§ 1 Rýchlosť konvergencie a rýchlosť odstraňovania

V tejto lekcii sa zoznámime s pojmami ako „miera konvergencie“ a „miera odstránenia“.

Aby sme sa zoznámili s pojmami „rýchlosť približovania“ a „rýchlosť odstraňovania“, uvažujme o 4 skutočných situáciách.

Z dvoch miest vyrazili naraz dve autá oproti sebe. Rýchlosť prvého auta ʋ1 = 120 km/h a rýchlosť druhého auta ʋ2 = 80 km/h. Zmenšuje sa vzdialenosť medzi autami? Ak áno, ako rýchlo?

Z obrázku je vidieť, že sa blížia dve autá, idúce k sebe. To znamená, že vzdialenosť medzi nimi sa zmenšuje. Ak chcete zistiť, akou rýchlosťou sa vzdialenosť medzi autami skracuje alebo akou rýchlosťou sa dve autá približujú, je potrebné pripočítať rýchlosť toho druhého k rýchlosti prvého auta. Totiž nájazdová rýchlosť sa rovná súčtu rýchlostí prvého a druhého auta: ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2.

Poďme zistiť rýchlosť konvergencie týchto áut:

To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa znižuje pri rýchlosti 200 km/h. Zoberme si druhú situáciu.

Z dvoch miest v jednom smere vyšli naraz dve autá. Rýchlosť prvého auta ʋ1 = 120 km/h a rýchlosť druhého auta ʋ2 = 80 km/h. Zväčšuje sa alebo zmenšuje sa vzdialenosť medzi autami a o koľko?

Znázornime pohyb týchto áut na súradnicovom lúči.

Z obrázku je vidieť, že prvé auto sa pohybuje rýchlejšie ako druhé auto alebo sa pohybuje pri prenasledovaní druhého auta. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa zníži. Ak chcete zistiť, ako rýchlo sa vzdialenosť medzi autami skracuje, alebo ako rýchlo sa k sebe dve autá približujú, odpočítajte rýchlosť druhého auta od rýchlosti prvého auta. Totiž nájazdová rýchlosť sa rovná rozdielu rýchlostí dvoch áut: ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2.

Nájdite rýchlosť konvergencie týchto áut: ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km/h. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa znižuje pri rýchlosti 40 km/h.

Vzhľadom na vyššie uvedené situácie sme sa zoznámili s pojmom „rýchlosť konvergencie“. Rýchlosť priblíženia je vzdialenosť, na ktorú sa objekty priblížia k sebe za jednotku času.

Zvážte nasledujúcu tretiu situáciu.

Z dvoch miest vyšli naraz dve autá v protismere. Rýchlosť prvého auta ʋ1 = 120 km/h a rýchlosť druhého auta ʋ2 = 80 km/h. Zväčší sa vzdialenosť medzi autami? Ak áno, koľko?

Znázornime pohyb týchto áut na súradnicovom lúči.

Obrázok ukazuje, že dve autá, ktoré sa pohybujú v opačných smeroch, sa pohybujú od seba. To znamená, že vzdialenosť medzi nimi sa zvyšuje. Ak chcete zistiť, akou rýchlosťou sa zväčšuje vzdialenosť medzi autami, alebo akou rýchlosťou sa dve autá od seba vzďaľujú, musíte k rýchlosti prvého auta pripočítať rýchlosť druhého auta. Rýchlosť odstraňovania sa totiž rovná súčtu rýchlostí dvoch áut: ud. = ʋ1 + ʋ2.

Poďme nájsť rýchlosť vymazania týchto áut: ud. = ʋ1 + ʋ2 = 120 + 80 = 200 km/h. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa zväčšuje pri rýchlosti 200 km/h.

Zvážte poslednú štvrtú situáciu.

Dve autá súčasne odišli z dvoch miest smerom k vode. Rýchlosť prvého auta ʋ1 = 120 km/h a rýchlosť druhého auta ʋ2 = 80 km/h. Navyše, druhé auto sa pohybuje s oneskorením. Zvýši sa alebo zníži sa vzdialenosť medzi autami a o koľko?

Znázornime pohyb týchto áut na súradnicovom lúči.

Obrázok ukazuje, že druhé auto sa pohybuje pomalšie ako prvé auto alebo zaostáva za prvým autom. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa zvýši. Ak chcete zistiť, akou rýchlosťou sa zväčšuje vzdialenosť medzi autami alebo akou rýchlosťou sa dve autá od seba vzďaľujú, musíte od rýchlosti prvého auta odpočítať rýchlosť druhého auta. Rýchlosť odstraňovania sa totiž rovná rozdielu medzi rýchlosťami dvoch áut: sp. = ʋ1 - ʋ2.

Poďme nájsť rýchlosť vymazania týchto áut: ud. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km/h. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa zväčšuje pri rýchlosti 40 km/h.

Vzhľadom na vyššie uvedené situácie sme sa oboznámili s pojmom „miera odstránenia“. Rýchlosť odstraňovania je vzdialenosť, ktorú odstránia objekty za jednotku času.

§ 2 Stručné zhrnutie k téme lekcie

1. Rýchlosť priblíženia je vzdialenosť, na ktorú sa objekty priblížia k sebe za jednotku času.

2. Keď sa dva objekty pohybujú k sebe, rýchlosť priblíženia sa rovná súčtu rýchlostí týchto objektov. ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2

3. Pri pohybe pri prenasledovaní sa rýchlosť priblíženia rovná rozdielu rýchlostí pohybujúcich sa objektov. ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2

4. Rýchlosť odstraňovania je vzdialenosť, o ktorú sa odstránia predmety za jednotku času.

5. Keď sa dva predmety pohybujú v opačných smeroch, rýchlosť odstraňovania sa rovná súčtu rýchlostí týchto predmetov. ʋud. = ʋ1 + ʋ2

6. Pri pohybe s oneskorením sa rýchlosť odstraňovania rovná rozdielu rýchlostí pohybujúcich sa objektov. ʋud. = ʋ1 - ʋ2

Zoznam použitej literatúry:

1. Peterson L.G. Matematika. 4. trieda. 2. časť / L.G. Peterson. - M .: Juventa, 2014 .-- 96 s.: Ill.
2. Matematika. 4. trieda. Metodické odporúčania k učebnici matematiky „Učíme sa učiť“ pre 4. ročník / L.G. Peterson. - M .: Juventa, 2014 .-- 280 s.: Ill.
3. Zak S.M. Všetky úlohy k učebnici matematiky pre 4. ročník L.G. Peterson a súbor nezávislých a kontrolných prác. FSES. - M .: YUNVES, 2014.
4. CD-ROM. Matematika. 4. trieda. Skriptá lekcií k učebnici 2. časti Peterson L.G. - M .: Juventa, 2013.

Použité obrázky:

Matematika je pomerne ťažký predmet, ale v školskom kurze si ním bude musieť prejsť úplne každý. Pre žiakov sú náročné najmä pohybové úlohy. Ako to vyriešiť bez problémov a veľa strateného času, zvážime v tomto článku.

Upozorňujeme, že ak budete cvičiť, tieto úlohy nespôsobia žiadne ťažkosti. Rozhodovací proces môže byť spracovaný do automatizácie.

Odrody

Čo znamená tento typ úlohy? Ide o pomerne jednoduché a nekomplikované úlohy, ktoré zahŕňajú tieto odrody:

• protiidúce vozidlá;
• v prenasledovaní;
• pohyb v opačnom smere;
• pohyb pozdĺž rieky.

Odporúčame zvážiť každú možnosť samostatne. Samozrejme, budeme analyzovať iba príklady. Ale predtým, než prejdeme k otázke, ako sa pohybovať, stojí za to predstaviť jeden vzorec, ktorý budeme potrebovať pri riešení úplne všetkých úloh tohto typu.

Vzorec: S = V * t. Malé vysvetlenie: S je cesta, písmeno V znamená rýchlosť pohybu a písmeno t znamená čas. Všetky množstvá možno vyjadriť pomocou tohto vzorca. Podľa toho sa rýchlosť rovná dráhe delenej časom a čas je dráha delenej rýchlosťou.

Pohyb smerom k

Toto je najbežnejší typ úlohy. Aby ste pochopili podstatu riešenia, zvážte nasledujúci príklad. Podmienka: "Dvaja kamaráti na bicykloch vyrazili súčasne proti sebe, pričom vzdialenosť od jedného domu k druhému je 100 km. Aká bude vzdialenosť za 120 minút, ak je známe, že rýchlosť jedného je 20 km za hodinu a druhý má pätnásť." Prejdime k otázke, ako vyriešiť problém protismernej premávky cyklistov.

