede 2,4,8,6 a 5. Zvyšok procesu je jednoduchá aritmetika.
15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3
2 spôsobom riešenia
Pomocou nájdeného magického štvorca s konštantou 15 môžete nastaviť množstvo rôznych úloh:
Príklad. Postavte nové rôzne magické štvorce 3 x 3
Riešenie.
Sčítaním každého čísla magického štvorca alebo jeho vynásobením rovnakým číslom dostaneme nový magický štvorec.
Príklad 1 Zostrojte magický štvorec 3 x 3, ktorého číslo v strede je 13.
Riešenie.
Vytvorme známu mágiu
štvorec s konštantou 15.
Nájdite číslo, ktoré je v
uprostred požadovaného štvorca
13 – 5 = 8.
Ku každému magickému číslu
pridajte 8 štvorcov.
Príklad 2 Naplňte klietky mágie
štvorcov, poznajúc magickú konštantu.
Riešenie. Poďme nájsť číslo
napísané v strede 42: 3 = 14
42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10
úlohy na samostatné riešenie
Príklady. 1. Naplňte bunky magických štvorcov mágiou
konštanta M = 15.
1) 2) 3)
2. Nájdite magickú konštantu magických štvorcov.
1) 2) 3)
3. Vyplňte bunky magických štvorcov, poznajúc magickú konštantu
1) 2) 3)
M = 24 M = 30 M = 27
4 . Zostavte magický štvorec 3x3 s vedomím, že magická konštanta je
rovná sa 21.
Riešenie. Pripomeňme si, ako sa magický štvorec 3x3 stavia podľa najmenšieho
konštanta 15. Párne čísla sa píšu do krajných polí
2, 4, 6, 8 a v strede číslo 5 (15 : 3).
Podľa podmienky je potrebné zostrojiť štvorec podľa magickej konštanty
21. V strede požadovaného štvorca by malo byť číslo 7 (21 : 3).
Poďme zistiť, o koľko viac každý člen požadovaného štvorca
každý člen s najmenšou magickou konštantou 7 - 5 = 2.
Postavíme požadovaný magický štvorec:
21 – (4 + 6) = 
11
21 – (6 + 10) = 5
21 – (8 + 10) = 3
21 – (4 + 8) = 9
4. Zostavte 3x3 magické štvorce s poznaním ich magických konštánt
M = 42 M = 36 M = 33
M = 45 M = 40 M = 35
Postavte magický štvorec 4 x 4 s najmenším
magická konštanta
Nájdite najmenšiu magickú konštantu magického štvorca 4x4
a číslo nachádzajúce sa v strede tohto štvorca.
1 spôsob
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =
(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 x 8= 136
136: 4= 34.
kde n je počet riadkov n = 4.
Súčet čísel na ľubovoľnej horizontále,
vertikálna a diagonálna je 34.
Toto množstvo sa vyskytuje aj vo všetkých
rohové štvorce 2×2, v strede
na druhú (10+11+6+7), na druhú od
rohové bunky (16+13+4+1).
Ak chcete postaviť akékoľvek magické štvorce 4x4, musíte: postaviť jedno
s konštantou 34.
Príklad. Postavte nové rôzne magické štvorce 4 x 4.
Riešenie.
Sčítanie každého nájdeného čísla
magický štvorec 4 x 4 resp
vynásobím to rovnakým číslom,
získajte nový magický štvorec.
Príklad. Vybudujte kúzlo
štvorec 4 x 4, ktorý má kúzlo
konštanta je 46.
Riešenie. Postavil známe kúzlo
štvorec s konštantou 34.
46 – 34 = 12. 12: 4 = 3
Ku každému číslu magického štvorca
pridajme 3.
Skôr ako pristúpite k riešeniu zložitejších príkladov na magických štvorcoch 4 x 4, znova skontrolujte vlastnosti, ktoré má, ak M = 34.
Príklady. 1. Naplňte bunky magického štvorca mágiou
konštanta M = 38.
H = 38-(10+7+13)=8 d=38-(17+4+11)=6 c=38-(17+4+14)=3
e \u003d 38- (12 + 7 + 8) \u003d 11 p \u003d 38- (17 + 6 + 10) \u003d 5 c \u003d 38- (3 + 12 + 8) \u003d 15
b = 38-(11+7+16)=4 d = 38-(5+7+12)=14 c = 38-(6+11+12)=9
vlastnosť 1,3,1 vlastnosti 2,1,1 t =38-(14+9+13)=2
vlastnosti 1,1,1,1
Odpoveď.
Úlohy na samostatné riešenie
Vyplňte bunky magického štvorca, ak je mágia známa
konštantný
K = 46 K = 58 K = 62
Zoznámte sa s magickými štvorcami 5x5 a 6x6
Existuje niekoľko rôznych klasifikácií magických štvorcov.
piateho rádu, navrhnutý tak, aby ich nejako systematizoval. V knihe
Martin Gardner [GM90, pp. 244-345] popisuje jednu z týchto metód -
podľa čísla na centrálnom námestí. Metóda je zvedavá, ale nič viac.
Koľko štvorcov šiesteho rádu existuje, stále nie je známe, ale je ich približne 1,77 x 1019. Číslo je obrovské, takže nie je nádej na ich spočítanie pomocou vyčerpávajúceho hľadania, no nikto nevedel prísť na vzorec na výpočet magických štvorcov.
Ako vytvoriť magický štvorec?
Existuje mnoho spôsobov, ako vytvoriť magické štvorce. Najjednoduchší spôsob, ako vytvoriť magické štvorce nepárne poradie. Použijeme metódu, ktorú navrhol francúzsky vedec zo 17. storočia A. de la Louber (De La Loubère). Je založený na piatich pravidlách, ktorých fungovanie zvážime na najjednoduchšom magickom štvorci 3 x 3 bunky.
Pravidlo 1. Vložte 1 do stredného stĺpca prvého radu (obr. 5.7).
Ryža. 5.7. Prvé číslo
Pravidlo 2. Ak je to možné, vložte ďalšie číslo do bunky susediacej s aktuálnou diagonálne vpravo a vyššie (obr. 5.8).
Ryža. 5.8. Pokúšam sa zadať druhé číslo
Pravidlo 3. Ak nová bunka presahuje štvorec vyššie, potom napíšte číslo úplne na spodný riadok a do nasledujúceho stĺpca (obr. 5.9).
Ryža. 5.9. Dali sme druhé číslo
Pravidlo 4. Ak bunka presahuje štvorec vpravo, napíšte číslo do prvého stĺpca a do predchádzajúceho riadku (obr. 5.10).
Ryža. 5.10. Dali sme tretie číslo
Pravidlo 5. Ak je bunka už obsadená, zapíšte si ďalšie číslo pod aktuálnu bunku (obr. 5.11).
Ryža. 5.11. Dali sme štvrté číslo
Ryža. 5.12. Dali sme piate a šieste číslo
Znova postupujte podľa pravidiel 3, 4, 5, kým nedokončíte celý štvorec (obr.
