Plochy geometrických útvarov sú číselné hodnoty charakterizujúce ich veľkosť v dvojrozmernom priestore. Túto hodnotu možno merať v systémových a nesystémových jednotkách. Takže napríklad mimosystémová jednotka plochy je sto, hektár. Toto je prípad, ak je meraným povrchom pozemok. Systémová jednotka plochy je štvorec dĺžky. V systéme SI je obvyklé uvažovať, že jednotka plochy rovného povrchu je meter štvorcový. V CGS je jednotka plochy vyjadrená v centimetroch štvorcových.

Geometrické a plošné vzorce sú neoddeliteľne spojené. Táto súvislosť spočíva v tom, že výpočet plôch plošných útvarov je založený práve na ich aplikácii. Pre mnohé figúry je odvodených niekoľko možností, podľa ktorých sa vypočítavajú ich štvorcové veľkosti. Na základe údajov z výpisu problému vieme určiť najjednoduchší spôsob jeho riešenia. To uľahčuje výpočet a znižuje pravdepodobnosť chýb vo výpočte na minimum. Ak to chcete urobiť, zvážte hlavnú oblasť figúr v geometrii.

Vzorce na nájdenie oblasti akéhokoľvek trojuholníka sú prezentované niekoľkými spôsobmi:

1) Plocha trojuholníka sa vypočíta zo základne a a výšky h. Základňa je strana postavy, na ktorej je výška znížená. Potom je plocha trojuholníka:

2) Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta presne rovnakým spôsobom, ak sa prepona považuje za základňu. Ak sa však noha vezme ako základ, potom sa plocha pravouhlého trojuholníka bude rovnať súčinu polovičných nôh.

Vzorce na výpočet plochy akéhokoľvek trojuholníka tam nekončia. Iný výraz obsahuje strany a,b a sínusovú funkciu uhla γ medzi a a b. Hodnotu sínusu nájdete v tabuľkách. Dá sa to zistiť aj pomocou kalkulačky. Potom je plocha trojuholníka:

Podľa tejto rovnosti sa môžete tiež uistiť, že oblasť pravouhlého trojuholníka je určená dĺžkami nôh. Pretože uhol γ je pravý uhol, takže plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta bez násobenia funkciou sínus.

3) Uvažujme špeciálny prípad - pravidelný trojuholník, v ktorom stranu a poznáme podľa podmienky alebo pri riešení nájdeme jeho dĺžku. O figúre v úlohe geometrie nie je známe nič viac. Ako potom nájsť oblasť v tomto stave? V tomto prípade sa použije vzorec pre oblasť pravidelného trojuholníka:

Obdĺžnik

Ako nájsť oblasť obdĺžnika a použiť rozmery strán, ktoré majú spoločný vrchol? Výraz pre výpočet je:

Ak chcete použiť dĺžky uhlopriečok na výpočet plochy obdĺžnika, potom potrebujete sínusovú funkciu uhla vytvoreného pri ich pretínaní. Vzorec pre oblasť obdĺžnika je:

Námestie

Plocha štvorca je definovaná ako druhá mocnina dĺžky strany:

Dôkaz vyplýva z definície, že obdĺžnik sa nazýva štvorec. Všetky strany tvoriace štvorec majú rovnaké rozmery. Výpočet plochy takého obdĺžnika sa preto zredukuje na násobenie jeden po druhom, t.j. na druhú mocninu strany. A vzorec na výpočet plochy štvorca bude mať požadovanú formu.

Plochu štvorca možno nájsť iným spôsobom, napríklad ak použijete uhlopriečku:

Ako vypočítať plochu obrazca, ktorý je tvorený časťou roviny ohraničenej kruhom? Na výpočet plochy platia tieto vzorce:

Paralelogram

Pre rovnobežník obsahuje vzorec lineárne rozmery strany, výšku a matematickú operáciu - násobenie. Ak výška nie je známa, ako potom nájsť oblasť rovnobežníka? Existuje aj iný spôsob výpočtu. Vyžaduje sa určitá hodnota, ktorú získa trigonometrická funkcia uhla, ktorý zvierajú susedné strany, ako aj ich dĺžka.