Na to musíme zaviesť ešte jeden pojem: „rýchlosť konvergencie“. V našom príklade to bude 35 km za hodinu (20 km za hodinu + 15 km za hodinu). Toto bude prvý krok k vyriešeniu problému. Potom vynásobíme rýchlosť priblíženia dvoma, pretože sa pohybovali dve hodiny: 35 * 2 = 70 km. Zistili sme vzdialenosť, na ktorú by sa cyklisti priblížili za 120 minút. Zostáva posledná akcia: 100-70 = 30 kilometrov. Týmto výpočtom sme zistili vzdialenosť medzi cyklistami. Odpoveď: 30 km.

Ak nerozumiete, ako vyriešiť problém s prichádzajúcou premávkou pomocou rýchlosti priblíženia, použite inú možnosť.

Druhý spôsob

Najprv nájdeme cestu, ktorou prešiel prvý cyklista: 20 * 2 = 40 kilometrov. Teraz cesta druhého kamaráta: vynásobíme pätnásť dvomi, čo sa rovná tridsiatim kilometrom. Spočítajte vzdialenosť prejdenú prvým a druhým cyklistom: 40 + 30 = 70 kilometrov. Zistili sme, ktorú cestu spolu prešli, a tak ostáva z celej cesty odpočítať prejdenú cestu: 100-70 = 30 km. Odpoveď: 30 km.

Uvažovali sme o prvom type pohybového problému. Teraz je jasné, ako ich vyriešiť, prejdeme na ďalší formulár.

Ísť opačným smerom

Podmienka: "Dva zajace cválali z jednej diery opačným smerom. Rýchlosť prvého je 40 km za hodinu a druhého 45 km za hodinu. Ako ďaleko budú od seba za dve hodiny?"

Tu, rovnako ako v predchádzajúcom príklade, existujú dve možné riešenia. V prvom budeme konať obvyklým spôsobom:

1. Dráha prvého zajaca: 40 * 2 = 80 km.
2. Dráha druhého zajaca: 45 * 2 = 90 km.
3. Cesta, ktorú spolu prešli: 80 + 90 = 170 km. Odpoveď: 170 km.

Ale je možná aj iná možnosť.

Miera odstraňovania

Ako ste mohli uhádnuť, v tejto úlohe, podobne ako v prvej, sa objaví nový výraz. Zvážte nasledujúci typ problémov s pohybom, ako ich vyriešiť pomocou rýchlosti odstraňovania.

V prvom rade to zistíme: 40 + 45 = 85 kilometrov za hodinu. Zostáva zistiť, aká je vzdialenosť, ktorá ich oddeľuje, pretože všetky ostatné údaje sú už známe: 85 * 2 = 170 km. Odpoveď: 170 km. Zvažovali sme riešenie problémov na pohybe tradičným spôsobom, ako aj využitie rýchlosti približovania a sťahovania.

Následný pohyb

Pozrime sa na príklad problému a skúsme ho spoločne vyriešiť. Podmienka: "Dvaja školáci, Kirill a Anton, opustili školu a pohybovali sa rýchlosťou 50 metrov za minútu. Kosťa ich nasledoval o šesť minút rýchlosťou 80 metrov za minútu. Ako dlho bude trvať, kým ich Kosťa dobehne? s Kirillom a Antonom?"

Ako teda vyriešiť problémy s pohybom pri prenasledovaní? Tu potrebujeme rýchlosť konvergencie. Iba v tomto prípade stojí za to nepridávať, ale odčítať: 80-50 = 30 m za minútu. Druhou akciou zisťujeme, koľko metrov delí školákov pred Kosťovým východom. Na to je 50 * 6 = 300 metrov. Poslednou akciou nájdeme čas, počas ktorého Kosťa dobehne Kirilla a Antona. Na to musí byť dráha 300 metrov vydelená rýchlosťou priblíženia 30 metrov za minútu: 300: 30 = 10 minút. Odpoveď: za 10 minút.

závery

Na základe toho, čo už bolo povedané, môžeme zhrnúť niektoré výsledky:

• pri riešení problémov s pohybom je vhodné použiť rýchlosť priblíženia a odsunu;
• ak hovoríme o blížiacom sa pohybe alebo pohybe od seba, potom sa tieto hodnoty zistia pridaním rýchlostí objektov;
• ak stojíme pred úlohou nadviazať, potom použijeme inverznú akciu sčítania, teda odčítania.

Preskúmali sme niektoré dopravné problémy, ako ich vyriešiť, prišli na to, zoznámili sa s pojmami „rýchlosť približovania“ a „rýchlosť sťahovania“, zostáva zvážiť posledný bod, a to: ako vyriešiť problémy s riečnou dopravou?

Prietok

Tu sa môžu opäť stretnúť:

• úlohy smerovať k sebe;
• pohyb pri prenasledovaní;
• pohyb v opačnom smere.

Ale na rozdiel od predchádzajúcich úloh má rieka aktuálnu rýchlosť, ktorá by sa nemala ignorovať. Tu sa objekty budú pohybovať buď pozdĺž rieky - potom by sa táto rýchlosť mala pripočítať k vlastnej rýchlosti objektov, alebo proti prúdu - musí sa odrátať od rýchlosti objektu.

Príklad úlohy na pohyb po rieke

Podmienka: kráčal s prúdom rýchlosťou 120 km za hodinu a vracal sa späť, pričom strávil menej ako dve hodiny ako proti prúdu. Aká je rýchlosť vodného skútra na stojatej vode?„Dostávame aktuálnu rýchlosť jeden kilometer za hodinu.

Prejdime k riešeniu. Pre názorný príklad navrhujeme zostaviť tabuľku. Vezmime rýchlosť motocykla na stojatej vode ako x, potom rýchlosť po prúde je x + 1 a proti x-1. Dĺžka spiatočnej cesty je 120 km. Ukazuje sa, že čas strávený pohybom proti prúdu je 120: (x-1) a 120: (x + 1) po prúde. Je známe, že 120: (x-1) je o dve hodiny menej ako 120: (x + 1). Teraz môžeme pristúpiť k vypĺňaniu tabuľky.

Čo máme: (120 / (x-1)) - 2 = 120 / (x + 1) Vynásobte každú časť (x + 1) (x-1);

120 (x + 1) -2 (x + 1) (x-1) -120 (x-1) = 0;

Riešime rovnicu:

Všimnite si, že tu sú dve možné odpovede: + -11, keďže -11 aj +11 dávajú v štvorci 121. Naša odpoveď však bude kladná, pretože rýchlosť motocykla nemôže mať zápornú hodnotu, takže odpoveď môže byť zapísané: 11 km za hodinu ... Takto sme našli požadovanú hodnotu, a to rýchlosť v stojatej vode.

Zvažovali sme všetky možné varianty pohybových problémov, teraz by ste pri ich riešení nemali mať žiadne problémy a ťažkosti. Na ich vyriešenie potrebujete poznať základný vzorec a pojmy ako „rýchlosť konvergencie a odstraňovania“. Buďte trpezliví, vypracujte tieto úlohy a úspech sa dostaví.

Obsah lekcie

Problém so vzdialenosťou/rýchlosťou/časom

Cieľ 1 Auto sa pohybuje rýchlosťou 80 km/h. Koľko kilometrov prejde za 3 hodiny?

Riešenie

Ak auto prejde 80 kilometrov za hodinu, tak za 3 hodiny prejde trikrát viac. Ak chcete zistiť vzdialenosť, musíte vynásobiť rýchlosť auta (80 km / h) časom pohybu (3 hodiny)

80 × 3 = 240 km

Odpoveď: za 3 hodiny auto prejde 240 kilometrov.

Cieľ 2 180 km autom sme prešli za 3 hodiny rovnakou rýchlosťou. Aká je rýchlosť auta?

Riešenie

Rýchlosť je vzdialenosť, ktorú telo prejde za jednotku času. Jednotka znamená 1 hodinu, 1 minútu alebo 1 sekundu.

Ak za 3 hodiny auto prešlo 180 kilometrov rovnakou rýchlosťou, tak vydelením 180 km 3 hodinami určíme vzdialenosť, ktorú auto prešlo za hodinu. A toto je rýchlosť pohybu. Na určenie rýchlosti je potrebné vydeliť prejdenú vzdialenosť časom pohybu:

180:3 = 60 km/h

Odpoveď: rýchlosť vozidla je 60 km/h

Cieľ 3 Auto prešlo za 2 hodiny 96 km a cyklista 72 km za 6 hodín. Koľkokrát sa auto pohybovalo rýchlejšie ako cyklista?

Riešenie

Poďme určiť rýchlosť auta. Za týmto účelom vydeľte prejdenú vzdialenosť (96 km) časom jeho pohybu (2 hodiny)

96: 2 = 48 km/h

Určme rýchlosť cyklistu. Za týmto účelom vydeľte prejdenú vzdialenosť (72 km) časom pohybu (6 hodín)

72: 6 = 12 km/h

Poďme zistiť, koľkokrát sa auto pohybovalo rýchlejšie ako cyklista. Aby sme to dosiahli, nájdeme pomer 48 ku 12

Odpoveď: auto sa pohybovalo 4-krát rýchlejšie ako cyklista.