Nie je to pravda, pravidlá sú veľmi jednoduché a jasné, ale stále je dosť zdĺhavé usporiadať čo i len 9 čísel. Keďže však poznáme algoritmus na zostavovanie magických štvorcov, môžeme bez problémov zveriť počítaču všetku rutinnú prácu a nám zostane len tvorivá práca, teda písanie programu.
Ryža. 5.13. Vyplňte štvorec nasledujúcimi číslami
Project Magic squares (Magic)
Sada polí pre program magické štvorce celkom zrejmé:
// PROGRAM PRE GENERÁCIU
// NEPÁRNE MAGICKÉ NÁMESTIE
// DE LA LOUBERTOVOU METÓDOU
verejná čiastočná trieda Formulár1 : Formulár
//Max. rozmery štvorca: const int MAX_SIZE = 27; //var
intn=0; // štvorcové poradie int [,] mq; // magický štvorec
int cislo=0; // aktuálne číslo na štvorec
intcol=0; // aktuálny stĺpec int riadok=0; // aktuálny riadok
De la Louberova metóda je vhodná na vytváranie nepárnych štvorcov ľubovoľnej veľkosti, takže používateľovi môžeme dať možnosť zvoliť si poradie štvorca, pričom slobodu výberu primerane obmedzíme na 27 buniek.
Potom, čo používateľ stlačí vytúžené tlačidlo btnGen Generate! , metóda btnGen_Click vytvorí pole na ukladanie čísel a prejde do metódy generovania:
// STLAČTE TLAČIDLO „GENEROVAŤ“.
private void btnGen_Click(odosielateľ objektu, EventArgs e)
//poradie štvorca:
n = (int)udNum.Value;
//vytvor pole:
mq = new int ;
//vygeneruj magicky štvorec: vygeneruj();
lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;
Tu začneme konať podľa pravidiel de la Loubera a napíšeme prvé číslo - jedna - do strednej bunky prvého riadku štvorca (alebo poľa, ak chcete):
//Vygenerovanie magického štvorca void generation()(
//prve cislo: cislo=1;
//stĺpec pre prvé číslo - stred: col = n / 2 + 1;
//riadok pre prvé číslo - prvé: riadok=1;
//odmocni to: mq= cislo;
Teraz postupne pridávame zvyšok buniek v bunkách - od dvoch do n * n:
// prejdite na ďalšie číslo:
Pamätáme si pre každý prípad súradnice aktuálnej bunky
int tc=col; int tr = riadok;
a prejdite na ďalšiu bunku diagonálne:
Kontrolujeme implementáciu tretieho pravidla:
ak (riadok< 1) row= n;
A potom štvrtý:
if (col > n) (col=1;
goto pravidlo3;
A po piate:
if (mq != 0) ( col=tc;
riadok=tr+1; goto pravidlo3;
Ako vieme, že v bunke štvorca už je číslo? - Veľmi jednoduché: do všetkých buniek sme rozvážne napísali nuly a čísla v hotovom štvorci sú väčšie ako nula. Takže podľa hodnoty prvku poľa okamžite určíme, či je bunka prázdna alebo už s číslom! Upozorňujeme, že tu potrebujeme súradnice buniek, ktoré sme si zapamätali pred hľadaním bunky pre ďalšie číslo.
Skôr či neskôr nájdeme vhodnú bunku pre číslo a zapíšeme ju do zodpovedajúcej bunky poľa:
//odmocni to: mq = cislo;
Skúste iný spôsob, ako zorganizovať kontrolu prípustnosti prechodu na
wow bunka!
Ak bolo toto číslo posledné, potom program splnil svoje povinnosti, inak dobrovoľne pristúpi k tomu, že bunke poskytne nasledujúce číslo:
//ak nie sú nastavené všetky čísla, tak if (číslo< n*n)
//prejsť na ďalšie číslo: goto nextNumber;
A teraz je námestie pripravené! Vypočítame jej magickú sumu a vytlačíme ju na obrazovku:
) //generovať()
Tlač prvkov poľa je veľmi jednoduchá, ale je dôležité vziať do úvahy zarovnanie čísel rôznych "dĺžok", pretože štvorec môže obsahovať jedno-, dvoj- a trojciferné čísla:
//Vytlačte magický štvorec void writeMQ()
lstRes.ForeColor = Farba .Čierna;
string s = "Magická suma = " + (n*n*n+n)/2; lstRes.Items.Add(s);
lstRes.Items.Add("" );
// vytlačí magický štvorec: for (int i= 1; i<= n; ++i){
s="" ;
pre (int j= 1; j<= n; ++j){
if (n*n > 10 && mq< 10) s += " " ; if (n*n >100 && mq< 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;
lstRes.Items.Add(s);
lstRes.Items.Add("" ); )//writeMQ()
Spustíme program - štvorce sa získajú rýchlo a sú pastvou pre oči (obr.
Ryža. 5.14. Poriadne námestie!
V knihe S. Goodmana, S. HidetniemiÚvod do vývoja a analýzy algoritmov
mov , na stranách 297-299 nájdeme rovnaký algoritmus, ale v „redukovanom“ podaní. Nie je taký „transparentný“ ako naša verzia, ale funguje korektne.
Pridať tlačidlo btnGen2 Generate 2! a napíšte algoritmus v jazyku
C-shap na metódu btnGen2_Click:
//Algoritmus ODDMS
private void btnGen2_Click(odosielateľ objektu, EventArgs e)
//poradie štvorca: n = (int )udNum.Value;
//vytvor pole:
mq = new int ;
//vygenerovanie magického štvorca: int riadok = 1;
int col = (n+1)/2;
pre (int i = 1; i<= n * n; ++i)
mq = i; if (i % n == 0)
if (riadok == 1) riadok = n;
if (col == n) col = 1;
//štvorec dokončený: writeMQ();
lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;
Klikneme na tlačidlo a uistíme sa, že sa vygenerujú „naše“ štvorce (obr.
Ryža. 5.15. Starý algoritmus v novom šate
Mestská vzdelávacia inštitúcia "Gymnázium č. 41"
magické štvorce
Vedúci: ,
učiteľ matematiky
Novouralsk, 2012
Úvod 3
1. Všeobecné informácie o magických štvorcoch 4
1.1. Koncept magického štvorca 4
1.2. Z histórie magických štvorcov 4
1.3. Druhy magických štvorcov 6
2. Riešenie magických štvorcov 6
2.1. Riešenie magických štvorcov (metóda Bachet de Mezirac) 7
2.2. Vyhlásenie o probléme 8
2.3. Algoritmus na riešenie magických štvorcov 8
2.4. Dôkaz algoritmu (v algebraickej forme) 9
2.5. Príklad riešenia magického štvorca pomocou Algoritmu 10
3. Používanie magických štvorcov 11
3.1. Rôzne prípady zovšeobecnenia magických štvorcov 11
3.2. Aplikácia latinských štvorcov 12
4. Všeobecné závery 13
5. Záver 14
6. Referencie 15
Príloha 1
príloha 2
Dodatok 3
Úvod
Na hodinách matematického krúžku sme sa stretli s problémami súvisiacimi s vypĺňaním buniek štvorca podľa osobitných pravidiel. Navrhované čísla bolo potrebné zadať tak, aby výsledok spĺňal niekoľko podmienok naraz:
Ak spočítate všetky čísla v každom riadku,
Ak spočítate všetky čísla v každom stĺpci,
Ak spočítate všetky čísla v dvoch uhlopriečkach,
potom sa všetky tieto sumy budú rovnať rovnakému číslu.
