Megoldás.

A probléma megoldásához vegyük a „test – a Föld gravitációs tere” fizikai rendszert. A testet anyagi pontnak tekintik, a Föld gravitációs tere pedig homogénnek. A kiválasztott fizikai rendszer nincs lezárva, mivel a test mozgása során kölcsönhatásba lép a levegővel.
Ha nem vesszük figyelembe a testre a levegő oldalról ható felhajtóerőt, akkor a rendszer teljes mechanikai energiájának változása megegyezik a légellenállási erő munkájával, azaz.∆ E = A c.

A potenciális energia nulla szintjét választjuk a Föld felszínén. Az egyetlen külső erő a "test - Föld" rendszerrel kapcsolatban a függőlegesen felfelé irányuló légellenállási erő. A rendszer kezdeti energiája E 1, végső E 2.

Ellenállási erő munka A.

Mivel a húzóerő és az elmozdulás közötti szög 180°, ekkor a koszinusz -1, tehát A = - F c h. Tegyük egyenlőségjelet A-val.

A vizsgált nyílt fizikai rendszer egy kölcsönható objektumok rendszerének mozgási energiájának változására vonatkozó tétellel is leírható, amely szerint a rendszer mozgási energiájának változása megegyezik a külső és belső erők által végzett munkával. átmenetét a kezdeti állapotból a végső állapotba. Ha nem veszi figyelembe a testre ható felhajtóerőt a levegő oldaláról, és a belsőt - a gravitációs erőt. Ennélfogva∆ E к = A 1 + A 2, ahol A 1 = mgh - gravitációs munka, A 2 = F c hcos 180 ° = - F c h - az ellenállási erő munkája;∆ E = E 2 - E 1.

Ez egy kreatív feladat egy számítástechnikai mesterkurzus számára a FEFU iskolásainak.
A feladat célja, hogy megtudja, hogyan változik a test pályája, ha a légellenállást is figyelembe vesszük. Arra a kérdésre is meg kell válaszolni, hogy a légellenállás mellett a repülési távolság 45 ° -os dobási szögnél is eléri-e a maximális értéket.

Az "Elemző kutatás" részben az elméletet mutatjuk be. Ez a rész kihagyható, de leginkább érthetőnek kell lennie számodra, mert b O Ennek nagy részét az iskolában élted át.
A „Numerikus vizsgálat” rész tartalmazza a számítógépen megvalósítandó algoritmus leírását. Az algoritmus egyszerű és tömör, így mindenkinek jól kell lennie.

Elemző kutatás

Vezessünk be egy téglalap alakú koordináta-rendszert az ábrán látható módon. Az idő kezdeti pillanatában tömeggel rendelkező test m az origónál van. A gravitációs gyorsulás vektora függőlegesen lefelé irányul, és koordinátái (0, - g).
a kezdősebesség vektora. Bővítsük ki ezt a vektort az alapon: ... Itt, ahol a sebességvektor modulusa van, a dobási szög.

Írjuk fel Newton második törvényét:.
A gyorsulás az idő minden pillanatában a sebesség változásának (pillanatnyi) sebessége, vagyis a sebesség deriváltja az idő függvényében:.

Ezért Newton 2. törvénye a következőképpen írható át:
, ahol a testre ható összes erő eredője.
Mivel a testre hat a nehézségi erő és a légellenállás ereje, akkor
.

Három esetet fogunk megvizsgálni:
1) A légellenállás ereje 0:.
2) A légellenállás ereje a sebességvektorral ellentétes irányú, és értéke arányos a sebességgel: .
3) A légellenállás ereje a sebességvektorral ellentétes irányú, és értéke arányos a sebesség négyzetével: .

Először is nézzük az 1. esetet.
Ebben az esetben , vagy .


Ebből következik, hogy (egyenletesen gyorsított mozgás).
Mivel ( r a sugárvektor), akkor .
Innen .
Ez a képlet nem más, mint az egyenletesen gyorsuló mozgású test mozgástörvényének ismert képlete.
Azóta .
Figyelembe véve, hogy és , az utolsó vektoregyenlőségből skaláris egyenlőségeket kapunk:

Elemezzük a kapott képleteket.
megtalálja repülési idő test. Egyenlítés y nullára, megkapjuk

Repülési tartomány egyenlő a koordináta értékével x pillanatnyilag t 0:

Ebből a képletből az következik, hogy a maximális repülési távolságot a következő helyen érjük el.
Most meg fogjuk találni testpálya-egyenlet... Ennek érdekében kifejezzük tát x

És az eredményül kapott kifejezést helyettesítse a következőre: t az egyenlőségbe y.