Vzorce pre oblasť rovnobežníka sú:

Rhombus

Ako nájsť oblasť štvoruholníka nazývaného kosoštvorec? Plocha kosoštvorca sa určuje pomocou jednoduchých matematických operácií s uhlopriečkami. Dôkaz sa opiera o skutočnosť, že diagonálne segmenty na d1 a d2 sa pretínajú v pravých uhloch. Tabuľka sínusov ukazuje, že pre pravý uhol sa táto funkcia rovná jednej. Preto sa plocha kosoštvorca vypočíta takto:

Oblasť kosoštvorca možno nájsť aj iným spôsobom. Tiež to nie je ťažké dokázať, keďže jeho strany sú rovnako dlhé. Potom ich súčin nahraďte podobným výrazom pre rovnobežník. Koniec koncov, špeciálnym prípadom tejto konkrétnej postavy je kosoštvorec. Tu je γ vnútorný uhol kosoštvorca. Plocha kosoštvorca sa určuje takto:

Hrazda

Ako nájsť oblasť lichobežníka cez základne (a a b), ak sú ich dĺžky uvedené v probléme? Tu, bez známej hodnoty dĺžky h, nebude možné vypočítať plochu takéhoto lichobežníka. Pretože táto hodnota obsahuje výraz pre výpočet:

Rovnakým spôsobom možno vypočítať aj štvorcový rozmer obdĺžnikového lichobežníka. Zároveň sa berie do úvahy, že v obdĺžnikovom lichobežníku sa kombinujú pojmy výška a strana. Preto pre obdĺžnikový lichobežník musíte namiesto výšky zadať dĺžku strany.

Valec a rovnobežnosten

Zvážte, čo je potrebné na výpočet povrchu celého valca. Oblasť tohto obrázku je dvojica kruhov, nazývaných základne, a bočný povrch. Kruhy tvoriace kruhy majú polomer dĺžky r. Pre plochu valca sa vykoná nasledujúci výpočet:

Ako nájsť oblasť rovnobežnostena, ktorý pozostáva z troch párov plôch? Jeho merania sú v súlade s konkrétnym párom. Tváre, ktoré sú oproti sebe, majú rovnaké parametre. Najprv nájdite S(1), S(2), S(3) - štvorcové rozmery nerovnakých plôch. Potom povrchová plocha rovnobežnostena:

Zazvoniť

Dva kruhy so spoločným stredom tvoria krúžok. Obmedzujú tiež oblasť prsteňa. V tomto prípade oba vzorce výpočtu zohľadňujú rozmery každého kruhu. Prvý, ktorý počíta plochu prstenca, obsahuje väčšie polomery R a menšie polomery r. Častejšie sa nazývajú vonkajšie a vnútorné. V druhom výraze sa plocha kruhu vypočíta pomocou väčšieho priemeru D a menšieho priemeru d. Plocha krúžku podľa známych polomerov sa teda vypočíta takto:

Plocha krúžku sa pomocou dĺžok priemerov určuje takto:

Polygón

Ako nájsť oblasť mnohouholníka, ktorého tvar nie je správny? Neexistuje žiadny všeobecný vzorec pre oblasť takýchto čísel. Ale ak je to znázornené napríklad na súradnicovej rovine, môže to byť kockovaný papier, ako potom v tomto prípade nájsť plochu? Tu používajú metódu, ktorá nevyžaduje približne meranie postavy. Robia to takto: ak nájdu body, ktoré spadajú do rohu bunky alebo majú celočíselné súradnice, berú sa do úvahy iba tie. Ak chcete zistiť, o akú oblasť ide, použite vzorec, ktorý dokázal Pick. Je potrebné pripočítať počet bodov umiestnených vo vnútri lomenej čiary s polovicou bodov, ktoré na nej ležia, a jeden odpočítať, t. j. vypočíta sa takto:

kde C, D - počet bodov umiestnených vo vnútri a na celej lomenej čiare.

Na vyriešenie problémov v geometrii potrebujete poznať vzorce - ako je oblasť trojuholníka alebo oblasť rovnobežníka - ako aj jednoduché triky, o ktorých budeme hovoriť.

Najprv sa naučme vzorce pre oblasti obrázkov. Špeciálne sme ich zhromaždili v pohodlnej tabuľke. Tlačte, učte sa a aplikujte!

Samozrejme, nie všetky geometrické vzorce sú v našej tabuľke. Napríklad na riešenie problémov v geometrii a stereometrii v druhej časti profilovej skúšky z matematiky sa používajú aj iné vzorce pre oblasť trojuholníka. Určite vám o nich povieme.