Problém 4... Vrtuľník prekonal vzdialenosť 600 km rýchlosťou 120 km/h. Ako dlho je v lete?

Riešenie

Ak helikoptéra prekonala 120 kilometrov za 1 hodinu, potom po zistení, koľko takýchto 120 kilometrov je na 600 kilometroch, určíme, ako dlho bol v lete. Ak chcete zistiť čas, musíte vydeliť prejdenú vzdialenosť rýchlosťou pohybu

600 : 120 = 5 hodín

Odpoveď: helikoptéra bola na ceste 5 hodín.

Problém 5... Vrtuľník letel 6 hodín rýchlosťou 160 km/h. Ako ďaleko prešiel za tento čas?

Riešenie

Ak za 1 hodinu prekonal vrtuľník 160 km, tak za 6 hodín prekonal šesťkrát viac. Na určenie vzdialenosti je potrebné vynásobiť rýchlosť pohybu časom

160 × 6 = 960 km

Odpoveď: za 6 hodín prekonal vrtuľník 960 km.

Problém 6... Vzdialenosť z Permu do Kazane, rovnajúcej sa 723 km, auto prešlo za 13 hodín. Prvých 9 hodín išiel rýchlosťou 55 km/h. Určte rýchlosť vozidla v zostávajúcom čase.

Riešenie

Poďme určiť, koľko kilometrov auto najazdilo za prvých 9 hodín. Za týmto účelom vynásobte rýchlosť, ktorou jazdil prvých deväť hodín (55 km/h) číslom 9

55 × 9 = 495 km

Určte, koľko zostáva jazdiť. Za týmto účelom odpočítajte vzdialenosť prejdenú počas prvých 9 hodín pohybu od celkovej vzdialenosti (723 km)

723 - 495 = 228 km

Týchto 228 kilometrov auto prešlo za zvyšné 4 hodiny. Na určenie rýchlosti auta v zostávajúcom čase je potrebné rozdeliť 228 kilometrov 4 hodinami:

228: 4 = 57 km/h

Odpoveď: rýchlosť vozidla v zostávajúcom čase bola 57 km/h

Rýchlosť približovania

Rýchlosť priblíženia je vzdialenosť, ktorú prejdú dva objekty oproti sebe za jednotku času.

Napríklad, ak dvaja chodci idú z dvoch bodov k sebe a rýchlosť prvého bude 100 m / m a druhého - 105 m / m, rýchlosť konvergencie bude 100 + 105, tj. 205 m/m. To znamená, že každú minútu sa vzdialenosť medzi chodcami zníži o 205 metrov.

Ak chcete zistiť rýchlosť konvergencie, musíte pridať rýchlosti objektov.

Predpokladajme, že sa chodci stretli tri minúty po začiatku pohybu. Keď vieme, že sa stretli o tri minúty, môžeme zistiť vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi.

Každú minútu chodci prekonali vzdialenosť dvestopäť metrov. Po 3 minútach sa stretli. To znamená, že vynásobením rýchlosti priblíženia časom pohybu môžete určiť vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

205 × 3 = 615 metrov

Vzdialenosť medzi bodmi môžete určiť aj iným spôsobom. Ak to chcete urobiť, nájdite vzdialenosť, ktorú každý chodec prešiel pred stretnutím.

Prvý chodec teda kráčal rýchlosťou 100 metrov za minútu. Stretnutie prebehlo za tri minúty, čiže za 3 minúty prešiel 100 × 3 metre

100 × 3 = 300 metrov

A druhý chodec išiel rýchlosťou 105 metrov za minútu. Za tri minúty prekonal 105 × 3 metre

105 × 3 = 315 metrov

Teraz môžete sčítať výsledky a určiť tak vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

300 m + 315 m = 615 m

Cieľ 1 Z dvoch osád sa proti sebe vydali naraz dvaja cyklisti. Rýchlosť prvého cyklistu je 10 km/h a rýchlosť druhého 12 km/h. Stretli sa o 2 hodiny neskôr. Určte vzdialenosť medzi osadami

Riešenie

Zistenie rýchlosti konvergencie cyklistov

10 km/h + 12 km/h = 22 km/h

Určme vzdialenosť medzi osadami. Aby sme to dosiahli, vynásobíme rýchlosť priblíženia časom pohybu

22 × 2 = 44 km

Vyriešme tento problém druhým spôsobom. K tomu zistíme prejdené vzdialenosti cyklistov a pridáme výsledky.

Nájdite vzdialenosť, ktorú prekonal prvý cyklista:

10 × 2 = 20 km

Nájdite vzdialenosť, ktorú prejde druhý cyklista:

12 × 2 = 24 km

Pridajme získané vzdialenosti:

20 km + 24 km = 44 km

Odpoveď: vzdialenosť medzi osadami je 44 km.

Úloha 2... Z dvoch osád, ktorých vzdialenosť je 60 km, vyrazili proti sebe dvaja cyklisti naraz. Rýchlosť prvého cyklistu je 14 km/h a rýchlosť druhého 16 km/h. Po koľkých hodinách sa stretli?

Riešenie

Poďme zistiť rýchlosť konvergencie cyklistov:

14 km/h + 16 km/h = 30 km/h

Za hodinu sa vzdialenosť medzi cyklistami skráti o 30 kilometrov. Ak chcete určiť, za koľko hodín sa stretnú, musíte rozdeliť vzdialenosť medzi sídlami rýchlosťou konvergencie:

60:30 = 2 hodiny

Cyklisti sa teda stretli o dve hodiny.

Odpoveď: cyklisti sa stretli po 2 hodinách.

Problém 3... Z dvoch osád, ktorých vzdialenosť je 56 km, vyrazili proti sebe dvaja cyklisti naraz. Stretli sa o dve hodiny neskôr. Prvý cyklista išiel rýchlosťou 12 km/h. Určte rýchlosť druhého cyklistu.

Riešenie

Určte vzdialenosť, ktorú prejde prvý cyklista. Rovnako ako druhý cyklista strávil na ceste 2 hodiny. Vynásobením rýchlosti prvého cyklistu 2 hodinami zistíme, koľko kilometrov prešiel pred stretnutím.

12 × 2 = 24 km

Prvý cyklista prešiel 24 km za dve hodiny. Za hodinu prešiel 24:2, teda 12 km. Znázornime to graficky

Od celkovej vzdialenosti (56 km) odpočítajte vzdialenosť prejdenú prvým cyklistom (24 km). To určí, koľko kilometrov prešiel druhý cyklista:

56 km - 24 km = 32 km

Druhý cyklista, podobne ako prvý, strávil na ceste 2 hodiny. Ak prejdenú vzdialenosť vydelíme 2 hodinami, zistíme, akou rýchlosťou sa pohyboval:

32: 2 = 16 km/h

To znamená, že rýchlosť druhého cyklistu je 16 km/h.

odpoveď: rýchlosť druhého cyklistu je 16 km/h.

Miera odstraňovania

Rýchlosť odstraňovania je vzdialenosť, ktorá sa zväčšuje za jednotku času medzi dvoma objektmi pohybujúcimi sa v opačných smeroch.

Napríklad, ak dvaja chodci opustia ten istý bod opačným smerom, pričom rýchlosť prvého je 4 km/h a rýchlosť druhého 6 km/h, rýchlosť odstraňovania bude 4 + 6, teda 10. km/h. Každú hodinu sa vzdialenosť medzi dvoma chodcami zvýši o 10 kilometrov.

Ak chcete zistiť rýchlosť odstraňovania, musíte pridať rýchlosti objektov.

Takže v prvej hodine bude vzdialenosť medzi chodcami 10 kilometrov. Ako sa to deje, môžete vidieť na nasledujúcom obrázku.

Je vidieť, že prvý chodec prešiel svoje 4 kilometre za prvú hodinu. Aj druhý chodec prešiel svojich 6 kilometrov za prvú hodinu. Celkovo sa za prvú hodinu vzdialenosť medzi nimi stala 4 + 6, teda 10 kilometrov.

Za dve hodiny bude vzdialenosť medzi chodcami 10 × 2, teda 20 kilometrov. Ako sa to deje, môžete vidieť na nasledujúcom obrázku:

Cieľ 1 Nákladný vlak a osobný rýchlik odchádzali z jednej stanice súčasne v opačných smeroch. Rýchlosť nákladného vlaku bola 40 km/h, rýchlosť rýchlika 180 km/h. Aká je vzdialenosť medzi týmito vlakmi za 2 hodiny?