Az eredményül kapott függvény y(x) egy másodfokú függvény, grafikonja egy parabola, melynek ágai lefelé irányulnak.
A horizonttal szögben eldobott test mozgását (a légellenállás kivételével) ismerteti ez a videó.

Most nézzük a második esetet: .

A második törvény a formát ölti ,
innen .
Írjuk fel ezt az egyenlőséget skaláris formában:

Kaptunk két lineáris differenciálegyenlet.
Az első egyenletnek van megoldása

Ezt úgy ellenőrizhetjük, hogy ezt a függvényt behelyettesítjük az egyenletbe v xés a kezdeti állapotban .
Itt e = 2,718281828459 ... Euler száma.
A második egyenletnek van megoldása

Mivel , , akkor légellenállás esetén a test mozgása egyenletesebbé szokott lenni, ellentétben az 1. esettel, amikor a sebesség korlátlanul növekszik.
A következő videó azt mondja, hogy az ejtőernyős először gyorsított ütemben mozog, majd egyenletesen mozog (még az ejtőernyő bevetése előtt).

Keressünk kifejezéseket xés y.
Mivel x(0) = 0, y(0) = 0, akkor

Továbbra is meg kell vizsgálnunk a 3. esetet, amikor .
Newton második törvényének a formája van
, vagy .
Skaláris formában ennek az egyenletnek a következő alakja van:

Ez nemlineáris differenciálegyenletrendszer... Ez a rendszer explicit módon nem oldható meg, ezért szükséges a numerikus modellezés alkalmazása.

Numerikus kutatás

Az előző részben láttuk, hogy az első két esetben a test mozgástörvénye kifejezetten megkapható. A harmadik esetben azonban a feladatot számszerűen kell megoldani. Numerikus módszerek segítségével csak hozzávetőleges megoldást kapunk, de egy kis pontosság is jól jön nekünk. (A π számot vagy a 2 négyzetgyökét egyébként nem lehet teljesen pontosan felírni, ezért a számításnál véges számú számjegyet veszünk, és ez elég.)

A második esetet fogjuk figyelembe venni, amikor a légellenállás erejét a képlet határozza meg ... Jegyezze meg, hogy azért k= 0 kapjuk az első esetet.

A test sebessége engedelmeskedik a következő egyenleteknek:

A gyorsulási összetevők az egyenletek bal oldalára vannak felírva .
Emlékezzünk vissza, hogy a gyorsulás a sebesség változásának (pillanatnyi) sebessége, vagyis a sebesség deriváltja az idő függvényében.
A sebességkomponensek az egyenletek jobb oldalára vannak felírva. Így ezek az egyenletek megmutatják, hogy a sebesség változásának mértéke hogyan viszonyul a sebességhez.

Próbáljunk numerikus módszerekkel megoldást találni ezekre az egyenletekre. Ehhez bevezetjük az időtengelyen rács: válasszon egy számot, és vegye figyelembe az űrlap időpillanatait:.

Feladatunk az értékek közelítő kiszámítása a rács csomópontjainál.

Cserélje ki a gyorsulást az egyenletekben ( azonnali sebesség sebességváltozás) által átlagsebesség sebességváltozások, figyelembe véve a test mozgását egy bizonyos időszakon keresztül:

Most pedig cseréljük be a kapott közelítéseket az egyenleteinkbe.

A kapott képletek lehetővé teszik a függvények értékeinek kiszámítását a következő rácspontban, ha ismertek ezen függvények értéke az előző rácspontban.

A leírt módszerrel táblázatot kaphatunk a sebességkomponensek közelítő értékeiről.

Hogyan találjuk meg a test mozgástörvényét, azaz. közelítő koordináták táblázata x(t), y(t)? Hasonlóképpen!
Nekünk van

A vx [j] értéke megegyezik a függvény értékével, más tömböknél ugyanaz.
Most már csak egy ciklust kell írni, amelyen belül a már kiszámított vx [j] értéken keresztül kiszámoljuk a vx-et, és ugyanezt a többi tömbbel is. A ciklus beindul j 1-től N.
Ne felejtse el inicializálni a vx, vy, x, y kezdeti értékeket a képletekkel, x 0 = 0, y 0 = 0.