Napriek tomu, že sa úlohy líšili počiatočnými číslami, poradím čísel, daným súčtom, všetky boli podobné a riešenia boli rovnakého typu.
Vznikla myšlienka nielen vyriešiť každú úlohu, ale aj vymyslieť všeobecný algoritmus riešenia, ako aj nájsť historické informácie o problémoch tohto typu v literatúre.
Ukázalo sa, že postavy, ktoré nás zaujímajú, sa nazývajú magické štvorce, známe už od staroveku. O nich sa bude diskutovať v práci.
Cieľ: systematizovať informácie o magických štvorcoch, vyvinúť algoritmus na ich riešenie.
Úlohy:
1. Preštudujte si históriu vzniku magických štvorcov.
2. Identifikujte typy magických štvorcov.
3. Naučte sa riešiť magické štvorce.
4. Vytvorte a overte svoj algoritmus riešenia.
5. Určte použitie magických štvorcov.
1. Všeobecné informácie o magických štvorcoch
1.1. Koncept magického štvorca
Magické štvorce sú veľmi obľúbené aj dnes. Sú to štvorce, v každej bunke ktorých sú čísla vpísané tak, že súčty čísel pozdĺž akejkoľvek horizontály, akejkoľvek vertikálnej a akejkoľvek uhlopriečky sú rovnaké. Najznámejší je magický štvorec zobrazený na rytine nemeckého umelca A. Dürera „Melancholia“ (Príloha 1).
1.2. Z histórie magických štvorcov
Čísla vstúpili do života človeka natoľko, že im začali pripisovať najrôznejšie magické vlastnosti. Už pred niekoľkými tisíckami rokov v starovekej Číne boli unesení kreslením magických štvorcov. Počas archeologických vykopávok v Číne a Indii sa našli štvorcové amulety. Štvorec bol rozdelený na deväť malých štvorcov, v každom z nich boli napísané čísla od 1 do 9. Je pozoruhodné, že súčty všetkých čísel v ľubovoľnej vertikálnej, horizontálnej a diagonálnej sa rovnali rovnakému číslu 15 (obrázok 1).
Obrázok 1.
Magické štvorce boli v stredoveku veľmi obľúbené. Jeden z magických štvorcov je zobrazený na rytine známeho nemeckého umelca Albrechta Dürera, „Melanchólia“. 16 buniek štvorca obsahuje čísla od 1 do 16 a súčet čísel vo všetkých smeroch je 34. Je zvláštne, že dve čísla v strede spodného riadku označujú rok vytvorenia obrázka - 1514. Získanie magické štvorce boli obľúbenou zábavou matematikov, vznikli obrovské štvorce, napríklad 43x43, obsahujúce čísla od 1 do 1849 a okrem naznačených vlastností magických štvorcov majú aj mnohé ďalšie vlastnosti. Boli vynájdené spôsoby, ako zostrojiť magické štvorce akejkoľvek veľkosti, ale doteraz sa nenašiel žiadny vzorec, pomocou ktorého by sa dal zistiť počet magických štvorcov danej veľkosti. Je známe, a môžete to ľahko ukázať aj sami, že neexistujú žiadne magické polia 2x2, existuje presne jedno magické pole 3x3, ostatné takéto polia sa z neho získavajú rotáciami a symetriami. Magických políčok 4x4 je už 800 a počet políčok 5x5 sa blíži k štvrť miliónu.
1.3. Druhy magických štvorcov
Magický(magický štvorec) n 2 čísla tak, aby súčet čísel v každom riadku, každom stĺpci a oboch uhlopriečkach bol rovnaký.
polomagický štvorec je nxn štvorcová tabuľka plná n 2 čísla tak, že súčty čísel sa rovnajú iba v riadkoch a stĺpcoch.
Normálne je magický štvorec vyplnený celými číslami od 1 do n 2.
Asociatívne (symetrický) - magický štvorec, v ktorom sa súčet akýchkoľvek dvoch čísel umiestnených symetricky okolo stredu štvorca rovná n 2 + 1.
Diabolský (pandiagonálny) magický štvorec- magický štvorec, v ktorom súčty čísel pozdĺž prerušených uhlopriečok (uhlopriečok, ktoré sa tvoria pri zložení štvorca do torusu) v oboch smeroch sa tiež zhodujú s magickou konštantou.
K dispozícii je 48 4x4 diabolských magických štvorcov, presných na rotáciu a odrazy. Ak zoberieme do úvahy aj ich dodatočnú symetriu – torické paralelné preklady, tak zostanú len 3 v podstate odlišné štvorce (obrázok 2).
Obrázok 2
Pandiagonálne štvorce štvrtého rádu majú množstvo ďalších vlastností, pre ktoré sú nazývané spáchaný. Dokonalé štvorce nepárneho poriadku neexistujú. Medzi pandiagonálnymi štvorcami s dvojitou paritou nad 4 sú dokonalé.
Pandiagonálnych štvorcov piateho rádu je 3600. Ak vezmeme do úvahy torické paralelné preklady, existuje 144 rôznych pandiagonálnych štvorcov.
2.Riešenie magických štvorcov
2.1 Riešenie magických štvorcov (Bacher de Meziracova metóda)
Pravidlá pre vytváranie magických štvorcov spadajú do troch kategórií v závislosti od toho, či je poradie štvorca nepárne, rovná sa dvojnásobku nepárneho čísla alebo sa rovná štvornásobku nepárneho čísla. Všeobecná metóda konštrukcie všetkých štvorcov nie je známa, hoci sa široko používajú rôzne schémy. Je možné nájsť všetky magické štvorce rádu n iba pre n ≤ 4.
Na riešenie normálnych magických štvorcov ľubovoľne veľkých rozmerov používame metódu, ktorú v roku 1612 opísal francúzsky matematik Claude Bachet de Mezirac. Ruský preklad jeho knihy vyšiel v Petrohrade v roku 1877 pod názvom „Hry a problémy založené na matematike“.
Na štvorčekovom papieri je vhodné postaviť magický štvorec. Nech je n nepárne číslo a potrebujete vytvoriť štvorec nxn s číslami od 1 do n2, postupujeme krok za krokom.
1. Všetky čísla od 1 do n2 zapíšeme do buniek diagonálne (n čísel v rade), aby vznikol diagonálny štvorec.
2. Vyberte štvorec nxn v jeho strede. Toto je základ (ešte nie sú zaplnené všetky bunky) budúceho magického štvorca.
3. Každý číselný „roh“ umiestnený mimo centrálneho štvorca sa opatrne prenesie dovnútra - na opačnú stranu štvorca. Čísla týchto rohov by mali vyplniť všetky prázdne bunky. Magický štvorec je postavený.