Riešenie

Určme rýchlosť sťahovania vlakov. Ak to chcete urobiť, spočítajte ich rýchlosti:

40 + 180 = 220 km/h

Prijatá rýchlosť odstraňovania vlakov rovná 220 km / h. Táto rýchlosť ukazuje, že vzdialenosť medzi vlakmi sa zvýši o 220 kilometrov za hodinu. Ak chcete zistiť, aká bude vzdialenosť medzi vlakmi za dve hodiny, musíte vynásobiť číslo 220 číslom 2

220 × 2 = 440 km

Odpoveď: za 2 hodiny bude vzdialenosť medzi vlakmi 440 kilometrov.

Cieľ 2 Cyklista a motocyklista vyrazili z miesta súčasne v protismere. Rýchlosť cyklistu je 16 km/h a rýchlosť motocyklistu 40 km/h. Aká je vzdialenosť medzi cyklistom a motocyklistom za 2 hodiny?

Riešenie

16 km/h + 40 km/h = 56 km/h

Určme si vzdialenosť, ktorá bude medzi cyklistom a motorkárom za 2 hodiny. Aby sme to dosiahli, vynásobíme rýchlosť odstraňovania (56 km / h) 2 hodinami

56 × 2 = 112 km

Odpoveď: Po 2 hodinách je vzdialenosť medzi cyklistom a motocyklistom 112 km.

Problém 3... Cyklista a motocyklista vyrazili z miesta súčasne v protismere. Rýchlosť cyklistu je 10 km/h a rýchlosť motocyklistu 30 km/h. Za koľko hodín bude vzdialenosť medzi nimi 80 km?

Riešenie

Určte rýchlosť odstraňovania cyklistu a motocyklistu. Ak to chcete urobiť, spočítajte ich rýchlosti:

10 km/h + 30 km/h = 40 km/h

Za hodinu sa vzdialenosť medzi cyklistom a motorkárom zväčší o 40 kilometrov. Ak chcete zistiť, za koľko hodín bude vzdialenosť medzi nimi 80 km, musíte určiť, koľkokrát 80 km obsahuje 40 km.

80: 40 = 2

Odpoveď: 2 hodiny po začatí pohybu bude medzi cyklistom a motocyklistom 80 kilometrov.

Problém 4... Cyklista a motocyklista vyrazili z miesta súčasne v protismere. Po 2 hodinách bola vzdialenosť medzi nimi 90 km. Rýchlosť cyklistu bola 15 km/h. Určte rýchlosť motocyklistu

Riešenie

Určme vzdialenosť, ktorú prejde cyklista za 2 hodiny. Za týmto účelom vynásobte jeho rýchlosť (15 km / h) 2 hodinami

15 × 2 = 30 km

Obrázok ukazuje, že cyklista prešiel za hodinu 15 kilometrov. Celkovo prešiel 30 kilometrov za dve hodiny.

Od celkovej vzdialenosti (90 km) odpočítajte prejdenú vzdialenosť cyklistu (30 km). Takto určíme, koľko kilometrov prejde motocyklista:

90 km - 30 km = 60 km

Motorkár prešiel 60 kilometrov za dve hodiny. Ak prejdenú vzdialenosť vydelíme 2 hodinami, zistíme, akou rýchlosťou sa pohyboval:

60:2 = 30 km/h

To znamená, že rýchlosť motocyklistu bola 30 km/h.

Odpoveď: rýchlosť motocyklistu bola 30 km/h.

Problém pohybu predmetov jedným smerom

V predchádzajúcej téme sme uvažovali o úlohách, v ktorých sa predmety (ľudia, autá, člny) pohybovali buď k sebe, alebo opačným smerom. Zároveň sme našli rôzne vzdialenosti, ktoré sa medzi objektmi za určitý čas menili. Tieto vzdialenosti boli buď rýchlosti konvergencie alebo miery odstraňovania.

V prvom prípade sme našli rýchlosť konvergencie- v situácii, keď sa dva predmety pohybovali proti sebe. Za jednotku času sa vzdialenosť medzi objektmi zmenšila o určitú vzdialenosť

V druhom prípade sme zistili rýchlosť odstraňovania - v situácii, keď sa dva objekty pohybovali opačným smerom. Za jednotku času sa vzdialenosť medzi objektmi zväčšila o určitú vzdialenosť

Ale predmety sa môžu pohybovať aj jedným smerom a rôznymi rýchlosťami. Napríklad cyklista a motocyklista môžu opustiť ten istý bod súčasne a rýchlosť cyklistu môže byť 20 kilometrov za hodinu a rýchlosť motocyklistu je 40 kilometrov za hodinu.

Obrázok ukazuje, že motorkár má pred cyklistom náskok dvadsať kilometrov. Je to spôsobené tým, že prejde o 20 kilometrov za hodinu viac ako cyklista. Každú hodinu sa preto vzdialenosť medzi cyklistom a motorkárom zvýši o dvadsať kilometrov.

V tomto prípade je 20 km/h rýchlosť, ktorou sa motocyklista vzďaľuje od cyklistu.

Za dve hodiny prejde cyklista 40 km. Motocyklista prejde 80 km, od cyklistu sa vzdiali o ďalších dvadsať kilometrov - celkovo bude vzdialenosť medzi nimi 40 kilometrov.

Ak chcete zistiť rýchlosť odstraňovania pri pohybe jedným smerom, odčítajte nižšiu rýchlosť od vyššej rýchlosti.

Vo vyššie uvedenom príklade je rýchlosť odstraňovania 20 km/h. Dá sa zistiť odpočítaním rýchlosti cyklistu od rýchlosti motocyklistu. Rýchlosť cyklistu bola 20 km/h a rýchlosť motocyklistu 40 km/h. Rýchlosť motocyklistu je vyššia, preto odpočítajte 20 od 40

40 km/h – 20 km/h = 20 km/h

Problém 1... Z mesta odišlo auto a autobus rovnakým smerom. Rýchlosť auta je 120 km/h a rýchlosť autobusu 80 km/h. Aká je vzdialenosť medzi nimi za 1 hodinu? 2 hodiny?

Riešenie

Poďme zistiť mieru odstraňovania. Ak to chcete urobiť, odčítajte menšiu od vyššej rýchlosti.

120 km/h – 80 km/h = 40 km/h

Každú hodinu sa osobné auto vzdiali 40 kilometrov od autobusu. Za hodinu bude vzdialenosť medzi autom a autobusom 40 km. Ešte dvakrát za 2 hodiny:

40 × 2 = 80 km

Odpoveď: Po jednej hodine bude vzdialenosť medzi autom a autobusom 40 km, po dvoch hodinách - 80 km.

Zoberme si situáciu, v ktorej sa objekty začali pohybovať z rôznych bodov, ale rovnakým smerom.

Nech je tu dom, škola a atrakcia. Z domu do školy 700 metrov

K atrakcii išli naraz dvaja chodci. Navyše k atrakcii išiel prvý chodec z domu rýchlosťou 100 metrov za minútu a druhý chodec išiel k atrakcii zo školy rýchlosťou 80 metrov za minútu. Aká je vzdialenosť medzi chodcami za 2 minúty? Koľko minút po začiatku pohybu dobehne prvý chodec druhého?

Odpovedzme na prvú otázku problému – aká je vzdialenosť medzi chodcami za 2 minúty?

Určme vzdialenosť, ktorú prejde prvý chodec za 2 minúty. Pohyboval sa rýchlosťou 100 metrov za minútu. Za dve minúty prejde dvakrát toľko, teda 200 metrov

100 × 2 = 200 metrov

Určme vzdialenosť, ktorú prejde druhý chodec za 2 minúty. Pohyboval sa rýchlosťou 80 metrov za minútu. Za dve minúty prejde dvakrát toľko, teda 160 metrov

80 × 2 = 160 metrov

Teraz musíte nájsť vzdialenosť medzi chodcami

Ak chcete zistiť vzdialenosť medzi chodcami, môžete pripočítať vzdialenosť prejdenú druhým chodcom (160 m) ku vzdialenosti z domu do školy (700 m) a od výsledku odpočítať vzdialenosť prejdenú prvým chodcom (200 m).

700 m + 160 m = 860 m

860 m - 200 m = 660 m

Alebo zo vzdialenosti z domu do školy (700 m) odčítajte vzdialenosť prejdenú prvým chodcom (200 m) a k výsledku pridajte vzdialenosť, ktorú prekonal druhý chodec (160 m).

700 m - 200 m = 500 m

500 m + 160 m = 660 m

Za dve minúty tak bude vzdialenosť medzi chodcami 660 metrov.

Skúsme odpovedať na nasledujúcu otázku problému: koľko minút po začatí pohybu dobehne prvý chodec druhého?

Pozrime sa, aká bola situácia na samom začiatku cesty – keď sa chodci ešte nedali do pohybu.