Ale čo keď potrebujete nájsť nie oblasť lichobežníka alebo trojuholníka, ale oblasť nejakej zložitej postavy? Existujú univerzálne spôsoby! Ukážeme si ich na príkladoch z banky úloh FIPI.

1. Ako nájsť oblasť neštandardnej postavy? Napríklad ľubovoľný štvoruholník? Jednoduchá technika – rozložme túto postavu na tie, o ktorých všetci vieme, a nájdime jej plochu – ako súčet plôch týchto figúrok.

Rozdeľte tento štvoruholník vodorovnou čiarou na dva trojuholníky so spoločnou základňou rovnajúcou sa . Výšky týchto trojuholníkov sú A . Potom sa plocha štvoruholníka rovná súčtu plôch dvoch trojuholníkov: .

Odpoveď: .

2. V niektorých prípadoch môže byť oblasť obrázku reprezentovaná ako rozdiel akýchkoľvek oblastí.

Nie je také ľahké vypočítať, čomu sa rovná základňa a výška v tomto trojuholníku! Môžeme však povedať, že jeho obsah sa rovná rozdielu medzi plochami štvorca so stranou a tromi pravouhlými trojuholníkmi. Vidíte ich na obrázku? Dostaneme: .

Odpoveď: .

3. Niekedy je v úlohe potrebné nájsť oblasť nie celej postavy, ale jej časti. Zvyčajne hovoríme o oblasti sektora - časti kruhu. Nájdite oblasť sektora kruhu s polomerom, ktorého dĺžka oblúka sa rovná .

Na tomto obrázku vidíme časť kruhu. Plocha celého kruhu sa rovná , pretože . Zostáva zistiť, ktorá časť kruhu je zobrazená. Keďže dĺžka celého kruhu je (od) a dĺžka oblúka tohto sektora je , preto je dĺžka oblúka niekoľkonásobne menšia ako dĺžka celého kruhu. Uhol, na ktorom tento oblúk spočíva, je tiež krát menší ako celý kruh (to znamená stupne). To znamená, že plocha sektora bude niekoľkonásobne menšia ako plocha celého kruhu.

Poznatky o tom, ako merať Zem, sa objavili v staroveku a postupne sa formovali vo vede o geometrii. Z gréckeho jazyka sa toto slovo prekladá ako „meračstvo pôdy“.

Mierou dĺžky rovnej oblasti Zeme v dĺžke a šírke je plocha. V matematike sa zvyčajne označuje latinským písmenom S (z anglického "square" - "plocha", "štvorec") alebo gréckym písmenom σ (sigma). S označuje plochu obrazca na rovine alebo povrch tela a σ je plocha prierezu drôtu vo fyzike. Toto sú hlavné symboly, hoci môžu existovať aj iné, napríklad v oblasti pevnosti materiálov, A je plocha prierezu profilu.

V kontakte s

Výpočtové vzorce

Keď poznáte oblasti jednoduchých postáv, môžete nájsť parametre zložitejších.. Starovekí matematici vyvinuli vzorce, pomocou ktorých sa dajú ľahko vypočítať. Takéto postavy sú trojuholník, štvoruholník, mnohouholník, kruh.

Ak chcete nájsť oblasť komplexnej plochej postavy, je rozdelená do mnohých jednoduchých tvarov, ako sú trojuholníky, lichobežníky alebo obdĺžniky. Potom matematické metódy odvodia vzorec pre oblasť tohto obrázku. Podobná metóda sa používa nielen v geometrii, ale aj v matematickej analýze na výpočet plôch útvarov ohraničených krivkami.

Trojuholník

Začnime s najjednoduchším tvarom - trojuholníkom. Sú pravouhlé, rovnoramenné a rovnostranné. Vezmite ľubovoľný trojuholník ABC so stranami AB=a, BC=ba AC=c (∆ ABC). Aby sme našli jeho oblasť, pripomeňme si vety o sínusoch a kosínusoch známe zo školského kurzu matematiky. Po opustení všetkých výpočtov sa dostaneme k nasledujúcim vzorcom:

• S=√ - všetkým známy Heronov vzorec, kde p=(a+b+c)/2 - polovica obvodu trojuholníka;
• S=a h/2, kde h je výška znížená na stranu a;
• S=a b (sin γ)/2, kde γ je uhol medzi stranami a a b;
• S=a b/2 ak ∆ ABC je pravouhlý (tu a a b sú nohy);
• S=b² (sin (2 β))/2 ak ∆ ABC je rovnoramenné (tu b je jedna z „bokov“, β je uhol medzi „bokami“ trojuholníka);
• S=a² √¾, ak ∆ ABC je rovnostranné (tu a je strana trojuholníka).