Uveďme príklad vyplnenia štvorca 3x3 číslami od 1 do 9. Ak to chcete urobiť, pridajte do štvorca ďalšie bunky, aby ste získali uhlopriečky. Najprv vyplňte diagonálne bunky číslami od 1 do 9 (obrázok 3), potom „zahnite rohy“ do prázdnych buniek štvorca smerom dovnútra na opačnú stranu (obrázok 4).
Obrázok 3. Obrázok 4.
2.2. Formulácia problému.
Opíšme si vlastný spôsob riešenia magických štvorcov. Zastavme sa pri štúdiu matematického modelu magických štvorcov 3x3.
Všeobecná formulácia problému.
Existuje deväť čísel. Je potrebné ich usporiadať do buniek štvorca 3x3 tak, aby súčty čísel pozdĺž všetkých vertikálnych, horizontálnych a diagonálnych čiar boli rovnaké.
2.3. Algoritmus magického štvorca
Slovný popis algoritmu
1. Zoraďte čísla vo vzostupnom poradí.
2. Nájdite centrálne číslo (piate v poradí).
3. Určte dvojice podľa pravidla: 1 dvojica - prvé číslo a deviate,
2 páry - druhé číslo a ôsme,
3 páry - tretie číslo a siedme,
4 páry - štvrté číslo a šieste.
4. Zistite súčet čísel (S), ktorý by ste mali získať sčítaním čísel pozdĺž každej vertikálnej, horizontálnej, diagonálnej: pridajte najmenšie, stredné, najväčšie číslo, teda číslo 1 z dvojice s centrálnym číslom.
5. Umiestnite centrálne číslo do stredu štvorca.
6. Na stredovej horizontále (alebo vertikálnej) do voľných buniek zadajte prvý pár čísel.
7. Napíšte druhú dvojicu čísel pozdĺž ľubovoľnej uhlopriečky (tak, aby väčšie číslo prvej dvojice bolo v stĺpci s menším číslom druhej dvojice).
8. Vypočítajte číslo, ktoré sa má zapísať do jedného z krajných stĺpcov, podľa pravidla:
od S odčítajte súčet dvoch čísel obsiahnutých v bunkách stĺpca a získajte číslo.
9. Diagonálne k výslednému číslu zapíšte druhé číslo jeho dvojice.
10. Do zostávajúcich buniek zadajte poslednú dvojicu čísel podľa pravidla: väčšie číslo z dvojice zadajte do riadku s menším a menšie číslo do zostávajúcej prázdnej bunky.
2.4. Dôkaz o správnosti vyplnenia magického štvorca
(Riešenie problému vo všeobecnej forme)
Ukážeme, že súčty čísel umiestnených pozdĺž vertikál, horizontál a uhlopriečok štvorca v dôsledku algoritmu budú rovnaké.
Nech sa po objednaní každé nasledujúce číslo líši od predchádzajúceho o konštantnú hodnotu X. Vyjadrime všetky čísla v termínoch a1(najmenší počet) a X:
a1 , a2=a1+x,
a3=a2+X=a1+2x,
a4=a1+3x,
a5=a1+4x,
a6=a1+5x,
a7=a1+6x,
a8=a1+7x,
a9 = a1 +8 X.
Poďme nájsť sumu S a vyjadrite ho číslami a1 A X: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 X.
Nech je magický štvorec vyplnený podľa navrhovaného algoritmu.
Dokážme, že súčty čísel umiestnených pozdĺž vodorovnej, zvislej a uhlopriečky štvorca sa rovnajú S.
Vertikálne:
S1=a4+a3+a8=a1+a1+a1+3x+2x+7x=3a1+12x=S
S2=a9+a5+a1=a1+a1+a1+8x+4x=3a1+12x=S
S3=a2+a7+a6=a1+a1+a1+x+6x+5x=3a1+12x=S
Vodorovne:
S4=a4+a9+a2=a1+a1+a1+3x+8x+x=3a1+12x=S
S5=a3+a5+a7=a1+a1+a1+2x+4x+6x=3a1+12x=S
S6=a8+a1+a6=a1+a1+a1+7x+5x=3a1+12x=S
Diagonálne:
S7=a4+a5+a6=a1+a1+a1+3x+4x+5x=3a1+12x=S
S8=a8+a5+a2=a1+a1+a1+7x+4x+x=3ale1 +12x=S
Dostali sme rovnakú sumu. Tvrdenie bolo dokázané.
Poznámka.
Takto usporiadané čísla tvoria aritmetickú postupnosť. V tejto postupnosti (po zoradení) je a1 prvým členom aritmetickej postupnosti, x je rozdiel aritmetickej postupnosti. Pre čísla, ktoré netvoria aritmetickú postupnosť, algoritmus nefunguje.
2.5. Príklad riešenia magických štvorcov
Dané čísla: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Vyplňte magický štvorec danými číslami.
1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Mám ústredné číslo 5.
3. Páry: 1 a 9, 2 a 8, 3 a 7, 4 a 6.
4,S=5+1+9= 15 - súčet.
8. 15-(9+2)=4
Tento algoritmus sa výrazne líši od metódy Bachet de Meziriac. Na jednej strane vyžaduje dodatočné výpočty (nevýhoda metódy), na druhej strane naša metóda nevyžaduje dodatočné konštrukcie (diagonálny štvorec). Navyše je metóda použiteľná nielen na po sebe idúce prirodzené čísla od 1 do 9, ale aj na ľubovoľných deväť čísel, ktoré sú členmi aritmetickej postupnosti, v čom vidíme jej výhody. Okrem toho sa automaticky určí magická konštanta - súčet čísel pozdĺž každej uhlopriečky, vertikálnej, horizontálnej.
3. Pomocou magických štvorcov
3.1. Rôzne prípady zovšeobecnenia magických štvorcov
Problémy zostavovania a opisu magických štvorcov boli predmetom záujmu matematikov už od staroveku. Úplný popis všetkých míľnikov možných magických štvorcov sa však dodnes nepodarilo získať. S rastúcou veľkosťou (počet buniek) štvorca rýchlo rastie počet možných magických štvorcov. Medzi veľkými štvorcami sú štvorce so zaujímavými vlastnosťami. Napríklad na štvorci na obrázku č. 5 sú rovnaké nielen súčty čísel v riadkoch, stĺpcoch a uhlopriečkach, ale aj súčty pätičiek pozdĺž „lomených“ uhlopriečok spojených na obrázku farebnými čiarami.
Obrázok 5. Obrázok 6.
Latinský štvorec je štvorec n x n buniek, v ktorom sú zapísané čísla 1, 2, ..., n, navyše tak, že všetky tieto čísla sa v každom riadku a každom stĺpci vyskytujú raz. Na (obrázok 6) sú zobrazené dva takéto latinské štvorce 4x4. Majú zaujímavú vlastnosť: ak je jeden štvorec prekrytý druhým, všetky dvojice výsledných čísel sa ukážu byť odlišné. Takéto dvojice latinských štvorcov sa nazývajú ortogonálne. Úlohu nájsť ortogonálne latinské štvorce si ako prvý stanovil L. Euler a v takejto zábavnej formulácii: „Medzi 36 dôstojníkmi sú rovnako kopijníci, dragúni, husári, kyrysári, gardisti jazdectva a granátnici a navyše rovnako generáli, plukovníkov, majorov, kapitánov, poručíkov a podporučíkov a každú služobnú zložku zastupujú dôstojníci všetkých šiestich hodností. Je možné usporiadať týchto dôstojníkov do štvorca 6x6 tak, aby sa dôstojníci všetkých hodností stretli v ktorejkoľvek kolóne? (Príloha 2).