Ako môžete vidieť na obrázku, vzdialenosť medzi chodcami na začiatku cesty bola 700 metrov. Ale už minútu po začiatku pohybu bude vzdialenosť medzi nimi 680 metrov, pretože prvý chodec sa pohybuje o 20 metrov rýchlejšie ako druhý:

100 m × 1 = 100 m

80 m × 1 = 80 m

700 m + 80 m - 100 m = 780 m - 100 m = 680 m

Dve minúty po začatí pohybu sa vzdialenosť zníži o ďalších 20 metrov a bude 660 metrov. Toto bola naša odpoveď na prvú otázku problému:

100 m × 2 = 200 m

80 m × 2 = 160 m

700 m + 160 m - 200 m = 860 m - 200 m = 660 m

Po troch minútach sa vzdialenosť zníži o ďalších 20 metrov a bude už 640 metrov:

100 m × 3 = 300 m

80 m × 3 = 240 m

700 m + 240 m - 300 m = 940 m - 300 m = 640 m

Vidíme, že každou minútou sa prvý chodec priblíži k druhému na 20 metrov a nakoniec ho dobehne. Dá sa povedať, že rýchlosť rovnajúca sa dvadsiatim metrom za minútu je rýchlosťou zbiehania chodcov. Pravidlá pre zistenie rýchlosti približovania a vystupovania pri pohybe rovnakým smerom sú identické.

Ak chcete zistiť rýchlosť konvergencie pri pohybe jedným smerom, musíte odpočítať nižšiu rýchlosť od vyššej rýchlosti.

A keďže počiatočných 700 metrov sa každú minútu zníži o rovnakých 20 metrov, potom môžeme zistiť, koľkokrát 700 metrov obsahuje 20 metrov, čím určíme, o koľko minút prvý chodec dobehne druhého.

700: 20 = 35

To znamená, že 35 minút po začatí pohybu prvý chodec dobehne druhého. Pre zaujímavosť si zistime, koľko metrov tentoraz prešiel každý chodec. Prvý sa pohyboval rýchlosťou 100 metrov za minútu. Za 35 minút prešiel 35-krát viac

100 × 35 = 3500 m

Druhý kráčal rýchlosťou 80 metrov za minútu. Za 35 minút prešiel 35-krát viac

80 × 35 = 2800 m

Prvý prešiel 3500 metrov a druhý 2800 metrov. Prvý prešiel o 700 metrov viac, keď išiel od domu. Ak týchto 700 metrov odpočítame od 3500, dostaneme 2800 m

Uvažujme o situácii, v ktorej sa objekty pohybujú jedným smerom, ale jeden z objektov sa začal pohybovať skôr ako druhý.

Nech je tu dom a škola. Prvý chodec išiel do školy rýchlosťou 80 metrov za minútu. O 5 minút ho nasledoval do školy druhý chodec rýchlosťou 100 metrov za minútu. O koľko minút dobehne druhý chodec prvého?

Druhý chodec sa dal do pohybu o 5 minút. V tom čase sa už od neho na určitú vzdialenosť vzdialil prvý chodec. Nájdime túto vzdialenosť. Za týmto účelom vynásobte jeho rýchlosť (80 m / m) 5 minútami

80 × 5 = 400 metrov

Prvý chodec sa od druhého vzdialil o 400 metrov. Preto v momente, keď sa začne pohybovať druhý chodec, bude medzi nimi rovnakých 400 metrov.

Ale druhý chodec sa pohybuje rýchlosťou 100 metrov za minútu. To znamená, že sa pohybuje o 20 metrov rýchlejšie ako prvý chodec, čo znamená, že každú minútu sa vzdialenosť medzi nimi zníži o 20 metrov. Našou úlohou je zistiť, za koľko minút sa tak stane.

Napríklad za minútu bude vzdialenosť medzi chodcami 380 metrov. Prvý chodec prejde ďalších 80 metrov na svojich 400 metrov a druhý prejde 100 metrov

Princíp je rovnaký ako v predchádzajúcom probléme. Vzdialenosť medzi chodcami v okamihu pohybu druhého chodca musí byť vydelená rýchlosťou zbiehania chodcov. Nájazdová rýchlosť je v tomto prípade rovných dvadsať metrov. Preto, aby ste určili, za koľko minút druhý chodec dobehne prvého, musíte 400 metrov vydeliť 20

400: 20 = 20

To znamená, že o 20 minút druhý chodec dobehne prvého.

Úloha 2... Z dvoch obcí, ktorých vzdialenosť je 40 km, odchádzal súčasne autobus a cyklista rovnakým smerom. Rýchlosť cyklistu je 15 km/h a rýchlosť autobusu 35 km/h. O koľko hodín autobus dobehne cyklistu?

Riešenie

Nájdite rýchlosť konvergencie

35 km/h – 15 km/h = 20 km/h

V hodinách určíme, že autobus dobehne cyklistu

40: 20 = 2

Odpoveď: autobus dobehne cyklistu za 2 hodiny.

Problém s pohybom rieky

Plavidlá sa pohybujú pozdĺž rieky rôznymi rýchlosťami. Zároveň sa môžu pohybovať ako pozdĺž toku rieky, tak aj proti prúdu. V závislosti od toho, ako sa pohybujú (pozdĺž alebo proti prúdu), rýchlosť sa bude meniť.

Predpokladajme, že rýchlosť rieky je 3 km / h. Ak spustíte loď na rieku, rieka unesie loď rýchlosťou 3 km / h.

Ak spustíte čln do stojatej vody, v ktorej nie je prúd, tak aj čln bude stáť. Rýchlosť lode v tomto prípade bude nulová.

Ak loď pláva na stojatej vode, v ktorej nie je prúd, potom hovoria, že loď pláva z vlastnú rýchlosť.

Napríklad, ak motorový čln pláva pokojnou vodou rýchlosťou 40 km / h, potom to hovoria vlastná rýchlosť motorového člna je 40 km/h.

Ako určiť rýchlosť plavidla?

Ak plavidlo pláva prúdom rieky, potom sa rýchlosť rieky musí pripočítať k rýchlosti plavidla.

s prúdom riek a rýchlosť rieky je 2 km/h, potom rýchlosť rieky (2 km/h) treba pripočítať k vlastnej rýchlosti motorového člna (30 km/h)

30 km/h + 2 km/h = 32 km/h

Dá sa povedať, že tok rieky pomáha motorovému člnu dodatočnou rýchlosťou dva kilometre za hodinu.

Ak loď pláva proti prúdu rieky, rýchlosť rieky sa musí odpočítať od rýchlosti samotnej lode.

Napríklad, ak motorový čln pláva rýchlosťou 30 km/h proti prúdu riek a rýchlosť rieky je 2 km/h, potom sa musí rýchlosť rieky (2 km/h) odpočítať od vlastnej rýchlosti motorového člna (30 km/h)

30 km/h – 2 km/h = 28 km/h

Tok rieky v tomto prípade bráni motorovému člnu vo voľnom pohybe vpred, čím sa jeho rýchlosť znižuje o dva kilometre za hodinu.

Problém 1... Rýchlosť člna je 40 km/h a rýchlosť rieky 3 km/h. Ako rýchlo sa bude loď pohybovať po rieke? Proti prúdu rieky?

odpoveď:

Ak sa loď pohybuje pozdĺž toku rieky, jej rýchlosť bude 40 + 3, to znamená 43 km / h.

Ak sa loď pohybuje proti prúdu rieky, jej rýchlosť bude 40 - 3, to znamená 37 km / h.

Úloha 2... Rýchlosť lode v stojatej vode je 23 km/h. Rýchlosť rieky je 3 km / h. Akú cestu prejde motorová loď po rieke za 3 hodiny? Proti prúdu?

Riešenie

Vlastná rýchlosť lode je 23 km/h. Ak sa loď pohybuje pozdĺž rieky, jej rýchlosť bude 23 + 3, to znamená 26 km / h. Za tri hodiny toho prejde trikrát viac

26 × 3 = 78 km

Ak sa motorová loď pohybuje proti prúdu rieky, jej rýchlosť bude 23 - 3, to znamená 20 km / h. Za tri hodiny toho prejde trikrát viac

20 × 3 = 60 km

Problém 3... Loď prekonala vzdialenosť z bodu A do bodu B za 3 hodiny 20 minút a vzdialenosť z bodu B do bodu A za 2 hodiny 50 minút. Akým smerom tečie rieka: z A do B alebo z B do A, ak je známe, že rýchlosť jachty sa nezmenila?

Riešenie

Rýchlosť jachty sa nezmenila. Poďme zistiť, na ktorej ceste strávila viac času: na ceste z A do B alebo na ceste z B do A.

3 hodiny 20 minút viac ako 2 hodiny 50 minút. To znamená, že prúd rieky znižoval rýchlosť jachty a to sa prejavilo aj na cestovnom čase. 3 hodiny 20 minút je čas strávený na ceste z bodu A do bodu B. Rieka teda tečie z bodu B do bodu A

Problém 4... Ako dlho trvá jazda proti prúdu rieky
loď prejde 204 km vlastnou rýchlosťou
15 km/h a aktuálna rýchlosť je 5-krát nižšia ako jeho vlastná
rýchlosť lode?