Štvoruholník

Nech existuje štvoruholník ABCD s AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Na nájdenie plochy S ľubovoľného 4-uholníka je potrebné rozdeliť ho uhlopriečkou na dva trojuholníky, ktorých obsahy S1 a S2 sa vo všeobecnosti nerovnajú.

Potom ich pomocou vzorcov vypočítajte a spočítajte, t. j. S=S1+S2. Ak však štvorkolka patrí do určitej triedy, jej oblasť možno nájsť pomocou predtým známych vzorcov:

• S=(a+c) h/2=eh, ak je štvorica lichobežník (tu a a c sú základne, e je stredná čiara lichobežníka, h je výška znížená k jednej zo základov lichobežníka ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ak ABCD je rovnobežník (tu φ je uhol medzi stranami a a b, h je výška znížená na stranu a, d1 a d2 sú uhlopriečky);
• S=a b=d²/2 ak ABCD je obdĺžnik (d je uhlopriečka);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 ak ABCD je kosoštvorec (a je strana kosoštvorca, φ je jeden z jeho rohov, P je obvod);
• S=a²=P²/16=d²/2, ak ABCD je štvorec.

Polygón

Na nájdenie oblasti n-uholníka ho matematici rozložia na najjednoduchšie rovnaké trojuholníky, nájdu obsah každého z nich a potom ich spočítajú. Ak však mnohouholník patrí do triedy bežných, použije sa vzorec:

S=anh/2=a² n/=P²/, kde n je počet vrcholov (alebo strán) mnohouholníka, a je strana n-uholníka, P je jeho obvod, h je apotém, tj. segment nakreslený od stredu mnohouholníka k jednej z jeho strán pod uhlom 90°.

Kruh

Kruh je dokonalý mnohouholník s nekonečným počtom strán.. Musíme vypočítať limitu výrazu napravo vo vzorci oblasti mnohouholníka s počtom strán n smerujúcim k nekonečnu. V tomto prípade sa obvod mnohouholníka zmení na dĺžku kruhu s polomerom R, ktorý bude hranicou našej kružnice, a bude rovný P=2 π R. Dosaďte tento výraz do vyššie uvedeného vzorca. Dostaneme:

S = (π2 R2 cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Nájdite limitu tohto výrazu ako n→∞. Aby sme to dosiahli, berieme do úvahy, že lim (cos (180°/n)) pre n→∞ sa rovná cos 0°=1 (lim je znamienko limity) a lim = lim pre n→∞ je rovná 1/π (mieru stupňov sme preložili na radián pomocou pomeru π rad=180° a použili sme prvú pozoruhodnú hranicu lim (sin x)/x=1 pri x→∞). Nahradením získaných hodnôt do posledného výrazu pre S sa dostaneme k známemu vzorcu:

S=π2R21(1/π)=πR2.

Jednotky

Používajú sa systémové a nesystémové jednotky merania. Systémové jednotky sa označujú ako SI (System International). Toto je meter štvorcový (meter štvorcový, m²) a z neho odvodené jednotky: mm², cm², km².

V štvorcových milimetroch (mm²), napríklad, merajú prierez drôtov v elektrotechnike, v štvorcových centimetroch (cm²) - prierez lúča v stavebnej mechanike, v štvorcových metroch (m² ) - byt alebo dom v štvorcových kilometroch (km²) - územie v geografii.

Niekedy sa však používajú nesystémové jednotky merania, ako napríklad: tkanie, ar (a), hektár (ha) a aker (ac). Dávame nasledujúce pomery:

• 1 väzba \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 ha = 100 a = 100 akrov = 10 000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
• 1 ak = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 akrov = 0,405 ha.

Plošný vzorec je potrebné určiť plochu obrazca, čo je funkcia skutočnej hodnoty definovaná na určitej triede obrazcov v euklidovskej rovine a spĺňajúca 4 podmienky:

1. Pozitívny – plocha nemôže byť menšia ako nula;
2. normalizácia - štvorec so stranou jednoty má plochu 1;
3. Kongruencia - zhodné čísla majú rovnakú plochu;
4. Aditivita - plocha spojenia 2 číslic bez spoločných vnútorných bodov sa rovná súčtu plôch týchto číslic.