L. Euler nedokázal nájsť riešenie tohto problému. V roku 1901 sa ukázalo, že takéto riešenie neexistuje.
3.2. Aplikácia latinských štvorcov
Magické a latinské štvorce sú blízkymi príbuznými. Teória latinských štvorcov našla množstvo aplikácií, a to ako v samotnej matematike, tak aj v jej aplikáciách. Vezmime si príklad. Predpokladajme, že chceme testovať dve odrody pšenice na produktivitu v danej oblasti a chceme vziať do úvahy vplyv miery riedkosti plodín a vplyv dvoch druhov hnojív. Za týmto účelom rozdelíme štvorcový úsek na 16 rovnakých častí (obrázok 7). Prvú odrodu pšenice vysadíme na pozemky zodpovedajúce spodnému vodorovnému pruhu, ďalšiu odrodu vysadíme na štyri pozemky zodpovedajúce ďalšiemu pruhu atď. (na obrázku je odroda označená farbou.)
Poľnohospodárstvo" href="/text/category/selmzskoe_hozyajstvo/" rel="bookmark">poľnohospodárstvo, fyzika, chémia a technika.
4. Všeobecné závery
V priebehu práce som sa zoznámil s rôznymi druhmi magických štvorcov, naučil som sa riešiť normálne magické štvorce metódou Bachet de Mezirac. Keďže naše riešenie magických štvorcov 3x3 sa líšilo od zadanej metódy, ale zakaždým, keď nám umožnilo správne vyplniť bunky štvorca, vznikla túžba vyvinúť vlastný algoritmus. Tento algoritmus je v práci podrobne popísaný, dokázaný v algebraickej forme. Ukázalo sa, že to platí nielen pre normálne štvorce, ale aj pre štvorce 3x3, kde čísla tvoria aritmetickú postupnosť. Podarilo sa nám nájsť aj príklady využitia mágie a latinských štvorcov.
Naučil som sa, ako: vyriešiť niektoré magické štvorce, vyvinúť a popísať algoritmy, dokázať tvrdenia v algebraickej forme. Naučil som sa nové pojmy: aritmetická postupnosť, magický štvorec, magická konštanta, študoval som typy štvorcov.
Bohužiaľ, ani môj vyvinutý algoritmus, ani metóda Bacheta de Meziraca nedokážu vyriešiť 4x4 magické štvorce. Preto som chcel ďalej vyvinúť algoritmus na riešenie takýchto štvorcov.
5. Záver
V tejto práci sa študovali magické štvorce, zvažovala sa história ich pôvodu. Boli definované typy magických štvorcov: magický alebo magický štvorec, polomagický štvorec, normálny, asociačný, diabolský magický štvorec, dokonalý.
Spomedzi existujúcich metód ich riešenia bola zvolená metóda Basche de Meziriac, bola odskúšaná na príkladoch. Okrem toho sa na riešenie magických štvorcov 3x3 navrhuje vlastný algoritmus riešenia a poskytuje sa matematický dôkaz v algebraickej forme.
Navrhovaný algoritmus sa výrazne líši od metódy Bacher de Meziriac. Na jednej strane vyžaduje dodatočné výpočty (nevýhoda metódy), na druhej strane nie sú potrebné žiadne dodatočné konštrukcie. Metóda je použiteľná nielen na po sebe idúce prirodzené čísla od 1 do 9, ale aj na ľubovoľných deväť čísel, ktoré sú členmi aritmetickej postupnosti, v čom vidíme jej výhody. Okrem toho sa automaticky určí magická konštanta - súčet čísel pozdĺž každej uhlopriečky, vertikálnej, horizontálnej.
Príspevok predstavuje zovšeobecnenie magických štvorcov - latinských štvorcov a popisuje ich praktické využitie.
Túto prácu je možné využiť na hodinách matematiky ako doplnkový materiál, ako aj v triede a pri samostatnej práci so žiakmi.
6. Referencie
1. Hádanky sveta čísel / Komp. - D .: Stalker, 1997.-448s.
2. Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. - M .: Pedagogika, 1989 - 352 s.: chor.
3. Encyklopédia pre deti. T11. Matematika / Kapitola. vyd. - M .: Avanta +, 2000 - 688s.: chor.
4. Poznám svet: Detská encyklopédia: Matematika / Komp. - a iné - M.: AST, 1996. - 480. roky: chor.
MAGICKÉ NÁMESTIE,štvorcová tabuľka celých čísel, v ktorej sa súčty čísel v ľubovoľnom riadku, ľubovoľnom stĺpci a ktorejkoľvek z dvoch hlavných uhlopriečok rovnajú rovnakému číslu.
Magický štvorec je staročínskeho pôvodu. Podľa legendy sa za vlády cisára Yu (asi 2200 pred Kr.) z vôd Žltej rieky vynorila posvätná korytnačka, na ktorej pancieri boli napísané tajomné hieroglyfy (obr. 1, Obr. ale), a tieto znaky sú známe ako lo-shu a sú ekvivalentné magickému štvorcu znázornenému na obr. jeden, b. V 11. storočí o magických štvorcoch sa dozvedeli v Indii, a potom v Japonsku, kde sa v 16. stor. Magické štvorce boli predmetom rozsiahlej literatúry. V 15. storočí predstavil Európanom magické štvorce. Byzantský spisovateľ E. Moskhopoulos. Prvým štvorcom vynájdeným Európanom je štvorec A. Durera (obr. 2), zobrazený na jeho slávnej rytine Melanchólia 1. Dátum rytiny (1514) je označený číslami v dvoch centrálnych bunkách spodného riadku. Magickým štvorcom sa pripisovali rôzne mystické vlastnosti. V 16. storočí Cornelius Heinrich Agrippa postavil štvorce 3., 4., 5., 6., 7., 8. a 9. rádu, ktoré súviseli s astrológiou 7 planét. Panovalo presvedčenie, že magický štvorec vyrytý na striebre chráni pred morom. Aj dnes medzi atribútmi európskych veštcov možno vidieť magické štvorce.
V 19. a 20. stor záujem o magické štvorce vzplanul s novou silou. Začali sa skúmať metódami vyššej algebry a operačného počtu.
Každý prvok magického štvorca sa nazýva bunka. Štvorec, ktorého strana je n bunky, obsahuje n 2 bunky a nazýva sa štvorec n- poradie. Väčšina magických štvorcov používa prvé n po sebe idúce prirodzené čísla. Sum Sčísla v každom riadku, každom stĺpci a na ľubovoľnej uhlopriečke sa nazýva konštanta štvorca a rovná sa S = n(n 2 + 1)/2. Dokázal to n i 3. Pre štvorec rádu 3 S= 15, 4. rád - S= 34, 5. rád - S = 65.