Riešenie

Je potrebné nájsť čas, za ktorý loď prejde 204 kilometrov proti rieke. Vlastná rýchlosť lode je 15 km/h. Pohybuje sa proti prúdu rieky, takže pri takomto pohybe musíte určiť jeho rýchlosť.

Ak chcete určiť rýchlosť proti prúdu rieky, musíte odpočítať rýchlosť rieky od vlastnej rýchlosti motorovej lode (15 km / h). Podmienka hovorí, že rýchlosť toku rieky je 5-krát menšia ako vlastná rýchlosť motorovej lode, preto najprv určíme rýchlosť toku rieky. Aby sme to dosiahli, päťkrát znížime rýchlosť 15 km/h

15: 5 = 3 km/h

Rieka tečie rýchlosťou 3 km/h. Odpočítajte túto rýchlosť od rýchlosti lode

15 km/h – 3 km/h = 12 km/h

Teraz si určme čas, za ktorý motorová loď prejde 204 km rýchlosťou 12 km/h. Loď jazdí rýchlosťou 12 kilometrov za hodinu. Ak chcete zistiť, za koľko hodín to bude trvať 204 kilometrov, musíte určiť, koľkokrát 204 kilometrov obsahuje 12 kilometrov

204: 12 = 17 hodín

Odpoveď: loď prekoná 204 kilometrov za 17 hodín

Problém 5... Presun po rieke, za 6 hodín loďou
najazdených 102 km. Určte si vlastnú rýchlosť lode,

Riešenie

Zistite, ako rýchlo sa loď pohybovala pozdĺž rieky. Na tento účel sa prejdená vzdialenosť (102 km) vydelí časom pohybu (6 hodín)

102: 6 = 17 km/h

Určite rýchlosť člna. Aby sme to dosiahli, od rýchlosti, ktorou sa pohyboval pozdĺž rieky (17 km / h), odpočítame rýchlosť toku rieky (4 km / h)

17 - 4 = 13 km/h

Problém 6... Pohyb proti prúdu rieky, za 5 hodín loď
najazdených 110 km. Určte si vlastnú rýchlosť lode,
ak je aktuálna rýchlosť 4 km/h.

Riešenie

Zistite, ako rýchlo sa loď pohybovala pozdĺž rieky. Na tento účel sa prejdená vzdialenosť (110 km) vydelí časom pohybu (5 hodín)

110: 5 = 22 km/h

Určite rýchlosť člna. Podmienka hovorila, že sa pohybovala proti prúdu rieky. Rýchlosť toku rieky bola 4 km/h. To znamená, že vlastná rýchlosť člna bola znížená o 4. Našou úlohou je spočítať tieto 4 km/h a zistiť vlastnú rýchlosť člna

22 + 4 = 26 km/h

Odpoveď: vlastná rýchlosť člna je 26 km/h

Problém 7... Ako dlho trvá, kým sa loď pohne proti prúdu rieky
prejde 56 km, ak je aktuálna rýchlosť 2 km/h, a jeho
je vaša vlastná rýchlosť o 8 km/h vyššia ako aktuálna rýchlosť?

Riešenie

Nájdite vlastnú rýchlosť člna. Podmienka hovorí, že je to o 8 km/h viac ako aktuálna rýchlosť. Preto na určenie vlastnej rýchlosti člna pridajte ďalších 8 km/h k aktuálnej rýchlosti (2 km/h)

2 km/h + 8 km/h = 10 km/h

Loď sa pohybuje proti prúdu rieky, preto od rýchlosti samotnej lode (10 km/h) odpočítame rýchlosť rieky (2 km/h)

10 km/h – 2 km/h = 8 km/h

Dozvieme sa, koľko bude trvať, kým loď prejde 56 km. Na tento účel sa vzdialenosť (56 km) vydelí rýchlosťou lode:

56:8 = 7 hodín

Odpoveď: pri pohybe proti prúdu rieky prekoná loď 56 km za 7 hodín

Úlohy na samostatné riešenie

Úloha 1. Ako dlho bude trvať chodcovi prejsť 20 km, ak je jeho rýchlosť 5 km/h?

Riešenie

Chodec prejde 5 kilometrov za hodinu. Ak chcete určiť, ako dlho bude trvať prejdenie 20 km, musíte zistiť, koľkokrát 20 kilometrov obsahuje 5 km. Alebo použite pravidlo hľadania času: vydeľte prejdenú vzdialenosť rýchlosťou pohybu

20:5 = 4 hodiny

Úloha 2. Z bodu A ukázať V cyklista išiel 5 hodín rýchlosťou 16 km/h a späť išiel tou istou dráhou rýchlosťou 10 km/h. Ako dlho cyklistovi trvala spiatočná cesta?

Riešenie

Určte vzdialenosť od bodu A ukázať V... Aby sme to dosiahli, vynásobíme rýchlosť, akou cyklista išiel z bodu A ukázať V(16 km / h) počas jazdy (5 h)

16 × 5 = 80 km

Určme, koľko času cyklista strávil na ceste späť. Na tento účel sa vzdialenosť (80 km) vydelí rýchlosťou pohybu (10 km / h)

Úloha 3. Cyklista jazdil 6 hodín určitou rýchlosťou. Po ďalších 11 km najazdených rovnakou rýchlosťou sa jeho dráha rovnala 83 km. Aký rýchly bol cyklista?

Riešenie

Určme cestu, ktorú prejde cyklista za 6 hodín. Ak to chcete urobiť, odpočítajte vzdialenosť od 83 km, ktorú prekonal po šiestich hodinách pohybu (11 km)

83 - 11 = 72 km

Určme, ako rýchlo cyklista jazdil prvých 6 hodín. Aby ste to dosiahli, vydeľte 72 km 6 hodinami

72: 6 = 12 km/h

Keďže podmienka problému hovorí, že zvyšných 11 km prešiel cyklista rovnakou rýchlosťou ako za prvých 6 hodín pohybu, odpoveďou na problém je rýchlosť 12 km/h.

odpoveď: cyklista išiel rýchlosťou 12 km/h.

Úloha 4. Pri pohybe proti prúdu rieky vzdialenosť 72 km prejde motorová loď za 4 hodiny a plť prepláva rovnakú vzdialenosť za 36 hodín Koľko hodín prejde motorová loď vzdialenosť 110 km ak to ide popri rieke?

Riešenie

Poďme zistiť rýchlosť rieky. Podmienka hovorí, že raft dokáže prejsť 72 kilometrov za 36 hodín. Plť sa nemôže pohybovať proti prúdu rieky. To znamená, že rýchlosť plte, s ktorou prekoná týchto 72 kilometrov, je rýchlosťou rieky. Ak chcete zistiť túto rýchlosť, musíte vydeliť 72 kilometrov 36 hodinami.

72: 36 = 2 km/h

Poďme nájsť vlastnú rýchlosť lode. Najprv zistíme rýchlosť jeho pohybu proti prúdu rieky. K tomu si 72 kilometrov delíme 4 hodinami.

72: 4 = 18 km/h

Ak je rýchlosť motorovej lode proti toku rieky 18 km / h, potom jej vlastná rýchlosť je 18 + 2, to znamená 20 km / h. A pozdĺž rieky bude jeho rýchlosť 20 + 2, to znamená 22 km / h

Vydelením 110 kilometrov rýchlosťou lode pozdĺž rieky (22 km/h) môžete zistiť, koľko hodín loď prejde týchto 110 kilometrov

odpoveď: po rieke loď prepláva 110 kilometrov za 5 hodín.

Úloha 5. Dvaja cyklisti opustili jeden bod súčasne v opačných smeroch. Jeden z nich išiel rýchlosťou 11 km/h a druhý rýchlosťou 13 km/h. Aká je vzdialenosť medzi nimi za 4 hodiny?

21 × 6 = 126 km

Určme vzdialenosť, ktorú prejde druhá motorová loď. Aby sme to dosiahli, vynásobíme jeho rýchlosť (24 km / h) časom, ktorý trvá do stretnutia (6 hodín)

24 × 6 = 144 km

Poďme určiť vzdialenosť medzi prístavmi. Za týmto účelom spočítajte vzdialenosti prekonané prvou a druhou motorovou loďou

126 km + 144 km = 270 km

odpoveď: prvá motorová loď prekonala 126 km, druhá 144 km. Vzdialenosť medzi prístavmi je 270 km.

Problém 7. Z Moskvy a Ufy odchádzali dva vlaky súčasne. Stretli sa po 16 hodinách. Moskovský vlak išiel rýchlosťou 51 km/h. Ako rýchlo odišiel vlak z Ufy, ak vzdialenosť medzi Moskvou a Ufa bola 1 520 km? Aká bola vzdialenosť medzi vlakmi 5 hodín po stretnutí?