Vzorce pre oblasť geometrických tvarov.

Geometrický obrazec	Vzorec	Kreslenie
Výsledok sčítania vzdialeností medzi stredmi protiľahlých strán konvexného štvoruholníka sa bude rovnať jeho semiperimetru.
Kruhový sektor. Plocha sektora kruhu sa rovná súčinu jeho oblúka a polovice polomeru.
kruhový segment. Na získanie plochy segmentu ASB stačí odpočítať plochu trojuholníka AOB od oblasti sektora AOB.	S = 1/2 R(s - AC)
Plocha elipsy sa rovná súčinu dĺžok hlavnej a vedľajšej poloosi elipsy krát pi.
Elipsa. Ďalšou možnosťou, ako vypočítať plochu elipsy, sú jej dva polomery.
Trojuholník. Cez základňu a výšku. Vzorec pre oblasť kruhu z hľadiska jeho polomeru a priemeru.
Námestie . Cez jeho stranu. Plocha štvorca sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
Námestie. Cez jeho uhlopriečku. Plocha štvorca je polovica štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.
pravidelný mnohouholník. Na určenie plochy pravidelného mnohouholníka je potrebné rozdeliť ho na rovnaké trojuholníky, ktoré by mali spoločný vrchol v strede vpísanej kružnice.	S = r p = 1/2 r n a

Geometrická oblasť- číselná charakteristika geometrického útvaru znázorňujúca veľkosť tohto útvaru (časť plochy ohraničená uzavretým obrysom tohto útvaru). Veľkosť plochy je vyjadrená počtom v nej obsiahnutých štvorcových jednotiek.

Vzorce oblasti trojuholníka

1. Vzorec plochy trojuholníka pre stranu a výšku
   Oblasť trojuholníka rovná polovici súčinu dĺžky strany trojuholníka a dĺžky nadmorskej výšky nakreslenej na túto stranu
   
2. Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom opísanej kružnice
   
3. Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom vpísanej kružnice
   Oblasť trojuholníka sa rovná súčinu polovice obvodu trojuholníka a polomeru vpísanej kružnice.
   
kde S je plocha trojuholníka,
- dĺžky strán trojuholníka,
- výška trojuholníka,
- uhol medzi stranami a,
- polomer vpísanej kružnice,
R - polomer opísanej kružnice,

Vzorce štvorcovej oblasti

1. Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou strany
   štvorcová plocha sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
2. Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou uhlopriečky
   štvorcová plocha rovná polovici štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.
   

   S=	1	2
   	2

kde S je plocha štvorca,
je dĺžka strany štvorca,
je dĺžka uhlopriečky štvorca.

Vzorec oblasti obdĺžnika

Oblasť obdĺžnika sa rovná súčinu dĺžok jeho dvoch susedných strán

kde S je plocha obdĺžnika,
sú dĺžky strán obdĺžnika.

Vzorce pre oblasť rovnobežníka

1. Vzorec plochy rovnobežníka pre dĺžku a výšku strany
   Plocha rovnobežníka
2. Vzorec pre oblasť rovnobežníka s dvoma stranami a uhlom medzi nimi
   Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu dĺžok jej strán vynásobených sínusom uhla medzi nimi.
   

   a b sinα

kde S je plocha rovnobežníka,
sú dĺžky strán rovnobežníka,
je výška rovnobežníka,
je uhol medzi stranami rovnobežníka.

Vzorce pre oblasť kosoštvorca

1. Vzorec plochy kosoštvorca daný dĺžkou a výškou strany
   Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu dĺžky jeho strany a dĺžky výšky zníženej na túto stranu.
2. Vzorec pre oblasť kosoštvorca daný dĺžkou strany a uhlom
   Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu druhej mocniny dĺžky jej strany a sínusu uhla medzi stranami kosoštvorca.
3. Vzorec pre oblasť kosoštvorca z dĺžok jeho uhlopriečok
   Oblasť kosoštvorca sa rovná polovici súčinu dĺžok jej uhlopriečok.
kde S je plocha kosoštvorca,
- dĺžka strany kosoštvorca,
- dĺžka výšky kosoštvorca,
- uhol medzi stranami kosoštvorca,
1, 2 - dĺžky uhlopriečok.

Vzorce pre oblasť lichobežníka

1. Heronov vzorec pre lichobežník

   Kde S je oblasť lichobežníka,
   - dĺžka základov lichobežníka,
   - dĺžka strán lichobežníka,