Dve uhlopriečky prechádzajúce stredom štvorca sa nazývajú hlavné uhlopriečky. Prerušovaná čiara je uhlopriečka, ktorá po dosiahnutí okraja štvorca pokračuje rovnobežne s prvým segmentom od protiľahlého okraja (takúto uhlopriečku tvoria vytieňované bunky na obr. 3). Bunky, ktoré sú symetrické okolo stredu štvorca, sa nazývajú šikmo symetrické. Napríklad bunky a A b na obr. 3.
Pravidlá pre vytváranie magických štvorcov spadajú do troch kategórií v závislosti od toho, či je poradie štvorca nepárne, rovná sa dvojnásobku nepárneho čísla alebo sa rovná štvornásobku nepárneho čísla. Všeobecná metóda na zostavenie všetkých štvorcov je neznáma, hoci sa široko používajú rôzne schémy, z ktorých niektoré zvážime nižšie.
Magické štvorce nepárneho poriadku možno zostrojiť metódou francúzskeho geometra zo 17. storočia. A. de la Lubera. Zvážte túto metódu na príklade štvorca 5. rádu (obr. 4). Číslo 1 je umiestnené v centrálnej bunke horného riadku. Všetky prirodzené čísla sú usporiadané v prirodzenom poradí cyklicky zdola nahor v bunkách uhlopriečok sprava doľava. Po dosiahnutí horného okraja štvorca (ako v prípade čísla 1) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky od spodnej bunky nasledujúceho stĺpca. Po dosiahnutí pravého okraja štvorca (číslo 3) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky z ľavej bunky o čiaru vyššie. Po dosiahnutí vyplnenej bunky (číslo 5) alebo rohu (číslo 15) trajektória klesne o jednu bunku nadol, po čom proces plnenia pokračuje.
Metóda F. de la Ira (1640-1718) je založená na dvoch pôvodných štvorcoch. Na obr. Obrázok 5 ukazuje, ako sa pomocou tejto metódy zostrojí štvorec 5. rádu. Čísla od 1 do 5 sa zapisujú do bunky prvého štvorca tak, aby sa číslo 3 opakovalo v bunkách hlavnej uhlopriečky smerom nahor a ani jedno číslo sa nevyskytovalo dvakrát v jednom riadku alebo v jednom stĺpci. To isté robíme s číslami 0, 5, 10, 15, 20 len s tým rozdielom, že číslo 10 sa teraz opakuje v bunkách hlavnej uhlopriečky zhora nadol (obr. 5, b). Súčet týchto dvoch štvorcov po bunke (obr. 5, v) tvorí magický štvorec. Táto metóda sa používa aj pri konštrukcii štvorcov párneho poradia.
Ak je známy spôsob konštrukcie štvorcov poriadku m a poriadok n, potom môžeme zostrojiť štvorec poriadku mґ n. Podstata tejto metódy je znázornená na obr. 6. Tu m= 3 a n= 3. Väčší štvorec 3. rádu (s prvočíslami) zostrojíme de la Louberovou metódou. Štvorec s číslom 1ў (stredná bunka horného radu) je vpísaný do štvorca 3. rádu z čísel od 1 do 9, tiež zostrojeného de la Louberovou metódou. Do bunky s číslom 2ў (vpravo v dolnom riadku) sa zapíše štvorec 3. rádu s číslami od 10 do 18; do bunky s číslom 3ў - štvorec čísel od 19 do 27 atď. V dôsledku toho dostaneme štvorec 9. rádu. Takéto štvorce sa nazývajú zložené.
Úvod
Veľkí vedci staroveku považovali kvantitatívne vzťahy za základ podstaty sveta. Preto čísla a ich pomery zamestnávali najväčšie mysle ľudstva. „V časoch svojej mladosti som sa vo voľnom čase zabával vytváraním... magických štvorcov,“ napísal Benjamin Franklin. Magický štvorec je štvorec, ktorého súčet čísel v každom horizontálnom rade, v každom vertikálnom rade a pozdĺž každej z uhlopriečok je rovnaký.
Niektorí vynikajúci matematici venovali svoje práce magickým štvorcom a ich výsledky ovplyvnili vývoj skupín, štruktúr, latinských štvorcov, determinantov, partícií, matíc, kongruencií a iných netriviálnych úsekov matematiky.
Účelom tejto eseje je predstaviť rôzne magické štvorce, latinské štvorce a študovať ich oblasti použitia.
magické štvorce
Úplný popis všetkých možných magických štvorcov sa dodnes nepodarilo získať. Neexistujú žiadne magické štvorce 2x2. Existuje jeden magický štvorec 3x3, pretože zvyšok magických štvorcov 3x3 sa z neho získa buď rotáciou okolo stredu alebo odrazom okolo jednej z jeho osí symetrie.
Existuje 8 rôznych spôsobov, ako usporiadať prirodzené čísla od 1 do 9 do magického štvorca 3x3:
- 9+5+1
- 9+4+2
- 8+6+2
- 8+5+2
- 8+4+3
- 7+6+2
- 7+5+3
- 6+5+4
V magickom štvorci 3x3 sa magická konštanta 15 musí rovnať súčtu troch čísel v 8 smeroch: 3 riadky, 3 stĺpce a 2 uhlopriečky. Keďže číslo v strede patrí 1 riadku, 1 stĺpcu a 2 uhlopriečkam, je zahrnuté v 4 z 8 trojíc, ktoré spolu tvoria magickú konštantu. Takéto číslo je len jedno: je to 5. Preto je číslo v strede magického štvorca 3x3 už známe: rovná sa 5.
Zoberme si číslo 9. Je zahrnuté iba v 2 trojiciach čísel. Nemôžeme to umiestniť do rohu, pretože každá rohová bunka patrí do 3 trojíc: riadok, stĺpec a uhlopriečka. Preto musí byť číslo 9 v nejakej bunke susediacej so stranou štvorca v jeho strede. Kvôli symetrii štvorca je jedno, ktorú stranu si vyberieme, preto nad číslo 5 do stredovej bunky napíšeme 9. Na obe strany deviatky v hornom riadku môžeme zadať iba čísla 2 a 4. Ktoré z týchto dvoch čísel bude v pravom hornom rohu a ktoré v ľavom, opäť je jedno, keďže jedno usporiadanie čísla pri zrkadlení prechádzajú do iného . Zvyšné bunky sa vyplnia automaticky. Naša jednoduchá konštrukcia magického štvorca 3x3 dokazuje jeho jedinečnosť.
Takýto magický štvorec bol symbolom veľkého významu medzi starými Číňanmi. Číslo 5 v strede znamenalo zem a okolo nej boli v prísnej rovnováhe oheň (2 a 7), voda (1 a 6),
drevo (3 a 8), kov (4 a 9).
Ako sa veľkosť štvorca (počet buniek) zvyšuje, počet možných magických štvorcov tejto veľkosti rýchlo rastie. Existuje 880 magických štvorcov rádu 4 a 275 305 224 magických políčok rádu 5. Navyše, v stredoveku boli známe polia 5x5. Napríklad moslimovia boli k takémuto štvorcu s číslom 1 v strede veľmi úctiví, pretože ho považovali za symbol jednoty Alaha.