Riešenie

Poďme určiť, koľko kilometrov prešiel vlak z Moskvy pred stretnutím. Za týmto účelom vynásobte jeho rýchlosť (51 km / h) 16 hodinami

51 × 16 = 816 km

Poďme zistiť, koľko kilometrov prešiel vlak, ktorý odišiel z Ufy, pred stretnutím. Aby sme to dosiahli, od vzdialenosti medzi Moskvou a Ufa (1520 km) odpočítame vzdialenosť prejdenú vlakom odchádzajúcim z Moskvy.

1520 - 816 = 704 km

Poďme určiť rýchlosť, akou išiel vlak z Ufy. Na to je potrebné vydeliť prejdenú vzdialenosť pred stretnutím 16 hodinami.

704: 16 = 44 km/h

Určme vzdialenosť, ktorá bude medzi vlakmi 5 hodín po ich stretnutí. Na tento účel nájdeme rýchlosť odstraňovania vlakov a vynásobíme túto rýchlosť 5

51 km/h + 44 km/h = 95 km/h

95 × 5 = 475 km.

odpoveď: vlak odchádzajúci z Ufy išiel rýchlosťou 44 km/h. Za 5 hodín po ich stretnutí bude vzdialenosť medzi vlakmi 475 km.

Problém 8. Dva autobusy vyrazili z jedného bodu súčasne v opačných smeroch. Rýchlosť jedného autobusu je 48 km/h, druhého o 6 km/h viac. Za koľko hodín bude vzdialenosť medzi autobusmi 510 km?

Riešenie

Nájdite rýchlosť druhého autobusu. Je to o 6 km/h viac ako rýchlosť prvého autobusu

48 km/h + 6 km/h = 54 km/h

Nájdite rýchlosť odstránenia autobusu. Ak to chcete urobiť, spočítajte ich rýchlosti:

48 km/h + 54 km/h = 102 km/h

Vzdialenosť medzi autobusmi sa zvyšuje o 102 kilometrov za hodinu. Ak chcete zistiť, za koľko hodín bude vzdialenosť medzi nimi 510 km, musíte zistiť, koľkokrát 510 km obsahuje 102 km / h

odpoveď: 510 km medzi autobusmi bude za 5 hodín.

Úloha 9. Vzdialenosť z Rostova na Done do Moskvy je 1230 km. Dva vlaky opustili Moskvu a Rostov, aby sa stretli. Vlak z Moskvy ide rýchlosťou 63 km / h a rýchlosť vlaku Rostov je rýchlosť moskovského vlaku. V akej vzdialenosti od Rostova sa vlaky stretnú?

Riešenie

Poďme nájsť rýchlosť vlaku Rostov. Je to rýchlosť moskovského vlaku. Preto, aby ste určili rýchlosť vlaku Rostov, musíte nájsť od 63 km

63: 21 × 20 = 3 × 20 = 60 km/h

Nájdite rýchlosť konvergencie vlakov

63 km/h + 60 km/h = 123 km/h

Určte, za koľko hodín sa vlaky stretnú

1230: 123 = 10 hodín

Dozvieme sa, v akej vzdialenosti sa vlaky z Rostova stretnú. Na to stačí pred stretnutím nájsť vzdialenosť, ktorú prejde vlak Rostov

60 × 10 = 600 km.

odpoveď: vlaky sa budú stretávať vo vzdialenosti 600 km od Rostova.

Úloha 10. Z dvoch mól, ktorých vzdialenosť je 75 km, vyrazili súčasne dva motorové člny oproti sebe. Jeden išiel rýchlosťou 16 km/h a rýchlosť druhého bola 75% rýchlosti prvého člna. Aká je vzdialenosť medzi člnmi za 2 hodiny?

Riešenie

Nájdite rýchlosť druhej lode. Je to 75 % rýchlosti prvej lode. Preto, aby ste našli rýchlosť druhej lode, potrebujete 75% zo 16 km

16 × 0,75 = 12 km/h

Nájdite rýchlosť konvergencie lodí

16 km/h + 12 km/h = 28 km/h

Každú hodinu sa vzdialenosť medzi člnmi zníži o 28 km. Po 2 hodinách sa zníži o 28 × 2, teda o 56 km. Ak chcete zistiť, aká bude vzdialenosť medzi člnmi v tejto chvíli, musíte odpočítať 56 km od 75 km

75 km - 56 km = 19 km

odpoveď: za 2 hodiny bude medzi člnmi 19 km.

Úloha 11. Osobné auto s rýchlosťou 62 km/h dobieha nákladné auto s rýchlosťou 47 km/h. Ako dlho to bude trvať a v akej vzdialenosti od začiatku pohybu dobehne osobné auto nákladné auto, ak počiatočná vzdialenosť medzi nimi bola 60 km?

Riešenie

Nájdite rýchlosť konvergencie

62 km/h – 47 km/h = 15 km/h

Ak bola na začiatku vzdialenosť medzi autami 60 kilometrov, tak každú hodinu sa táto vzdialenosť zníži o 15 km a nakoniec osobné auto dobehne nákladné auto. Ak chcete zistiť, za koľko hodín sa to stane, musíte určiť, koľkokrát 60 km obsahuje 15 km

Zisťujeme, v akej vzdialenosti od začiatku pohybu osobné auto dobiehalo to nákladné. Aby sme to dosiahli, vynásobíme rýchlosť osobného auta (62 km/h) časom jeho pohybu do stretnutia (4 hodiny)

62 × 4 = 248 km

odpoveď: osobné auto dobehne kamión za 4 hodiny. Osobné auto bude v momente stretnutia vo vzdialenosti 248 km od začiatku pohybu.

Úloha 12. Dvaja motocyklisti súčasne odchádzali z jedného bodu jedným smerom. Rýchlosť jedného bola 35 km/h a rýchlosť druhého bola 80 % rýchlosti prvého jazdca. Aká je vzdialenosť medzi nimi za 5 hodín?

Riešenie

Nájdite rýchlosť druhého motocyklistu. Je to 80% rýchlosti prvého jazdca. Preto, aby ste našli rýchlosť druhého jazdca, musíte nájsť 80 % z 35 km/h

35 × 0,80 = 28 km/h

Prvý jazdec sa pohybuje o 35-28 km/h rýchlejšie

35 km/h – 28 km/h = 7 km/h

Za hodinu prejde prvý motorkár o 7 kilometrov viac. S každou ďalšou hodinou sa priblíži k druhému motocyklistovi na týchto 7 kilometrov.

Za 5 hodín prejde prvý motorkár 35 × 5, teda 175 km a druhý motorkár prejde 28 × 5, teda 140 km. Určme vzdialenosť medzi nimi. Ak to chcete urobiť, odpočítajte 140 km od 175 km

175 - 140 = 35 km

odpoveď: za 5 hodín bude vzdialenosť medzi jazdcami 35 km.

Úloha 13. Motocyklista, ktorého rýchlosť je 43 km/h, predbieha cyklistu, ktorý má rýchlosť 13 km/h. Za koľko hodín dobehne motocyklista cyklistu, ak počiatočná vzdialenosť medzi nimi bola 120 km?

Riešenie

Poďme zistiť rýchlosť konvergencie:

43 km/h – 13 km/h = 30 km/h

Ak bola na začiatku vzdialenosť medzi motocyklistom a cyklistom 120 kilometrov, tak každú hodinu sa táto vzdialenosť zníži o 30 km a nakoniec motocyklista cyklistu dobehne. Ak chcete zistiť, za koľko hodín sa to stane, musíte určiť, koľkokrát 120 km obsahuje 30 km.

Takže za 4 hodiny motorkár dobehne cyklistu

Na obrázku je znázornený pohyb motorkára a cyklistu. Je vidieť, že po 4 hodinách od začiatku pohybu sa vyrovnali.

odpoveď: motorkár dobehne cyklistu za 4 hodiny.

Úloha 14. Cyklista, ktorého rýchlosť je 12 km/h, dobieha cyklistu, ktorého rýchlosť je 75 % jeho rýchlosti. Po 6 hodinách dobehol druhý cyklista prvého cyklistu. Aká bola pôvodne vzdialenosť medzi cyklistami?

Riešenie

Určme rýchlosť cyklistu jazdiaceho vpredu. Aby sme to dosiahli, zistíme 75 % rýchlosti cyklistu jazdiaceho za:

12 × 0,75 = 9 km / h - rýchlosť vodiča vpredu

Poďme zistiť, koľko kilometrov prešiel každý cyklista, kým druhý dobehol prvého:

12 × 6 = 72 km - najazdené pozadu
9 × 6 = 54 km - odjazdil ten vpredu

Poďme zistiť, aká bola spočiatku vzdialenosť medzi cyklistami. Ak to chcete urobiť, od vzdialenosti prejdenej druhým cyklistom (ktorý dobiehal) odpočítajte vzdialenosť prejdenú prvým cyklistom (ktorý bol dobiehaný)

Je vidieť, že auto je 12 km pred autobusom.