Pascalban és C-ben a szinusz és a koszinusz kiszámításához sin (x), cos (x) függvények találhatók. Vegye figyelembe, hogy ezek a függvények radiánban vettek fel argumentumot.

Fel kell építeni egy grafikont a test mozgásáról, amikor k= 0 és k> 0, és hasonlítsa össze a kapott grafikonokat. Grafikonok készíthetők Excelben.
Vegye figyelembe, hogy a számítási képletek olyan egyszerűek, hogy csak az Excelt használhatja számításokhoz, és még programozási nyelvet sem.
A jövőben azonban meg kell oldani egy olyan feladatot a CATS-ban, amelyben ki kell számítani egy test repülési idejét és hatótávját, ahol nem nélkülözheti a programozási nyelvet.

Felhívjuk figyelmét, hogy megteheti tesztelni programját, és ellenőrizze grafikonjait a számítási eredmények összehasonlításával k= 0 az Analitikai tanulmány részben megadott pontos képletekkel.

Kísérletezzen a programjával. Győződjön meg arról, hogy ha nincs légellenállás ( k= 0) a maximális repülési tartomány rögzített kezdeti sebesség mellett 45°-os szögben érhető el.
És a légellenállást figyelembe véve? Milyen szögben érhető el a maximális repülési távolság?

Az ábra a test röppályáit mutatja be v 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9,8 m/s 2, m= 1 kg, k= 0 és 1, numerikus szimulációval Δ-nél t = 0,01.

Megismerkedhet a 2011-es "Start to Science" konferencián bemutatott troicki 10 évfolyamosok csodálatos munkájával. A munka a horizonthoz képest szögben eldobott teniszlabda mozgásának modellezését szolgálja (figyelembe véve légellenállás). Numerikus modellezést és terepi kísérletet egyaránt alkalmaznak.

Így ez a kreatív feladat lehetővé teszi, hogy megismerkedjen a gyakorlatban aktívan használt, de az iskolában kevéssé tanult matematikai és numerikus modellezési módszerekkel. Ezeket a módszereket például a XX. század közepén a Szovjetunióban atom- és űrprojektek végrehajtása során használták.

Az ellenállási erők olyan erők, amelyek megakadályozzák a jármű mozgását. Ezek az erők a mozgása ellen irányulnak.

Felfelé haladva, a H p magassággal jellemezve a vetítési hossz V P a vízszintes síkon és az út α emelkedési szögén a következő ellenállási erők hatnak az autóra (3.12. ábra): gördülési ellenállási erő R Nak nek , egyenlő az első (P K |) és a hátsó (P K2) kerekek gördülési ellenállási erőinek összegével, az emelési ellenállással R P , légellenállási erő D és ellenállási erő a gyorsulással szemben R ÉS . A gördülési és gördülési ellenállási erők az út jellemzőihez kapcsolódnak. Ezen erők összegét közúti ellenállási erőnek nevezzük. R D .

Rizs. 3.13. Energiaveszteség a gumiabroncs belső súrlódása miatt:

a - pont, amely megfelel a gumiabroncs maximális terhelési és alakváltozási értékeinek

Gördülési ellenállási erő

A gördülési ellenállási erő mozgás közbeni megjelenése a gumiabroncsok belső súrlódásából adódó energiaveszteségből, a gumiabroncsok útfelületi súrlódásából és a nyomvályúsodásból (deformálódó utakon) adható. . 3.13, amely a kerék függőleges terhelése és a gumiabroncs deformációja közötti összefüggést mutatja - elhajlása f w .

Amikor a kerék egyenetlen felületen mozog, a gumiabroncs változó terhelés hatására deformálódik. α sor ó, amely megfelel a gumiabroncsot deformáló terhelés növekedésének, nem esik egybe a vonallal aO, a teher eltávolításának megfelelő. A jelzett görbék közé bezárt terület az abroncs egyes részei (futófelület, karkasz, kordrétegek stb.) közötti belső súrlódásból eredő energiaveszteségeket jellemzi.

A gumiabroncs súrlódási energiaveszteségét hiszterézisnek és vonalnak nevezzük ОαО - hiszterézis hurok.

A gumiabroncs súrlódási veszteségei visszafordíthatatlanok, mivel az deformáció során felmelegszik, és hő szabadul fel belőle, ami a környezetbe kerül. A gumiabroncs deformációjára fordított energia nem nyerhető vissza teljesen a későbbi alakjavítás során.