Kúzelné námestie Pytagoras
Veľký vedec Pytagoras, ktorý založil náboženskú a filozofickú doktrínu, ktorá hlásala kvantitatívne vzťahy za základ podstaty vecí, veril, že podstata človeka spočíva aj v čísle - dátume narodenia. Preto pomocou magického štvorca Pytagoras možno poznať charakter človeka, stupeň uvoľneného zdravia a jeho potenciál, odhaliť výhody a nevýhody, a tým určiť, čo je potrebné urobiť na jeho zlepšenie.
Aby som pochopil, čo je magický štvorec Pytagoras a ako sa počítajú jeho ukazovatele, vypočítam ho pomocou vlastného príkladu. A aby som sa uistil, že výsledky výpočtu skutočne zodpovedajú skutočnému charakteru toho či onoho človeka, overím si to najskôr na sebe. K tomu urobím výpočet podľa dátumu narodenia. Takže môj dátum narodenia je 20.8.1986. Sčítajme čísla dňa, mesiaca a roku narodenia (okrem núl): 2+8+1+9+8+6=34. Potom pridajte čísla výsledku: 3 + 4 = 7. Potom od prvého súčtu odpočítame zdvojnásobenú prvú číslicu narodenín: 34-4=30. A znova pridajte čísla posledného čísla:
3+0=3. Zostáva urobiť posledné sčítanie - 1. a 3. a 2. a 4. súčet: 34+30=64, 7+3=10. Dostali sme čísla 20.08.1986,34,7,30, 64,10.
a urobte magický štvorec tak, aby všetky jednotky týchto čísel boli zahrnuté v bunke 1, všetky dvojky boli v bunke 2 atď. Nuly sa neberú do úvahy. V dôsledku toho bude môj štvorec vyzerať takto:
Bunky štvorca znamenajú:
Bunka 1 - cieľavedomosť, vôľa, vytrvalosť, sebectvo.
- 1 - úplní egoisti, snažte sa získať maximálny úžitok z akejkoľvek situácie.
- 11 - postava blízka egoizmu.
- 111 - "zlatý priemer". Povaha je pokojná, flexibilná, spoločenská.
- 1111 - ľudia silného charakteru, so silnou vôľou. Muži s takýmto charakterom sa hodia do roly vojenských profesionálov a ženy držia rodinu v päste.
- 11111 - diktátor, tyran.
- 111111 - krutá osoba, schopná urobiť nemožné; často spadá pod vplyv nejakej myšlienky.
Bunka 2 - bioenergetika, emocionalita, úprimnosť, zmyselnosť. Počet dvojok určuje úroveň bioenergetiky.
Neexistujú žiadne dvojky - kanál pre intenzívny súbor bioenergetiky je otvorený. Títo ľudia sú od prírody vzdelaní a ušľachtilí.
- 2 - bežní ľudia z hľadiska bioenergetiky. Takíto ľudia sú veľmi citliví na zmeny v atmosfére.
- 22 - pomerne veľká zásoba bioenergie. Z takýchto ľudí sú dobrí lekári, sestry, sanitári. V rodine takýchto ľudí má zriedkavo niekto nervový stres.
- 222 je znakom psychiky.
Bunka 3 - presnosť, špecifickosť, organizácia, presnosť, dochvíľnosť, čistota, lakomosť, tendencia neustále „obnovovať spravodlivosť“.
Rast trojčiat zvyšuje všetky tieto vlastnosti. Pri nich má človek zmysel hľadať sa vo vedách, najmä v tých exaktných. Prevaha trojíc dáva vznik pedantom, ľuďom v prípade.
Bunka 4 – zdravie. Môže za to egregor, teda energetický priestor vyvinutý predkami a chrániaci človeka. Absencia štvoriek naznačuje bolestivosť človeka.
- 4 - priemerné zdravie, je potrebné temperovať telo. Odporúčané športy sú plávanie a beh.
- 44 - dobrý zdravotný stav.
- 444 a viac - ľudia s veľmi dobrým zdravotným stavom.
Bunka 5 - intuícia, jasnozrivosť, ktorá sa u takýchto ľudí začína prejavovať už na úrovni troch pätiek.
Neexistujú žiadne päťky - komunikačný kanál s priestorom je uzavretý. Títo ľudia sú často
sa mýlia.
- 5 - komunikačný kanál je otvorený. Títo ľudia vedia správne vypočítať situáciu, aby z nej vyťažili maximum.
- 55 - vysoko rozvinutá intuícia. Keď vidia „prorocké sny“, vedia predpovedať priebeh udalostí. Vhodné sú pre nich profesie právnik, vyšetrovateľ.
- 555 - takmer jasnovidec.
- 5555 - jasnovidci.
Bunka 6 - uzemnenosť, vecnosť, vypočítavosť, sklon ku kvantitatívnemu vývoju sveta a nedôvera ku kvalitatívnym skokom a ešte viac k zázrakom duchovného poriadku.
Neexistujú žiadne šestky - títo ľudia potrebujú fyzickú prácu, hoci to zvyčajne nemajú radi. Sú obdarení mimoriadnou predstavivosťou, fantáziou, umeleckým vkusom. Jemné povahy, napriek tomu sú schopné akcie.
- 6 - môže sa venovať tvorivosti alebo exaktným vedám, ale fyzická práca je predpokladom existencie.
- 66 - ľudia sú veľmi uzemnení, priťahovaní k fyzickej práci, hoci to pre nich nie je povinné; duševná aktivita alebo hodiny umenia sú žiaduce.
- 666 - znamenie Satana, zvláštne a zlovestné znamenie. Títo ľudia majú vysoký temperament, sú očarujúci a vždy sa stávajú stredobodom pozornosti spoločnosti.
- 6666 - títo ľudia vo svojich predchádzajúcich inkarnáciách získali príliš veľa uzemnenia, pracovali veľmi tvrdo a nevedia si predstaviť svoj život bez práce. Ak ich štvorec má
deviataci, určite sa potrebujú venovať duševnej činnosti, rozvíjať inteligenciu, získať aspoň vyššie vzdelanie.
Bunka 7 - počet sedmičiek určuje mieru talentu.
- 7 - čím viac pracujú, tým viac potom dostanú.
- 77 - veľmi nadaní, hudobní ľudia, majú jemný umelecký vkus, môžu mať sklony k výtvarnému umeniu.
- 777 - títo ľudia spravidla prichádzajú na Zem na krátky čas. Sú láskaví, vyrovnaní, bolestne vnímajú akúkoľvek nespravodlivosť. Sú citliví, radi snívajú, nie vždy cítia realitu.
- 7777 je znamením anjela. Ľudia s týmto znamením zomierajú v detstve a ak žijú, potom sú ich životy neustále v ohrození.
Bunka 8 - karma, povinnosť, povinnosť, zodpovednosť. Počet osmičiek určuje mieru zmyslu pre povinnosť.
Neexistujú žiadne osmičky - týmto ľuďom takmer úplne chýba zmysel pre povinnosť.
- 8 - zodpovedné, svedomité, presné povahy.