Ak chcete zistiť, o koľko hodín bude auto 48 kilometrov pred autobusom, musíte určiť, koľkokrát 48 km obsahuje 12 km.

odpoveď: 4 hodiny po odchode bude auto 48 kilometrov pred autobusom.

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

§ 1 Rýchlosť konvergencie a rýchlosť odstraňovania

V tejto lekcii sa zoznámime s pojmami ako „miera konvergencie“ a „miera odstránenia“.

Aby sme sa zoznámili s pojmami „rýchlosť približovania“ a „rýchlosť odstraňovania“, uvažujme o 4 skutočných situáciách.

Z dvoch miest vyrazili naraz dve autá oproti sebe. Rýchlosť prvého auta ʋ1 = 120 km/h a rýchlosť druhého auta ʋ2 = 80 km/h. Zmenšuje sa vzdialenosť medzi autami? Ak áno, ako rýchlo?

Z obrázku je vidieť, že sa blížia dve autá, idúce k sebe. To znamená, že vzdialenosť medzi nimi sa zmenšuje. Ak chcete zistiť, akou rýchlosťou sa vzdialenosť medzi autami skracuje alebo akou rýchlosťou sa dve autá približujú, je potrebné pripočítať rýchlosť toho druhého k rýchlosti prvého auta. Totiž nájazdová rýchlosť sa rovná súčtu rýchlostí prvého a druhého auta: ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2.

Poďme zistiť rýchlosť konvergencie týchto áut:

To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa znižuje pri rýchlosti 200 km/h. Zoberme si druhú situáciu.

Z dvoch miest v jednom smere vyšli naraz dve autá. Rýchlosť prvého auta ʋ1 = 120 km/h a rýchlosť druhého auta ʋ2 = 80 km/h. Zväčšuje sa alebo zmenšuje sa vzdialenosť medzi autami a o koľko?

Znázornime pohyb týchto áut na súradnicovom lúči.

Z obrázku je vidieť, že prvé auto sa pohybuje rýchlejšie ako druhé auto alebo sa pohybuje pri prenasledovaní druhého auta. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa zníži. Ak chcete zistiť, ako rýchlo sa vzdialenosť medzi autami skracuje, alebo ako rýchlo sa k sebe dve autá približujú, odpočítajte rýchlosť druhého auta od rýchlosti prvého auta. Totiž nájazdová rýchlosť sa rovná rozdielu rýchlostí dvoch áut: ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2.

Nájdite rýchlosť konvergencie týchto áut: ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km/h. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa znižuje pri rýchlosti 40 km/h.

Vzhľadom na vyššie uvedené situácie sme sa zoznámili s pojmom „rýchlosť konvergencie“. Rýchlosť priblíženia je vzdialenosť, na ktorú sa objekty priblížia k sebe za jednotku času.

Zvážte nasledujúcu tretiu situáciu.

Z dvoch miest vyšli naraz dve autá v protismere. Rýchlosť prvého auta ʋ1 = 120 km/h a rýchlosť druhého auta ʋ2 = 80 km/h. Zväčší sa vzdialenosť medzi autami? Ak áno, koľko?

Znázornime pohyb týchto áut na súradnicovom lúči.

Obrázok ukazuje, že dve autá, ktoré sa pohybujú v opačných smeroch, sa pohybujú od seba. To znamená, že vzdialenosť medzi nimi sa zvyšuje. Ak chcete zistiť, akou rýchlosťou sa zväčšuje vzdialenosť medzi autami, alebo akou rýchlosťou sa dve autá od seba vzďaľujú, musíte k rýchlosti prvého auta pripočítať rýchlosť druhého auta. Rýchlosť odstraňovania sa totiž rovná súčtu rýchlostí dvoch áut: ud. = ʋ1 + ʋ2.

Poďme nájsť rýchlosť vymazania týchto áut: ud. = ʋ1 + ʋ2 = 120 + 80 = 200 km/h. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa zväčšuje pri rýchlosti 200 km/h.

Zvážte poslednú štvrtú situáciu.

Dve autá súčasne odišli z dvoch miest smerom k vode. Rýchlosť prvého auta ʋ1 = 120 km/h a rýchlosť druhého auta ʋ2 = 80 km/h. Navyše, druhé auto sa pohybuje s oneskorením. Zvýši sa alebo zníži sa vzdialenosť medzi autami a o koľko?

Znázornime pohyb týchto áut na súradnicovom lúči.

Obrázok ukazuje, že druhé auto sa pohybuje pomalšie ako prvé auto alebo zaostáva za prvým autom. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa zvýši. Ak chcete zistiť, akou rýchlosťou sa zväčšuje vzdialenosť medzi autami alebo akou rýchlosťou sa dve autá od seba vzďaľujú, musíte od rýchlosti prvého auta odpočítať rýchlosť druhého auta. Rýchlosť odstraňovania sa totiž rovná rozdielu medzi rýchlosťami dvoch áut: sp. = ʋ1 - ʋ2.

Poďme nájsť rýchlosť vymazania týchto áut: ud. = ʋ1 - ʋ2 = 120 - 80 = 40 km/h. To znamená, že vzdialenosť medzi autami sa zväčšuje pri rýchlosti 40 km/h.

Vzhľadom na vyššie uvedené situácie sme sa oboznámili s pojmom „miera odstránenia“. Rýchlosť odstraňovania je vzdialenosť, ktorú odstránia objekty za jednotku času.

§ 2 Stručné zhrnutie k téme lekcie

1. Rýchlosť priblíženia je vzdialenosť, na ktorú sa objekty priblížia k sebe za jednotku času.

2. Keď sa dva objekty pohybujú k sebe, rýchlosť priblíženia sa rovná súčtu rýchlostí týchto objektov. ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2

3. Pri pohybe pri prenasledovaní sa rýchlosť priblíženia rovná rozdielu rýchlostí pohybujúcich sa objektov. ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2

4. Rýchlosť odstraňovania je vzdialenosť, o ktorú sa odstránia predmety za jednotku času.

5. Keď sa dva predmety pohybujú v opačných smeroch, rýchlosť odstraňovania sa rovná súčtu rýchlostí týchto predmetov. ʋud. = ʋ1 + ʋ2

6. Pri pohybe s oneskorením sa rýchlosť odstraňovania rovná rozdielu rýchlostí pohybujúcich sa objektov. ʋud. = ʋ1 - ʋ2

Zoznam použitej literatúry:

1. Peterson L.G. Matematika. 4. trieda. 2. časť / L.G. Peterson. - M .: Juventa, 2014 .-- 96 s.: Ill.
2. Matematika. 4. trieda. Metodické odporúčania k učebnici matematiky „Učíme sa učiť“ pre 4. ročník / L.G. Peterson. - M .: Juventa, 2014 .-- 280 s.: Ill.
3. Zak S.M. Všetky úlohy k učebnici matematiky pre 4. ročník L.G. Peterson a súbor nezávislých a kontrolných prác. FSES. - M .: YUNVES, 2014.
4. CD-ROM. Matematika. 4. trieda. Skriptá lekcií k učebnici 2. časti Peterson L.G. - M .: Juventa, 2013.

Použité obrázky:

Ako zistiť rýchlosť konvergencie?

Pri riešení matematických úloh majú žiaci veľké množstvo otázok. "Ako zistiť rýchlosť konvergencie?" - jeden z nich.

Rýchlosť pohybu je vzdialenosť, na ktorú sa objekty priblížia k sebe za jednotku času. Jednotkou merania je km/h, m/s atď. Keď sa objekty pohybujú rovnomerne rôznymi rýchlosťami, vzdialenosť medzi týmito objektmi sa buď zväčšuje alebo zmenšuje o rovnaký počet jednotiek.

Na výpočet pohybu v rôznych smeroch je potrebné použiť vzorec: rýchlosť približovania = V1 + V2 a pri pohybe jedným smerom - rýchlosť približovania = V1 - V2. Pri riešení problémov si netreba zamieňať nájazdovú rýchlosť s „celkovou rýchlosťou“, ktorá sa počíta ako súčet všetkých rýchlostí.

Povedzme, že dvaja cyklisti idú proti sebe. Rýchlosť prvého je 16 km / h a druhého je 20 km / h. Ako rýchlo sa mení vzdialenosť medzi nimi? Dosadením našich údajov do vzorca V = 16 + 20 zistíme, že nájazdová rýchlosť je v tomto prípade 36 km/h.

Ak sa pretekov zúčastnia dve korytnačky, z ktorých jedna sa pohybuje rýchlosťou 3 km / h a druhá rýchlosťou 1 km / h, rýchlosť priblíženia bude 2 km / h podľa vzorca V = V1 - V2.