Gördülési ellenállási erő R Nak nek vízszintes úton haladva éri el a legmagasabb értéket. Ebben az esetben

ahol G - jármű tömege, N; f a gördülési ellenállási együttható.

Felfelé és lejtőn haladva a gördülési ellenállási erő csökken a R Nak nek vízszintes úton, és minél jelentősebbek, minél meredekebbek. Ennél a mozgásnál a gördülési ellenállási erő

ahol α az emelkedési szög, °.

A gördülési ellenállás erejének ismeretében meghatározhatja a teljesítményt, kW,

ennek az ellenállásnak a leküzdésére fordítottuk:

ahol v a jármű sebessége, m/s 2

Vízszintes út esetén cos0 ° = 1 és

Z
gördülési ellenállási erő függése R Nak nek és teljesítmény NK a jármű sebességétől v ábrán láthatók. 3.14

Gördülési ellenállási együttható

A gördülési ellenállási együttható jelentősen befolyásolja az energiaveszteséget a jármű mozgása közben. Ez sok tervezéstől és működéstől függ

3.15. ábra. Gördülési ellenállási együttható versus

Menetsebesség (a), légnyomás a gumiabroncsban (b) és a keréken áthaladó nyomaték (c)

tényezőket, és kísérletileg határozzák meg. Átlagos értékei különböző utakon normál gumiabroncsnyomás mellett 0,01 ... 0,1. Vegye figyelembe a különböző tényezők hatását a gördülési ellenállási együtthatóra.

Utazási sebesség... Amikor a sebesség 0 ... 50 km / h tartományban változik, a gördülési ellenállási együttható kissé megváltozik, és állandónak tekinthető a megadott sebességtartományban.

A megadott intervallumon kívüli mozgási sebesség növekedésével a gördülési ellenállási együttható jelentősen megnő (3.15. ábra, a) a gumiabroncsban a súrlódás miatti megnövekedett energiaveszteség miatt.

A mozgási sebességtől függő gördülési ellenállási együttható megközelítőleg a képlettel számítható ki

ahol - jármű sebessége, km/h.

Az útfelület típusa és állapota. Aszfaltozott utakon a gördülési ellenállás főként a gumiabroncs deformációjából adódik.

Az út egyenetlenségek számának növekedésével a gördülési ellenállás együtthatója nő.

A deformálható utakon a gördülési ellenállási együtthatót a gumiabroncs és az út alakváltozásai határozzák meg. Ebben az esetben ez nem csak a gumiabroncs típusától függ, hanem a keletkező nyom mélységétől és a talaj állapotától is.

Az alábbiakban láthatók a gördülési ellenállás értékei az ajánlott légnyomás és gumiabroncs-terhelési szint mellett, valamint az átlagos haladási sebességek különböző utakon:

Aszfalt és cementbeton autópálya:

jó állapotban ................................... 0,007 ... 0,015

kielégítő állapotban ............... 0,015 ... 0,02

Jó állapotú murvás út .... 0,02 ... 0,025

Jó állapotú macskaköves út ...... 0,025 ... 0,03

Földút, száraz, hengerelt .............. 0,025 ... 0,03

Homok................................................. ................... 0,1 ... 0,3

Jeges út, jég ................................... 0,015 ... 0,03

Hengerelt hóút .............................. 0,03 ... 0,05

Busz típus. A gördülési ellenállási együttható nagymértékben függ a futófelület mintázatától, a kopástól, a szövetváz kialakításától és az abroncs anyagának minőségétől. A futófelület kopása, a kevesebb zsinór és a jobb anyagminőség a gördülési ellenállás csökkenését eredményezi a csökkentett gumiabroncs-energiaveszteség miatt.

Guminyomás... Kemény felületű utakon a gumiabroncs légnyomásának csökkenésével a gördülési ellenállás együtthatója nő (3.15. ábra, b). A deformálható utakon a gumiabroncs nyomásának csökkenésével a nyomtáv csökken, de az abroncs belső súrlódási veszteségei nőnek. Ezért minden úttípushoz ajánlott egy bizonyos légnyomás a gumiabroncsban, amelynél a gördülési ellenállási együttható minimális értéket jelent.

... A kerék függőleges terhelésének növekedésével a gördülési ellenállási együttható jelentősen növekszik deformálható utakon, és jelentéktelen mértékben burkolt utakon.