- 88 - títo ľudia majú vyvinutý zmysel pre povinnosť, vždy sa vyznačujú túžbou pomáhať druhým, najmä slabým, chorým, osamelým.
- 888 - znak veľkej povinnosti, znak služby ľuďom. Pravítko s tromi osmičkami dosahuje vynikajúce výsledky.
- 8888 - títo ľudia majú parapsychologické schopnosti a výnimočnú náchylnosť k exaktným vedám. Nadprirodzené cesty sú im otvorené.
Bunka 9 - myseľ, múdrosť. Absencia deviatakov je dôkazom toho, že mentálne schopnosti sú extrémne obmedzené.
- 9 – títo ľudia musia celý život tvrdo pracovať, aby nahradili nedostatok inteligencie.
- 99 - títo ľudia sú múdri od narodenia. Vždy sa zdráhajú učiť, pretože vedomosti sa im dávajú ľahko. Sú obdarení zmyslom pre humor s ironickým nádychom, nezávislí.
- 999 sú veľmi šikovní. Na učenie nie je vynaložené žiadne úsilie. Skvelí partneri.
- 9999 - týmto ľuďom je odhalená pravda. Ak majú rozvinutú aj intuíciu, potom majú záruku, že nezlyhajú v akomkoľvek ich snažení. S tým všetkým sú zvyčajne celkom príjemní, pretože bystrá myseľ ich robí hrubými, nemilosrdnými a krutými.
Takže po zostavení magického štvorca Pythagoras a poznaní významu všetkých kombinácií čísel zahrnutých v jeho bunkách budete schopní primerane oceniť vlastnosti svojej povahy, ktoré obdarila matka príroda.
latinské štvorce
Napriek tomu, že matematikov zaujímali najmä magické štvorce, latinské štvorce našli najväčšie uplatnenie vo vede a technike.
Latinský štvorec je štvorec nxn buniek, v ktorom sú zapísané čísla 1, 2, ..., n, navyše tak, že všetky tieto čísla sa v každom riadku a každom stĺpci vyskytujú raz. Obrázok 3 zobrazuje dva takéto štvorce 4x4. Majú zaujímavú vlastnosť: ak je jeden štvorec prekrytý druhým, všetky dvojice výsledných čísel sa ukážu byť odlišné. Takéto dvojice latinských štvorcov sa nazývajú ortogonálne.
Úlohu nájsť ortogonálne latinské štvorce si ako prvý stanovil L. Euler, a to v takejto zábavnej formulácii: „Medzi 36 dôstojníkmi sú rovnako kopijníci, dragúni, husári, kyrysári, gardisti jazdectva a granátnici a navyše rovnako generáli. , plukovníkov, majorov, kapitánov, poručíkov a podporučíkov a každú služobnú zložku zastupujú dôstojníci všetkých šiestich hodností. Je možné zoradiť všetkých dôstojníkov do štvorca 6 x 6 tak, aby sa dôstojníci všetkých hodností stretli v ľubovoľnom stĺpci a ľubovoľnej línii?
Euler nedokázal nájsť riešenie tohto problému. V roku 1901 sa ukázalo, že takéto riešenie neexistuje. Euler zároveň dokázal, že ortogonálne dvojice latinských štvorcov existujú pre všetky nepárne hodnoty n a pre párne hodnoty n, ktoré sú deliteľné 4. Euler vyslovil hypotézu, že pre zvyšné hodnoty n, tj. , ak číslo n pri delení 4 dáva zvyšok 2, neexistujú žiadne ortogonálne štvorce. V roku 1901 sa dokázalo, že ortogonálne štvorce 6 6 neexistujú, čo zvýšilo dôveru v platnosť Eulerovej domnienky. V roku 1959 sa však pomocou počítača našli prvé ortogonálne štvorce 10x10, potom 14x14, 18x18, 22x22. A potom sa ukázalo, že pre každé n okrem 6 existuje nxn ortogonálnych štvorcov.
Magické a latinské štvorce sú blízkymi príbuznými. Nech máme dva ortogonálne štvorce. Vyplňte bunky nového štvorca rovnakej veľkosti nasledovne. Dajme tam číslo n(a - 1) + b, kde a je číslo v takejto bunke prvého štvorca a b je číslo v tej istej bunke druhého štvorca. Je ľahké pochopiť, že vo výslednom štvorci budú súčty čísel v riadkoch a stĺpcoch (ale nie nevyhnutne na uhlopriečkach) rovnaké.
Teória latinských štvorcov našla množstvo aplikácií ako v samotnej matematike, tak aj v jej aplikáciách. Vezmime si príklad. Predpokladajme, že chceme testovať 4 odrody pšenice na produktivitu v danej oblasti a chceme zohľadniť vplyv miery riedkosti plodín a vplyv dvoch druhov hnojív. K tomu si rozdelíme štvorcový pozemok na 16 parciel (obr. 4). Prvú odrodu pšenice vysadíme na pozemky zodpovedajúce spodnému vodorovnému pruhu, ďalšiu odrodu - na štyri pozemky zodpovedajúce ďalšiemu pruhu atď. (na obrázku je odroda označená farbou). V tomto prípade nech je maximálna hustota výsevu na tých pozemkoch, ktoré zodpovedajú ľavému zvislému stĺpcu obrázku, a pri pohybe doprava sa zníži (na obrázku to zodpovedá zníženiu intenzity farby). Čísla v bunkách obrázku, nech znamenajú:
prvý je počet kilogramov hnojiva prvého typu aplikovaného na túto plochu a druhý je množstvo aplikovaného hnojiva druhého typu. Je ľahké pochopiť, že v tomto prípade sú realizované všetky možné dvojice kombinácií odrody a hustoty výsevu a ďalších komponentov: odroda a hnojivá prvého typu, hnojivá prvého a druhého typu, hustota a hnojivá druhého typu. .
Použitie ortogonálnych latinských štvorcov pomáha brať do úvahy všetky možné možnosti v experimentoch v poľnohospodárstve, fyzike, chémii a technike.
štvorcová mágia pytagoras latinčina
Záver
Táto esej sa zaoberá otázkami súvisiacimi s históriou vývoja jedného z problémov matematiky, ktorý zamestnával mysle toľkých veľkých ľudí - magických štvorcov. Napriek tomu, že samotné magické štvorce nenašli široké uplatnenie vo vede a technike, inšpirovali mnohých vynikajúcich ľudí k štúdiu matematiky a prispeli k rozvoju ďalších odvetví matematiky (teória grúp, determinantov, matíc atď.).
Najbližší príbuzní magických štvorcov, latinské štvorce, našli početné uplatnenie ako v matematike, tak aj v jej aplikáciách pri nastavovaní a spracovávaní výsledkov experimentov. Abstrakt poskytuje príklad nastavenia takéhoto experimentu.
Abstrakt tiež uvažuje o otázke námestia Pythagoras, ktorá je historicky zaujímavá a možno užitočná na zostavenie psychologického portrétu osoby.
Bibliografia
- 1. Encyklopedický slovník mladého matematika. M., "Pedagogika", 1989.
- 2. M. Gardner "Cestovanie v čase", M., "Mir", 1990.
- 3. Telesná kultúra a šport č.10,1998