A keréken keresztül továbbított pillanat... Ha a nyomatékot a keréken keresztül továbbítják, a gördülési ellenállás együtthatója nő (3.15. ábra, v) a gumiabroncs csúszási veszteségei miatt az úttal való érintkezés helyén. A hajtott kerekek gördülési ellenállási együtthatója 10 ... 15%-kal magasabb, mint a hajtott kerekeknél.

A gördülési ellenállási együttható jelentős hatással van az üzemanyag-fogyasztásra és ezáltal a jármű üzemanyag-fogyasztására. Tanulmányok kimutatták, hogy ezen arány kismértékű csökkentése is mérhető üzemanyag-megtakarítást eredményez. Ezért nem véletlen, hogy a tervezők és kutatók olyan gumiabroncsok létrehozására törekednek, amelyek használatakor a gördülési ellenállás együtthatója elhanyagolható lesz, de ez nagyon nehéz probléma.

Ha bármilyen tárgy mozog a felszínen vagy a levegőben, olyan erők lépnek fel, amelyek ezt megakadályozzák. Ezeket ellenállási vagy súrlódási erőknek nevezzük. Ebben a cikkben megmutatjuk, hogyan találja meg az ellenállás erejét, és vegye figyelembe az azt befolyásoló tényezőket.

Az ellenállási erő meghatározásához Newton harmadik törvényét kell használni. Ez az érték számszerűen megegyezik azzal az erővel, amelyet ki kell fejteni ahhoz, hogy a tárgyat egyenletes vízszintes felületre kényszerítsük. Ezt dinamométerrel lehet megtenni. Az ellenállási erőt az F = μ * m * g képlettel számítjuk ki. E képlet szerint a keresett érték egyenesen arányos a testtömeggel. Érdemes megfontolni, hogy a helyes számításhoz μ-t kell választani - egy olyan együtthatót, amely attól az anyagtól függ, amelyből a támaszték készül. A tárgy anyagát is figyelembe veszik. Ezt az együtthatót a táblázat szerint választjuk ki. A számításhoz a g állandót használjuk, amely 9,8 m / s2. Hogyan kell kiszámítani az ellenállást, ha a test nem egyenes vonalban mozog, hanem ferde sík mentén? Ehhez a szög cos-ját be kell írni az eredeti képletbe. A dőlésszögtől függ a testek felületének súrlódása és mozgással szembeni ellenállása. A ferde síkon a súrlódás meghatározásának képlete a következőképpen néz ki: F = μ * m * g * cos (α). Ha a test magasságban mozog, akkor a légsúrlódási erő hat rá, ami a tárgy sebességétől függ. A szükséges érték az F = v * α képlettel számítható ki. Ahol v a tárgy mozgási sebessége, α pedig a közeg ellenállási együtthatója. Ez a képlet csak alacsony sebességgel mozgó testekhez alkalmas. A sugárhajtású repülőgépek és más nagysebességű egységek ellenállási erejének meghatározásához egy másikat használnak - F = v2 * β. A nagy sebességű testek súrlódási erejének kiszámításához a sebesség négyzetét és a β együtthatót használják, amelyet minden objektumra külön számítanak ki. Amikor egy tárgy gázban vagy folyadékban mozog, a súrlódási erő kiszámításakor figyelembe kell venni a közeg sűrűségét, valamint a test tömegét és térfogatát. A mozgással szembeni ellenállás jelentősen csökkenti a vonatok és járművek sebességét. Ezenkívül a mozgó tárgyakra kétféle erő hat - állandó és ideiglenes. A teljes súrlódási erőt két érték összege jelenti. A légellenállás csökkentése és a gépsebesség növelése érdekében a tervezők és mérnökök különféle anyagokat dolgoztak ki, amelyeknek csúszó felülete elnyomja a levegőt. Éppen ezért a gyorsvonatok eleje áramvonalas. A halak nagyon gyorsan mozognak a vízben a nyálkahártyával borított áramvonalas testnek köszönhetően, ami csökkenti a súrlódást. Az ellenállási erő nem mindig van negatív hatással az autók mozgására. Az autó sárból való kiemeléséhez homokot vagy kavicsot kell önteni a kerekek alá. A megnövekedett súrlódás miatt az autó jól megbirkózik a mocsaras talajjal és a sárral.

Az ejtőernyős ugrás során a levegőben való mozgással szembeni ellenállást használják. Az ernyő és a levegő közötti súrlódás következtében az ejtőernyős sebessége csökken, ami lehetővé teszi az ejtőernyőzés gyakorlását az élet sérelme nélkül.